Связанная нестационарная задача теплопроводности и термоупругости балки-пластинки из пористого материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

№ 12 2007

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трощенко В. Т. Деформирование и разрушение металлов при многоцикловом нагружении. — Киев: Наукова думка, 1981. — 343 с.

2. К о г а е в В. П., М а х у т о в Н, А., Г у с е н к о в А. П. Расчеты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность: Справочник — М.: Машиностроение, 1985. — 224 с.

3. Гурьев А. В., С а в к и н А. Н. Об изменении демпфирующей способности конструкционных сталей в процессе циклического деформирования / Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. — Киев: Наукова думка, 1976, — С. 122—127.

4. Гурьев А. В., К о н д р а г ь е в О. В. Влияние асимметрии цикла на рассеяние энергии и усталостную

прочность / Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. — Киев: Наукова думка, 1982. С. 206......-

214.

5. Б а гму тов В. П., Кондратьев О. В. Формирование условий для моделирования полной кривой усталости лабораторных образцов при асимметричном нагружении растяжением-сжатием. // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. — № 3. 2004. — Т. 70. — С. 1—9.

6. БагмутовВ. П., Кондратьев О. В. Прогнозирование усталостной прочности на основе расчетной кривой усталости // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. — №4. 2004.— Т. 70. — С. 1—5.

7. С т р и ж а л о В.А, Циклическая прочность и ползучесть металлов при малоцикловом нагружении в условиях низких и высоких температур. — Киев: Наукова думка, 1978. — 238с.

539.3

СВЯЗАННАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ БАЛКИ-ПЛАСТИНКИ ИЗ ПОРИСТОГО

МАТЕРИАЛА

Д-р физ.-мат. наук, проф. С. М. ШЛЯХОВ. асп. А. В. ЕФРЕМОВ, канд. техн. наук Э.Ф. КРИВУЛИНА

Получено решение конструкгцюнно-связаннои заОачи т с пл о про во д н о с т и и термоупругости для тел пори cm oil структуры. Учтено влияние зависимости коэффициента теплопроводности от напряжении. В основу решения положены вариационные принципы, реализация которых осуществлена методом конечных элементов.

In article the solution of the constructional-connected problem of thermal conductivity and thermoelasticitvfor bodies ofporous structure is receive. Influence ofdependence of coefficient of thermal conductivityfrom voltages is considered. In a basis of a solution, the variational principles which implementation is realised by a finite element method are supposed.

Многие элементы конструкций теплоэнергетического оборудования выполнены из материалов, полученных методом порошкового спекания или порошковой металлургии. Речь идет о жаростойких и тугоплавких материалах, как металлических, так и неметаллических — это карбиды различных металлов, графит, пенокерамика и т.д.

Структура таких материалов изначально пористая, причем пористость может быть как кажущаяся (не сквозная), так и сквозная (капиллярная).

Изделия из пористого материала выполняются методами прессования, при этом плотность материала и, следовательно, пористость распределяется по массиву самого материала неравномерно. Возникает изначальное нарушение гипотез сплошности и однородности материала, принимаемых в механике твердого деформируемого тела как основные.

Поскольку все чаще требуются решения задач механики деформируемого твердого тела именно для таких материалов, приходится возвращаться к гипотезе сплошности, но учитывать пористость введением поправок в исходные зависимости состояния материала, т.е. подходить к решению задач механики деформируемого твердого тела с позиции

N9 12

2007

механики неоднородных тел. При этом механические и теплофизические характеристики принимаются как некоторые функции пористости и температуры, законы изменения которых определяются экспериментально.

Сформулируем конструкционно-связанную задачу теплопроводности, т.е. учтем зависимость коэффициента теплопроводности от нормальных напряжений Х(Р(а),7). Это стало необходимым, поскольку пористость, строго говоря, не остается неизменной при наложении на твердое тело поля напряжений. Так как коэффициент- теплопроводности зависит от пористости, то поле температур становится зависящим от поля напряжений. В [1] имеются экспериментальные данные зависимости А. от напряжений сжатия близкой к линейной функции X = а - Ьа. Условимся в дальнейшем считать эту зависимость справедливой и для растяжения.

При этом для пористых огнеупорных материалов увеличение сжимающих напряжений на каждые Аа = 100 МПа приводит к увеличению коэффициента теплопроводности до 3" о (рис. 3). Минимальная, технологически получаемая пористость для тугоплавких материалов Р = 3 %.

Рассмотрим гонкую пластинку (балку-стенку) постоянного прямоугольного сечения, выполненную из пористого материала. Пластинка находится в одномерном поле температур под воздействием внутреннего теплового источника. Она может быть как закрепленной, так и свободной.

На верхней и нижней границах пластины поддерживаются постоянные различные температуры. Боковые поверхности теплоизолированы. Пористость материала переменна по высоте сечения. Теплофизические и механические характеристики зависят от температуры Т и пористости Р. Тепловой режим в пластине •— нестационарный.

Решение задачи теплопроводности сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения [2, 3]:

Здесь Х(Р(а), Т) — коэффициент теплопроводности как функция температуры, пористости и напряжения, Р( К) — объемная пористость, рС (Т, Р) — объемная удельная теплоемкость, ЩТ, Р) — удельная объемная мощность теплового источника.

В соответствии с [1, [4, 5] аппроксимируем ЦР{а), Т), 1¥(Т, Р) функциями

где —экспериментальные коэффициенты.

Решение нелинейного уравнения с переменными коэффициентами (1) ищется методом последовательных приближений [6], [7] на основе метода конечных элементов (МКЭ) [8].

Краевую задачу (1,2) заменяем эквивалентной ей вариационной с поиском минимума функционала в фиксированный момент времени /' для т-го приближения

(1)

при удовлетворении начальным и граничным условиям

при / = 0,7,(У) = 0, № = % при / > 0, Т = Т{ при У = 0, Т = Т2 при У = /?.

(2)

Я/(Т,Р) = - Р)(\ + у¡Т + у2Т2 + ...)

200.

Т=0

>1 . ■>•

г Г1 1 : 1

-Л > } 1 " 1 -П* /?

4 М \ ■ Л" ит , ' С/2 "

т г

! У

Рис. 1. Схема балки-пласгипки в одномерном поле температур

п

2 . Э>' .

■Ин/ОМ тНл/^ (»'-!)

Э/

б/у, т=1,

(3)

Для реализации минимума функционала (3) используем метод конечных элементов

(МКЭ) [8]. ,--

При т = 1 принимаем Х(0) (У) = - )3 , (У) - (1-/>). При т > 1 имеем

X'—1> (Г) = (л,0 - .Р)3 - Асг) (1 + р,^, +

»г(71,Р) = Ж0(1«/>)(1 + у|Г + у27'2+...).

Разбиваем пластину по высоте сечения И на п элементов (отрезков) /- 1, 2, + 1. Обозначая Т. - искомую температуру в /-ом узле, соответственно будем иметь Г = Г, при / = 1, Т - Г2 при / = я + 1. Рассматривая два смежных элемента 1 и 2, примыкающих к узлу л представим функционал У в виде суммы

где

>> -1 у,

Л = 1

ЭГ

Л (ш-1) 2

ЭГН

>Н1

со,......—Л, у, - -1 Т1т^(а'-%>,

ф, х2=|г(вЧмт^. у2 = -1 Г<'%/с-ц,

Э/

^{ш о __ + Ц= + ^ — средние по элементам коэффициен-ты теплопроводности, со, = р,су 4-ржС^»/2, со2 = рмС^ + р/+1С*^/2,

Ж, = + й^^уг, Ж2 = + 12 — средние по элементам мощности источников тепла. Другие элементы в сумме не учитываем, так как они не содержат узел /.

Аппроксимируем функцию температур в каждом из элементов линейным сплайном Ти+\ = т*-и ~ + Здесь через Ы)р ••■>№22 обозначены функции

Л^^.-УД, = М2^У-У/Ь2> Ы22 = , А,,- = ~ V,,

/?2, = .у, - . Выполняя процедуру Ритца, приходим к системе линейных дифференци-

альных уравнении вида

№ 12

+ А,ТМ - А6Т,-Л7 = 0.

(4)

Решение системы (4) ищем на основе разностной схемы Кранка-Николсона сведя ее к линейной алгебраической системе уравнений и используя метод итераций на каждом временном шаге. Вводя разностный аналог согласно [8], получим окончательно алгебраическую систему уравнений относительно узловых температур

Т{

а,

<"«:++ф;>4+^г'Ч+Ф!:к+км

где

О),//, + со2/г, + '

ЗАг А,А2

¿7, =

7 ШД + С02/?2 4- ^

ЗДГ

А, А,

/ = 2,...,и, (5)

' ^ о)т!ь 4

ЗА/

^ =

' А,, со,А, ^ (К со,//, ^ со,А. ^

, а5 = > ан =

1/72 ЗД' ) и ЗА? , ' О И. ЗА/

Решение системы (5) на каждом временном шаге ищется итерационным методом Гаусса—Зейделя до сходимости с заданной точностью. Далее уточняем теплофизические характеристики и повторяем решение на следующем временном шаге, итерации повторяем до сходимости двух приближений по гп: (Т{"'1 -Г(т"1))/Г(",) 100% < е .

Для поиска нормальных температурных напряжений в балке-стенке исходим из посылки, что длина бруса велика и краевыми эффектами можно пренебречь. В этом случае с достаточной точностью можно использовать прием, основанный на принципе освобождаемое™ от связей [9, 10].

При полном закреплении пластинки по краям в ней возникнут напряжения, обусловленные стесненным тепловым расширением [10]

аХу) = -Е(у)а(Т)Г(у),

(6)

где а{Т) — средний в рабочем диапазоне температур коэффициент линейного расширения материала как функция координаты г; Е(У) — переменный по высоте сечения модуль Юнга, зависящий от пористости и температуры.

На основании [4] представим модуль Юнга следующей функциональной зависимостью:

Е(у) = Е(Т)Е(Р), (7)

где Е(Т) = Е0(1 + Ь1Т + Ь1Т2), Е{Р) = \ + ахР + агР2.

Входящие в (7) коэффициенты определяются экспериментально. Заметим, что координатная ось д- проходит по нейтральному слою сечения так, что у = У-

Нормальные напряжения (6) вызывают в сечении продольную силу N и момент А/, определяемые по абсолютному значению так:

¿(14) -ляЧ)

А; = -Л | о':(у)Л)\ М --Ь | а'Лу)ус/у* (8)

где ^ — определяет положение нейтральной оси [11].

ИТ!»

ИМ.Н.Э-БАУМАНА

Библиотека

№ 12 2007

Если освободить брус от связей, то для расчета действительных напряжений необходимо к напряжениям (6) добавить напряжения a"(v), а"( v), обусловленные силой N и моментом М. Согласно (8)

Для поиска напряжений ст" , обусловленных силой N, используем следующий прием. Разбиваем брус по высоте на п слоев постоянного сечения А. - bh. (рис, 1) с постоянными физико-механическими характеристиками по слою Е. = const. Распределим продольную

силу N по слоям, т. е. Nl + N2 + ...= N. Так как Д/у = NiL/EiAi, то из уравнения равно-

/ " Е А

весия и условий совместности деформаций получим N{ - N» соответственно напряжения а" будут равны ' 1

N . . _

а.-(0 ~ / = 1»2.....

лУ- к

1 F

,=> ЕЛ

10

20

30

40

50

60

•600 -S00 -400 -300

Х=а-Ьа

Рис. 2. Закон изменения пористости

Рис. 3. График зависимости теплопроводности от напряжении

Считая брус многослойным, с постоянными характеристиками по толщине слоя и следуя [11], положение нейтральной линии из условия равенства нулю продольной силы при чистом изгибе бруса определим так:

0,5 £Д2 + Х£Д

0.5Л;+5>,

А' = 1

E,h,

/=1

Соответственно по теории изгиба многослойного бруса [11] будем иметь

Е{у)уМ

а

I*.

btf 12

+ bhiy],

№ 12

200;

На основании полученных решений, используя принцип суперпозиции, получим расчетные формулы для температурных напряжений в стержне при различных способах его закрепления:

N Е{у)уМ

G,00 = -Е(у )а(Т)Т( Y) +

F А

/=1

bh и 2 + bk v(;

12

(9)

При наличии подвижной заделки, разрешающей радиальное перемещение, но запрещающей поворот, в (9) убирается последнее слагаемое. В случае жесткой заделки в (9) остается лишь первое слагаемое. После определения поля напряжений на первом шаге, уточняется коэффициент теплопроводности как функция напряжений Х(Р(а), Т) заново решаем задачу теплопроводности для второго шага по времени, а затем и термоупругости. Количество шагов по времени регламентируется достижением установившегося режима. Из полученного решения (9) как частный случай вытекает решение для однородной задачи термоупругости для балки-пластинки [9].

Проведем практическое исследование полей температур и напряжений балки-пластинки, выполненной из пористого железа. Высота пластины h ~ 0,02 м, ширина — произвольная (/; << /7).

Температурное поле вызвано внутренним тепловым источником с удельной объемной мощностью JV0 = 275000 . Fla верхней границе сечения пластины поддерживает-

м • К

ся постоянная температура Т~ 120 °С, на нижней границе Т-20 °С. Боковые поверхности теплоизолированы, Закон изменения пористости от высоты сечения имеет линейную зависимость Р ~ 0,006;; — 0,006 (рис. 2).

С 100

•100

Неа».-СоизХ-

Рис. 4. Поле температур

Рис. 5. Поле напряжений для пластины, закрепленной по схеме скользящей заделки

Количество разбиений по толщине Л принято п = 50. Поля температур и напряжений (рис. 3—5) при связанной постановке задачи представлены для моментов времени 1 и 3 с. Для сравнения приведены значения в случае несвязанной задачи соответственно для 1 и 3 с. Поля напряжений приведены для случая закрепления пластинки по схеме скользящей заделки рис. 5. На графиках по оси абсцисс показан номер конечного элемента.

Таким образом, нами оценено влияние закона изменения пористости, темпера-туры и способа закрепления пластинки на НДС. Установлено, что роль пористости, термочувствительности и связанности при нестационарном режиме нагрева существен-

№ 12 2007

но и требует обязательного учета ее при расчетах НДС и проектировании различных конструкций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Литовский Е. Я., П у ч к е л е в и ч H. А. Теплофизические свойства огнеупоров. — М.: Металлургия, 1982. — 152 с.

2. К о з д о б а Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. — М.: Наука, 1975. — 228 с.

3. ШнейдерП. Инженерные проблемы теплопроводности. — М.; ИЛ, 1960. — 479 с.

4. К а ш т а л я н Ю. А. Характеристики упругости материалов при высоких температурах. — Киев: Наукова думка, 1970. — 112 с.

5. 4 и р к и н В. С. Теплофизические свойства материалов. — М.: Мир, 1970. — 356 с.

6. Ш л я х о в С. М., Кривулина Э. Ф. Задача термоупругости для балки-пластины из пористого материала в одномерном поле температур / Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. научн. сб. — Саратов: СГТУ, 2003. —- С. 58—63.

7. Ш л я х о в С. М., Ефремов А. В. Термоупругое состояние балки-пластины из пористого материала в нестационарном поле температур /Авиакосмические технологии «АКТ-2006»:Труды седьмой Международной научно-технической конференции. — Воронеж; изд-во Воронеж, гос. гехн. ун-т, 2006. — С. 355—360.

8. Сегерлинд Л а р р и Д ж. Применение метода конечных элементов / Под ред. Б. П. Победри. — М.: Мир, 1979. — 392 с.

9. Т и м о ш е н к о С. П., Г у д ь е р Д ж. Теория упругости / Под ред. Г. С. Шапиро. — М.: Наука, 1979. — 560 с.

10. Г е й т в у д Б. Е. Температурные напряжения. — М.: Изд-во И. Л, 1959. — 349 с.

П.Королев В. И. Упруго-пластические деформации оболочек. — М.: Машиностроение, 1971. — 304 с.