ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТРА, ПОКРЫТИЯ СДВИГАМИ И ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 4 (2023). С. 30-41.

УДК 517.547.22 : 514.17

задача сильвестра, покрытия сдвигами и теоремы единственности для целых функций

Г.Г. БРАЙЧЕВ, Б.Н. ХАБИБУЛЛИН, В.Б. ШЕРСТЮКОВ

Аннотация. Идея написать заметку возникла в ходе обсуждения, последовавшего за докладом первого автора на Международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа - 2022». Предложены три общих способа построения множеств единственности в классах целых функций с ограничениями на рост. Во всех трех случаях в качестве такого множества выбирается последовательность нулей целой функции со специальными свойствами. Первый способ связан с известной проблемой Сильвестра о наименьшем круге, содержащем заданный набор точек на плоскости, и теоремами выпуклой геометрии. Второй исходно опирается на теорему Хелли о пересечении выпуклых множеств и ее применения к возможности покрытия одного множества сдвигом другого. Третий способ основан на классической формуле Иенсе-на, позволяющей оценить тип целой функции через усредненную верхнюю плотность последовательности ее нулей. Мы даем сейчас только базовые результаты. Развитие наших подходов предполагается изложить в последующих работах.

Ключевые слова: задача Сильвестра, теорема Юнга, теорема Хелли, множество единственности, тип целой функции, последовательность нулей, индикатор целой функции, усредненная верхняя плотность, формула Иенсена, индикаторная диаграмма, наименьший круг.

Mathematics Subject Classification: 30D15, 52А10

1. Предварительные сведения. Формулировка и обсуждение результатов

1.1. Множества единственности для классов целых функций экспоненциального типа с ограничением на тип. В 1857 году английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр в сообщении [1] поставил следующую задачу. Для заданного конечного набора точек плоскости требуется найти круг наименьшего радиуса, содержащий эти точки. Задача Сильвестра затем неоднократно обобщалась вплоть до абстрактной постановки для произвольного множества в метрическом пространстве. Изложению современного состояния вопроса в русле теории аппроксимации, включая приложения, посвящен, к примеру, обзор [2]. Важную роль в развитии проблематики сыграла доказанная в 1901 году теорема Генриха Юнга [3], согласно которой любой расположенный на комплексной плоскости C компакт К диаметра d := maxj \z1 — z2\: z1 ,z2 E К} можно поместить в замкнутый круг радиуса d/y/3. По каждому плоскому компакту К соответствующий замкнутый круг наименьшего радиуса г находится однозначно, но существует проблема точного вычисления величины г через подходящие геометрические характеристики компакта К. Для одноточечного компакта такой круг очевидно вырождается в ту же точку, т.е. г = 0. За

G.G. Braichev, B.N. Khabibullin, V.B. Sherstyukov, Sylvester problem, coverings by shifts,

and uniqueness theorems for entire functions.

© Брайчев Г.Г., Хабибуллин Б.Н., Шерстюков В.Б. 2023.

Работа второго автора выполнена в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (код научной темы FMRS-2022-0124).

Поступила 6 марта 2023 г.

исключением этого тривиального случая всегда г > 0, Простые примеры (отрезок и правильный треугольник) убеждают в точности двусторонней оценки d/2 ^ г ^ d/л/Э, спра-

болыней стороны, что меньше радиуса описанной окружности. Прекрасное элементарное введение в соответствующий раздел выпуклой геометрии дано в [4], [5].

Раскроем связь задачи Сильвестра с вопросами единственности в традиционных классах целых функций одной переменной. Символом N обозначаем множество всех натуральных чисел, В основном используем стандартную для теории целых функций терминологию и обозначения [6], Для целой функции / на C полагаем

М(/; г) := max |/(А)| = max |/(А)|, г ^ 0.

In М(/; г) а(/) := Im -

r^+те т

конечен. Величину ст(/) называем (экспоненциальным) типом целой функции /,

Целая функция f обращается в нуль на, последовательности Л = |Ara}raeN комплексных чисел Ап, если кратность нуля функции / в каждой точке A G C не меньше числа точек Ап из Л, равных А, Если кратность нуля функции / в каждой точке A G C совпадает с числом точек Ага из Л, равных А, то Л — последовательность всех пулей функции /, обозначае-

Л( ) Л

некоторого класса целых функций, если всякая функция из этого класса, обращающаяся

ЛЛ для этого класса,

_ ln| f(r eie )|

h(/; в) := lim 1П U ( ' )|, 0 ^ в ^ 2тг. (1.1)

г^+те f

Если в этом определении для фиксированного 9 при г ^ вне некоторого множества

функция вполне регулярного роста на луче arg А = в. Функция имеет вполне регулярный рост (в смысле Левнна-Пфлюгера), если такой специальный предел существует для любого в из отрезка [0, 2^],

ма — выпуклый компакт, определяемый как

D(f):= П (А G C : Re (Ае) ^ h(/; 0)} .

^ а « с : ле (АГ гвл

Отметим универсальное для всех целых функций экспоненциального типа равенство

«жь ад = ^

Для числа а > 0 через ЕП;[1, а) обозначаем класс мех целых функций f экспоненциального типа а($) < а. Очевидно, если Л — множество единственности для класса ЕП;[1,а), то оно таково же и для любого класса ЕП;[1, а'), когда 0 < а' < а. Ясно также, что если Л

Л

ноети ни для какого класса ЕП;[1, а) Требованием Л = (Ага}гае^ такая ситуация исключена из определения множества единственности. Поэтому в формулировках наших результатов

нулей, образующих последовательность Л(/), Для определенности элементы этой последовательности нумеруем в порядке возрастания их модулей и с учетом кратноетей. Наш первый результат состоит в следующем.

Теорема 1.1. Пусть / ф 0 — целая функция экспоненциального типа, вполне регулярного роста, а r(f) — радиус наименьшего круга, содержащего индикаторную диаграмму ). Последовательность Л(/) — множество единственности для, Еп1[1,а), если, и только если, а ^ r(f).

Подчеркнем, что ранее в подобных утверждениях вместо геометрической характеристики г(}') обычно использов^ись какие-либо плотности последовательности Л(f), Укажем также на возможность переформулировки приведенной теоремы в терминах радиуса полноты соответствующей экспоненциальной системы. Теоретическая база для такого перехода и основные результаты в этом направлении по состоянию к 2012 году подробно изложены в монографии-обзоре [7].

Рассмотрим два примера, в которых действие теоремы 1,1 отличается простотой и наглядностью, Более сложные конструкции, охватываемые этой теоремой, можно извлечь, например, из [8], [9].

Пример 1. Возьмем целую функцию экспоненциального типа вполне регулярного роста f (А) = в1пжА. Тогда Л(f) = Ъ — множество всех целых чисел, ) — отрезок мнимой лес

оси с концами в точках ± жг. Здесь г(}') = ж. Применив теорему 1,1, получим известный результат Ф. Карлсона [10] о том, что Ъ является множеством единственности в классе Епф,^).

Пример 2. Пусть каноническое произведение / построено по множеству Л, составленному из ± П и ± гМ, где П = [ип}пем и М = {^п}пем суть возрастающие последовательности положительных чисел с плотностями ш и ^ соответственно, т.е. существуют пределы

п п

11т — = ш > 0, 11т — = у > 0.

Тогда индикаторная диаграмма ) — прямоугольник | И,е А| ^ ж^, 11т А| ^ жш, и на основании теоремы 1,1 заключаем, что Л(f) = Л — множество единственности в классах Еп1[1,ст), где а ^ г(/) = ж\]ш2 + ,

Теорема 1,1 в сочетании с теоремой Юнга дает такое утверждение.

Следствие 1.1. Пусть целая, функция / такая же, как в теорем,е 1,1, ив, — диаметр индикаторной диаграммы ). Если 0 < а ^ <1/2, то Л(/) — множество единственности для Еп^1, а), а если а >

'то Л(/) — множество неединственности для

Епф,а).

Действительно, если 0 < а ^ ¿/2, то теорема Юнга дает г(}') ^ ¿/2 ^ а, и Л(f) — множество единственности для Еп^1, а) то теореме 1,1, Если < а, то по теореме

Юнга г(/) ^ < а, Согласно теореме 1,1 это означает, что Л(/) — множество неединственности для Еп^1,а),

1.2. Множества единственности для классов целых функций экспоненциального типа с ограничением на индикатор. Перейдем к теоремам единственности для классов целых функций f экспоненциального типа с ограничениями на их рост не только в отношении типа, но и применительно к более тонкой характеристике — индикатору (1.1), который удобно продолжить 2^-периодически на всю вещественную ось К и обозначать

далее как hf (в) У Л,(/; в), где в е К.

Порядковое пополнение множества R верхней и нижней гранями

:= sup R = inf 0 G R и — œ := inf R = sup 0 G R,

где 0 — пустое множество, определяет расширенную вещественную ось R := RU{±œ}, где, в дополнение к стандартным операциям, полагаем 0 • (±œ) = (±œ) • 0 := 0, Для опорной функции произвольного подмножества S Ç C используем обозначение

hs(0) := supRe(se-ie) G R, 0 < R, (1.3)

ses

которое не должно вызвать разночтений с обозначением hf для индикатора, поскольку в последнем случае нижний индекс / — это функция, а в (1.3) нижний индекс s ~ эт0 множество.

Пусть 2^-периодическая функция H : R ^ R тригонометрически выпуклая [6], [11], т.е.

H (0) ^ sin?2 -п\ H (в i) + sin(f - в}\ H (0 2) при всех 0 G (0 1,02) с R 0 < в2 — Вх <ъ. Sin( 0 2 — 0i) Sin( 0 2 — 0i)

Каждая такая функция H — опорная функция выпуклого замкнутого в C множества

DH := {z G C : Re(ze-ie) ^ H(0)}, (1.4)

H

H (R) с R. Отметим, что для любого S Ç C опорная функция hs из (1.3) тригонометрически выпуклая 2^-периодическая, а если множество S = 0 и ограничено в C, то опорная функция hs конечна.

C

ние трех замкнутых (соответственно открытых) полуплоскостей, для которого в случае

C

костей.

Через Ent[1, H] обозначаем класс всех целых функций / экспоненциального типа с индикатором hf (0) ^ H(0) при каждом 0 G R. Множества (не)единетвенноети для таких классов функций, выделяемых ограничениями на индикатор, подробно рассматривались в обзоре [7, гл. 3]; в терминах предельных множеств для целых и субгармонических функций исследовались в монографии B.C. Азарина [12, гл. 6] 2009 года, а после этого детально и в более общей трактовке, зачастую в субгармонических версиях, изучались в работах [13, раздел 3], [14, теоремы 2, 4, 5], [15, теорема 3].

В следующем критерии ключевое утверждение о множестве единственности размещено в конце, поскольку это удобно для более слаженного структурирования доказательства.

Теорема 1.2. Если целая, функция f такая же, как в теорем,е 1.1, a H : R ^ R — 'тригонометрически выпуклая 2ж-периодическая функция, то равносильны, следующие пять утверждений.

I. Нет сдвига, индикаторной диаграммы D(f), содержащегося в DH из (1.4). II. Существуют два замкнутых треугольника — содержащий DH и содержащийся в D( )

треугольник.

III. Существует тройка чисел, z1, z2, z3 G C со свойств ом, z1 + z2 + z3 = 0, для, которой

3

£

3 = 1

\h\ hD(f)(argzi) > 1 zi1 H(argzi). (L5)

IV. Существует в « Е, для, которого hf (0) + hf ( 0 + ж) > Н(0) + Н(0 + ж), или существует тройка 01, 02, 0з « Ш, для которой разность 02 — 9\ не кратна ж и выполнено

неравенство

h (й ) Sin(^ - д2) + h . + h ) sin(gi - ^ (0l) Sin(02 - 01) + hf (93) + hf Ш Sin(02 - Öl)

>H(9l) Sin^ - ) + H(в3) + H(в2) Sin(02 - 0!) • V, Последовательность А(/) — множество единственности для класса, Ent[1, Д].

Через Ent[1, Н) обозначаем класс мех целых функций f экспоненциального типа с индикатором h/(0) < Н(д) для любого д Е R, Так, при Н(0) = и > 0 класс Ent[1, Н) — это предыдущий класс Ent[1,a), обсуждавшийся в подразделе 1,1, Если выполнено дополнительное условие

inf (Н(0) + Н(в + *)) > 0, (1.6)

то Н — опорная функция непустой выпуклой области

Он := {z Е C: Re(ze-ie) < Н(0)}, (1.7)

а класс Ent[1,#) содержит непостоянные функции. Из теоремы 1.2 вытекает такой факт.

Следствие 1.2. Пусть целая, функция f такая же, как в теорем,е 1.1, а Н: R ^ R — тригонометрически выпуклая 2ж-периодическая функция, подчиненная условию (1.6). Тогда, попарно равносильны, следующие шесть утверждений.

I. Нет сдвига, индикаторной диаграммы D(f), содержащегося в Он из (1.7). II. Для, любого числа с Е (0,1) С R существуют описанный вокруг сОн открытый треугольник и замкнутый треугольник, содержащийся в D(f), для, которых любой сдвиг открытого треугольника не содержит в себе замкнутый треугольник.

III. Для любого с Е (0,1) существу ют z1 ,z2,z3 Е C с z1 + z2 + z3 = 0 1^1 + k2| + k3| = 0 и

33

Y1 lzj1 hWar§ ^ ) ^ lzi1H (arg %). (L8)

3 = 1 3 = 1

IV. Для, любого с Е (0,1) существу cm в Е R, для, которого

hf (0) + hf(в + ж) > сН(в) + сН(в + ж), или, существует тройка д1,в2,в3 Е R, для, которой разн ость в2 - 61 не крат на, ж и

h (Й ) Sin(^3 - 02) + h ) + h ) Sin(^1 - ^ hf (в1) Sin(02 - 01) + ^(в3) + ^(в2) Sin(02 - 01)

> гЧ(й ) Sin(^3 - 02) + „(й )+ „(й ) Sin(01 - 03) ^ СН(в1) Sin(02 - 01) + СН(в3) + СН(в2) Sin(^1 - 6J •

V. Последовательность А(/) — множество единственности в Ent[1,c#] при любом, с Е (0,1).

VI. Последовательность А(/) — множество единственности для, класса, Ent[1,#).

Следствие 1.2 будет выведено из теоремы 1.2 после ее доказательства в разделе 2.

1.3. Множества единственности для классов целых функций произвольного порядка роста. Дадим результат иного характера, допускающий достаточно произвольный рост целых функций. Напомним, что порядком целой функции f называется величина

' ж) := lim lnln мш.'

ln Г

Как показал еще Валирон, для всякой целой функции f конечного положительного порядка р найдется неограниченно возрастающая дифференцируемая на некотором луче

положительной полуоси функция v(г), называемая далее весовой, для которой существует предел

lim ^ = р, (1.9)

и (г)

и величина

— In М(/; г)

V (г)

конечна и положительна. Исходное утверждение Валирона было распространено на целые функции нулевого и бесконечного порядков (см. [16]). Тем самым для любой целой функции f порядка р, где 0 ^ р ^ найдется такая весовая функция v с условием (1.9), что

0 < а,(/) := Hm 1П М({; Г) < (1.10)

и (г)

Величину ст, (f) называвм v-типом целой функции f. Различным подходам к описанию роста целых функций посвящена гл. II диссертации [17], и там же приведена обширная библиография.

В дальнейшем всегда считаем, что функция v возрастает к удовлетворяет (1.9)

с некоторым заданным значением 0 ^ р ^ и такова, что

1nг = o(v(г)), г ^ (1.11)

Пусть Л = (Лга}гаеN — произвольная последовательность комплексных чисел без конечных предельных точек, упорядоченная по возрастанию модулей. Обозначаем через пл(г) = max[п: |An| ^ г}, где г ^ 0, ее считающую функцию, а усредненную считаю-Л

г

NA(r) = J Mt) - Пл(0) dt, r> 0. 0

Если число е > 0 меньше модуля первого ненулевого члена последовательности Л, то

г

Mr) = J ^^ dt - пл(0) 1n -£, r>£.

£

В качестве асимптотической характеристики величины Мл(г) рассматриваем усредненную верхнюю р-плотность

г

д;(л):= nm irm -L /^лй dt (i.i2)

у (г) у (г) J t

£

при указанном выборе значения е. Равенство верхних пределов в (1.12) основано на (1.11).

Для а > 0 через Ent[^, ст) обозначаем класс всех целых функций, ^-тип которых меньше, чем а. Благодаря (1.11) класс Ent[^, ст) содержит функции, отличные от многочленов. Классическая формула Йенеена [6, гл. I, § 5] позволяет записать неравенство

ст, а) ^ д*(л), (из)

связывающее ^-тпп (1,10) целой функции f с усредненной верхней ^-плотностью (1.12) последовательности ее нулей Л = Л(f), Следующий простой и одновременно достаточно общий факт непосредственно вытекает из неравенства (1.13), но нам в литературе не встречался.

Теорема 1.3. Если и-тип целой функции f с последовательностью нулей Л := А(/) и усредненная верхняя, и-плотность последовательности Л совпадают и не равны, нулю, т.е.

0 < о := а,(/) = Д;(Л), (1.14)

то Л — множество единственности для, Ent[u, а), но не является, та,ковы,м, для, Ent[u, а') при любом, а' > а.

Обсудим, насколько существенным в теореме 1.3 является требование, чтобы последоваЛ

классы целых функций нулевого порядка, когда значение р в условии (1.9) равно нулю. Подходящими примерами весовых функций, удовлетворяющих также (1.11), здесь служат и (г) = exp(lna г) с параметром а Е (0,1) и и (г) = ln^ г с параметром ß > 1. В таких случаях для каждой последовательности Л конечной усредненной верхней и-плотноети Дг*(Л) > 0 существует целая функция f с нулевым множеством Л(/) = Л. Такая функция задается каноническим произведением Вейерштрасса-Адамара. При этом, как показано в диссертации [17, § 2.2], справедливо равенство (1.14). С учетом сделанных замечаний из теоремы 1.3 извлекаем такое утверждение.

Следствие 1.3. Пусть возрастающая к функция и удовлетворяет условию (1.9) со значением р = 0 и условию (1.11). Тогда, любая, последовательность комплексных чисел, с конечной усредненной верхней и-плотностью Дг*(Л) =: а > 0 является, множеством единственности для, класса, Ent^, а).

Для функций конечного положительного порядка ситуация иная. Если весовая функция и удовлетворяет условию (1.9) с конечным р > 0 (тогда и (1.11) выполнено), то

Л

ии

Л

конечного и-типа, если р — нецелое число. Если же число р является целым, то для поЛ

духе условия Линделефа [18].

Важно отметить также, что при р > 0 условие (1.14) в теореме 1.3 является довольно жестким, «заставляя» целую функцию f иметь постоянный и-индикатор

_ ln| f (reie )|

hv(f; в) := lim IJ ( * )| = a, 0 ^ в ^ 2ж. (1.15)

и (г)

Фактически, простая идея привлечь свойство (1.14) к вопросам единственности была заложена в обзоре [19, раздел 2], где имеется и дополнительная информация, связанная с ограничением (1.15).

При фиксированном а > 0 условие (1.14) выделяет в классе целых функций, имеющих и-тип av(f) = а, те, у которых последовательность нулей Л(f) имеет максимально вози

рующее связь между теоремами 1.1 и 1.3. Пусть f — целая функция экспоненциального типа с a(f) = а > 0. Предположим, что последовательность ее нулей Л := Л(f) измерима, т.е. существует предел

Д*(Л) := lim ^,

причем выполнено равенство Д*(Л) = а. Тогда (см. [19, раздел 2]; см. также [20]) f имеет вполне регулярный рост, а индикаторная диаграмма D(f) в точности совпадает с содержащим ее наименьшим кругом {А Е C: |А| ^ а = r(f)}, По теореме 1.1 такая последовательность Л образует множество единственности для класса [1,0").

Проверить равенство (1.14) можно непосредственно по тейлоровским коэффициентам и нулям целой функции /, выразив его в этих терминах, следуя [17, гл. 2] и [20].

Следствие 1.4. Пусть строго возрастающая к функция и удовлетворяет условию (1.9) с конечным, значением р > 0 р — обратная, к и функция, а, Л = {Лп}пеМ —

те

последовательность всех нулей целой функции /( Л) = ^ апЛп, Л Е С. Если, выполнено

те

\п

мп

п=0

условие

Иш р(п) =Ит <р(п) = (аер)^,

п^те ^ Л Л2 ... Лп| п^те

то Л является множеством единственности для, класса, ЕП;[и, а)

2. Доказательства основных результатов

Доказательство теорем,ы, 1.1. В случае г(/) = 0 индикаторная диаграмма ^(/) = {а} — одноточечное множество, а а > г(/) = 0, При этом Л(f) не является множеством единственности для ЕП;[1, а), поскольку ненулевая целая функция Л i—> f(Л) е_аХ (черта озна-

Л( )

и принадлежит классу ЕП;[1, а) при любом а > 0. Видим, что в этом случае теорема 1.1

( ) > 0

Покажем, что в условиях теоремы 1.1 последовательность Л( /) является множеством единственности для класса ЕП;[1, г(/)) и не является таковым ни для какого класса ЕП;[1, а) при а > г(/), Пусть а Е С — центр наименьшего круга радиуса та).; содержащего индикаторную диаграмму И(/) функции /, Рассмотрим функцию ¿_а(Л) = f(Л) е_аХ.

ЛЕС

Эта целая функция также имеет экспоненциальный тип, и ее индикаторная диаграмма И( /_5) лежит в круге

{Л е С: |Л| ^ г(/)}. (2.1)

Учитывая экстремальный характер такого круга и свойство (1.2), заключаем, что экспоненциальный тип а( /-^вспомогательной целой ф ункции /_а равен та). Поскольку /-а Е ЕП;[1, а) при любом а > г(/), то последовательность Л(/_5) = Л(f) не является множеством единственности для ЕП;[1, а) при любом а > г(/). Обратим внимание, что необходимая часть теоремы справедлива без дополнительного требования о регулярности

гулярный рост. Покажем, что последовательность ее нулей Л( /) образует множество единственности для класса ЕП;[1,г(/)), где г(/) — радиус наименьшего круга, содержащего индикаторную диаграмму Д(/), Как и выше, работаем со вспомогательной функцией /_„, имеющей ту же последовательность пулей, что и /. Индикаторная диаграмма И(/_„) содержится в круге (2.1), но не может быть помещена ни в какой круг меньшего радиуса.

Пусть Р Е ЕП [1, г(/)) и Р обращается в нуль на Л(/), Тогда частное д(Л) = Р(Л)//_а(Л)

Лес

задает целую функцию экспоненциального типа. Поскольку /_„ имеет вполне регулярный рост, то действует правило сложения индикаторов

%¡_-а; 9) = 9) + К(¡_-а; 9) = К(Р; 9), 0 ^ ¿К 2тт. (2.2)

Экстремальный по отношению к выпуклому компакту И(/_5) характер круга (2.1) показывает, что реализуется хотя бы одна из следующих ситуаций. 1. Найдется направление 9 0 Е [0,^], для которого

Н( /_а; во) = К /_а; 9о + п) = а( /_5) = г(/).

Ввиду (2,2), с учетом (1.2) и выбора F, в таком случае имеем

h(g; е0) = h(F; е0) - h(f-a; e0) ^ a(F) - r(f) < 0, h(g; до + ж) = h(F; до + ж) - h(f-<¡; ^с + п) ^ a(F) - r(f) < 0.

Здесь h(g; 9с) + h(g; 9с + < 0, что по известному свойству индикатора не может выполняться для отличной от тождественного нуля функции д.

2, Найдутся такие три направления 61 < в2 < 93 на [0, 2^], что

в2 - в1 < ж, в3 - в2 < ж, в3 - 01 > ж,

и для которых h(f-a; dl) = h(f-a; 62) = h(f-a; 93) = a(f-a) = r(f), В этом случае, снова привлекая (2,2), получим, что значения h(g; в) будут отрицательными при 9 = где j = 1, 2, 3, Расположение указанных точек позволяет из общих свойств индикатора заключить, что и в этом случае д(Х) = 0, Таким образом, в любом случае д(Х) = 0, откуда и F(Л) = Следовательно, Л(/) — множество единственности для класса Ent[l,r(/)), Теорема 1,1 доказана, □

Доказательство теоремы 1,2. Сначала докажем равносильность отрицаний утверждений V и I, Пусть для некоторого a G С сдвиг D(f) + а содержится в Dh- Это означает, что индикаторная диаграмма целой функции /а(А) = f (Л) еаХ лежит в выпуклом компакте

aGC

Dh, т.е. выпуклый компакт D(/а) содержится в выпуклом компакте Dh- По определению индикаторной диаграммы это влечет за собой неравенство hf_ (в) ^ Н(в) при каждом 9 £ R Следовательно, Л(/„) = Л(/) — множество неединственности в классе Ent[1, Н].

Обратно, пусть Л(/) — множество ^^единственности для Ent[1,H], Тогда существует ненулевая целая функция F экспоненциального типа, обращающаяся в пуль па последовательности Л(/), для штор ой hF (0) ^ Н (в) при каждом 9 £ R Это означает, что индикаторная диаграмма D(F) содержится в Dh и F та функцию /, т.е. F = gf для некоторой ненулевой целой функции д. При этом д — целая функция экспоненциального типа как отношение таковых. Поскольку f вполне регулярного роста, то по известной теореме о сложении индикаторов так же, как в (2,2), получаем hf (в) + hg (в) = hgf (в) = hF (0) ^ Н (в) для всех 9 £ R Последнее па языке индикаторных диаграмм и выпуклого компакта Dh с опорной функцией Н означает, что D(f) + D(g) С Dh- В частности, для любой точки z £ D(g) имеет место включение D(f) + z С Dh- Таким образом, некоторый сдвиг D(f) лежит в Dh- Равносильность утверждений V и I доказана.

При доказательства эквивалентности утверждения I оставшимся трем утверждениям II—IV снова будем оперировать их отрицаниями. Основную роль сыграет следующий результат из [21].

Теорема 2.1 ([21, теорема 2]). Пусть С — выпуклое ограниченное множество в С, S — сем,еи,ство множеств из С, a, S — объединение всех множеств из S. Допустим, что С — замкнутое или S — открытое множество. Тогда, следующие четыре утверждения попарно эквивалентны:

(i) некоторый сдвиг множества S содержится, в С;

(ii) для, любого набора трех множеств Sl,S2,S3 из S и любого замкнутого непустого треугольника, описанного вокруг С, найдется точка z £ С, для, которой все 'три сдвига, Sl + z,S2 + z,S3 + z содержатся в этом, треугольнике;

(iii) для, любого набора трех множеств Sl,S2,S3 £ S и для, любых наборов трех вещественных чисел, д1,в2,в3 £ R и чисел, ql,q2,q3 ^ 0 при у слов ии qletdl + q2e%e'2 + q3ée'A = 0 имеет место неравенство

qihsi(di) + q2hS2(62) + ^ qihc(di) + q2hc(О2) + q3hc(63);

(Ь') для, любого набора трех множеств Я2, 53 Е § и для, любого набора чисел, вг, в2, в3 Е Ж, если всякая разность из этого набора чисел, кратна, ж, то при в^ — вк, не кратном 2ж, имеет место неравенство ^^х (@к) + ^ () ^ Ъс (вк) + Ъс (), а если разность в2 — Ох не кратна ж, то справедливо неравенство

Ъ ( п ) 81п(^3 — 02) + Ъ (Й), Ъ (й) 8Ш(вг — вз)

(вг) 81п(02 — 01) + ^ (в3) + ^ ^2) 81п(02 — 01)

< Ъ (й) 81п(^3 — в2) + Ъ (п ) + Ъ (й) ^ 1 — ^ ^ ЪС ^г) 81п(02 — ^ + ЪС (в3) + ЪС (в2) 81п(02 — 0,) .

Положим 5 := Д(/) и С := Дя- При таком выборе оба множества 5 и С — выпуклые С

утверждения I теоремы 1,2,

Перейдем к утверждению (и). В теореме 2.1 можно мыслить 5 как объединение всех множеств из семейства § = {{з}: 5 Е 5} всех одноточечных множеств, содержащихся в 5, Тогда утверждение (и) будет означать, что для люб ой тройки точек в2, 83 Е 5 и

С Е С

для которой все три сдвига + г, 5 2 + г, 5 3 + г содержатся в этом треугольнике, В силу выпуклости 5 это значит, что любой замкнутый треугольник с произвольными вершинами ^ 2, 83 Е 5 сдвигом можно поместить в упоминавшийся описанный вокруг С замкнутый треугольник. Отсюда легко видеть, что утверждение (11) — это отрицание утверждения II теоремы 1.2 при указанном выборе семейства §,

Перейдем к (Ш), В теореме 2,1 можно мыслить 5 как объединение всех множеств из семейства § = {5}, состоящего го одного множества 5, Тогда утверждению (Ш) будет означать, что для любой тройки комплексных чисел в полярной форме = дг егвх, г2 = егв2, %3 = д3^%вз ПРИ условии + г2 + г3 = 0 имеет место нестрогое неравенство, противоположное строгому неравенству (1.5) из утверждения III теоремы 1,2, Таким образом, (Ш) — это отрицание III теоремы 1.2.

Перейдем к (гу). В теореме 2.1 снова можем рассматривать 5 как объединение всех множеств из семейства § = {5}, состоящего го одного множества 5, т.е.

= 52 = 53 = 5 в двух нестрогих неравенствах утверждения (Ь'), которые противоположны строгим неравенствам из утверждения IV теоремы 1.2. Таким образом, утверждение (Ь') — это отрицание утверждения IV теоремы 1.2.

По теореме 2.1 утверждения (1)—(Н') в описанных выше в доказательстве версиях эквивалентны, а значит, равносильны и их отрицания I IV из теоремы 1.2. Таким образом, теорема 1.2 доказана. □

Вывод следствия 1.2 из теоремы 1.2. Обоснуем сначала эквивалентность утверждений V и VI следствия 1.2 через эквивалентность их отрицаний. Отрицание утверждения VI следствия 1.2 — это то, что Л := Л( /) есть множество неединственности для класса Еп^1, Н), Другими словами, существует целая функция Р = 0 экспоненциального типа, обращающаяся в пуль па Л, с индикаторной диаграммой-компактом И(Р), лежащим внутри выпуклой области Он- В частности, Л — множество неединственности для Еп^1, Ър], Следовательно, существует такое с Е (0,1), для которого некоторый сдвиг выпуклого компакта Осн с опорной функций сН включает в себя И(Р) и содержитея в Оя- Применение сдвига к Осн означает, что при некотором ас целая функция экспоненциального типа Р(Л) еасХ = 0 при Л Е С по-прежнему обращается в нуль на Л и принадлежит классу Еп1[1, сН], Таким путем вывели, что Л — множество неединственности для Еп^1,сН], а отрицание утверждения VI следствия 1,2 влечет за собой отрицание утверждения V следствия 1,2, Движение по этой цепочке рассуждений в обратном порядке показывает, что отрицание утверждения V следствия 1,2 влечет за собой отрицание утверждения VI следствия 1,2, Таким образом, утверждения V и VI следствия 1,2 равносильны.

Эквивалентность утверждения V следствия 1,2 всем предшествующим утверждениям I IV следствия 1,2 — это в точности эквивалентность утверждения V теоремы 1,2 предшествующим утверждениям I-IV теоремы 1,2 для сН вместо Н. При этом замена строгих неравенств > из (1.5) и неравенств утверждения IV теоремы 1,2 на нестрогие ^ в (1.8) и утверждении IV из следствия 1.2 возможна ввиду того, что число с £ (0,1) допускает определенные варьирования внутри (0,1). То же самое относится и к описанному вокруг сОн открытому треугольнику в утверждении II следствия 1.2 вместо, казалось бы, требуемого согласно утверждению II теоремы 1.2 замкнутого треугольника, описанного вокруг DcH. Следствие 1.2 доказано. □

Доказательство теоремы 1.3. Пусть в условиях теоремы F — целая функция ^-типа сту(F) < ст, обращающаяся в нуль на Л. Предположим, что F отлична от тождественного нуля. Тогда F имеет бесконечно много нулей, образующих поеледовательноеть Л(^), для которой Л = Л(/) С Л(^), Вложение здесь означает, что число вхождений в Л(^) каждого значения Л £ С не меньше числа его вхождений в Л, Следовательно, для считающих функций этих последовательностей выполнено неравенство nA(F)(r) ^ п\(г) при всех г ^ 0, Привлекая (1.12)—(1.14), имеем

(Т?\ ^ (1Л2) F" N^(F)(r) NA(r) (1.12) (1.14) ,л(1.14)

ov(F) ^ Д ^(F)) = lim --- ^ lim -—- = Д(Л) = ov(¡) = а,

4 ' V (г) U (г)

что противоречит условию av(F) < ст. Следовательно, F(Л) = 0 на С, и Л — множество единственности для класса Ent[1, ст). Если же взять ст' > ст, то в класс ЕП;[1,ст') попадет сама функция /, что не позволяет последовательности ее нулей Л = Л(/) быть множеством единственности для такого класса ЕП;[1,ст') с ст' > ст. Теорема 1,3 доказана, □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. J.J. Sylvester. A question in the geometry of situation // Quarterly Journal of Mathematics. 1, 79 (1857).

2. A.P. Алимов, И.Г. Царьков. Чебышевский центр множества, константа Юнга и их приложения ff Успехи матем. наук. 74:5, 3-82 (2019).

3. Н. Jung. Ueber die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschliesst // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 123, 241-257 (1901).

4. Г. Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры. Опыты математического мышления. М.: ГИФМЛ. 1966.

5. В.Ю. Протасов. Теорем,а Хелли и вокруг нее // Квант. 3, 8-14 (2009).

6. Б.Я. Левин. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат. 1956.

7. Б.Н. Хабибуллин. Полнота систем экспонент и множества единственности. Изд. 4-е допол. Уфа: РИЦ БашГУ. 2012. https://www.researchgate.net/publication/271841461

8. Ю.Ф. Коробейник. Максимальные и j-достаточные множества. Приложения, к целым функциям,. I // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Республ. научн. сб. Харьков: Изд-во Харьковского ун-та. 54, 42-49 (1990).

9. Ю.Ф. Коробейник. Максимальные и j-достаточные множества. Приложения, к целым функциям,. II // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Республ. научн. сб. Харьков: Изд-во Харьковского ун-та. 55, 23-34 (1991).

10. F. Carlson. Uber ganzwertige Funktionen // Mathematishe Zeitschrift. 11, 1-23 (1921).

11. А.Ф. Гришин, К.Г. Малютин. Тригонометрически выпуклые функции. Курск: Юго-Западный государственный ун-т. 2015.

12. V. Azarin. Growth theory of subharmonic functions. Birkhäuser Adv. Texts Basler Lehrbücher. Basel: Birkhäuser Verlag. 2009.

13. Б.Н. Хабибуллин. Последовательности неединственности для весовых пространств голоморфных функций ¡I Изв. вузов. Матем. 4, 75-84 (2015).

14. Б.Н. Хабибуллин, Ф.Б. Хабибуллин. К распределению нулевых множеств голоморфных функций. III. Теоремы обращения // Функц. анализ и его прил. 53:2, 42-58 (2019).

15. B.N. Khabibullin, F.B. Khabibullin. Necessary and Sufficient Conditions for Zero Subsets of Holomorphic Functions with Upper Constraints in Planar Domains // Lobachevskii Jour, of Math. 42:4, 800-810 (2021).

16. E.P. Earl, W.K. Havman. Smooth majorants for functions of arbitrarily rapid growth // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 109:3, 565-569 (1991).

17. Г.Г. Брайчев. Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций ff Дисс. ... д.ф.-м.н. М.: РУДН. 2018.

18. L.A. Rubel, В. A. Taylor. A Fourier series method for meromorphic and entire functions // Bulletin de la S.M.F. 96, 53-96 (1968).

19. Г.Г. Брайчев, В.Б. Шерстюков. Точные оценки асимптотических характеристик роста целых функций с нулями на заданных множествах // Фундамент, и прикл. матем. 22:1, 51-97 (2018).

20. Г.Г. Брайчев. О связи между ростом нулей и убыванием тейлоровских коэффициентов целой функции ff Матем. заметки. 113:1, 32-45 (2023).

21. Б.Н. Хабибуллин. Теорем,а Хелли и сдвиги множеств. II. Опорная функция, системы экспонент, целые функции // Уфимск. матем. журн. 6:4, 125-138 (2014).

Георгий Генрихович Брайчев,

Московский педагогический государственный университет,

Краснопрудная, 14,

107140, г. Москва, Россия,

Российский университет дружбы народов,

Математический институт имени С.М. Никольского,

Миклухо-Маклая, 6,

117198, г. Москва, Россия

E-mail: [email protected]

Булат Нурмиевич Хабибуллин,

Институт математики с вычислительным центром

Уфимского федерального исследовательского центра РАН,

Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]

Владимир Борисович Шерстюков,

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Ленинские горы, 1, 119991, г. Москва, Россия E-mail: shervb73@gmail. com