МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ТИПА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА ρ ∈ (0, 1), ВСЕ НУЛИ КОТОРОЙ ЛЕЖАТ В УГЛЕ И ИМЕЮТ ЗАДАННЫЕ ПЛОТНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 8. № 1 (2016). С. 113-126.

УДК 517.547.22

МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ТИПА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

____, , ______к»_________

ПОРЯДКА р е (0,1), ВСЕ НУЛИ КОТОРОЙ ЛЕЖАТ В УГЛЕ И ИМЕЮТ ЗАДАННЫЕ ПЛОТНОСТИ

Б.Б. ШЕРСТЮКОВ

Аннотация. В работе найдено наименьшее значение, которое может принимать тип целой функции порядка р £ (0,1) с нулями заданных верхней и нижней плотностей, расположенными в угле фиксированного раствора ^ ж. Основная теорема обобщает предыдущие результаты автора (нули лежат на одном луче) и А. Ю. Попова (учитывается только верхняя плотность нулей). Выделен и подробно разобран случай, когда целая функция имеет измеримую последовательность нулей. Даны применения полученных результатов к теоремам единственности для целых функций и вопросам полноты систем экспонент в пространстве аналитических в круге функций со стандартной топологией равномерной сходимости на компактах.

Ключевые слова: тип целой функции, верхняя и нижняя плотности нулей, теорема единственности, полнота системы экспонент.

Mathematics Subject Classification: 30D15

1. Введение

Пусть р £ (0,1), Р > 0, а £ [0,^]. Пусть далее f(z) — целая функция, все нули которой расположены в некотором угле раствора ^ ж и образуют последовательность Л = Лf = (Лп)^=1 с верхней и нижней р - плотностями

_ _ ^ ^

А,(Л) = lim —- = ß, АДА) = lim —- > а п^ж \хп\р И \хп\р

соответственно. Как обычно, нули считаются с учетом кратности и упорядочены по возрастанию модулей.

Требуется найти наименьшее возможное при указанных условиях значение для величины типа функции f(z) при порядке р, определяемого формулой

ap(f) = um r~plnmax | f (z)| . (2)

Без ограничения общности будем предполагать, что

Л С г = {z Е C : | argzl ^ в] , (3)

где в Е [0,^/2], сводя задачу к нахождению экстремальной величины

se(а, ß; р) = inf {ap(f) : Л = Л/ С Г, Д ДЛ) = ß, Д ДЛ) > а} . (4)

Укажем, что при в = 0 получаем задачу для целых функций с нулями на луче, решенную ранее А. Ю. Поповым [1] (для а = 0) и автором [2] (для любого а Е [0,ß]).

V.B. Sherstyukov, Minimal value for the type of an entire function of order p £ (0, 1), whose zeros lie in an angle and have a prescribed density. © ШЕрстюков В.Б. 2016. Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00281-а). Поступила 6 июля 2015 г.

В настоящей статье величина Se(a,ß; р) вычисляется при всех в Е [0,^/2]. Работа, помимо введения, состоит из трех частей. В первой части получена оценка снизу для типа функции, определенного в (2). Вторая часть посвящена доказательству точности этой оценки. Результат формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть заданы числа р Е (0,1), ß > 0, а Е [0,ß], в Е [0,^/2]. Тогда справедлива формула

а

, „ s na fin -о -о\ х + cos 9

se (а,р; р) =- cos pa + max [pa F — ax H —---ax.

sin np a>0 J 4 X2 + 2x cos в +1

a(a/ß)1/P

Точная нижняя грань (4) достигается для некоторой функции с последовательностью нулей Ло, расположенной на двух лучах arg z = ± в так, что А ДЛ0) = ß, АДЛ0) = а.

В третьей части работы теорема 1 используется для конкретизации одной теоремы единственности Б. Н. Хабибуллина. Даны также приложения к целым функциям экспоненциального типа и вопросам полноты систем экспонент.

Экстремальную задачу о вычислении se (a,ß; р) при а = 0 (т.е. без учета нижней р-плотности нулей) поставил и решил А.Ю. Попов [3], отыскав величину

se (0,ß; р) = ^ max а~р ln(1 + 2а cos в + а2).

2 а>0

А „(Л) = lim — = ß,

Для функций, последовательности нулей Л = Лf = (\п)™= 1 которых измеримы, т.е. имеют р - плотность

п

\K\f

из теоремы 1 получаем соотношение

se(ß, ß; p) = —— cos рв. sin np

Отметим, что экстремальная величина Se(ß, ß; p) достигается, если все нули функции расположены на лучах arg z = ± в, и на каждом из них образуют измеримые последовательности с равными р-плотностями (= ß/2), и Se(ß,ß; р), заведомо не достигается, если эти р-плотности различны.

Современное состояние теории экстремальных задач для типа целых функций с нулями на луче или в угле изложено в обзорах [3], [4]. Приступим к доказательству теоремы 1.

2. Оценка типа целой Функции

Итак, пусть f (z) — целая функция порядка р Е (0,1). Предполагаем, что последовательность всех ее нулей Л = Л/ = (Хп1 лежит в угле Г с фиксированным в Е [0,^/2] и имеет р-плотности АДЛ) = ß, АДЛ) > а. Всюду далее а Е (0,Д|, поскольку случай а = 0 рассмотрен в [3]. Докажем оценку

а

/ ^ л Í (п -п —п\ Х + cos д

а0[ т) > - cosри + max / [pa И — ах Н —---ах. (5)

pKJ} > sin жр ' а>0 J ^ X +2х cos в +1

a(a/ß)1/P

Можно считать, что f (0) = 1. Тогда по теореме Адамара (см. [5, гл. I,§ 10]) функция f (z) представляется в виде канонического произведения

f (-) = й(1 — ¿). (0)

Учитывая (3), запишем Лп = гпегр", |'п| ^ в, п Е N. Тогда из (6) получим

М/(г) = max | f(z)l > | f(-r)| = П

n=1

1+г

Лп.

п

п=1

1 + — е -tp"

п

те /

П/

п=1 I

2

1 +--cos 'п + — >

г\ т '

п п

(i )2 > й/

2

1+--cos 9 + 1 — 1

п п

Обозначим через Пл(т) = ^ 1 считающую функцию последовательности Л, или, что

|А„| ^т

все равно, последовательности |Л| = (|Лга 1)^= = (гга)^=1. Попутно отметим, что формулы (1) можно записать в виде

ДР(Л) = lim

1TZ3T n^(t)

ß, Д .(Л) = lim

nK(t)

t^+те tP tP

Стандартное привлечение интеграла Стильтьеса дает

2

> а.

1пМ/(г) > cos^(f)

п п

п 1

1 2

+те

ln ( 1 + — cos б1 + ) ^ dnA(r).

Интегрирование по частям с учетом условий

/(0) = 1, пл (т) = 0(тр), т —У избавляющих от подстановки, приводит к соотношению

1 У 1п^1 + 2^ cos0+(dnA(r) 0

пд(г)

г (т cos в + г)

( 2 + 2 cos + 2)

dr.

После замены переменной = и обозначений

_ nA(rt)

'(t) = w,

к ¿P-1(tcos^ + 1) () i2 + 2i cos 0 + 1

t > 0,

приходим к оценке

+те

r-P ln М/(г) > 'r(t)K(t)dt, г > 0.

(7)

В интеграле из (9) функция 'r (t) при фиксированном г удовлетворяет условиям

lim '(t) = ß, lim 'r(t) > ol,

а ядро К(t) положительно при t > 0, каково бы ни было значение параметра в Е [0,^/2] (см. (7), (8)). Поэтому в дальнейших оценках можно воспользоваться методом, разработанным в [2] для случая расположения нулей Л на одном луче (в = 0). Зафиксируем произвольно число а > 0 и положим г/ = г/(г) = 'г (1/а). Имеем

lim r](r) = ß, lim r/(r) > а.

г^+те г^+те

Пусть а' Е (0,а). Как показано в [2], найдется такое число с > 0, что при всех г — ас и Ь — с/г выполняется неравенство (¿) > фг (¿), где функция фг (¿) определена для положителных Ь посредством формулы

"1 ( г]\1/р Г

а V а) а "1 /Г]\1/Р Г

а', t Е

Фг (t) = '

1 t е

10)

(aty la w/ a

Отсюда на основании (9) заключаем, что

r-p In Mf (г) > J фг (t)K(t)dt, r>ac. (11)

c/r

Подставляя в (11) выражения К(t) из (8) и фг (t) из (10) и выделяя известный интеграл (см., например, [6, задача 4.174])

Í К(t)dt = cos р 9, (12)

j sin пр

о

получаем оценку

r-p ln Mf (r) >

(1/а) (п/а')1/р с/г

™а [ (Vа-р - а'гр) + 1) , . Г . ,

> - cosр0 + ———---—-сИ — а К(г)(И.

> smnр ' У ¿(¿2 + 2tcos9 + 1) У

1/а 0

Перейдем здесь к верхнему пределу по последовательности значений г, на которой г/ = г/(г) стремится к [. С учетом (2) имеем

(1/а) (ß/a'

na' i (ßa-p — Ыtp) (t cos 9 + 1)

- cosp9 + ———--г—-

sin np ' J t(t2 + 2i cos в + 1)

1/a

Для получения оценки (5) осталось сделать в интеграле замену переменной t = 1/х и воспользоваться свободой выбора чисел а' Е (0,а) и а> 0.

3. Доказательство точности оценки

Покажем, что оценка (5) достижима. Для этого расположим последовательность Л0 на лучах argz = ±9 так, чтобы

ЖДЛо) = ß, А ДЛо) = а, (13)

а каноническое произведение

оо

т = п (1 — ¿), е Л0, (14)

имело тип

/ с \ л Í (п -п —п\ Х + COS0

Ро( 10) =- cos р9 + max / р а и — ах Н —---dx. (15)

0 sin пр ' а>0 J ^ ' х2 + 2х cos 9 + 1 у '

a(a/fí)1/P

Относительно параметров задачи будем предполагать, что

р Е (0,1), р> 0, а Е (0,р], 9е (0,п/2],

находясь в ситуации, не изученной ранее. Случаи а е (0,[) и а = [ разберем отдельно.

Пусть вначале а е (0,[). Воспользуемся конструкцией экстремальной последовательности, предложенной автором в [2] для 9 = 0. Выбираем вспомогательную положительную последовательность (т^со свойством

т,1 > 1, тк+1

т

кеП,

и строим последовательность (г,)°=1 С К+, соблюдая следующее правило. На промежутках вида [тк, т| — 1] и ([/а)1/рт^, тк+Л точки гр образуют арифметическую прогрес-

сию с разностью 2/а; на промежутках (т| — 1, тк] точки гр образуют арифметическую

2р

; на промежутках вида (тк, ([3/а)1/р т2Л точек гр нет.

прогрессию с разностью ^ ^ 2 ^^ ^^^^^^^^^^^ / ''^иу ^^ > ,

Согласно [2] верхняя и нижняя р- плотности последовательности (г,)°=1 равны [/2 и а/2 соответственно. Полагая

Л - (г, С-• )°= ! )Г_! ,

сразу получаем (13). Образуем по последовательности Ло каноническое произведение (14). Заметим, что

/о ( г)

откуда

П(1—И О—^«-)=п(

те / 11

3=1 \

2

1--сое в + —

Ш2)

Мл(г) = шах |/о(г)| = /о(—г)

2

1+--сое в + —

(Ш

Поскольку считающая функция пл0 (т) последовательности Л0 есть удвоенная считающая функция последовательности (г,)°=1, то, повторяя соответствующие выкладки из пункта 2,

приходим к представлению

г-р 1п М0 (г)

+те

р0}Г(г) К(Ь)М, г> 0,

'16)

пЛ (т^)

где р0,г(¿) = ^ 0 и К(¿) определены в (8). Таким образом, функция (14) доставляет равенство в (9).

С точностью до остаточных членов, не влияющих на величину типа (2), функция >^0,г (¿) с параметром г > 0 совпадает с функцией Фг(£), которая определяется при Ь > 0 формулами

фг(г) = а, ге (0,т] ,

а,

Фг(*) | [^к mfc+l ] = <

1к

г ' г

[СШ

ге

2 Щс (г \1/р тк'

\а

2 Щ (з) 1/р

где к Е N (подробности см. в [2]). Тем самым, из (16) следует, что

+те

ар(/о) = ПШ [ ФГ($К(г)^.

:17)

г^+те

Введем для сокращения записи несколько обозначений. Пусть

д(а) =

(ß а p — ах р) (х + cosi

х2 + 2х cos 6 + 1

dx =

a(a/ß)1/P

(ß/a)l/P(\/a) = /

1/a

(w — а)

— а К(t) dt.

Поскольку функция g(a) непрерывна и положительна при а > 0, причем

lim д(а) = lim д(а) = 0,

то найдется такая точка а0 > 0, что д(а0) = max д(а). Для t > 0 положим

a>0

а,

ti

Ф0 (t) = <

1 ß

ß

(f)

(f)

1

a0 \ а) a0 i/p

fß\1/5 i а0У V а I a0

(Ü0t)p'

С учетом определений (18), (20) оценку (5) можно переписать в виде

па

<Tp(f) >-- cospd + д((ю) = Mt)K(t)dt.

smnp J

В частности,

<p(/0) > / Mt)K(t)dt.

18)

'19)

(20)

(21)

Требующее обоснования соотношение (15) равносильно формуле

^(/о)=/ фо(*)к(t)dt.

0

Докажем, что

Йт (фг&) — фо(ь))к(t)dt ^ 0,

г^+те I 0

и тогда равенство (22) будет установлено. Действительно, из (21), (17), (23) имеем

i фо(г) к (г) dt ^ ар( /о) = йт i (фг(г) — фо(г)) к (г) dt +

о о

+ [ фо(г)к(t)dt^ [ фо(г)к(t)dt,

(22)

(23)

откуда и вытекает (22)

a

Итак, осталось проверить неравенство (23), выражающее «близость» весовой считающей функции (¿) последовательности Ло к «экстремальной» функции фо(£) из (20). Вначале выведем представление

+те

(ФГ(Ь) — фо(1)) К(Ь)сИ

опираясь на (18), (20). Для этого запишем

— 9(aо),

(24)

■фо(Ь) — а = 0, г Е

А-)

а

[ 1/ р 1

ао \ а I ао

(р/а) 1 1' (1/о0)

(фо(1) — а) К(¿)сИ = д(ао).

1 / о0

Кроме того,

Фг(г) — а = 0, ге У

т2к ( [ \ 1/р тк

а

(ФГ(Ь) — а) К(Ь)сН = ^

тг

к=1

к=1

(Р/а)11 ? (ш\/г) /

т\/г Ш

(а)

= Т

{[{т^Ук мл=

Поэтому

+те +те +те

J (ФГ(Ь) — фо(¿)) К(¿) сИ = У (Фг(*) — а) К(¿) ^ — J (фо(*) — а К(¿) <и о о о

(Р/а) 1 ^ (1/оо)

= [ (*г(1) — а) К(¿) а — [ (фо(Ь) — а) К(*) сИ =

тг

1/ о0

9 —И — З^о^

£9 й

и мы получили (24).

Теперь оценим сумму в (24) для г Е \т23, т23+^ при фиксированном ^ е М, разбивая ее на три части:

8-1

'.9(^2) + Е 9(Л) +

(щ,)—9Ы=(т+ (Щ) к=1 у к/ к=1 у к/ к=+2 у к/

+ (9 Ш+9 Ш— 9(а о))

1

Используя в оценке первой суммы неравенство К(¿) ^ Ьр 1, Ь > 0, и отбрасывая под знаком интеграла отрицательное слагаемое, имеем

_1 _1 (РМ1 /' (Ч Л)

0 < Ъ Ш = Е / ([(т!У—а)к

т\/г

1/Р (т?

(ß/a)1 / ' (ml/г)

« g / -а --«

ml /г

(ß/a)1 / ' (т\/г)

<ß £ (")' l '

ml/г

ß ß EfЩ' « ß inß z("V

t+r ) p а

р а \ г р а \т3

5-1 {тк \2р

В силу выбора последовательности (тквыполнено Иш ^ ^ ( — 1 =0, поскольку

j 1 s^cx \msJ

j=i v s/

j=1\mj \ ms J

= " J \ ms ) mlp/2'

Отсюда

lim sup ^ g l") = (25)

j=1 mj

re[m|,m2s+1\ j=i \"lj.

Используя в оценке второй суммы другое неравенство К (¿) ^ Ьр , Ь > 0, и снова отбрасывая под знаком интеграла отрицательное слагаемое, имеем

(13/а)1 /Р (ш1 /г)

° < z* (") = £ / (ß(") -а) К W* «

j=s+2 V j/ j=s+2 2. \ \ / /

ml /

(ß/a)1 / ' (ml /г)

■2\P

« ei -а—«

j—о / ml /

(ß/a)1 / ' (ml /г)

tm J i

j—о / ml /

ß (■ - (а Щ, (" Г< »(■-(а Г)£ (-Г

Выбор последовательности (mj )"= 1 обеспечивает выполнение условия

x im \2(1~p)

lim у = °,

" j /

поскольку

Отсюда

V"^ / 's+1 \ с ^ / Шк-1\ _ ^ 1

^ V^T/ С ^ Ч^Г/ _ ^ m3(1-p)/2'

k=s+^ к 7 k=s+^ к 7 к=«+2 ' к

re[m¡ ,m2+1] к=

s ^+i] к=«+2

lim sup Е £ ( ' ) _ О. (26)

' к

Оценим, наконец, выражение

опирась на определение точки а0 и свойство (19) функции д(а). Рассмотрим два возможных случая: г Е [т23, т3т3+-\\ и г Е \т3т3+\, т23+1\. В первом случае имеем

г ms С —— и

2

mS+i ms+i

- 9(ао) + 9 ( —Г— ) С 9 ( Чт" ) ^ 0'

VmS/ \mí+J \mí+iJ

Г ms+1

Во втором случае имеем —- > - и

ms ms

д[д(ао) + д( Сд( -^l ^ s ^ ж.

mí+J \mSJ \mSJ

Следовательно, можем утверждать, что

lim sup (gl —И +9[ 9( ОоП С °' (27)

,m*a+1]\ \mJ \mS+J J

Сочетая (24)-(27), получаем (23).

Таким образом, в случае а Е (0,ß) целая функция /0(z), построенная по правилу (14), удовлетворяет (15) и является экстремальной в задаче (4) при в Е (0,п/2].

Случай а _ ß в техническом отношении гораздо проще предыдущего, но обладает своей спецификой. Согласно (5) тип целой функции порядка р Е (0,1) удовлетворяет неравенству

nß

Vp(f) cosp в, (28)

Sin np

если последовательность всех ее нулей Л _ Л f лежит в угле

Г _ {z ЕС : | arg zl С 0} с в Е (0, n/2] и имеет р-плотность

__n

А,(Л) _ А,(Л) _ А,(Л) _ lim — _ ß. (29)

га^те lXnlP

Исключенное здесь значение в _ 0 в свете экстремальной задачи (4) при а _ ß не представляет интереса, поскольку, как известно, тип целой функции порядка р Е (0,1), нули которой лежат на одном луче и измеримы с р - плотностью ß, всегда вычисляется по точной формуле

°Р(Л _ --'

Sin np

Однако, картина усложняется, когда в ограничении (3) на расположение нулей раствор угла положительный.

Покажем, что оценка (28) точна. Для этого выберем измеримую последовательность (г,)°=1 С с р-плотностью Р/2 и снова положим

Ло = (г, е-и (г, в'"^ ,

Хг,

<х

Ш = П 1 - -г), К е Ло.

п= 1

Последовательность Л0 расположена симметрично на сторонах угла Г и имеет р-плотность ДДЛ0) = ß, подчиняясь (29), а для f0(z) справедливо представление (16). Рассуждая стандартным образом, зафиксируем е > 0 и подберем t0 = t0 (е) > 0 так, чтобы при гt > t0 выполнялось соотношение

м пЛо (rt) fí V0,r (t) = ^rtyT < ß +

Тогда

r-p In Mf0 (r) = j <Р0,Г (t)K(t)dt =

0

to/г

= J р0}Г(t)K(t)dt+ j p0,r(t)K(t)dt ^ (ß + e) j K(t)dt + o(1), T —у +Ж.

o/ 0 o/

Поскольку £ > 0 произвольно, то с учетом формул (2), (12) получаем

0Р(/0) ^ nß cosp 9. sin пр

Таким образом, построенная функция f0(z) доставляет равенство в (28). Теорема 1 полностью доказана.

Обсудим теперь некоторые нюансы, полезные для понимания сути дела. Вначале отметим, что функция f0(z), предъявленная в заключительной части доказательства теоремы 1, имеет вполне регулярный рост. Укажем естественное обобщение этого примера.

Возьмем на луче argz = — 9 произвольную измеримую последовательность Л1 с р-плотностью ß/2, а на луче argz = 9 — произвольную измеримую последовательность Л2 с р-плотностью ß/2. Тогда последовательность Л0 = Л1 У Л2 будет обладать свойством (29). Проверим, что функция (14), построенная по такой последовательности Л0, имеет тип

nß

&р(/0) = -- cosp9. (30)

sin пр

По-прежнему, 0( ) является функцией вполне регулярного роста, но теперь в расположении ее нулей симметрия относительно вещественной оси, вообще говоря, отсутствует. Согласно [5, гл. II, §2] индикатор f0(z) вычисляется по формуле

hp(f0,p) = um r-p In | f0(re^)| =

nß

(hp(p + 9) + hp(p — 9)), 0 ^p ^ 2n,

2 sin np

где через h р(p) обозначено 2n-периодическое продолжение функии cosр(p — n) с [0, 2n] на R. Прямой подсчет дает

( cos p(n — 9) • cos pp, 0 ^ p ^ 9,

hp(fo, p) = —- • < cosp9 • cosp(p — n), 9 ^ p ^ 2n — 9,

sinnp I cospiji — 9) • cosp(2n — p), 2n — 9 ^ p ^ 2n.

Но тогда с учетом неравенства cos р 9 > cos р(ж — 9) получим

nß

ар(/с) = max hp( /с,р) = hp( fe, ж) = -- cos p в,

0^(р<2ж sin жр

подтверждая (30).

С другой стороны, даже для функций вполне регулярного роста неравенство в (28) может оказаться строгим. Действительно, пусть Л состоит из двух измеримых последовательностей, одна из которых имеет р- плотность ßi > 0 и расположена на луче argz = — 9, а другая имеет р-плотность ß2 > 0, ß2 = ß1, и расположена на луче argz = 9, причем ßi + ß2 = ß. Снова выполнено (29). Образуем по такой последовательности Л каноническое произведение (6). Исключив требованием ß2 = ß1 случай «правильной» функции fe(z), мы все равно имеем дело с функцией f(z) вполне регулярного роста. В обозначениях из формулы для hp(/с, р) индикатор hp( f, р) имеет вид [5, гл. II, §2]

ж

hp( f, р) = -.- (ßi hp(p + d)+ß2 hp(p — 9)) , 0 ^ р ^ 2ж.

sin жр

После несложных преобразований приходим к развернутой записи

_ ( А_е cos (рр — р, 0 ^ р ^ 9,

hp(f,p) = ~.--< Ав^(р(р — ж) — рв), 9^р ^ 2ж — 9,

sinжр ( А-е cos (р(2ж — р) — р„_в) , 2ж — 9 ^р ^ 2ж,

где для краткости обозначено

Л = ^ß2 cos2p9 + (ß2 — ßi)2 sin2p0, ре = arctg ^tgp^ .

Вследствие ограничений, наложенных на параметры, справедливы неравенства

Ае > ß cosp 9, \ре \ ^ p 9.

Берем р* = ж + ре /р. Тогда 9 ^ ж — 9 ^ р* ^ ж + 9 ^ 2ж — 9. Подставляя значение р* в выражение для индикатора, получим

ж ж ß

Vp(f) > hp(/,р*) = si-Ае > —^ cos Р9 = Gp( fe).

sin жр sin жр

Таким образом, функция f(z), в отличие от fe(z), не является экстремальной.

4. Теоремы единственности и полнотл систем экспонент

Основной результат статьи позволяет получать новые теоремы единственности для целых функций и теоремы о полноте систем экспонент. Подобные применения теоремы 1 в случае 9 = 0 даны в работе [2]; подробный разбор общей ситуации 9 Е [0,ж/2] требует отдельной публикации. Остановимся коротко на некоторых приложениях. Так, естественным развитием результата Б. Н. Хабибуллина [7, теорема 4] является следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть р Е (0,1), и пусть Л = ( Ха)с^= 1 — последовательность комплексных чисел конечной верхней р-плотности ß > 0 и нижней р-плотности > а Е [0,ß], расположенная в некотором угле раствора 29 ^ ж. Если тип при порядке р целой функции f, обращающейся в нуль на Л, меньше величины

2p^Г(1 — p/2) ^ ^ ^ ^ _ sinжРтл,

Г((1 — р)/2) ^ ' — ж где s в (а, ß; р) выписана в теореме 1, то f = 0 на C

se (а, ß; р) = -^ Г(р) Г2(1 — р/2) ^ (а, ß; р),

В формулировке теоремы 2 фигурирует Г-функция Эйлера. Доказательство получается прямым соединением теоремы 4 из [7] и нашей теоремы 1.

Приведем теперь следствие теоремы 1, относящееся к четным целым функциям экспоненциального типа, которые играют важную роль в различных разделах комплексного анализа, например, в теории рядов Дирихле (см. [8]).

Теорема 3. Пусть 0 > 0, а Е [0,0], в Е [0,^/4], и пусть

™ /

F (*) = П 1 - ^), \ аг§Л™ i ^

п= 1 ^ Лп'

причем

lim = ß, lim > а. |Лп| |Лп|

Тогда экспоненциальный тип

a(F) = lim г-1 lnmax IF(z)|

функции F(z) удовлетворяет точному неравенству

a(F) > ^(a,ß; 1/2), (31)

в правой части которого стоит величина

s2в(а, ß; 1/2) = па cos в + max I (-—= - ) 2 , -, dx (32)

a>0 J \ \Ja \/x ) x2 + 2x cos 20 + 1

a(o/ß)2

из теоремы 1.

Для доказательства достаточно рассмотреть целую функцию

№ = П (1 - -т), -п =

п-1 V -п/

п= 1

порядка р = 1 /2 с нулями

(-п)Г= 1 С ^ = {z Е C : | arg z\ ^ 2 в} , 2 в Е [0,п/2],

учесть, что

_ ^ ^

■Hm. Ш2 = ß Im, СТ1/2(/) = ^)'

и применить к ней теорему 1.

Без учета нижней плотности нулей (а = 0) оценка (31) принимает вид

a(F) > ß max — ln (а2 + 2а cos 20 + 1) .

2 a>o ^/а у >

Если же последовательность нулей F(z) имеет плотность (а = ß), то (31) превращается в оценку

a(F) > nß cos в.

Все оценки точны. Интеграл в (32) вычисляется через элементарные функции и в случае а Е (0,ß), но итоговое выражение столь громоздко, что вряд ли целесообразно приводить его здесь.

Из теорем 2, 3 немедленно вытекает следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть Л = ( An)^= i — последовательность комплексных чисел конечной верхней плотности ß > 0 и нижней плотности > а Е [0,ß] такая, что \ arg Хп\ ^ в, где в Е [0,ж/4]. Пусть целая функция F обращается в нуль на множестве ±Л, и ее экспоненциальный тип меньше величины

Г2(3/4)

s2,(а,ß; 1/2),

л/ж

где s2e(a,ß;1/2) задается формулой (32), а числовой коэффициент Г2(3/4)/у^ж равен 0.8472 ... . Тогда F = 0 на C.

Для того чтобы раскрыть возможности для применения теоремы 4 к экспоненциальной аппроксимации в комплексной области, напомним некоторые определения. Пусть Л = ( i — последовательность точек из C, и Л( Л) обозначает число вхождений точки Л в последовательность Л. Говорят, что система (кратных) экспонент

Ел = {zn-ieXz : Л Е Л, п = 1, 2,..., Л(Л)} , гЕ C,

полна в круге

KR = {zE C : |z| < R} , R > 0,

если она полна в пространстве A(Kr) функций, аналитических в этом круге, наделенном топологией равномерной сходимости на компактах из Kr. Символ R^) обозначает радиус круга полноты последовательности Л, т. е. точную верхнюю грань радиусов кругов KR, в которых полна система Ел. Обозначим через oinf (Л) точную нижнюю грань значений а > 0, для которых найдется целая функция F ф 0 экспоненциального типа ^ о такая, что F обращается в нуль на Л (с учетом кратностей): F(Л) = 0. Согласно известному критерию полноты системы Ел в пространстве A(Kr) (см., например, [9, § 3.3.1]) справедливо равенство

Oinf (Л) = R^).

При фиксированных ß > 0, 0 ^ а ^ ß, 0 ^ 0 ^ ж/4 введем класс Ре (а, ß), состоящий из всевозможных последовательностей Л = ( An)c^= i комплексных чисел конечной верхней плотности ß > 0 и нижней плотности > а Е [0,ß] таких, что \ arg An\ ^ 9. Положим

Re(а, ß) ф inf R(±A). (33)

леРв (a,ß)

Наша цель — как можно точнее оценить характеристику R,(а, ß). Попросту говоря, требуется с хорошей точностью найти радиус наибольшего из кругов, в которых заведомо полна любая система экспонент, множество показателей которой ±Л порождено какой-либо последовательностью Л из класса Р,(а, ß).

Наилучшие из известных к настоящему моменту оценок для Re(а, ß) удается получить, сочетая теорему 4 с классическим неравенством (см. [10, § 2.5])

o(F) >ß expjа - l} .

Это неравенство справедливо для экспоненциального типа любой целой функции F, последовательность нулей которой имеет верхнюю плотность ß и нижнюю плотность > а.

Теорема 5. Пусть зафиксированы числа ß > 0, 0 ^ а ^ ß, 0 ж/4, и величи-

на s2e(а^;1/2) вычислена по правилу (32). Тогда для экстремального радиуса полноты Re (а, ß), определенного формулой (33), справедлива двусторонняя оценка

шах(Г2(3/4) s 2e ; 1/2); 2ß ea/ß-i\ ^ Re (а, ß) ^ S2e (ß,ß; 1/2).

Например, для систем экспонент с измеримыми показателями имеем

3 max {Г2(3/4)ДП cos^; 2} ^ Re (3, 3) ^ пр cos 9,

где числовой коэффициент Г2(3/4)у^п = 2.6614... .В частности,

2.6614... р ^ Ro (р, ¡3) ^ пр.

В заключение отметим, что теорема 3 допускает распространение на функции, инвариантные относительно поворота на угол 2п/s, где s = 3, 4,... , в духе работы [7]. Аналогичное замечание действует и в отношении остальных результатов раздела 4 настоящей статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Попов А.Ю. Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней р -плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. № 1. 2005. С. 31-36.

2. Брайчев Г. Г., Шерстюков В.Б. О наименьшем возможном типе целых функций порядка р £ (0,1) с положительными нулями // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 75. № 1. 2011. С. 3-28.

3. Попов А.Ю. Развитие теоремы Валирона-Левина о наименьшем возможном типе целой функции с заданной верхней р -плотностью корней // СМФН. Т. 49. 2013. С. 132-164.

4. Брайчев Г. Г., Шерстюков В. Б. О типе целой функций порядка р £ (0,1) с нулями на луче // Итоги науки. Юг России. Серия Математический форум. Т. 4. Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям. Владикавказ. Изд-во ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. 2010. С. 9-21.

5. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.

6. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Физматлит, 2004.

7. Хабибуллин Б.Н. Последовательности нулей голоморфных функций, представление меро-морфных функций. II. Целые функции // Матем. сборник. Т. 200. № 2. 2009. С. 129-158.

8. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

9. Хабибуллин Б.Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. Уфа: РИЦ БашГУ, 2006.

10. Boas R. P. Entire functions. New-York: Acad. Press, 1954. Владимир Борисович Шерстюков,

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Каширское шоссе, 31, 115409, г. Москва, Россия E-mail: shervb73@gmail.com