Задача с условиями периодичности для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ЗАДАЧА С УСЛОВИЯМИ ПЕРИОДИЧНОСТИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

© 2009 И.П. Егорова1

Для уравнения смешанного типа

ихх + вдиу ■ |у|тМуу =0, 0 < т < 1,

в прямоугольной области {(ж, у)| 0 < х < 1, —а < у < в}, где т,а, в — заданные положительные числа, методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решения задачи с граничными условиями: и(0,у) = и(1,у), их(0,у) = их(1,у), —а ^ у ^ в; и(х,в) = /(х), и(х, —а) = д(ж), 0 ^ х ^ 1.

Ключевые слова: собственные функции, спектральный анализ.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение смешанного типа

Ь(и) = ихх + 8диу ■ 1у1тиуу = 0, 0 < т < 1, (1)

в прямоугольной области О = {(х, у)|0 < х < 1, —а < у < в}, где т, а, в — заданные положительные числа.

Задача. Найти в области О функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

и(х, у) е СП С2(О+ и О-); (2)

Ьи(х,у) = 0, (х, у) е О+ и О-; (3)

и(0,у)= и(1,у), их(0,у)= их(1,у), —а < у < в; (4)

и(х,в) = /(х), и(х, —а) = д(х) 0 ^ х ^ 1, (5)

1 Егорова Ирина Петровна ([email protected]), кафедра высшей математики

Самарского государственного архитектурно-строительного университета, 443001, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 196.

где /(х),д(х) — заданные достаточно гладкие функции, причем /(0) = /(1), д(0) = д(1), /'(0) = /'(1), д'(0)= д'(1).

Для вырождающихся эллиптических уравнений нелокальные задачи изучались в работах [1-3], в которых условие (4) имело вид: и(0,у) = и(1,у) и их(0,у) = 0 при у ^ 0. В работах [4, 5] исследованы задачи с условиями периодичности (4) для дифференциальных уравнений различных типов с вырождением первого рода.

В данной работе, следуя [6, 7] установлен критерий единственности решения задачи (2)-(5). Существование решения доказано на основании теории рядов по системе собственных функций соответствующей задачи на собственные значения.

2. Единственность решения нелокальной задачи

Пусть u(x,y) — решение задачи (2)—(5). Рассмотрим функции

uk(y) = V2 u(x, y) cos Лkxdx, Лk = 2nk, k = 1,2,..., (6)

J 0

uo(y) = / u(x, y) dx, (7)

0

Vk (y) = л/2 / u(x,y)sin Лk xdx. (8)

0

На основании (6)—(8) введем функции

/1-е

u(x,y)cosЛkxdx, k = 1,2,..., (9)

/1-е

u(x, y) dx, (10)

/1-е

u(x,y)sin Лk xdx. (11)

где e > 0 — достаточно малое число. Дифференцируя равенство (9) по y дважды при y £ (—а, 0) U (0,в) и учитывая уравнение (1), а затем интегрируя по частям два раза, имеем

uk,e(y) — sgny ■ |y|-m — л/2 (ux(x, y) cos Лkx |^-е+ +Лku(x, y) sin Лkx|]-4 — Лkuk,e(y)

0.

Переходя здесь к пределу при е ^ 0 с учетом граничных условий (4), получим, что ид(у) удовлетворяет дифференциальному уравнению

<(у) - здпу -|у|-т Л| зд (у) = 0, у е (-а, 0) и (0,в). (12)

В уравнении (12), следуя [7], произведя замену ufc(y) = W(pk|y|q)^М, где p| = (2nk/q)2, q = (2 — m)/2, относительно функции W при y < 0 получим обычное уравнение Бесселя, а при y > 0 - модифицированное уравнение Бесселя. Тогда, используя представление общих решений этих уравнений, найдем общее решение уравнения (12):

f afcVyJf (Pkyq) + bkVyK_L(Pkyq), y > o,

Uk(y) 1 CkJ(Pk(—y)q) + dk^—y Yi(Pk(—y)q), y < 0, (13)

V 2 q 2 q

где Ji (pq (—y)q) и Yl (pq (—y)q) — функции Бесселя первого и второго

2q 2q

рода соответственно, /х (pqyq) и Ki (pqyq) — модифицированные функции

2q 2q

Бесселя, ak, bk, Ck dk — произвольные постоянные.

В силу (2) постоянные ak, bk, Ck, dk подберем так, чтобы выполнялись условия сопряжения:

Uk(0 + 0) = Uk(0 — 0), Uk(0 + 0) = Uk(0 — 0). (14)

Первое из равенств (14) выполнено, если dk =--и любых ak и Ck,

а второе равенство при Ck = nbkctg( — )/2 — ak и dk =--. Тогда функции

(13) примут вид

í ak/y/_L(pkyq)+ bk/yKf (pkyq), y> 0,

Uk(y) 1 —akJ(pk(—y)q) + bk/—y Yx(pk(—y)q), y < 0, (15)

2q 2q

где

__n

Y _L (pk (—yq)) = ^ [ J -L (pk(—y)q + J- 2¡q (pk )(—y)q)]. (16)

2q 2 sin 2q 2q 2q

Для нахождения постоянных ak и bk воспользуемся граничным условием (5) и формулой (6):

uk(в) = u(x, в) cos Akx dx = \/2 / f (x)cos Akx dx = fk, (17)

./0 ./0

uk(—a) = л/2 u(x, —a) cos Akx dx = \/2 / g(x)cos Akx dx = gk. (18) 00

Теперь на основании (15), (17) и (18) получим систему для нахождения

ak и bk:

ak /i (pk eq) + bk K i (pk eq) = fk в-2,

2q _i (19)

—ak Ji (pk aq)+ bk Y i (pk aq )= gk a 2, k = 1,2,... .

2q 2q

Если при всех к е N определитель данной системы

^ (а, в) = ^ (рд а9 )К х (^ в9) + У х (рд а9 ) А (рд в9) = 0, (20)

то система (19) имеет единственное решение

/ ^У(рд а9) - 2дд УвК^ (рдв9) ^ = ^ , (21)

/ (рд а9) - 2дд ^в^х (рдв9)

Ьк =-^---, ,_ 24-. (22)

¿й (а, в )л/ ав

Таким образом, функции (у) однозначно построены и имеют следующий вид

/уЭДь(а, у) + д^;УвуЕ(у, в) > 0

и (у) = ^ ¿д(а,в)Уав , , (23)

к(у) ^ /У-Ру^(а, -у) + дд(-у, в) у< 0 ( )

¿А; (а,в)Уав , ,

где

¿fc (а, у) = (рЛ а9 )К х (р/с у9) + У1 (р&а9 (рд у9), (24)

2д 2д 2q 2д

Е(у, в) = А (р^в9)К^ (р*у9) - (р^у9)Кх (р*в9), (25)

2q 2q 2q 2q

^(а, -у) = У^(рл(-у)9(рла9) - У1 (рЛа9(рл(-у)9), (26)

2q 2q 2q 2q

(-у, в) = ^ ^ (-у)9 )К 1 (рь в9) + Ух ^ (-у)9 (р^9). (27)

2q 2q 2q 2q

Аналогично получим краевую задачу для функции (у):

<(у) - здпу ■ |у|тЛ|^(у) = 0, у е (-а, 0) и (0, в), (28)

^(0 + 0) = ^(0 - 0), ь'к(0 + 0) = ь'к(0 - 0), к е N (29)

^(в) = л/2 и(х, в)вт Лдх^х = л/2 /(х) 8ш Лдх ^х = Д, (30) ./о Уо

г^(-а) = л/2 и(х, -а) 8ш Лдх ^х = л/2 / д(х) 8ш Лдх ^х = Д. (31) оо

Однозначное решение задачи (28)-(31) определяется по формуле Дуау ¿д.(а, у) + Д ^вР*(у, в)

^ (у) =

_ ¿А; (а,в)л/ав ' , (32)

/ЪУ-ау^Ъ(а, -у) + Д v-вy¿fc(-у, в) у < 0 ¿а; (а, в )Уав , ,

где ¿к(а, у),Е(у,в),^к(а, — у), ¿к(—у, в) определяются соответственно по формулам (24)—(27).

Найдем теперь ио(у). Дифференцируя равенство (10) дважды, учитывая уравнение (1) и нелокальные граничные условия (4), получим, что функция ио(у) является решением следующей задачи:

и"о(у) = 0, у е (—а, 0) и (0,в), (33)

ио(0 + 0) = ио(0 — 0), и0(0 + 0) = и0(0 — 0), (34)

и0(в) = / и(ж,в) = /(ж) ^ж = /о, оо

(35)

ио(—а) = и(ж, —а) ^ж = д(ж) ^ж = до. (36)

оо

Однозначное решение задачи (33)—(36) имеет вид

, ч /о — до . а/о + вдо ^ ^ а (о^

ио(у) = /а—ву + , —а ^у ^в. (37)

Из формул (23), (32) и (37) следует единственность решения задачи (2)-(5), так как если /(ж) = 0, д(ж) = 0 на [0,1], то ик(у) = 0, ио(у) = 0, (у) = 0 для к = 1, 2,... на [—а, в]. Тогда из (6)-(8) имеем

и(ж,у)ес8 Лкж ^ж = 0, / и(ж,у) ^ж = 0, л/2 и(ж,у)вш Лкж ^ж = 0. Уо ./о ./о

Отсюда в силу полноты системы функций (1^ у/2сс8(2пкж)^ у/2й1п(2пкж)} в пространстве ^[0,1] следует, что и(ж,у) =0 почти для всех ж е [0,1] и при любом у е [—а,в]. В силу (2) функция и(ж,у) е С(^), то и(ж,у) = 0 в

Пусть при некоторых а, в и к = I е N нарушено условие (20), т. е. ¿г (а, в) = 0. Тогда однородная задача (2)-(5) (где /(ж) = д(ж) = 0) имеет нетривиальное решение

иг (ж, у) = <

-——(ж), у > 0, (рг а«)

¿г(—у, вх () < 0 (38)

Ыргв*) Хг(ж), у< 0,

V 2д

где Хг(ж) = С1 ес8(2п1ж) + С2 8ш(2п1ж) + С3, С — произвольные постоянные, г = 1, 3. Следовательно, нами установлен следующий критерий единственности решения задачи (2)-(5).

Теорема 1. Если существует решение и(ж,у) задачи (2)-(5), то оно единственно тогда и только тогда, когда ¿к(а, в) = 0 при всех к е N.

3. Существование решения задачи

Выражение (а, в) представим в следующем виде:

где

5fc(a,e ) = (Pfc в9 )7fc (a, в), (39)

2q

K (pt в9 )J_l (pt aq) _

Yk(а-в)= » I. (ptв9)-+ Y*(Pka

2q

Поскольку при больших k и любом в > 0 выражение

K i (Рквq)

2q

то нули Yk(a, в) при больших k определяются как нули Y i (pfc в9 )• Существование нулей функции Y (pt z) следует из того факта,

2q 2q

что функции Yх (ptz) и Jx (ptz) являются линейно независимыми реше-

2q 2q

ниями уравнения Бесселя

z| ^^ + (ptz2 - ()2) y(z) = °. <4°)

Из общей теории линейных дифференциальных уравнений [8, с. 135] известно, что нули двух линейно независимых решений уравнения (40) строго чередуются, т. е. на интервале между любыми последовательными нулями любого из этих решений содержится ровно один нуль другого решения. Функция Jx (pfcz) имеет счетное множество положительных нулей. Тогда

_2q

функция Y i (pt z) также имеет счетное множество положительных нулей

2q

относительно z = aq. Следовательно, Yfc(a, в) может иметь счетное множество нулей относительно a независимо от в > 0. Поскольку a — любое положительное число, то оно может принимать значения, близкие к нулям Yfc(a, в). Поэтому при больших k выражение \/kYfc(a, в) может стать достаточно малым.

Лемма 1. Существуют a и постоянная Co > 0 такие, что при всех в > 0 и больших k справедлива оценка

|VfcYfc(a, в)| ^ Co > 0. (41)

Доказательство данного утверждения проводится аналогично доказательству леммы 1 работы [9].

Если ¿fc(a, в) =0 и выполнено условие (41), то решение задачи (2)—(5) можно представить в виде суммы ряда Фурье

u(x, y) = uo(y) + ^E ufc(y) cos Afcx + V2 ^ vfc(y) sin Afcx. (42) fc=i fc=i

Покажем, что при определенных условиях относительно функций /(ж) и д(ж) ряд (42) и ряды, полученные из него путем почленного дифференцирования по ж и у первого порядка, равномерно сходятся на замкнутой области О, а также существует возможность двукратного дифференцирования по ж и у в замкнутой области О£ = О П {|у| ^ е > 0}, где е -достаточно малое число.

Рассмотрим следующие соотношения:

А(У) = "МовТ^(У) = Дк(а,в) ' У е [0'в]' (43)

^ , ч (а-У) п, ч (-У,в) г п1 ,„„4

С(У) =-Л ^ т-, (У) =-Л ^ т-, У £ Ьа (44)

Дк (а, в) Дк (а, в)

Лемма 2. Пусть выполнены условия (20) и (41). Тогда для достаточно больших к и при любом У £ [-а, в] справедливы следующие оценки:

|А(у)| < С4, (у)| < С4к, 0 < У < в;

|В(у)| < С5, (у)| < С5к1+\ ° < У < в;

|С(у)| < Свк1+Ле-Ы, |С'к(у)| < Свк2-Ле-Ы, -а < у < 0;

|О(у)| < Стк1+Л, (у)| < Стк2-Л, -а < у < 0;

|А'к(у)| < Сек2, |В"к(у)| < С9к2, е < у < в;

|С^(у)| < Сюк2е-Ы, |О£(у)| < Спк2, -а < у < -е, где С — здесь и далее положительные постоянные, Л = 1/2д - 1/2, й =

= 2пв9/д.

Доказательство. Используя асимптотические формулы для цилиндрических функций в нуле и на бесконечности:

Л (-) ( - У, IV (г) Г Г '

Г(1 + .) V2/ ' Г(1 + V) \2/ '

(г) - ^ (2Г'' V = 0, при г ^ 0;

(45)

1/2 / о \ 1/2

/ / О \ ' .П Пч

/V(-) ~(¿) -■ М - ^ С™<- - Т -

П.

е'■ Л<->- ш

( П N 1/2 - ( 2 Ч 1/2 СОй( - - 4)

ки- Ы е-'• ^<-)- - —-4-

. . . .„ при - ^ то

81п( ^ )

на основании (24) с учетом (39), (41) при у е [0,в] и достаточно больших к, оценим

|А (у)1 <

х (Рк а«) ууКх (Рку«)

2д 2д

А (Ркв«) Со

2д

+

л/к Г ^ (Рк а«) УуА (Рку«)

2д 2д

/х (Ркв«) Со

2д

<

< С

Ук Г х (Рк а«)

2д

< С2.

(47)

На основании формул дифференцирования цилиндрических функций

й

й

— № /V (г)] = ^/V _!(*:), — [^ К (г)] = —^ (г)

йг

найдем

А'к (у) = Рк 9у"_1/2

йг

—(Рк а«) 1 (Рк у«) У1 (р^ ) 1 (Рк у«)

(48)

29

29

¿к (а, в)

+

29

29

¿к (а, в)

Отсюда при у е [0, в] и больших к имеем

(у)| < 9

(Рк а« )у«-1/2К1 1(рйу« )| |У 1 (Рк а« )у«-1/2/1 ^ у«)

/1 (рйв9 )Со

+

/1 (рйв9 )Со

<

< кСз|Ук Ух (Рка«)| < С4к.

29

Нетрудно показать, что для Ак(у) имеет место представление

|Ак(у)| = (Рк 9)2 у2«_2Ак (у). (49)

Тогда с учетом оценки (47) из равенства (49) имеем |Ак(у)| ^ С5к2.

Аналогично на основании формул (25), (39), (41) и асимптотических формул (45) и (46) оценим функцию В(у). При е ^ у ^ в и больших к имеем:

|Вк(у)| <

Ткуу/ х (Рк в«)К х (Рк у«)

29 29

/ х (Рк в «)Со

29

+

укуук X (Рк в«)/ X (Рк у«)

29 29

/ х (Рк в«)Со

29

Если 0 ^ у < е, то аналогично получим

|Вк(у)| < х(Рку«)| < Свк_Л.

29

< Сб. (50)

(51)

Из оценок (50) и (51) следует, что |Вк(у)| ^ Сд при любом у е [0,в]. Используя формулы (47), найдем

Вк (у) = —Рк 9у

«_1/2 | _29

А (Ркв9 )К 1(Рк у«) К 1 (Рк в« )/х_ 1 (Рк у«)

29

+

29

29

V ¿к (а, в)

Тогда при любом у е [0, в] и больших к имеем

¿к (а, в)

|Вк(у)| < Сюх/фкад«_1/21(рку«)| < С7цк1+Л.

29

Функция Вк(у) является решением уравнения В^'(у) = (ркд)2у2<? 2В(у). Отсюда с учетом оценки (50) при е ^ у ^ в получим В^'(у) ^ С12к2.

Теперь оценим функции Ск(у) и ^к(у) при у е [—а, 0] и достаточно больших к. На основании формул (26), (27), (39), (41) и асимптотических формул (45) при —е < у ^ 0 получим следующие оценки для функций Ск (у) и ^к (у):

|Ск(у)| <

+

Ух (Рк(—у)«) ^ (Рка«)

29 29

/ х (Рк в« )Со ^УТуУх (Рка«) ^ (Рк(—у)«)

29 29

/ х (Рк в« )Со

29

+

< С712к1+Лв_кй,

(52)

|^к (у) | =

+

Ук^Т^х (Рк (—у)« )К х (Рк в«)

29 29

/ х (Рк в« )Со

29

УкУТуУ X (Рк (—у)«)/ х (Рк в«)

29 29

/ х (Рк в« )Со

29

+

так как при любом у е [—а, 0]: у/—уУх (Рк(—у)«)

29

В случае —а ^ у ^ —е на основании формул (46) получим

< С1зк1+Л,

< Смк 29 .

(53)

|Ск(у)| < С15в_ы, |^к(у)| < С716-Из оценок (52)-(54) при любом у е [—а, 0] будем иметь:

(54)

|Ск(у)| < С^к1+Лв_ы, |^к(у)| < С718к1+Л.

Используя формулы дифференцирования ^ [^^(г)] = гУ ^^(г) [г^(г)] = (г), вычислим

С (у) =

прк9(—у)

_у)?_1/2

2в1п ¿к(а, в)

3± (Рка«) х (Рк(—у)«) +

29

29

(55)

х (Рка«) _1 (Рк(—у)«)

29 29

^ (у) = —

Рк д(—у)

— у)«_1/2

¿к (а, в)

п

—П— /29 (Рк в« _1(Рк (—у)«) — (Рк (—у)«))+

2 й "2^ 29 29 29

+К х (Рк в«х _1(Рк (—у)«)

29 29

Из равенств (55) и (56) при любом у £ [—а, 0] следуют оценки: С^Рк (—у)9-1/2

С (у)1 <

I х (Рк в 9 )Со

(рка9) х (рк(—у)9)+

2д 2д

2д

х (Рка9) 1 (Рк(—у)9)

2д 2д

< С2ок2-Лв_ы,

^ (у)1 < С2^р(-ву)Со/2 ^ (Ркв9 ^-1(Рк (—у)9 ) — ^* (Рк ( —у)9 ))| +

9 +|Кх (Ркв?_1(Рк(—у)9)| < (?22к2-Л.

Поскольку С£(у) = (Ркд)(—у)29-2Ск(у) и ^к'(у) = (Рк9) (—у)29_2Ак(у), то в силу оценок (54) для функций Ск(у) и ^к (у) получим

|Ск'(у)|^ (72зк2в_к^, |^к'(у)|< (^24к2.

Лемма 3. При любом у £ [—а, в] и условии (41) для достаточно больших к справедливы оценки:

и(у)1 < С12 (|/к| + |дкI), V(у)| < С15(|/к| + I), К(у)1 < С13 (к|/к| + к2-Л|дк|) , К(у)| < С16(к|/к| + к2-ЛI),

|и %(у)| < С14к2 (|/к| + |дк|) , К'(у)| < С17к2(|/к| + |).

Доказательство. На основании формул (23), (32), (43) и (44) получим следующие представления для функций и к (у) и V к (у) :

, . /Ак(у) , дквк(у) . . ./кАк(у) , <7квк(у) ик(у) = -^ +-^, кк(у) = —^ + —^, у ^ 0,

в а в а

, . ДСк(у) , дк^ к(у) . . ./кСк(у) , <7к^ к(у) ик(у) = —^ + —^, кк(у) = —^ + —^, у< 0.

в а в а

Исходя из этих равенств на основании леммы 2 нетрудно получить указанные оценки.

Теперь на основании леммы 3 докажем, что функция и(ж, у), определяемая рядом (42), удовлетворяет условиям (2) и (3) поставленной задачи. Формально из ряда (42) почленным дифференцированием составим ряды:

иж = — л/2^ Л кик (у) 8ш АкЖ + Лккк (у) сов Л кЖ, (57)

к=1 к=1

те те

иу = и0(у) + л/2^ ик (у) сов АкЖ + л/2^ ^ (у) йш Л кЖ, (58)

те те

ижж = —Лкик(у)сс8 Лкж — л/2^ Л|^к(у) йшЛкж, (59)

к=1 к=1

те те

>2

к=1 к=1

иуу = л/2 ^ и'к'(у) сев Лкж + л/2 ^ ^к'(у) 8Ш Лкж. (60)

Тогда на основании леммы 3 ряды (42), (57), (58) при любых (ж,у) е О мажорируются числовым рядом

С1в£ к[| /к | + | + к1_Л(|дк | + |д~к |)], (61)

к=1

а ряды (59), (60) при любом (ж, у) е О£ мажорируются рядом

те

С19 £ к2 (|/к | + |/к | + |дк | + |д~к |). (62)

к=1

Лемма 4. Если функции /(ж), д(ж) е С2[0,1] на этом сегменте имеют кусочно-непрерывную производную третьего порядка и выполнены условия /(0)_= /(1)1 /'(0) = /'(1), д(0) = д(1), д'(0) = д'(1), то для коэффициентов /к, /к, дк, дк справедливы оценки:

, Рк т Й «к ~ ¿к

/к = — Лз , /к = — Лз , дк = — Лз , 9к = — Лз , (63)

Лк Лк Лк Лк

+те +те +те +те

2 < ^Рк2 < 2 < ^¿к2 < (64)

к=1 к=1 к=1 к=1

Доказательство. Рассмотрим интегралы (17), (18), (30) и (31). Интегрируя их по частям три раза с учетом условий леммы, получим требуемые представления (63). Справедливость оценок (64) следует из неравенства Бесселя по тригонометрической системе.

В силу леммы 4 ряды (61) и (62) оцениваются соответственно числовыми рядами

п (|Рк| + |рк| , |«к| + | N

С2оМ (65)

к=1 4 7

те1

С21 Е 1 (|Рк| + |Рк| + |«к| + |«к|) . (66)

к=1

Поскольку числовые ряды (65), (66) сходятся, то на основании признака Вейерштрасса ряды (42), (57), (58) сходятся равномерно на О, а ряды (59), (60) на О£. Поэтому функция и(ж,у), определяемая равенством (42),

и

удовлетворяет условию (2). Подставляя ряды (59) и (60) в уравнение (1), убеждаемся, что функция u(x,y), определяемая равенством (42), удовлетворяет и условию (3).

Таким образом доказана следующая теорема

Теорема 2. Пусть f (ж) и д(ж) удовлетворяют условиям леммы 4 и выполнены условия (20) и (41). Тогда задача (2)—(5) однозначно разрешима, и это решение определяется рядом (42).

Литература

[1] Лернер М.Е., Репин О.А. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 8. C. 1087-1093.

[2] Моисеев Е.И. О решении спектральным методом нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С. 1094-1100.

[3] Сабитов К.Б., Сидоренко О.Г. Об однозначной разрешимости нелокальной задачи для вырождающегося эллиптичесокго уравнения спектральным методом // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: труды международной конференции, посвященной юбилею академика В.А. Ильина, СФ АН РБ. Стерлитамак; Уфа: Гилем, 2003. Т. 1. С. 213-219.

[4] Сабитов К.Б., Сидоренко О.Г. Существенно нелокальные задачи для вырождающегося эллиптического уравнения // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: материалы международного российско-казахского симпозиума. Нальчик: Эльбрус, 2004. С. 156-160.

[5] Сидоренко О.Г. Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений различных типов: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Стерлитамак: СГПА, 2007. 18 с.

[6] Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. АН РАН. 2007. Т. 413. № 1. С. 23-26.

[7] Сабитов К.Б., Сулейманова А.Х. Задача Дирихле второго рода в прямоугольной области // Известия вузов. Математика. 2007. № 4. С. 45-53.

[8] Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Иностр. лит., 1962. 351 с.

[9] Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в полуполосе // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. № 10. С. 1417-1422.

Поступила в редакцию 3/1X/2009; в окончательном варианте — 3//X/2009.

THE PROBLEM WITH PERIODICITY CONDITIONS FOR THE EQUATIONS OF MIXED TYPE WITH CHARACTERISTIC DEGENERACY

© 2009 I.P. Egorova2

For mixed type equation

Lu = uxx + sgny • |y|muyy = 0, 0 < m < 1

in a rectangular domain {(x, y)| 0 < x < 1, —a < y < в}, where m, a, в — defined positive numbers, theorems of existence and uniqueness of the problem solvability with boundary solutions u(0,y) = u(1,y), ux(0,y) = ux(1,y), —a < y < в; u(x,e) = f(x), u(x, —a) = g(x), 0 ^ x ^ 1 are proved by the method of spectral analysis.

Key words: eigenfunctions, spectral analysis.

Paper received 3/1X/2009. Paper accepted 3//X/2009.

2Egorova Irina Petrovna ([email protected]), the Dept. of Higher Mathematics, Samara State Architectural and Building University, Samara, 443011, Russia.