Задача с условиями на всей границе для одного псевдопараболического уравнения шестого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

(V y е XNv) F,y) > a

(9)

Таким образом, в ситуации х0 = (х0,... , хП) все соотношения (9) будут выполнены одновременно,

п Р*

т.е. для каждого г Е N выполняется F(х0) > а*. Так как при любом г Е N элемент а* является максимальным в подмножестве и*(С), то из последнего соотношения следует, что F(х0) / и*(С), т.е. исход F(х0) является допустимым для всех игроков г Е N. Таким образом, Са(С) = 0.

2 случай. Предположим, что для некоторого г Е N имеет место и* (С) = 0. Положим К = {г Е N: и*(С) = 0}. В каждом непустом подмножестве Ц*(С) (^ Е N \ К) множества А существует максимальный элемент а*. Так как а* Е и*(С), то по определению множества и*(С)

существует такая стратегия х0 Е Х^-, что для любой стратегии у Е Х^имеет место F(х0,у) > а*, ^ Е N \ К.

Для каждого ^ Е К зафиксируем произвольно стратегию х0 Е Х^-. Тогда в ситуации х0 = (х0)ге^ будет выполнено

Р (10)

Pj

F(xu) >a*, j е N \ K.

Так как а* — максимальный элемент непустого подмножества и* (С), то согласно (10) получаем F(х0) / и* (С) для ^ Е N \ К, т.е. F(х0) допустим для всех игроков ] Е N \ К. Так как для любого ] Е К имеет место и* (С) = 0, то любой исход игры С будет допустимым для игрока ] Е К. Таким образом, исход F(х0) будет допустимым для всех игроков г Е N в игре С, т.е. Са(С) = 0. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3. Рассмотрим игру С0, которая является ограничением игры С на множестве рг2 F ее реализуемых исходов. В силу предположений теоремы рг2 F является конечным множеством и ограничения отношений рг на этом множестве являются ацикличными. В силу леммы существует исход а*, допустимый для всех игроков в С0. Очевидно, что а* также будет допустимым в игре С. Теорема 3 доказана.

Библиографический список

1. Розен В.В. Равновесие в играх с упорядоченными 2. Савина Т.Ф. Ковариантные и контравариантные го-

исходами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. моморфизмы игр с отношениями предпочтения // Изв.

Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика.

С. 61-66. Механика. Информатика, вып. 3 С. 66-70

УДК 517.956

ЗАДАЧА С УСЛОВИЯМИ НА ВСЕЙ ГРАНИЦЕ ДЛЯ ОДНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ШЕСТОГО ПОРЯДКА

Е.А. Уткина

Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет, Казань,

кафедра информационных технологий в образовании E-mail: [email protected]

В характеристическом прямоугольнике на плоскости рассматривается задача об отыскании решения уравнения со старшей частной производной шестого порядка с данными на всей границе. Выводятся достаточные условия единственности решения этой задачи. Эти условия записываются в терминах коэффициентов уравнения, а проводимые рассуждения основаны на методе априорных оценок.

Ключевые слова: задача с условиями на всей границе, метод априорных оценок.

Problem with Conditions on all Boundary for One 6-th Order Pseudoparabolic Equation

E.A. Utkina

Tatar State Humanitarian-Pedagogical University, Kazan, Chair of Information Technology in Education E-mail: eutkina1 @yandex.ru

Here consider characteristic problem with conditions, setting on all boundary, in two order space for 6th order equation with 3-times taken old particular derivative. The existence and uniqueness of the solution are proved.

Key words: problem with conditions on all boundary, preliminary evaluate method.

*

ЕА. Уткина. Задача с условиями на всей границе для одного псевдопараболического уравнения В области Б = {0 < ж < ж^ 0 <у<у1} изучается уравнение

3 3

3 Г>3

ВД = Б3Б3и(ж,у) + ^ ^ (Из Буи(ж,у) = /(ж, у), (1)

г=0 з=0 г+з<6

Бк < = при к = 1, 2,..., Бк < = I ( т)-¿т, если к = -1, -2,..., Б? - опе-

являющееся обобщением уравнения изгиба тонкой сферической оболочки [1, с. 258]. При этом

+

(-к - 1)! _ _

ратор тождественного преобразования, а^ е С1,3(Б), / е С(Б).

Задача: Найти функцию и(ж, у) е С3,3 (Б) П С2,0(Б и р) П С0,2(Б и д) П С0,0(Б) являющуюся в Б решением уравнения (1) и удовлетворяющую условиям

и(0, у) = <0(у), и(ж, 0) = "0(ж), их(0, у) = <1 (у), иу(ж, 0) = "(ж), (2)

и(ж-,у) = <01 (у), и(ж,у-)= "01 (ж). (3)

Из принадлежности и(ж, у) классу С (Б) следуют соотношения:

<0 (у1) = "01(0), <0(0) = "0(0), " (ж1) = <01(0), <01 (у1) = "001 (ж1).

Очевидно, соотношения (2), (3) близки к граничным условиям задач Дирихле из работ [2-6]. Задачи с другими условиями для уравнений типа (1), в том числе и более высокого порядка, изучались в работах [7-9].

Здесь предлагается способ получения условий, обеспечивающих однозначную разрешимость сформулированной выше задачи. При этом используется ее редукция к уравнениям Фредгольма, однозначная разрешимость которых выводится из доказываемой на основе априорных оценок теоремы единственности.

1. Сначала запишем решение задачи с условиями (2) и

ихх (0, у) = <2 (у), Пуу (ж, 0) = "02 (ж). (4)

Соотношения (2), (4) представляют собой граничные значения задачи Гурса, решение которой дается формулой (9) из [8]:

и(ж, у) = I(ж, у) + Б-3Б"3(Я/) + (А1<2)(ж, у) + (А02)(ж, у) - Б2Б^и(0, 0)Б"2Б"2Я(0,0, ж, у), (5) где

(А <2)(ж, у) = -Б"3<2Б"2д30(0, у, ж, у) + Б"2<2Б"^(0, у, ж, у)--Б"1 <2Б"2д32(0, у, ж, у) + Б"2<2Б"2Я32у (0, у, ж, у)+ +<2(у)Б"2Я(0, у, ж, у) - 2Б"1 <2Б"2Яу(0, у, ж, у) + Б"2<Б"2Яуу(0, у, ж, у),

(А202)(ж, у) = -Б"302Б"2д03(ж, 0, ж, у) + Б"202Б"2д13(ж, 0, ж, у)--Б"102Б"2д23(ж, 0, ж, у) + Б"2"Б"2д23х(ж, 0, ж, у) + 02(ж)Б"2Я(ж, 0, ж, у)--2Б"102Б"2Ях(ж, 0, ж, у) + Б"2"Б"2Яхх(ж, 0, ж, у).

т п

При этом д^з = ^ (- 1)(а+в)Ба_гБв"3(аавЯ), Я — функция Римана уравнения (1), которая определяется как решение интегрального уравнения:

33

\ л \ л/ -^\6 — г — iт^г — 3т^З"3

__(-1)6"3 Бх"3Бу"3 (агз Я) = 1, (33 = 1,

г=0 3=0

I(ж, у) зависит только от известных функций.

Формула (5) является общим представлением искомого решения через , ", к = 0, 2. Неизвестными являются <2, "2 и Б2Б^и(0, 0). Чтобы их определить подставим в (5) аргументы точек(ж, у1), (ж1,у), (ж1 ,у1) и учтем известные значения (2), (3). В результате придем к системе интегральных

уравнений, в которой искомыми функциями являются уже <2, -02:

<ш(у) = I(хх, у) + у Ц-2Ц-3(Д/) йх + (Ах^2)(хх, у)+

0

Х1

/ Ц-1Ц-2Д(0, 0,£,у) Йх

+ (А2"02)(х1, у) - - и(х1, У1) + 1 (х1, У1) +

/ /Ц-1 Ц-1 Д(0,0,С,п) йхйу V 00

+ Ц-2Ц-2(Д/) йхйу + (А1<2)(х1 ,У1) + (А2^2)(х1 ,У1 )) , (6)

00

^01 (х) = /(х,У1 ) + ^ Ц-3Ц-2(Д/) йу + (А1<2)(х,У1) + 0

У1

/ Ц-2Ц-1 Д(0,0, х, п) йу

+ (А2"02)(х, У1) - ^- ( и(х1, У1) + 1 (х1, У1) +

£1 У1

/ / Ц-1 Ц-1 Д(0, 0,С,п) йхйу

00

^У Ц-2Ц-2(Д/) йхйу + (А1<2)(х1 ,У1) + (А2^2)(х1 ,У1 )) . (7)

00

Таким образом, для нахождения каждой из функций <2, -02 получим уравнения фредгольмовского типа.

2. Теперь займемся доказательством единственности решения задачи (1)-(3). Для этого проверим, что при однородных условиях (2), (3) однородное уравнение (1) имеет только нулевое решение. Доказательство осуществляем методом априорной оценки с помощью энергетического неравенства [10].

£1 У1

Воспользовавшись определениями скалярного произведения (и, V) = / / и(х,у)г>(х,у) йуйх в про-

00

странстве Ь2[0, х1] х [0,у1 ] и нормы ||и||2 = / / и2(х,у) йуйх, вычислим:

00

33

) = (ЦЦи + ^ ^ (х, у)ЦХЦи> иху) =

г=0^=0 Х1 Ш зз

Цзи ' иху + / у / у -

0 0 г=0 ^=0

(ЦЦи ■ иху + ^^ а^ЦЦи ■ иху)(х, у) ЙуЙх.

Преобразуем слагаемые правой части с помощью интегрирования по частям:

(х, у)

(х, у)¿у - || "'ХХуу || 7

00 Х1 У1

(х,у)иху (х, у) йуйх =

00

1J ! а32ххуиХу йуйх + J ! а32хи^ууи^ху йуйх +1J ! а32уиХху йуйх, 0 0 0 0 0 0 Х1 1/1

а23 (х, у)иххууу (х, у)иху (х, у) йу Йх =

Х1

х1 у1 х1 у1 х1 у1

2 J ! (23хуу^у ¿у^ж + J ! а23уихху «хуу ¿у ¿ж + 2 J ^ О23х«хуу ¿у^ж, 0 0 0 0 0 0 х1 у1

a22(ж, у)иххуу (ж, у)иху (ж, у) ¿у^ж =

11 ' (22ху«ху ¿у^ж - / I а22«хху«хуу ¿у ¿ж, / I О13 (ж,у)ихууу (ж, у)иху (ж, у) ¿у ¿ж =

00

х1 у1 х1 у1

х

0 0 0 0 0 0 х1 у1 х1 у1

= 1^ J а13уу «ху ¿у^ж - J ! а13ихуу ¿у^ж, 0 0 0 0 х1 у1 х1 у1 х1 у1

а31 (ж,у)иххху (ж,у)иху (ж,у) ¿у^ж = 1J ! а31хх«ху ¿у^ж - 1J ! а31 и^у ¿у^ж, 0 0 0 0 0 0 х1 у1

а30 (ж, у)иххх (ж, у)иху (ж, у) ¿у^ж =

00

х1 у1 х1 у1

а30хихх«ху ¿у^ж +1J ! (31у«хх ¿у^ж, ^ J а03(ж,у)иууу (ж, у)иху(ж, у) ¿у^ж =

0 0 0 0 0 0

х1 у1 х1 у1

а03у иуу иху ¿у^ж + 7¡J J (03х и2у ¿у ¿ж,

0 0 0 0

х1 у1 х1 у1

а00(ж,у)и(ж, у)иху(ж, у) ¿у^ж = 2 J ^ а00хуи2 ¿у^ж - J ^ а00их% ¿у^ж,

0 0 0 0 0 0 х1 у1 х1 у1

аю(ж,у)их(ж,у)иху(ж, у) ¿у^ж = -1 ^ J аюу^х ¿у^ж,

0 0 0 0 х1 у1 х1 у1

а01 (ж, у)% (ж, у)иху (ж, у) ¿у^ж = - 1J ^ а01хиу ¿у^ж,

0 0 0 0 х1 у1 х1 у1

а21(ж,у)ихху (ж,у)иху (ж, у) ¿у^ж = - 1J ! а21х^ху ¿у^ж,

0 0 0 0 х1 у1 х1 у1

а12(ж, у)ихуу (ж,у)иху (ж, у) ¿у^ж = - 1J ! а12уи^у ¿у^ж,

0 0 0 0 х1 у1 х1 у1

а11 (ж,у)иху (ж, у)иху (ж, у) ¿у^ж = J ^ а11 ¿у^ж.

0 0 0 0

Ж1 у1 х1 у1

Интегралы / / а20(ж,у)ихх (ж,у)иху (ж, у) ¿у^ж, / / а02(ж,у)иуу (ж, у)иху (ж, у) ¿у^ж остаются без 0 0 0 0 изменений. Тогда

х1 у1

(Г(и) и )= ||и ||2 + / Л а32хху (ж,у) - а23хуу(ж, у) + О^^ху^) + а13уу(ж,У) + (^(и), иху) = |иххууН + / / ( 2 2 + 2 + 2 +

00

. а31хх(ж,у) а21х(ж,у) а12у(ж,у) . , \\ 2 / ч > > ,

+-2---2---2— + а" (ж,у))иху (ж, у) ¿у^ж+

+ ^ у ( а32у(х,у) - а31(х,у))иХху (х,у) + ^ У ( а23х(х,у) - а13 (х,у))и2уу(х,у) +

0 0 0 0

+ J У 2 а03х(х,у)и;5у (х,у) йуйх + J ^2 а30у (х,у)иХх йуйх + J 1 аюу (х,у))иХ

0 0 0 0 0 0

+ ^ J (-11 а01х (х,у))иу; йуйх + J ^2 а00ху (х,у)и2

0 0 0 0 Х1 у1

+ J J (a32x + a23y - «22)(x, (x, (x, y) dy dx+ 0 0

X1 yi X1 У1

+ J j (a02 - a03y )(x,y)uyy (x,y)uxy (x, y) dydx + J J (a20 - «зох )(x,y)uxx (x,y)uxy (x, y) dydx.

0 0 0 0

Так как функции aj(x, y) являются непрерывными на компакте, то они достигают своих точных верхних и точных нижних граней. Обозначим sup aj (x, y) = sa^-, inf aj (x,y) = iaj.

(x,y)eD (x,y)eD

Аналогичные обозначения вводятся и для частных производных этих функций, например,

sup aijx(x,y) = saijx и получим оценку

(x,y)eD

; — ||u ц2 + [ sa32xxy sa23xyy + ia22xy + ia13yy + ia31xx •3U'21x

xy)

/г/ n n ^ и n2 . A sa32xxy sa23xyy . ia22xy . ia13yy . ia31xx sa21 (L(u), uxy) — ||uxxyy Г + (--^--^ + ""^ + ""^ + —---2"

sa12« . \ ,, l|2 /¿a32y \ II ||2 , /¿a23x \ "anj ||Uxy|| + --sa31 I ||uxxy|| + 1-2--sa13 I

1.....о / 1 \ ,, ,,o / 1 \ ,, „о 1

2 + rnnj ||Uxy || + --sa3H ||uxxy || + I ~2--sa13 ) ||uxyy || ¿a03x||uyy || +

+2¿a30y||uxx||2 + ^sa10^ ||ux||2 + 2sa01xj ||%||2 + 2¿a00xy||u||2+ xi yi

+ / /(a32x + a23y - a22)(x, y)uxyy(x, y)uxxy (x, y) dy dx+

xi yi 00 xi yi

+ /I (a02 - a03y )(x,y)uyy (x,y)uxy (x, y) dydx + J J (a20 - a30x )(x,y)uxx (x,y)uxy (x, y) dydx.

0 0 0 0

|a|2 |b|2

Используя неравенства Коши - Буняковского: |(u, v)| < ||u|| ■ ||v||, Коши: |a■ b| < —2—, получим

(L( ) ) — || ||2 + sa32xxy - sa23xyy + ia22xy + ia13yy + ia31xx __ sa21x __ sa12y +

(L(u),Uxy) — |Uxxyy У +1 2 2+2 + 2 + 2 2 2 +

+mn - 1 s|a02 - a03y| - 2s|a20 - a30x^ ||uxy |2 + ^- s«31 - s|a32x + a23y - a22^ ||uxxy|2+ ^¿^p - sa13 - s|a32x + a23y - a22^ ||uxyy ||2 ^^¿a03x - 2s|a02 - a03y ^ ||uyy ||2+ ^2¿a30y - 1 s|a20 - a30x^ ||uxx||2 + 2||ux|2 + 1 sa01^ ||uy|2 + 1 ¿a00xy||u|2. При этом

Обозначив

(L(u),uxy) = (f,Uxy) + ^^

sa32xxy sa23xyy . ¿a22xy . ¿a13yy ¿a31xx sa21x sa12y .

«1 —--— - +--+ - +--— - — - + Ш11 —

1 2 2 2 2 2 2 2 11

-2s|a02 - a03y| - 2s|a20 - a30x| - 2,

«2 =

ia32y

- sa3l(x, y) - s|a32x + a23y - a221, «3 =

ia23a 2

- sal3 - s|a32x + a23y - a22|,

«4 = 2iao3x - 2s|ao2 - ao3y|, «5 = 2ia30y - 2Ф20 - a30x|,

«6 =

l

:sal0y,

=

sa0lx,

l

«S = 2 ia00xy,

приходим к неравенству 2

2

^ ||uxxyy|

+ («1 )HUxy H + «2 HUxxy H + «3 HUxyy

22 + «4 HUyy H +

+«5 ||u

XXI2 + «6HUxH2 + «rHUy H2 + «s HuH2.

Требуя неотрицательности коэффициентов при нормах и полагая f = 0, получим, что функция u может быть равной только нулю.

При f = 0, = = 0, <01 = ^01 = 0 (k = 0,1) система уравнений для нахождения <2, является тоже однородной. В силу доказанной единственности решения задачи эта система допускает в данном случае только нулевое решение. По теореме Фредгольма [11] это означает однозначную разрешимость неоднородной системы уравнений (6), (7).

Таким образом, имеет место

Теорема. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют неравенствам > 0 (k = 1,8), то задача (1)-(3) имеет единственное решение.

Отметим, что условия теоремы являются существенными. Рассмотрим, например, поставленную задачу для уравнения uxxxyyy + uxxxy = 0 в области D = [0, п] х [0, п] с нулевыми условиями (2), (3) на границе. В нем коэффициент а31 > 0, а все остальные равны нулю, условие теоремы не выполнено. Решением, в чем можно убедиться непосредственно, является функция u(x,y) = sin x sin y, отличная

от тождественного нуля в области Б. При этом уравнение ихххууу решение.

- ux

= 0 имеет только нулевое

Библиографический список

1. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 296 с.

2. Березанский Ю.М. О задаче типа Дирихле для уравнения колебания струны // УМЖ. 1960. Т. 12, № 4. С. 363-372.

3. Вахания Н.Н. Об одной краевой задаче с заданием на всей границе для гиперболической системы, эквивалентной уравнению колебаний струны // ДАН СССР. 1957. Т. 116, № 6. С. 906-909.

4. Вахания Н.Н. О задаче Дирихле для уравнения колебаний струны // Сообщения АН Груз.ССР. 1958. Т. 21, №2. С. 131-138.

5. Фокин М.В. О задаче Дирихле для уравнения струны // Некорректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1981. С. 178-182.

6. Abdul-Latif A.I. Dirichlet, Neumann and mixed

Dirichlet - Neumann value problems for ux

О in

rectangles // Proc. Roy. Sos. Edinburgh. 1978. Ser. A, № 82. P. 107-110.

7. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР. 1987. Т. 297, № 3. С. 547-552.

8. Уткина Е.А. К общему случаю задачи Гурса// Изв. вузов. Математика. 2005. № 8. С. 57-62.

9. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское математическое общество, 2001. 226 с.

10. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

11. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 528 с.

2

2