Задача Неймана для одного уравнения четвёртого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА

Е. А. Уткина

Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет,

420021, г. Казань, ул. Татарстан, 2.

E-mail: eutkina1@yandex.ru

В прямоугольной области рассматривается задача Неймана для уравнения

2 2

L(u) = В2Х D u(x,y) а15 (х,у)Вгх Dy u(x,y) = f (x,y).

i=0 j=0 i+j< 4

Решение осуществляется редукцией к системе уравнений Фредгольма, 'разрешимость которых устанавливается при дополнительных условиях на коэффициенты уравнения на основе метода априорных оценок.

Ключевые слова: задача Неймана, псевдопараболические уравнения, задача Гурса.

Задача Неймана, хорошо известная для уравнений эллиптического типа, является одной из основных граничных задач математической физики [1,2]. В данной работе рассматривается уравнение

2 2

L (и) = D2x D^u (х, уН^Е aij ^, у) DX Dyu ^, y) = f ^, y), (1)

i=0 j=0 i+j< 4

являющееся обобщением уравнения Буссинеска—Лява [3], описывающего продольные волны в тонком упругом стержне с учётом эффектов поперечной инерции. Уравнения вида (1) в [4] названы псевдопараболическими. Будем использовать следующие обозначения [3]: D — оператор дифференцирования D^f = dkf/dtk при k € N и Df — оператор тождественного преобразования.

Пусть D = {0 < х < Х\, 0 < у < J/1}, р = [0, yi\, q = [0, a?i], а коэффициен-

ты уравнения (1) принадлежат классам € C'tJ(_D), / € C0,0(D).

Задача. Найти функцию и(х,у) € C2,2(D) П C1,0(D U р) П C0,1(D U q) П Cl,l(D), являющуюся в D решением уравнения (1) и удовлетворяющую условиям

Ux (0, y) = fi (y), Uy (x, 0) = фг (x) (2)

Ux (xi,y)= f 2 (y), Uy (x,yi)= Ф2 (x). (3)

Из принадлежности u(x,y) классу C1,1(D) следуют соотношения

fl (yi) = ф2(0), fl(0) = ф1(0), ф1 (xi) = f2(0), f2 (yi) = ф2 (xi).

Елена Анатольевна Уткина (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. информационных технологий в образовании.

Далее предлагается способ получения условий, обеспечивающих однозначную разрешимость поставленной задачи. Задача при этом редуцируется к уравнениям Фредгольма, однозначная разрешимость которых выводится из доказываемой на основе априорных оценок теореме единственности.

1°. Выпишем сначала решение задачи с условиями (2) и

и (0, у) = Ро (у) , и (х, 0) = фо (х). (4)

Соотношения (2), (4) есть граничные значения задачи Гурса, решение которой представляется формулой (6.26) из [7] (впервые полученной в [6]):

X у

и (х, у) = ро (у) + фо (х) - Ро (о) + У У Н (а, в, а, в) d|3da, (5)

оо

где

Н (х, у, х, у) = иху (х, у) = ф1 (х) К (х, 0) + (у) К (0, у) - р\ (0) К (0,0) -

- Р1 (у) р(0, у) - фо (х) р (х, 0) + Р1(0) р (0,0) - Ро (у) N(0, у) -

- фг (х) N (х, 0) + ф1 (0) N (0, 0) + ро (у) Т (0, у) + фо (х) Т (х, 0) -

у

- ро (0) Т (0, 0) - J [ро (3) (0, 3) - р1 (3) Я (0, 3)] d3—

о

X

- J [фо (а) F1 (а, 0) - ф2 (а) К (а, 0)] dа. (6)

При этом N = Кх - а12К, Р = Ку - а21К, К = Nx + ао2К, Я = Ру + а2оК,

Т = Кху - (а21К)х - (а12К)у + а11К, = Ту + (а2о)х - a10К, ^2 = Тх + (ао2К)у -

- ао1К, К — функция Римана. Здесь у функций К, N, Р, К, Я, Т, ^1, Г2 выписана только первая пара аргументов, второй всегда является (х,у).

Подобно тому, как это делается в [8], рассматриваем (5), (6) как общее представление искомого решения через произвольные функции Рк, фк, к = 0,1. Подставим в (6) аргументы точек (х,у{), (х1,у), учтём известные значения (2), (3), проинтегрируем соответственно по у и по х. Приходим к системе интегральных уравнений, в которой искомыми функциями являются ро, фо:

у

- Ро (у) N (0,у,х1, у) + Ро (0) ^ (0, 0,х1, 0) - ^ Т (0, 0,х1 ,п) drj)+

о

у у

+ фо (х1)У Т (х1,0,х1 ,п) dn + ! Р (п) (N.4 (0,п,х1, п) + Т (0,п,х1,п))^^п-

- ! I Ро (3) (0,3, х1, п) d3dn-оо

XI у

фо (а) У р2 (а, 0,х1 ,п) dпd3 = /1 (у), (7)

оо

X

- фо (х) Р (х, 0, х,у1) + фо (0) (Р (0,0,0, у1) - У Т (0,0, а, у1) dа) +

о

X X

+ Ро (у^У Т(0,у1 ,а,у1) dа + Уфо (С) (Р? (С, 0,С,у1) + Т(С, 0,С,у1))-

оо

у1 X

- ! Ро (3) J р1 (0,3,С,у1) dC.de -

оо

X а

- / / фо (а1) ^2 (а, 0, а1, у1) = /2 (х). (8)

оо

Функции /1, /2 в (7), (8) зависят от граничных значений (2), (3) и неизвестных постоянных Р (у1), Р (уо) = ф (хо), ф (х1). Для нахождения последних составим систему трёх уравнений. Первое из них получим, подставив в (7) у = у1, второе —в (8) х = х1, третье —в (6) у = у1, х = х1. Таким образом, указанные постоянные будут определены единственным образом через известные функции и данные Гурса (4), если

ёе1 А = 0, (9)

где

/ у1 у1 \

- *(О,^,»1) N (°, Мь 0)-1Т (°, Мь,) Л, /т(хь0-х1.4)^4

оо

XI XI

У Т (0, у1,С, у1) ЛС Р (0, 0, 0, у1) - У Т (0, 0, С, у1) ЛС -Р (х1, 0, х1, у1)

У Т(0, у1,х1,у1) Т(0,0,х1 ,у1) Т(х1,0,х1 ,у1) )

Для нахождения каждой из функций Ро, фо получим уравнения фред-гольмовского типа.

2°. Докажем единственность решения задачи (1)—(3). Для этого проверим, что при однородных условиях (2), (3) однородное уравнение (1) имеет только нулевое решение. Доказательство осуществляется методом априорной оценки с помощью энергетического неравенства [2].

А=

Воспользовавшись понятиями скалярного произведения и нормы в пространстве Ь2 [0, Х1] х [0, уі]:

хі Уі хі уі

(«,«) = // и (Х,у) V (Х,у) іф., ||а||2 = // и2 (Х,у) іуЬ,

0 0 0 0 вычислим скалярное произведение

2 2

(Ь (и), и) = (Д;Д^и + ЕЕ аЦ (х,у) Дх Щи,и \ =

V і=0І=0 )

і=0 ]=' г+]<4

Х1 уі / 2 2

22

ДХ^^и • и + Е Е а^ ДХ Дуи • и (х, у) йусіх.

Х~уи • и + 1^1^ аі]ДхДуи • и 0 0 \ і=0 з=0

і+і<4

Далее проинтегрируем выражение по частям и выпишем значения получившихся в результате преобразований слагаемых:

хі уі хі уі

2

У / иххуу(х,у)и(х,у)йуйх = \\иху II2 J ! а21 (х,у) ихху(х,у)и(х,у)йуйх

0 0 0 0

хі

^ j [{а2іи2х)(х,уі) - (а2і«я)(ж,0) )с!х+ 0

хі уі

У/( (І21хииХу 2^21 уих^ (х, у^СІуСІХ,

00

хі уі

! У аі2 (х,у) ихуу(х,у)и(х,у)йуйх = 00

уі

^ У ^(аі2Иу)(жі,г/) - (аі2^)(0,у) )(й/+ 0

хі уі

“Ь У У ^ Я>12уииХу ^0,\2хуиу^ {х, у^)СІуСІХ, 00

хі уі уі

У У а20 (Х,у) ихх(х,у)и(х,у)йуйх = ^ ((а20хи2)(хі,у)-(а20хи2)(0,у)) ^у+

0 0 0

хі уі хі уі

+ \ І І а2^иЧУйх У У 020 у2хйуйх,

0 0 0 0

хі уі

У І а02 (Х,у) иуу(х,у)и(х,у)йуйх = ^((а02уи2)(х,уі)-(а02уи2)(х, 0)) йх+

0 0 0

хі уі хі уі

^ Ц С^02уу^ &У&Х ~ ^ Ц

хі уі

У У а11 (х,у) иху(х,у)и(х,у)йуйх остаётся без изменений,

00

хі уі уі

1

У J аіо (х,у)их(х,у)и(х,у)сІусІх = ^ !{{аюи2)(хі,у) - (аюи2)(0,у)^у-

0 0 0

хі уі хі уі

~\J У а10хи2СІуСІХ У У аоі (х,у) иу(х,у)и(х,у)сІусІх =

0 0 0 0

хі хі уі

(ати2)(х,уі) - (аоіи2)(х,0)^йу ^ J а0іуи2гІугІх.

Тогда

хі уі

2 , [ [(а20хх (Х,у) а02уу (Х,у) аі0х (х,у)

(Ті \ Л _ II \\2, (а20хх (Х,у) .

(Ь (и) ,и) — \\иху\\ + М----------------------------Ь

2 2 2

00

а-оіу (х, у) ^ у)]и2 (х, у) (1ус1х+

2

хі уі

+ У У _ а20 (х,у)^и2х (х,у)(1у(1х+

00

хі уі

+ І І ^аі2ж^’^ _ а02 {х,у)^у2 (х,у) (1ус1х+

00

хі уі

+ 1 У((-аі2у - а2іх + ап)иих^ (х,у)йуйх-00

хі

- ^ І((а21иІ)(х,Уі) - (а2іиІ)(х,0)^сІх-

~\/ ((ai2^)(£Cl’ У)”(а12^)(0, у)) dj/ —У" ^(а2ОхУ2)(х1,У)-(а2ОхУ2)(0,у)У1у-0 0

xi yi

- j(iao2yy2)(x,yi)-(ao2yy2)(x,0)yix + ^ J({awy2)(xi, у)-(awy2)(0, у)^1у+

00

xi

+ ^ j{[ао1и2){х,у1) - (аО1У2)(х,0)у1х.

Функции aij (x,y) являются непрерывными на компакте, поэтому они достигают своих точных верхних и точных нижней граней. Введём обозначения sup aij (x,y) = saij, inf aij (x,y) = iaij и получим следующую

(x,y)eD (x,y)eD

оценку:

!т / \ \^ll 112 i и и 2 (ia20xx ia02yy sal0x sa01y . \

(L(u),u)^\\uxy\\ +|H| + -j-^+гаоо) +

i (ia21y ^ и 112 , (ia12x \n 2II ,

+ ^— -SO20J |pa;|| + ^— -SO02J |Py|| +

xi yi

+ У y^(-ai2y - a2ix + an)u«xy) (x,y)dydx-00

xi xi

— ^sa2i У y2(x, y\)dx + ^ia,2i J u2(x,0)dx—

00 yi yi

-^sau J y2y{xi,y)dy + ^mi2 J y<l(0,y)dy+

00 yi yi

+ (-sa20x + ^*aio) Jy2(xi,y)dy+ (ia2ox ~ ^saio) J у2(0,y)dy+

00 xi xi

+ sa02y + У u2(x,yi)dx + (ia02y - ^sa0J u2(x,0)dx.

Используя неравенства Коши—Буняковского и Коши:

£ IЬ12

|(и, г>)| ^ ||и|| • ||г>|| , \а ■ Ъ\ ^ - |а|2 + (справедливо Уе > 0) и учитывая, что V£4 > 0

(.Ь(и),и) = (/,«) < е4 ||/||2 +

получим

2 ^ и м2 Л І І І 'N . и u2 (ia20xx ia02yy sal0x sa0ly

+ ^ 2 2

^ .. v2 v2 ...1 Ііа'^-юш)\\4\

xi

+ гаоо — ^-£1(5А21ж)2 — ^2(^Оц)2 — £з(-§012у)2^ + ^— 5020^ Ц^ж || +

XI XI

+ ^а*2ж — 8002^ ||м2|| — ^021 J и2х{х,У\)(1х + ^М21 J и2(х,0)с1х —

оо у1 у1 у1

-^5012 J и1(Х1,у)с1у + ^М12 ! и2у(Ъ,у)(1у + (-8а20х + ]^а1^ J и2(Х1,у)с1у + о о о

у1 X1

+ (*020* - ^5аю) J u2(0,y)dy + (-8а02у + ^га01^) J и2(х, уl)dx+ оо

X!

+ (га02у - ^а0^ J u2(x,0)dx.

о

Потребуем неотрицательности коэффициентов при нормах и при интегралах: ia20xx ^ао2уу sa10x ®ао1у 1 / ч2

----------2-2“ + Шо° “ 4^ “ ^1(^21х) -

- £2(«аи)2 - £э(8а12у)2 ^ 0,

*а21у \ п iа12x \n-\n

~ за2о ^ 0, —------зао2 ^ 0, -за2\ ^ 0, ш2\ ^ 0, -5012 ^ О,

11

ш\2 ^ 0, —за2ох + 2*аю ^ 0) *й20ж — ^

1- ^«-,111»

—зао2у + -гао1 ^ 0, шо2у — — вао1 ^ О, 1 — ----------— ^ 0.

2 2 4£1 4£2 4£з

При этом оказывается, что 021 = а\2 = 0, ао2 ^ 0, а2 о ^Ои1-^--|^-

1

4е3

ia20xx ia02yy sa10x sa01y . 1 / \2 ^ n

— + —---------------j------i- + »oo-i--E2(»a„) SO.

Кроме того,

1. .1 1. .1

-iaio 5^ sa2ox ^ ia20x ^ —saio, —iaoi ^ sao2y ^ iao2y ^ —saoi,

и это означает, что точная нижняя грань функции не меньше точной верхней, следовательно, в неравенствах могут достигаться только равенства, то есть

^ttio = «202! = const, ^aoi = а02у = const. (10)

Следовательно, iaoo ^ + £2{sau)2. Пренебрегая значениями е\, £3, £4,

получим, что ia00 ^ (sa11 )2/4.

Полагаем теперь, что f = 0, соответственно, функция и может быть только нулевой.

При f = 0 рк = фк = 0 (к = 0,1). Система уравнений (7), (8) является тоже однородной. В силу доказанной единственности решения задачи эта система допускает в данном случае только нулевое решение. По теореме Фредгольма [1] это означает однозначную разрешимость неоднородной системы уравнений (7), (8).

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям (9), (10), ia00 ^ (sa11 )2/4, a20 ^ 0, a02 ^ 0, a21 = a12 = 0, то задача (1)-(3)

имеет единственное решение.

Условия теоремы являются существенными, подтверждением этому могут служить множество примеров. Приведём несколько. Рассмотрим, например, задачу Неймана для уравнения uxxyy + uxx = 0 в области D = [0, п] х [0, п] с условиями ux (0, y) = 0, ux(n,y) = 0, uy(x, 0) = 0, uy(x,n) =0 на границе. В нём коэффициент a20 = 1 > 0, а все остальные равны нулю, условие теоремы не выполнено. Решением является функция u(x,y) = cos x cos y, отличная от тождественного нуля в области D.

Другим примером может служить уравнение uxxyy+x2uxxy+y2uxxy+uxx + + uyy + u = 0 в этой же области с обсуждаемыми граничными условиями. Решением является u = cos x + cos y. Ещё одним примером является uxxyy + + uxxy + uxyy + xyuxx + xyuyy — 2yux — 2xuy + xyu =0 с решением u = — x cos x + + sin x — y cos y + sin y. Каждый раз в этом можно убедиться непосредственно.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976. — 528 с.

2. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. — 408 с.

3. Березанский Ю. М. О задаче типа Дирихле для уравнения колебания струны // Укр. матем. ж., 1960. — Т. 12, №4. — C. 363-372.

4. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка// Докл. АН СССР, 1987. — Т. 297, №3. — C. 547-552.

5. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Different. equations, 1972. — Vol. 12, No. 3. — P. 559-565.

6. Уткина Е. А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка. — Минск: Ред. ж. «Дифференц. уравнения», 1999. — 13 с. — Деп. в ВИНИТИ 28.06.99. — № 2059-В99.

7. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. — Казань: Казан. матем. общ-во, 2001. — 226 с.

8. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

Поступила в редакцию 24/VI/2009; в окончательном варианте — 17/IX/2009.

MSC: 35G16, 35K70

NEUMANN’S PROBLEM FOR ONE EQUATION OF THE FOURTH ORDER

E. A. Utkina

Tatar State University of Humanities and Education,

2, Tatarstan str., Kazan, 420021.

E-mail: eutkina1@yandex.ru

Neumann’s problem for pseudoparabolic equation of the 4th order in a rectangular domain is considered in the paper. The existence and uniqueness of solution are proved,.

Key words: Neumann’s problem, pseudoparabolic equations, Goursat problem.

Original article submitted 24/VI/2009; revision submitted 17/IX/2009.

Elena A. Utkina (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Information Technology in Education.