CC BY
21
84
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 2(76)
УДК 517.956
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО ТРЕХМЕРНОГО
УРАВНЕНИЯ
© 2010 Е.А. Уткина1
В прямоугольном параллелепипеде рассматривается задача Дирихле для псевдопараболического уравнения шестого порядка с двукратной старшей частной производной. Решение осуществляется редукцией к системе уравнений Фредгольма.
Ключевые слова: псевдопараболические уравнения, задача Дирихле.
1. Предварительные сведения
Задача Дирихле, возникшая в теории уравнений эллиптического типа, является одной из основных граничных задач математической физики [1, 2]. Для гиперболических уравнений она исследовалась в [3-6]. В данной статье речь идет об уравнении
Ни) = Ё ачк(х,у,г)ОХОУО1;и(х, у, г) = /(х,у,г),а222 = 1, (1.1)
которое можно считать обобщением уравнений Манжерона [7] и Бусси-неска — Лява из теории колебаний [8, формула (20)], а также усложнением уравнения Бианки [9], связанного с интегральным представлением одних дифференциальных операторов через другие [10] и играющего важную роль в теориях аппроксимации и отображений [11, с. 109].
Используя обозначения, введенные в [8], считаем, что
2
Окт = дкт/д+к если к = 12 •
оператор тождественного преобразования, если к = 0.
1 Уткина Елена Анатольевна ([email protected]), кафедра информационных технологий в образовании Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета, 420021, Россия, г. Казань, ул. Татарстан, 2.
2. Основной результат
Пусть Б = {0 < х < х1, 0 < у < у1, 0 < г < г1}. Обозначим через Х0, Х1, У0, У1, Z0, Z1 грани Б при х = 0, х = х\, у = 0, у = у1, г = 0, г = г\ соответственно. Полагаем, что гладкость коэффициентов из (1.1) определяется включениями аа^ € С(Б) , f € С0'0'0 (Б), где Са'в'1 есть класс непрерывных в Б вместе с их производными дг+3+г/дхгдуядг* (г = 0,.., а; в = 0, t = 0, функций.
Задача. Найти функцию и (х, у, г) € С2'2'2 (Б) П С100 (Б и Х0) П ПС010 (Б и Щ П С0'0'1 (Б и П С000 Б,
являющуюся в Б решением уравнения (1.1) и удовлетворяющую условиям
и |х0 = Р0 (у, г) ,и |Уо = ф0 (х,г) ,и\z0 = 00 (х,у), (2.1)
и |х1 = Р2 (у, г) ,и \у1 = ф2 (х, г) ,и |zl = 02 (х, у) . (2.2)
Для принадлежности и € С0'0'0 (Б) предположим
Р0 (0, г) = ф0 (0, г), р (у, 0) = 00 (0, у), Ф0 (х, 0) = 00 (х, 0), р0 (у1,г) = ф2 (0, г), р0 (у, г1) = 02 (0, у), ф0 (х1, г) = р2 (0, г), р2 (у, 0) = 02 (х1,у).
При этом будем считать согласующиеся значения непрерывно дифференцируемыми.
В данной работе выводятся достаточные условия однозначной разрешимости сформулированной задачи. Это делается с помощью редукции к системе уравнений Фредгольма и использования метода априорных оценок.
1. Нам потребуется решение задачи Гурса с условиями (2.1) и
их |хо = (у, г) , иу |уо = ф1 (х, г) и ^о = 01 (х,у) , (2.3) которое существует и единственно. Оно дается формулой из [12]:
где
и(х, у, г) = Б-2Б-2Б-2 [Я/] + Б-1 Б-1 Б-1 И + Р0 (у, г) + +ф0 (х, г) + 00 (х, у) - р0 (0, г) - Ф0 (х, 0) - 00 (0, у) + р0 (0,0).
222
и (х, у, г,х,у,г) = ^^И —У1 ^^ х
11=0 г2=0 гз=0
х Бгу2~1Б13-1 (р.1_1 (у, г)) Яг1г2гя (х0, у, г) гп (к = 0) + +Бгх^-1БгГ1 ф_1 (хх,г)) г2гз(х, 0,г)гп(12 = 0)+ +БХ^1БУ2~1(0Ч_1 (х,уШ^гз(х,у, 0)гп(г3 = 0)--Бгу2~1Б13~1(р11_1 (0, г))ЯЧг2гз(0, 0, г)гп(г1 = 0)гп(г2 = 0)--БХ1~1БУ2~1(0Ч_1 (0,уШ 1г2гз(0,у, 0)гп г = 0) гп(г3 = 0)-
(2.4)
-Б^-^1?-1 (ф,— (х, 0^ ЯЧг2гя (х, 0,0) гп (ъ = 0) гп (12 = 0) +
+Бг2-1Б13-1 (0,0Я Яг, г2г3 (0,0,0) гп (п = 0) гп(%2 = 0)гп(гз = 0)]
Яч г2гз ^(-1)а1^2+оЯ х
«1 =г1 «2=2 аз=гз
хБХ1-г1 Ба-г2Баз-гз (а«1«2«з (а, в, 1) Я (а, в, 7, х, у, г)). При этом гп (г\ =0) =0, если =0 и слагаемое зависит от хо = 0, и гп (г\ = 0) = 1 в остальных случаях. Аналогично понимается гп (12 = 0) = = 0 и гп (гз = 0) = 0, только слагаемое зависит уже от уо = 0 и го = 0 соответственно. Здесь Я — функция Римана.
Проинтегрируем и (х, у, г, х, у, г) по одному разу по каждой из переменных и подставим в (2.4). Введем операторы
(Е1т\)(х,у,г) = т\ (у, г) Бх Я222(0,у,г) -
2
- Б
-1
- Б,
-1
+ О- 1 Б- 1
т 1 (у,г) 1 т 1 (у, г) 1 тЛу,г)°:
^П-1Я223 (0,у,г)
3=1 2
Я2г2 (0,у,г)
г=1
+
-1
х
£ Ву-1В1~1Я2гз(0,у,г)
г,з=1
+Б-2 [т1(у,г)Б-1 [Я202(0,у,г)]\ -
-В-2В-1
у X
тЛу,г)БХ1 £ ОХ-1Я203 (0,у,г) 3 = 1
+Б-2Б-2 [т1(у,г)Б-1 [Я2оо(0,у,г)]] -
+
-В-1В-2
у X
тЛу,г)°:
-1
х
^ОУ-1Я2го(0,у,г)
,г=1 1
+
+Б-2 [т1(у,г)Б-1 [Я22о(0,у,г)]] ,
(^2ф{)(х, у, г) = ф1(х,г)Б-1Я222(х, 0,г)-
-Б
1
ф1(х,г) Б,
-1
у
-Б
1
ф1(х,г)Бч 1
^°1-1Я22з (х, 0,г)
3 = 1 2
БХ-1Яг22 (х, 0,г)
,г=1
+
+
+Б-1Б-1
Р1(х,г)Б,
-1
у
^БХ~1Б1-1Яг23 (х, 0,г)
г,3=1
+
+Б-2 [ф1(х, г)Б-1 [Я022(х, 0, г)]] -
Б-2Б-1
х ^ X
ф1 (х, г) Б
-1
у
^Б1-1Я023 (х, 0,г)
3 = 1
+Б-2Б-2 ф (х, г) Б-1 [Я020 (х, 0, г)]] -
+
—Б-1 Б-2
Х X
ф1(х,г)Б,
-1
у
^Бгх-1Яг20(х, 0,г)
г=1
+
+Б-2 [ф1(х,г)Б-1 [Я220(х, 0, г)]] , (Е301)(х, у, г) = 01(х, у)Б-1 Я222(х, у, 0)-
Б
1
1
Б
+Б-1Б-1
01(х,у)Б-
01(х,у)Б-
^БУ~1Я232(х,у, 0) =1 2
52БХ-1Яг22(х,у, 0)
у=1 2
+
01(х,у)БХ1 52 БХ~1Б3у~1Яг32(х,у, 0) г,3=1
+Б-2 [01(х,у)Б-1 [Я022(х,у,
+
Б-2Б-1
^ Х у
01(х,у)Б_
1
52Бу~1Я032(х,у, 0)
3=1 1
+
+Б-2Б-2 [01 (х, у) Б-1 [Я002 (х, у
- Х у
01 (х,у) Б
-1
X
52БХ-1Яг02 (х,у, 0)
г=1
+
+Б-2 [01 (х,у) Б-1 [Я202 (х, 0, г)]] . Тогда (2.4) можно переписать в виде:
(Ер)(х, у, г) + Еф1)(х, у, г) + (Е301)(х, у, г) +
уууВ(0'0'0'£'ПХ)а(апЛ(
+
Х1 У1 21
/ / / Я(0'0'0£'ПХ
(11 (х1,у1,г{) -
-(Е1ф1)(х1,у1 ,г{) - (Е2ф1)(х1,у1,г{) - (Е301)(х1,у1,г{)) = 11 (х,у,г),
(2.5)
где 11 (х,у,г) зависит только от известных функций.
Считая (2.4) общим представлением искомого решения через рк, фк, 0к, к = 0,1, подставим в (2.5) аргументы точек (х1,у,г), (х,у1,г), (х,у,г1),
(х1,у1 ,г1). С учетом того, что значения (2.1), (2.2) известны, приходим к системе интегральных уравнений:
(Ет)(х1,у,г) + (Е2ф1)(хъу,г) + (Е0)(хъу,г)+
Х1 У г
/ / / я(о,о,о,£,п,СЖ^^
+1?гУт0Т-(Т1 (х1,у1,г{) -
/ / / я(о,о,о,£,п,СЖ^^
ООО
-(Е1т1)(х1,у1,г1) - (Е2ф{)(х1,у1,г1) - (Ез0{)(х1,у1,г1)) = 11 (х1,у,г), (Ет)(х,у1,г) + (Е2ф1)(х,у1,г) + (Е301)(х,у1,г) +
х У1 г / / /
+ У01 УД-(11 (х1,у1,г{) -
/ / / я(о,о,о,£,п,Олсл-п^
ООО
-(Ет)(х1,у1,г1) - (Е2ф1)(х1,у1,г1) - (Ег0{)(х1,у1, г1)) = 11 (х,уъг),
(2.6)
(Е1т1)(х,у,г1) + (Е2ф1)(х,у,г1) + (Ег0{)(х,у,г1)+
х У У1 / / /
+ У010010О1-(11 (х1,у1,г{) -
/ / / я(о,о,о,£,п,Олсл-п^
ООО
-(Ет)(х1,у1,г1) - (Е2ф1)(х1,у1,г1) - (Ег0{)(х1,у1, г1)) = 11 (х,у,г1), в которой искомыми функциями являются т1, ф1, 01. Таким образом, для нахождения каждой из функций т1, ф1, 01 получим уравнения фредголь-мовского типа.
2. Докажем теперь единственность решения задачи (1.1)-(2.2). Для этого проверим, что при однородных условиях (2.1), (2.2) однородное уравнение (1.1) имеет только нулевое решение. Доказательство осуществляем методом априорной оценки с помощью энергетического неравенства [2]. Воспользовавшись понятиями скалярного произведения в пространстве
Х1 У1 Х1
Ь2 [0,х1] х [0, у1] х [0, г1] (п,у) = / / / и (х,у,г) V (х,у,г) йгйуйх и нормы
ооо
Х1 У1 У1
1М1 = // / и2 (х,у,г) dгdydx, вычислим скалярное произведение ооо
222
(Ь (и), и) = (БХ Б2уБ2ги + Е 3 (х, у, г) Бгх Бу Бк и, и) =
г=о з=о к=о г+з+к<4
Х1 У1 Х1 2 2 2
(БХБ2Б22и ■ и + ^ ^ ^ агзк (х, у, г) БгхБуБХки ■ и)йгйуйх.
ооо г=о з=о к=о
г+з+к<4
Х1 У1 Х1
Для более компактной записи обозначим = . Проинтегриру-
123 ооо
ем выражение в правой части последнего равенства по частям и выпишем значения получившихся в результате преобразований слагаемых:
иххуухх(х, у, г)и(х, у, г)йгйуйх = - \\пХуХ
2
123
/ (а22\Пххууги) (х,у,£) (г(у(х = -1 / (й221ххуугУ2 + а221хухПхПу + 123 123
+а221хууУхУх - а221ххуУуих)(х, у, г)йгйуйх + 1 / (й221хххи% + а221уухУ^-
123
-а221хУ2ху)(х,у, г)йгйуйх - / (а221хУхуиух + а221уУхуУхх)(х, у, г)йгйуйх,
123
/ (а212Уххугги) (х,у, г) йгйуйх = - 2 / (а212ххуххУ2 + а212хухУхУу +
'2 3 \и'2Г2ххухх ^^ "Г и-212хухи-хи-у-123 123
+а212хххУ'хУ'у - а212хххУуУх)(х, у, г)йгйуйх + 1 / (а212ххуи2 + а212уххи2х-
123
-а212уи2хх)(х, у, г)(г(у(х - / (а212хУххУух + а212хУхуУхх)(х, у, г)(г(у(х,
123
/ (а\22Ухуугг и) (х,у,г) йгйуйх = - % / (а122хуухх У2 + а122хух Уу Ух + 123 123
+а122ухх и хиу а122уух УхУх)(х, у, г)(г(у(х + 2 / (а\22хууи2х+
123
+а\22хххи2 - а122хУух)(х, у, г)(г(у(х-
- / (а\22уУхх Уух + а\22х Уху Уух )(х,у, г)(г(у(х,
123
/ (а220Уххууи) (х, у, г)йгйуйх = - / (1 а220ххууи2 + а220хуУхУу+
123 123
+2 а220ххУУу + 2а220ууУ2х - а220У2ху)(х, у, г)йгйуйх,
/ (а202Уххххи) (х, у, £)йгйуйх = - / (1 а202ххххи2 + а202ххУхУх + 123 123
+1 а202ххи2х + 2а202ххи2х - а202У2хх)(х, у, г)(г(у(х,
2 2и2хх ^х I 2 20'2х^х ^202 "<хх)
,2 а0'22ууххи' I и->022ух1-1"у1-1'х
/ (а022Ууухх и) (х, у, г)(г(у(х = - / (1 ао22уухх и2 + ао22ух Уу Ух +
123 123
+2 а022ууи2 + 2а022ххиу - а022У2ух)(х, у, г)йгйуйх,
/ (а2\\иххухи)(х,у,г) (г(у(х = /(1 а2Иххухи2 + а2\\ хиху их
123 123
-а211хх Ух Уу - 2 а211ух У2х + а21\ихх Уху )(х, у, г)(г(у(х,
/ (а\2\ихуух и) (х, у, г) (г(у(х = / ( 2 а121хуух и2 + а121у Уху Ух -123 123
-а121у х их иу 2а\2\ххи2 + а\2\ихуУух)(х, у, г)(г(у(х,
/ (а\12ихуххи)(х,у, г)(г(у(х = / (2аП2хуххи2 + аП2хУухУх-123 123
-а\\2хх Ух Уу - 2 а112ху и2 + аП2ихх Уух )(х, у, г)(г(у(х,
/ (а210Уххуи)(х, у, г)йгйуйх = / (-1 а210ххуи2+ 123 123
+а210 хихиу+ 1 а210уих)(х, у, г)(г(у(х,
/ (а201Ухххи)х, у, г)йгйуйх = / (-1 а201хххи2+ 123 123
+а201 хихих + 1 а201хи2хх)(х, у, г)(г(у(х,
f (ao2lUyyzu)(x,y,z)dzdydx = J (-1 ao2lyyzu2+
123 123
+ao2lyUyUz + 1 ao2lzUy)(x,y, z)dzdydx, J (al20Uxyyu)(x, y, z)dzdydx = J (-1 al20xyyU2+
123 123
+al20yUxUy + 1 al20xuy)(x,y, z)dzdydx,
J (al02Uxzzu)(x,y,z) dzdydx = J (-1 aW2xzzu2+ 123 123
+al02z UxUz + 1 al02xuz, )(x,y,z) dzdydx,
f (aol2Uyzzu)(x,y,z) dzdydx = f (-1 aol2yzzu2+ 123 123
+aol2z Uy Uz + ^ aol2y u2z)(x,y, z)dzdydx, f (alllUxyzu)(x,y,z) dzdydx = f (-1 aUlxyzu2+
123 123
+2alllzUxUy - alllUxyUz)(x, y, z)dzdydx,
J (a200UxxU) (x, y, z) dzdydx = J (1 a2ooxxU2 - ^a2oouX)(x, y, z)dzdydx, 123 123
J (ao2oUyyu) (x, y, z) dzdydx = J' (1 ao20yyu2 - ^ao2ou2)(x, y, z)dzdydx,
123 123
f (a002uzzu) (x, y, z) dzdydx = f ( 1 a002zzu2 - 1 a^u2)(x, y, z)dzdydx,
123 123
J (alloUxyU) (x, y, z) dzdydx = J (2anoxyU2 - ^aUoUxUy)(x, y, z)dzdydx,
,2^lloxyu 2'
123 123
J (alolUxzu) (x, y, z) dzdydx = f (2aWlxzu2 - ^aWlUxUz)(x, y, z)dzdydx,
123 123
f (a011uyzu)(x,y,z) dzdydx = f(2a011yzu2 - 1 a011uyuz)(x,y,z)dzdydx,
123 123
f (a100uxu) (x,y, z) dzdydx = -2 f a100xu2(x,y, z)dzdydx,
2
123 123
f (a010uyu) (x, y, z) dzdydx = -2 f a010yu2(x, y, z)dzdydx,
123 123
f (a001uzu)(x,y,z) dzdydx = -2 f a001zu2(x,y, z)dzdydx,
........ u,2(
123 123
f (a000u ■ u)(x,y,z) dzdydx = f a000u2(x,y,z)dzdydx.
123 123
Тогда
(L (u), u) = (f, u) = — \\uxyz У2 - 2 f ЕЕ Е ((-iy+j+k+1Dl Dy Dkzal]k u2)(x,y,z)dzdydx+
123 i=0 j=0 k=0 0<i+j+k<6
2 2
+ f (aooou2)(x, y, z)dzdydx — 2 f (E E(—i)j+k x
123 123 j=0 k=0
j+k<4
xD3yDZza2jkuX)(x, y, z)dzdydx— f22
— 21 (£ E(—1)i+k DX Dlkai2k u"2 )(x, y, z)dzdydx—
123 i=0 k=0 i+k<4
f 2 2 j
— 2 J (E E(—1)i+jDXD3yaij2u2z)(x,y,z)dzdydx—
123 i=0 j=0 i+j<4
— J (1 a221z — a22o) (x, y, z) uXy (x, y, z) dzdydx—
123
— J (1 a212y — a202) (x,y,z) u2xz(x,y, z)dzdydx—
1223
*...... .....................2
123
+ f (uxuy)(x,y,z)( — 2a221xyz — 2a212xzz — 1 a122yzz — a220xy— 123
— J (2a122x — a022) (x, y, z) u2z (x, y, z) dzdydx+
a211xz a121yz + a210x + a120y + 2an1z — 1 auo)(x, y, z)dzdydx+ + J (uyuz)(x,y,z)x
123
x( 1 a221xxy + a221xxz + 2 a122xyz — a022yz — a112xz + a021y +
+a012z — 2a011) + f (uxuz)(x,y,z)( 1 a221xyy — ^a212xyz + 2a122yyz 123
—a202xz + a201x + a102z — 1 a101)(x, y, z)dzdydx+
+ f (uxyuyz)(x,y,z)(—a221x — a122z + a121)(x,y,z)dzdydx+ 1f23
+ J (uxyuxz)(x,y,z)(—a212z — a221y + a211)(x,y,z)dzdydx+
1f23
+ I (u xz uyz ^(x, y, z)( — a122y — a212x + a112)(x, y, z)dzdydx+ 123 f
+ J (uyzux)(x,y, z)(a112z)(x,y,z)dzdydx+
f 123
+ f (uxyuz)(x,y,z)(a121y + a211x — am)(x,y,z)dzdydx.
123
Так как функции aijk (x, y, z) являются непрерывными на компакте, то они достигают своих точных верхних и точных нижней граней. Введем обозначения sup aijk (x,y,z) = saijk, inf aijk (x,y) = iaijk. Для ком-(x,y,z)eD (x,y,z)eD
^ а Г sank, если t нечетное;
пактности записи обозначим Atank = \ ■
У iaijk, если t четное.
Умножив обе части полученного равенства на -1, получаем оценку
2 2 2
- (f, и) > \\uXyZ у2 + (2 ЕЕЕ (-1)i+j+k+l х
i=0 j=0 k=0 0<i+j+k<6
xAi+j+k+iDXDyDzaijk - saooo) \\и\\2 +
+2E E (-1)j+k Aj+k Dy Dk a2jk \\ux\\2 + 1EE (-1)i+k Ai+k DX Dkz ai2k \\uy \\2 + j=0 k=0 i=0 k=0 j+k<4 i+k<4
i 2 2 i+j i j 2 i 2 +2 £ T,(-1)i+j Ai+j DX Dy aij2 \\u,z\\ + (1 ia22iz - sa22o) \\uXy\\ + i=0j=0 i+j<4
+(1 ia2i2y - sa202) \\Uxz\ + (2iai22x - sa022) \\Uyz\\2 +
+( 2 ia22lxyz + 2 ia2l2xzz + i ial22yzz + ia220xy + ia2llxz + ial2lyz -
-sa2iox - sal20y - 2saiiiz + 2iauo) f (UxUy)(x,y, z)dzdydx+
l23
+( 2 sa22lxxy -2 sa22lxxz + 2 ial22xyz + ia022yz + iall2xz sa02ly sa0l2z +
+1 ia0ii) J (UyUz)(x,y, z)dzdydx+
l23
( ■ ■ ■ \
+ (-^sa22lxyy + ^ia2l2xyz - ^sal22yyz + ia202xz - sa20lx - sal02z + ^ial0l)X
x J(uxUz)(x,y, z)dzdydx + (ia22ix + iai22z - sai2i) J(UxyUyz)(x,y, z)dzdydx+
l23 l23
+(ia2i2z + ia22iy - sa2ii) J (UxyUxz)(x,y,z)dzdydx+
l23
+ (iai22y + ia2l2x - saii2) j (u xz Uyz y,z)dzdydx-
l23
-saii2z J (UyzUx)(x, y, z)dzdydx + (-sai2iy - sa2iix + iaiii) x l23
x J(uxyuz)(x,y, z)dzdydx.
xy z
l23 2 2 2
Обозначим ai = l £ £ £ (-1)i+j+k+l Ai+j+k+DDyDkz j - sa000, i=0 j=0 k=0 0<i+j+k<6
1 2 2 1 2 2
a2 = 1 £ Y,(-1)j+k Aj+k Dy Dk a2jk, a:i = ^ Т,-)*" Ai+k D'x D"^, j=0 k=0 i=0 k=0
j+k<4 i+k<4
2 2 j
a4 = l £ £(-1)i+jAi+jdxDyaij2,a5 = 2ia22iz - sa220,a6 = 2ia2i2y -i=0 j=0 i+j<4
- sa202,a7 = liai22x - sa022• Используя неравенства Коши — Буняковского
2 1612
\(u,v)\ ^ 1М| • ||v|| , Коши "с е": \а ■ b\ ^ 2 \а\ + ^, справедливое при любом
е > 0, а также неравенство Пуанкаре — Фридрихса [2]: ||их||2 ^ !ии2 (Ci — известная постоянная), получим
2
2 + ^ - (f,u) ^ иуH2 + (ai - е1) ЦиЦ2
+(а2 - е2) Ци,хЦ2 + (аз - е\) ЦщЦ2 + (а4 - е\) ЦихЦ2 + (а5 - е£) ЦиХуЦ2 +
2^1 1\ II ||2
+(а6 - е6) ЦихгЦ2 + (ат - е7)
Ьхх\\ + (а7 - е7) \\иух\\ ,
где е\ > 0 (к = 17) представляют собой линейную комбинацию квадратов коэффициентов уравнения (1.1), в качестве множителей в которой выступают произвольные е > 0 из неравенства Коши "с е". Используя далее неравенство Пуанкаре — Фридрихса, получим
2 м2/ (е 1\ 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
^ \\ихух\\ (1 - (4 + е1)С1 С2 С3 - е2С2 С3 - е3С1 С3 - е4С1 С2 - е5С3 -
1 2 1 2 2 2 2 -е С - е7С2) + а1 \\и\\ + а2 \\их\\ + а3 \\иу\\ +
+а4 \\их\ + а5 \\иху\\2 + а6 \\ихх\\2 + а7 \\иух\ .
Потребуем неотрицательности коэффициентов при нормах , а 1 - (| + + е i)C2C2C2 - е2С2С2 - е3С2С2 - е\С2С2 - еС - е\С% - е\С2 = 0 (в силу произвольности е и е\ этого можно добиться). Полагаем теперь f = 0, получим, что функция и может быть только нулевой.
При f = 0 pk = Фк = 0 (k = 0,2). Система уравнений (2.6) является тоже однородной. Эта система, в силу доказанной единственности решения задачи, допускает в данном случае только нулевое решение. В силу теоремы Фредгольма [1] это означает однозначную разрешимость неоднородной системы уравнений (2.6).
Таким образом, имеет место
Теорема. Если коэффициенты уравнения (1.1) удовлетворяют неравенствам
ак ^ 0(k = 1, 7), то задача (1.1)—(2.2) имеет единственное решение.
Условия теоремы являются существенными. В подтверждение приведем два примера уравнений с нулевыми условиями на границе области D = = [0,1] х [0,1] х [0,1], которые имеют ненулевые решения задачи Дирихле в случае нарушения указанных условий. Рассмотрим уравнения иххуухх + + п2иуухх = 0, иххуухх - п4ихх = 0. Их решением, в чем можно убедиться непосредственно, является и (x,y,z) = sin пх ■ sin пу ■ sin nz, отличная от тождественного нуля в D. В первом из них коэффициент ао22 = п2 > 0, а все остальные равны нулю, условие теоремы не выполнено (следует из положительности ат). Во втором уравнении коэффициент а2оо = -п4 < 0, являющийся слагаемым в а2, должен быть положительным.
е
Литература
[1] Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 528 с.
[2] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
[3] Березанский Ю.М. О задаче типа Дирихле для уравнения колебания струны // УМЖ. 1960. Т. 12. № 4. С. 363-372.
[4] Вахания Н.Н. Об одной краевой задаче с заданием на всей границе для гиперболической системы, эквивалентной уравнению колебаний струны // ДАН СССР. 1957. Т. 116. № 6. С. 906-909.
[5] Фокин М.В. О задаче Дирихле для уравнения струны // Некорректные краевые задачи для неклассических уравнений мат. физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1981. С. 178-182.
[6] Abdul Latif A.I. Dirichlet, Neumann and mixed Dirichlet-Neumann value problems for uxy = 0 in rectangles // Proc. Roy. Sos. Edinburgh. 1978. Ser. A. № 82. P. 107-110.
[7] Mangeron D. New methods for determining solution of mathematical models governing polyvibrating phenomena // Bul. Inst. politehn. Jasi. Sectia 1. 1968. V. 14. № 1-2. P. 433-436.
[8] Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР. 1987. Т. 297. № 3. С. 547-552.
[9] Фаге М.К. Задача Коши для уравнения Бианки // Матем. сб. 1958. Т. 451(87). № 3. С. 281-322.
[10] Фаге М.К. Операторно-аналитические функции одной независимой переменной // Тр. Моск. матем. о-ва. 1958. Т. 7. С. 227-268.
[11] Бондаренко Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных уравнений в частных производных. Ташкент: ФАН, 1987. 146 с.
[12] Уткина Е.А. Задача Гурса для одного n-мерного уравнения // Вестник Самарского государственного университета. Спец. выпуск. 2004. С. 64-67.
[13] Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское матем. о-во, 2001. 226 с.
Поступила в редакцию 26/XI/2009;
в окончательном варианте — 26/XI/2009.
DIRICHLET'S PROBLEM FOR ONE 3D EQUATION
© 2010 E.A. Utkina2
In the paper Dirichlet's problem for pseudoparabolic equation of the 6th order in a rectangular domain is considered. The existence and uniqueness of the solution are proved.
Key words: pseudoparabolic equation, Dirichlet's problem.
Paper received 26/XI/2009. Paper accepted 26/XI/2009.
2Utkina Elena Anatolievna ([email protected]), Dept. of Information Technologies in Education, Tatar State Humanitarian-Pedagogical University, Kazan, 420021, Russia.
