CC BY
37
98
УДК 517.956
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 4(78).
О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ПОЛУИНТЕГРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
© 2010 Е.А. Уткина1
В прямоугольной области, образованной характеристическими плоскостями уравнения четвертого порядка с двукратной старшей частной производной, выводятся достаточные условия единственности решения полуинтегральной задачи. Эти условия записываются в терминах коэффициентов уравнения, а проводимые рассуждения основаны на методе априорных оценок.
Ключевые слова: псевдопараболические уравнения, задача Гурса, интегральные условия на характеристиках.
1. Предварительные сведения
В области Б = {0 <х <х\, 0 <у < у1 рассматривается уравнение
2 2
Ь (и) = БуБ2уи (х, у) + °*3 (х, у) Буи (х, у) = I (х, у), (1)
¿=0 3=0
¿+3<4
являющееся обобщением уравнения Буссинеска — Лява [1], описывающего продольные волны в тонком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции. Как и в [1], полагаем <р = дк^/дЬк при к = 1, 2,.., при этом Б0 — оператор тождественного преобразования. Задача Гурса для (1) состоит в отыскании функции и (х, у) е С2'2 (Б) П о1'0 (Б и р) П С0'1 (Б и д), где р = [0, у1], д = [0, х1], являющейся в Б решением этого уравнения по граничным значениям
и (0, у) = ^0 (у), и (х, 0) = ф0 (х), (2)
их (0, у) = ^2 (у), иу (х, 0) = ф2 (х), (3)
для которых выполняются условия согласования
^0 (0) = Ф0 (0), ^у (0) = ф0 (0), фу (0) = ^0 (0).
Ее решение изложено в [2, 3].
1 Уткина Елена Анатольевна (Eutkina1@yandex.ru), кафедра информационных технологий в образовании Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета, 420021, Россия, г. Казань, ул. Татарстан, 2.
2. Основной результат
В данной заметке изучается
Полуинтегральная задача. Найти функцию и (х, у) € С2,2 (П) П
С1,0 (П и р) П С0,1 (П и д) П С1,1 (П) , являющуюся в Б решением уравнения (1), удовлетворяющую условиям (2) и
Х1 У1
J и (4, у) = (у) (у € р), ! и (х, п) ¿п = ф1 (х), (х € д). (4)
00 Задачи с интегральными условиями исследуются в последнее время в работах ряда авторов (см., например, [4-6]). Здесь доказывается теорема единственности решения сформулированной задачи: мы проверяем, что при однородных условиях (2), (4) однородное уравнение (1) имеет только нулевое решение. Доказательство осуществляем методом априорной оценки с помощью энергетического неравенства [7].
Воспользовавшись понятиями скалярного произведения в пространстве Х1 У1 2 Х1 У1
¿2 [0, Х1] X [0, У1] (и,и) = § / и (х,у) V (х,у) вуйх и нормы ||и|| = / / и2 (х,у) ¿уйх,
0 0 0 0
вычислим
22
(Ь (и), и) = (П1 п2уи + Е Е ац (х, у) ЩПУи, и) =
¿=03=0 ¿+¿<4
Х1 У1 2 2
П1г
0 0 ¿=03=0 ¿+¿<4
= / / (ПХП'2и ■ и + Е Е ПгхПуи ■ и) (х, у) ¿уйх.
х у
Положим и = § § и (4,п) Пи применим интегрирование по частям. Значения
00
получившихся в результате преобразований слагаемых даются формулами:
Х1 У1 Х1 У1
/ / иххУУ (х, у)и(х, у)ё,уё,х = -/ /их(х,у)иУ (х, у)йуйх,
0 0 0 0
х1 У1 Х1 У1 Х1 У1
/ / а21 (х,у) иххУ (х,у)и(х,у)йуйх = - 2/ / а21хххУУ и^ёуёх + / / а21хУУ и2х ¿у^х+ 0 0 0 0 0 0
х1 У1 х1 У1 Х1 У1 Х1 У1
-5/ / а2lxxxVуdydx + / / а21ххУихиУЗуЗх - / / а21УихУиххххЗуЗх - §/ / а21и2с
0 0 0 0 0 0 0 0
х1 У1 Х1 У1 Х1 У1
/ / а12 (х,у) ихУУ (х,у)и(х,у)с!ус1х = - 2/ / а12ххУУУ и2 ¿ус1х + / / а12ххУ и'У)йу^х+ 0 0 0 0 0 0
х1 У1 х1 У1 Х1 У1 х1 У1
+ 5/ / а12УУУи2х¿уёх +/ / а12хУУихиУ¿уёх - / / а12хихУиУУйуйх - §/ / а12и2ё,уё,х,
0 0 0 0 0 0 0 0
х1 У1 Х1 У1 Х1 У1
/ / а20 (х,у) ихх(х,у)и(х,у)в,ув,х = 1 / / а20хххУи2с1ус1х - / / а20хУи2¿уйх-
0 0 0 0 0 0 х1 У1 Х1 У1
- / / а20ххихиУ¿уйх + / / а20ххиххихУйуйх, 0 0 0 0
х1 У1 Х1 У1 х1 У1
/ / а02 (х,у) иУУ (х,у)и(х,у)вув,х = 1 / / а02хУУУ и2с1ус1х - / / а02хУ иУ ¿уйх-
0 0 0 0 0 0 х1 У1 Х1 У1
- / / а02УУихиУйуйх + / / а02ххиУУихУйуйх, 0 0 0 0
Х1 У1 XI У1 XI у1
/ / «11 (хх у) иху (х,
у)и(х,у)3у3 х — 11 / / «11ххуу V23у3х — § § «11ху ^х^у 3у3х — 0 0 0 0 0 0 х1 у1 Х1 у1 Х1 у1
— X I I «11ууу"х3у3х — у § f ацххуувуЗ,х + ^ ^ аци23у3х,
2 0 0 2 0 0 0 0 Х1 у1 Х1 у1 х1 у1
/ / «10 (х, у) их(х,у)у(х,у)3у3х = — 2/ / а10ххуV2ЗуЗх +/ / «юх^х^у3у3х+
0 0 0 0 0 0 Х1 у1
+ X / / «10уVхЗуЗх, 2 0 0
Х1 у1 Х1 у1
/ /а01 (х, у) иу (х,у\о(х,у)3у3х = — X/ / а01хуу v23y3x+ 0 0 0 0 х1 у1 х1 у1
+ / / «01уVxVy3у3х + X / / а01х'и2у3у3х, 0 0 0 0 Х1 у1 Х1 у1 Х1 у1
/ / а00 (х, у) и(х,у^(х,у)3у3х = — 2/ / а00хуго23у3х +/ / «00'0х0у3у3х. 0 0 0 0 0 0
Следовательно,
(Ь (и), V) = / /( — ^^^ — 3а2(ху + «00 (х, у))и2 (х, у) 3у3х+
0 0у
+ / 1(«21хуу (х, у) + а12ууу (х'у) — ^^фУ! —
2
0 0 у
—«20ху (х, у) + ^Х^ V (х, у) 3у3х + / /( а21ххх(х'у) +
00
_ х(х,у
у «02ху vx, у У 1 2 ^у
+«12хху (х, у) — а11хху(х'у) — а02ху (х, у) + а01х2(х'у) )vX (х, у) 3у3х+
I г1 у1/ а21хххВИ (х,у) а12ХХууу (х,у) . а11„дд (х,у) аюхху (х,у) а01хуу (х,у) _ ^ ] ( 2 2 + 2 2 2
00
а00ху (х,у) + а02хуу у (х,у) + а20ххху (х,у) ^2 (х у) 3у3х —
2 1 2 1 2 Х1 у1 Х1 у1
— / /(1 + «20хх + а02уу) (х, у) их (х,у) иу (х,у) 3у3х + / / Vxy^у ( «12х + «02) 3у3х+ 0 0 0 0
Х1 у1
+ п
^ху '^хх (—а21у + а20) 3у3х+
00
Х1 у1
+ I I '°хиу («21хху + «12хуу — «11ху + «10х + «01у + «00)3у3х.
00
Так как функции «¿3 (х, у) непрерывны на компакте, то они достигают своих точных верхних и точных нижних граней. Введем обозначения вир «¿3 (х, у) =
(ху)ев
= sa¿j, М «¿3 (х,у) = ,«¿3. Используя неравенства Коши — Буняковского
(х,у)ео
2
(и, V)! ^ ||и|| • и Коши |а • Ь\ ^ а—+ ~Х~, получим
^ + ^ > (I, V) > ( — 38а2Х(х'у) — 3аа12у(х'у) + ,«00 (х, у)) ||и|у + (г«21хуу (х, у) +
¿аюу (х,у)
у I у ^ ^ ( 2 2 I ,а00 (x, у 11 иии
+ ¿а12ууу (х,у) — ^^ (х,у) — ,«0ху (х,у)+ у ^ |е(а„-, + «„ + «„ + «„-, + а„„)|)||„ II2 + ( ¿°21-(х'у)
— X |в
(а21хху + «12хуу — «11ху + «10х + «01у + «00)!) |Vx || + ( ¿а21хху х'у +
^а11жж(х,у) „а (х у) I ¿а01х(х,у) I ,а12хху (^ у) у ьа02ху (x, у) + у
— X |в
(а21хху + «12хуу — «11ху + 010х + 001у + 000 )|) №у || +
¡(_ sa2lxxxyy (x,y) sai2xxyyy (x,y) . iallxxyy (x,y) saioxxy (x,y) sa0ixyy{x,y)
2 2 "T 2 2 2
saooxy(x,y) _ ia02xy2y (x,y) + ia20xxxy (x,y) ) ||V||2 _ Ii yi
_ / f(1 + a20xx + a02yy) (x, y) Ux (x, y) Uy (x, y) dydx+
0 0
xi yi Ii yi
+ / / VxyVyy (_ ai2x + a02) dydx +f f VxyVxx (_a2iy + a20) dydx.
0 0 0 0
Обозначив
3sa2i (x,y) 3sai2 (x,y)
ai =--^---2--+ M00 (x,y) ■■
a2 = ia2ixyy(x, y) + iai2yy2y(x,y) _ saiiyy(x,y) _ sa20xy (x, y) +
- 2 \s(a2ixxy +
_i Is(a2ixxy + ai2xyy _ aiixy + ai0x + a0iy + a00) ,
аз = ia2ixlT(ix,y) + iai2xxy (x, y) _ saiix2x(x,y) _ sa02xy (x, y) +
"2 |s(a2ixxy
_i |s(a2ixxy + ai2xyy _ aiixy + ai0x + a0iy + a00)|,
(5)
a _ _sa2i222yy(x,y) sai222yyy(x,y) . iaiixxyy(x,y) saioxxy(x,y) saoixyy(x,y)
аЛ — 2 2^2 2 2
saoo2y(x,y) . iao22yyy(x,y) . ia20222y(x,y) i
2 "T 2 "T 2 2,
a5 = 1 + a20xx + a02yy, ag = _ ai2x + a02, a7 = _ a2iy + a20, приходим к неравенству
2 xi yi
11 f I 12 2 2 2 2 c с
<2 > ai ||u|| + a2 || + аз IV|| + a4 ||v| _J J (a5UxUy)(x,y) dydx+
00
xi yi xi yi
+ / f(a6VxyVyy)(x,y) dydx +f f(a7VxyVxx)(x,y) dydx.
0 0 0 0
Потребуем равенства нулю функций a5,a6,a7 и неотрицательности коэффициентов при нормах. Полагая теперь f = 0, получим, что функция u может быть только нулевой.
Таким образом, имеет место
Теорема. Если a.ij G а определяемые формулами (5) коэффици-
енты удовлетворяют неравенствам аk ^ 0(k = 1, 4), и если при этом хотя бы одна из величин ak > 0,a.j (j = 5,7) обращается в нуль, то задача (1), (2), (4) имеет единственное решение.
Литература
[1] Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР. 1987. Т. 297. № 3. С. 547-552.
[2] Уткина Е.А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка // Дифференц. уравнения. Минск. 1999. 13с. Деп. в ВИНИТИ. 28.06.99. № 2059-В99.
[3] Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское матем. о-во, 2001. 226 с.
[4] Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных //Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 1. С. 1166-1179.
[5] Пулькина Л.С. О разрешимости в L нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 2. С. 279-280.
[6] Голубева Н.Д., Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями // Матем. заметки. 1996. Т. 59. Вып. 3. С. 324-326.
[7] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
Поступила в редакцию 4/III/2010; в окончательном варианте — 4/III/2010.
ABOUT UNIQUENESS OF THE SOLUTION OF SEMI-INTEGRAL PROBLEM FOR ONE EQUATION OF THE FOURTH ORDER
© 2010 E.A. Utkina2
In the rectangular domain, formed by the characteristic planes of the equation of the fourth order with twofold higher order partial derivative, sufficient conditions of uniqueness of solution of semi-integral problem are calculated. These conditions are written in terms of coefficients of the equation, and the carried reasonings are based on the method of a priori estimate.
Key words: pseudoparabolic equations, Gurs task, integral conditions.
Paper received 4/III/2010. Paper accepted 4/III/2010.
2Utkina Elena Anatolyevna (Eutkinaiayandex.ru), Dept. of Information Technologies in Education, Tatar State Humanitarian-Pedagogical University, Kazan, 420021, Russia.
