Отделимость уравнения в системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 2 (2012). С. 13-27.

УДК 517.925

ОТДЕЛИМОСТЬ УРАВНЕНИЯ В СИСТЕМЕ ДВУХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Ю.Ю. БАГДЕРИНА

Аннотация. Рассматриваются системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка проективного типа с кубической зависимостью правой части от первых производных. Для таких систем получен критерий приводимости локальным преобразованием к системе, в которой отделяется уравнение на одну из неизвестных функций. Применение критерия и построение соответствующего преобразования проиллюстрировано рядом примеров.

Ключевые слова: уравнения второго порядка, разделение уравнений, отделение уравнения, система с отделяющимся уравнением.

1. Введение

Задача об отделимости уравнения в системе, как и проблема линеаризации дифференциальных уравнений, представляет собой частный случай проблемы эквивалентности. Две системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка

х" = f {t,x,y,xl,yl), у" = g{t,x,y,x,,yl) (1)

назовем эквивалентными, если существует обратимая точечная замена переменных

t = в{t,x,y), x = <p{t,x,y), y = ф{t,x,y), Д = =0, (2)

д (t,x,y)

при которой одна система переходит в другую. Здесь для производных используется обозначение x' = dx/dt, x" = d2x/dt2, y1 = dy/dt, y" = cPy/dt2. Как показано еще в С. Ли [1], многие частные методы решения дифференциальных уравнений равносильны нахождению такой замены переменных (2), которая бы привела данное уравнение к одному из уже известных. Так, в некоторых случаях задача интегрирования нелинейного ОДУ считается решенной, если его удается линеаризовать. В случае системы уравнений (1) задача сводится к более простой, если в результате преобразования (2) получена система, в которой отделяется уравнение относительно одной из функций, например, x(t):

x' = f\i,x,x'), у" = g{t,x,y,x',y'). (3)

Тем самым интегрирование системы сводится к решению первого уравнения (3) относительно x(t) и затем при известной функции x(t) — к интегрированию второго уравнения (3) относительно y(t).

Yu.Yu. Bagderina, Separation of an equation in the system of two second-order ordinary DIFFERENTIAL EQuATIONS.

© Багдерина Ю.Ю. 2012.

Работа поддержана РФФИ (гранты 10-01-00186-а, 11-01-91330-ННИЮ-а), МК-8247.2010.1, ФЦП (гос-контракт 02.740.11.0612).

Поступила 24 октября 2011 г.

В редких случаях после преобразования (2) уравнения системы (1) могут полностью разделиться:

х” = / {t,x,xl), у// = д{1,у ,y/),

и тогда они интегрируются независимо друг от друга. Вопрос разделения уравнений в системах ОДУ второго порядка исследовался в [2, 3, 4]. При этом рассматривались преобразования, действующие только на зависимые переменные и не меняющие Ь. Задача отделимости уравнений в системе (в таком классе преобразований) изучалась в [5, 6].

Примером системы с разделяющимися уравнениями служит система (1), линеаризуемая к виду х// = 0, у// = 0. Известный критерий линеаризации [7, 8] в терминах относительных инвариантов ^г, @к системы (1) может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 1. Система (1) некоторым преобразованием (2) линеаризуется к виду х" = 0, у" = 0 тогда и только тогда, когда для нее

где

Ъ = 0, г = 0,1, 2, @к = 0, к = 0, ... , 4, (4)

70 = 2Б(/у') - 4/У (/х, + ду) - /у,

71 = 4- ду') + 8(д2у/ - РХ!) + 2(ду - /x), (5)

72 = - 2 Б(дх') + 4 дх' (/х' + ду') + дх-,

Б = дг + х'Зх + у'Зу + /дх' + дду' — оператор дифференцирования в силу системы (1) и

@0 /у'у'у', @1 4 (3/х'у'у' ду'у'у'), @2 Ц (/х'х'у' дх'у'у'),

@3 — 4 (/х'х'х' 3дх'х'у'), @4 — дх'х'х'.

Система (1), удовлетворяющая условиям @0 = 0, ... , @4 = 0, имеет вид

х" = К1 + 2Ь1х1 + 2М1у/ + Р1х'2 + 2Б1х/у/ + (^1у12

+х'(У1х'2 + 2Уох'у' + У2у'2), (6)

у" = К2 + 2Ь2у' + 2М2Х + Р2У2 + 2Б2х'у' + Q2xl2 ( )

+у/(У1х/2 + 2У0х'у' + У2у/2)

с коэффициентами Кj•, , М^, Pj, Qj, , У0, У), ] = 1, 2, зависящими от Ь, х, у, и может быть ассоциирована с проективной связностью в трехмерном пространстве [7]. Для

системы (6) по формулам (5) имеем

70 = а0х/3 - Ь0х/2у/ + а2х/2 + а1х'у' + (2а5 - а4)х/ + а3у/ + а7,

71 = -а0х/2у/ + Ь0х/у/2 + 2(Ь1х/2 + (Ь2 - а2)х/у/ - а1 у/2 (7)

+ (Ьб + Ь5 - 2Ь4)х/ + (2а4 - а5 - ав)у/ + а8 - Ь8), ()

72 = а0х/у/2 - Ь0у/3 - Ь1х/у/ - Ь2у/2 - Ь3х/ + (Ь4 - 2Ь5)у/ - Ь7,

и условие линеаризации (4) принимает вид 15 соотношений

а0 = 0, а1 = 0, а2 = 0, а3 = 0, а4 — 2а5 = 0, 3а5 — а6 = 0,

Ь0 = 0, Ь1 = 0, Ь2 = 0, Ь3 = 0, Ь4 - 2Ь5 = 0, 3Ь5 - Ь6 = 0, (8)

а7 = 0, Ь7 = 0, а8 - Ь8 = 0.

Явный вид относительных инвариантов aj, Ьj, ^ = 0, ... , 8, системы (6) приведен в [9]. В

частности,

а5 = Би - Ь1у - М1Б2 + M2Ql + 3К1У0 + 1К2У2,

Ь5 = Б24 - Ь2х - М2Б1 + M1Q2 + 2К2У0 + 2?^^1V! , (9)

Ь8 = Ь2г - К2у - Ь2 - М1М2 + К2Р2 + К1Б2.

В данной работе получен критерий отделимости уравнения в системах вида (6). Критерий полного разделения уравнений в системе (6) можно найти в [10]. Класс уравнений

(6) замкнут относительно произвольной невырожденной замены переменных (2). Такая замена преобразует систему (6) в систему того же вида

х// = К1 + 2Ь1х/ + 2М1у/ + Р1х/2 + 2Б1х/у/ + Q1y/2

_+х/(У1х/2 + 2У0х/у/ + У2у/2), (10)

у// = К2 + 2Ь2у/ + 2М2х/ + Р2у/2 + 2Б2х/у/ + Q2X/2

+у/(У1х/2 + 2У0х/у / + У2у/2)

с некоторыми коэффициентами Kj, Ьj, Mj, Pj, Qj, Бj, У0, Уj, = 1, 2, являющимися

функциями Ь, х, у . В системе (10) первое уравнение отделяется, если ее коэффициенты удовлетворяют соотношениям

3 „ „ „ „

К1 = Р, Ь1 = 2Q, М1 = 0, Р1 = 3Я, Б1 = 0, Ql = 0, У1 = Б, У0 = 0, У2 = 0

с некоторыми функциями Р, Q, Я, Б, зависящими от Ь, х, а ее уравнения имеют вид

х// = Р (у, х) + 3Q(t,X)X/ + 3Я(у, х)х/2 + Б (у, х)х/3, (11)

у// = К2 + 2Ь 2 у / + 2М2х/ + Р2у/2 + 2Б 2^ у + Q2X/2 + Б (у, х)х/2у/. (12)

В §2 рассматривается случай преобразования (2), в котором 9 = #(£). Случай произвольного преобразования (2) (с 9х = 0 или 9у = 0) исследуется в §4. В §3, 5 применение полученных критериев отделимости демонстрируется на примере нормальной формы системы с двумя степенями свободы и системы, которую можно интерпретировать как уравнения геодезических в пространстве с римановой метрикой.

Как было замечено рецензентом данной работы, задачу отделимости уравнения в системе (6) можно решать в более общей постановке. А именно, найти условия отделимости в системе (6) уравнения вида

х// = Р(у, х, у) + 3Q(t, х, у)х/ + 3Я(у, х, у)х/2 + Б(у, х, у)х/3, (13)

отличающегося от уравнения (11) тем, что в него переменная у входит как параметр. Соответствующий критерий будет включать в себя в качестве частного случая и критерии приводимости системы (6) к виду (11), (12), полученные в данной работе. Вопрос об отделимости в системе (6) уравнения вида (13) здесь не рассматривается. Его решение является более сложной задачей, так как сводится к исследованию совместности переопределенной системы 15 уравнений относительно функций 9, <^, ф, в которой уже не будет отделяться подсистема 9 уравнений относительно функций 9, (р (см. ниже подсистемы (16), (17) и (46), (47)).

2. Критерий отделимости уравнения в системе (6). Случай преобразования частного вида

Найдем условия, при которых система (6) невырожденной точечной заменой переменных

I = 9(t), х = р(t,x,y), у = ф(г,х,у) (14)

может быть преобразована в систему вида (11), (12). Предполагается, что рх = 0, ру = 0. Иначе, если система (6) приводится к виду (11), (12) преобразованием (14), в котором рх = 0 (ру = 0), это означает, что первое (второе) уравнение в системе (6) уже отделено.

Подстановка преобразования (14) в уравнения (11), (12) приводит к системе ОДУ второго порядка относительно х(Ь), у(Ь) с той же формой зависимости от х/, у/, что и в уравнениях (6). Приравнивая ее коэффициенты при степенях х/, у/ соответствующим коэффициентам уравнений (6), получим 15 соотношений, которые при рх = 0, ру = 0 можно

разрешить относительно всех производных второго порядка функции ф:

фхх = -Рф- Q2фy + Рзфх + 2Б2рхфх + Q2PX + Б(рхфг + 2ргфх)рх/9/,

фху = -Б1фх - Б2фу + Р2фхфу + Б2(рхфу + 'руфх) + Q2PxPy

+Б (рх ру фг + РгРу фх + ргрхфу )/9'1 фуу = ^1фх - Р2фу + Р2фу + 2Б2руфу + Q 2р2 + Б (ру фг + 2ргфу )ру/9/, фгх = -Ьуфх - М2фу + фх9///(29/) + 9'(Ь2фх + М2Рх) + Р2фгфх (15)

+Б2 (Рхфг + Ргфх) + Q2Pt рх + Б (ргфх + ^х^ргЛ29^

фгу = -М1фх - Ь2фу + фу9///(29/) + 0! (Ь2фу + М2'ру) + Р2фгфу +Б2 (ру фг + ргфу) + Q2lрtlрy + Б (ргфу + 2'ру фг )Pt/(29/), фгг = -К1фх - К2фу + фг9>>/9' + К29>2 + 29>(Ь2фг + М2рг) + Р2ф2

+2Б2'ргфг + ^р2 + Б,р\фг/9' и производных функции р:

рхх = -Р1рх - Q2Py + 3(Я + Брг/9/)р2х,

рх:у — Б1рх Б2ру + 3(Я + Брг/9 )рхру, (16)

'руу = -QlPx - Р2ру + 3(Я + Брг/9')р2у,

ргх = -Ь1'рх - М2ру + рх9///(29/) + 3/2(Q9/ + 2Ярг + Бр2t/9')рx, ргу = -М1'рх - Ь2'ру + ру911 /(290 + 3/2(Q9/ + 2Ярг + б'Р22/9')ру, ргг = -К1Рх - К2Ру + Р9/2 + (3Q9/ + 9”/9')рг + 3ЯР2 + бР'^'/9'.

Оставшиеся три соотношения имеют вид

У1 = Бр2х/9', У0 = Брхру/9/, У2 = Бр2/9/. (17)

Таким образом, система (6) заменой переменных (14) преобразуется в систему с отделяющимся уравнением (11), (12) тогда и только тогда, когда совместна переопределенная система уравнений (15)—(17) относительно функций 9, р, ф.

Уравнения (16), (17) отделяются от системы (15)—(17), так как они содержат только функции Р, Q, Я, Б, зависящие от 9, р, и не содержат функции К2, Ь2, М2, Р2, Б2, Q2, зависящие от 9, р, ф. Их решение определяет функции 9, р в преобразовании (14). В качестве ф годится любая функция такая, что замена переменных (14) является невырожденной. Из шести уравнений (15) определяются коэффициенты К2, Ь2, М2, Р2, Б2, Q2 уравнения (12). Никаких ограничений на вид этих коэффициентов не накладывается. Поэтому уравнения (15) совместны, так же как совместна и система (15)—(17) в целом, если совместна подсистема уравнений (16), (17). Система (16), (17) является переопределенной, и исследование ее совместности основано на анализе систем уравнений Пфаффа. Подробное изложение теории таких уравнений можно найти, например, в [11].

Нетрудно видеть, что если одна из функций У0, У1, У2 равна нулю, то уравнения (17) могут быть совместны только при Б = 0, У0, У1, У2 = 0. При исследовании совместности системы (16), (17) этот случай, а также случай, когда коэффициенты У0, У1, У2 в системе

(6) отличны от нуля, рассматриваются отдельно. Кроме (9) используются обозначения

ао = «5ж — Ьбу + ЯгЬг — 51Ь4 — 52а5 + ^2^3 + 3(М2У2ь — М\Уц)

+3/2((3Ьі — ^2 )У0 — УіМі* + Уо(Ь^ — Ь2г) + У2М21-), аі = азх — &4у + ($2 — Рі)аз + (251 — Р2 )а4 — 51аб + ^1(65 — Ьб)

+3/2(Ьі + Ь2)у2г, а2 = а7х — а8у + ^іЬ7 + Бі(а8 — Ь8) — Ріа7 — МіЬб

+Ьіа4 — Ь2а5 + М2а3 + 3/2(К1У0і + К-2У2і ), а3 = Ь5і — Ьбі + 3(а8х — Ь8х) + 6(^2а7 — Б1Ь7) + 2МіЬ3 + 2Ь1(Ьб — Ь5)

+М2(а5 — а4 — 2аб),

а4 = а44 — 3а7х + 35і(Ь8 — а8) + 3(Рі — 52)а7

— 2М2а3 + (^2 — 3Ьі)а4 + Мі(Ьб — Ь5),

а5 = а5* — а4і + Мі(Ь5 — Ь4) — ^(а4 + 2а5) + 9/2(КіУ0* + К2У2ь) (іо)

+3[а7х — а8у + QlЬ7 + Бі(а8 — Ь8) — Ріа7 — МіЬб + Ьіа4 + М2 а3 +Уо (Кіі/2 + Кі Ьі + К2Мі) + У2(^2*/2 + КіМ2 + К^)],

аб = а3* — 3а7у + 3^і(Ь8 — а8) + 3(51 — Р2)а7 — Мі(а4 + аб)

— (Ьі + L2)а3,

а7 = (в4 + ^5 — а3)у — а4х — ^і^б + Бі(в4 + в5) + Б2а4 — ^^, а8 = абх — (а4 + а5)у + ^1(а3 — в5) + Бівб + (Б1 — Р2)(а4 + а5)

+ (Б2 — P1)аб, ад = Ьбх + РіЬб — БіЬ3 + 2^2а5, аіо = а5х + Бі(Ьб — Ь4) + 52а5 + ^а3, аіі = а4у + 52а3 + Р^а4 + ^і (Ьб — Ь5), аі2 = а3у + (2Р2 — Бі)а3 + ^і(2а4 — аб),

а также ві, і = 0, ... , 12, формулы для вычисления которых получаются, если в выражениях для аі поменять ролями следующие пары переменных: (ж, у), (aj ,Ьj), (ак, вк) и индексы (1,2) коэффициентов системы (6). В частности, имеем

в7 = (а4 + а5 — в3)х — в4у — ^2аб + Б2 (а4 + а5) + Б1в4 — ^1^ ві2 = Ь3х + (2Р1 — Б2)Ь3 + ^2(2Ь4 — Ьб),

и т.д. По этому же правилу величины Ьj получаются из aj• (см. (9)). Справедливы следующие критерии отделимости уравнения в системе (6) в результате преобразования вида (14).

Теорема 2. Система двух ОДУ второго порядка

ж" = К1 + 2Ь1Х/ + 2М1 у/ + Р^2 + 251Х/у/ + ^у/2, у" = К + 2Ь2у' + 2М2ж' + Р2У/2 + 2Б2ж'у/ + ^Х/2

преобразованием (14) приводится к виду

19)

х

р(і, Х) + 2д(і ,Х)Х/ + г(і ,Х)Х/, (20)

у" = К2 + 2Ь2 у/ + 2М2Х/ + р2у/2 + 2Б2Х/у/ + ^2Х/2 (21)

тогда и только тогда, когда ее коэффициенты удовлетворяют соотношениям

Bi1Bj2 — В:/1Ві2 = ° (22)

В|2Ак1 — Bj1Bj2Ak2 + В|1 Ак3 = 0, (23)

(Ак1 А13 — А11 Ак3)2 + (Ак2 А11 — А12 Ак1)(Ак2 А13 — А12Ак3) = 0, (24)

^ Ак1 Ак2 Ак3 \

ёе1 I Ап А12 А3 І =0, і, ? = 1, ... , 36, к, /, т = 1, ... , 65, (25)

Ак1 Ак2 Ак3 \

А11 А12 А13 І 1 =0, О' = 1 . • .. , 36, к, /, т = 1, .. . , 65,

Ат1 Ат2 Ат3 /

где

Bll = а1, ^1 = «2, B31 = а4 — а5, B41 = «0, B51 = аЪ

^2 ,2 -О — B22 = — 61, ^2 = 65 — ,4 6 B42 = — в1, 0$ — 2 5

^1 = «5, B72 = — ^ B61 = а2, B62 = — в2,

B9+j,1 = В18+і,1 = В27+і,1 = І = 1, ..

А11 = а5

А

В81 — «7 + 2М2«11 + 2(^1 — ^2)^10 — 2Мі«9,

В82 = ^8 + 2М2^10 + 2(Ь1 — Ь2)в11 — 2 ^^1^12,

В91 = «8 + 2М1«10 + 2(І2 — ^1)^11 — 2^2^12

В92 = в7 + 2М1^11 + 2(Я2 — ^1)^10 — 2М2^9,

(ВІ1)і — LlBjl — ^dlBj2, B9+j,2 = (Bj2)t — М2ВІ1 — Я2ВІ2

: (Bj1)x — P1Bj1 — ^і^^ В18+^2

: (Bj1)У — ^іД/'і — ^і^^ B27+j,2

. , 9,

> А21 = аз, А31 = й7,

(27)

(Bj2)x — ^ 2 1 — 52^/2,

(Bj2)y — £2^1 — P2Bj2,

12 = 64 — 66 А13 = — ^

А

32 = 68 — а8, А33 = — 67,

А41

А42

А43

: «4,

: «3, :—вб,

А51

А52

А53

—аб,

03,

в4,

А22 — аб — а4 А23 = — ^

Ап+к,1 = (АкО* — 2Ь1Ак1 — M1Ak2, Ап+к,3 = (Ак3^ — М2Ак2 — 2Ь2А^ Ап+к,2 = (Ак2)* — 2М2 Ак1 — (Ь1 + Ь2)Ак2 — 2М1Ак3,

А2п+к,1 = (Ак1)х — 2Р1 Ак1 — S1Ak2, А2п+к,3 = (Ак3)х — ^2Ак2 — 2S2Ak3, А2п+к,2 = (Ак2)х — 2^2Ак1 — (Р1 + £2)Ак2 — 2S1Ak3,

А3п+к,1 = (Ак1)у — 2£1Ак1 — Q1Ak2, А3п+к,3 = (Ак3)у — £2Ак2 — 2Р2Ак3, А3п+к,2 = (Ак2)у — 2£2Ак1 — (£1 + Р2)Ак2 — 2Q1Ak3,

где 1) п = 5, к = 1, ... , 5; 2) п =15, к = 6, ... , 20.

Теорема 3. Система двух ОДУ второго порядка (6) с коэффициентами У0, отличными от нуля, преобразованием (14) приводится к виду (11), (12) тогда и тогда, когда ее коэффициенты удовлетворяют соотношениям

V)2 = У1У2, «0 = 0, 60 = 0,

+ ^2 = 0, + V2Bj2 = 0, і = 1, ... , 13,

М1 Ак1 + М0Ак2 + ^2Ак3 = 0, к = 1, . . . , 6,

в которых Bji, Акі определяются формулами (26), (29),

а8, А62 = а7 + в7, А63 = в8,

(28)

(29)

(30)

где є

B81

B82:

^3,1 ^^13,2 :

А61

: ^ B91 =

— М1у: і ^2 =

(Ь — Ь)М0 ■

B13.

М1у — 2М0х> B10,1 = М2у, B10,2 = М2х — 2М0у,

Bll,l -^^11,2

є + Мп*, B

12,1

2*,

= _ Мі*, B^2_2 = Є- V

/0^,

при є = 0,

: а8, B13,2 = в7

: а8Єх + а7Єу + є[Р1а8 + £1(а7 + в7) + ^108 — а7у — а8x], в8Єу + в7Єх + є[Р2в8 + £2 (а7 + в7)+ ^2а8 — в7х — в8у] при є = 0.

Мі, М2,

только

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

Условия теоремы 2 выводятся с помощью стандартного (аналогично тому, как это делалось в [9]) исследования совместности системы (16), в результате которого получаются уравнения

Бз1рх + Б^Ру = 0, (38)

линейные по рх, ру с коэффициентами (26)-(28), и уравнения

Ак1^Х + Ак2рхру + Ак3р"^ = 0 (39)

второй степени по рх, ру с коэффициентами (29), (30). Равенства (22) представляют собой условие совместности системы (38), а (24), (25) — системы (39). Равенства (23) определяют условие совместности уравнений (38) с уравнениями (39).

Замечание. Система (38), (39) может иметь два решения рх/ру = ф1(^,ж,у), рх/ру = ф2(Ь,ж,у) таких, что д(ф1 , ф2)/д(ж, у) = 0. Это означает, что использование соответствующих решений в качестве ж, у приводит к системе, уравнения которой полностью разделяются. Для этого необходимо и достаточно, чтобы в соотношениях (38) все Б^ = 0, а в (39) гапкЦАы || = 1, причем, если какая-либо строка (Ак1, Ак2, Акз) отлична от нулевой, то А22 — 4Ак1Ак3 = 0. Это же замечание справедливо и в случае преобразования (2) с вх = 0 или 9у = 0 (соответствующие утверждения о разделении уравнений в системе двух ОДУ второго порядка приведены в [10]).

Теорема 3 доказывается аналогично. Первое условие (31) и равенства

У0Рх = У1Ру, У2Рх = УоРу (40)

являются алгебраическим следствием уравнений (17). Исследование совместности уравнений (16), (17) приводит к условиям а0 = 0, Ь0 = 0, соотношениям (38) с коэффициентами (26), (35), (36) или (37) и соотношениям (39) с коэффициентами (29), (34), что с учетом

(40) дает условия (32), (33) теоремы 3.

3. Примеры систем с отделяющимся уравнением Пример 1. Рассмотрим семейство уравнений

ж" = р1(ж,у)ж/2 + 2^1(ж,у)ж/у/ + ^1(ж, у)у12, ( )

у" = Р2 (ж, у)у/2 + 252(ж,у)ж/у/ + ^2(ж,у)ж/2, ( )

имеющих ту же форму зависимости от первых производных, что и уравнения геодезических в пространстве с римановой метрикой

-2жг , dжj dжk , . „ .

ж + г^-ж -ж = °- =1-2 <42)

Если положить (ж1, ж2) = (ж, у), то символы Кристоффеля Г*к связаны с коэффициентами системы (41) соотношениями

ГП = — РЪ г12 = — 5Ъ Г22 = — °Ъ г21 = — ^, Г12 = — ^ г22 = —р2-Известно, что уравнения (41), отнесенные к параметру ж, принимают вид

0 = 02 + (252 — А)| + (р — 25.) (|)2 — д (|'3

т.е. отделение уравнения в системе (41) в результате преобразования (2) с вх = 0

Ь = ж, ж = у, у = Ь

имеет место для любой системы (41). Найдем условия, при которых в системе (41) отделяется уравнение в результате преобразования вида (14).

Вычислив по формулам (5) инварианты (13), можно установить, что для системы (41) из 18 инвариантов aj•, bj, ] = 0, ... ,8 отличны от нуля четыре: а1, а2, Ь1, Ь2. В случае системы (42) они совпадают с компонентами тензора кривизны [10]

а1 = ^221, а2 = ^121, Ь1 = ^112, Ь2 = Я212.

Нетрудно видеть, что все величины (29), (30) равны нулю, и, следовательно, для системы

(41) все условия (23)-(25) теоремы 2 удовлетворяются тождественно. Условие (22) выполнено, если ранг следующей матрицы (составленной из ненулевых строк матрицы Б) не

B

b2x — S2b2 + Q2a1 b1x — S2b1 + Q2a2 &2y — p2 ^2 + ^2^1 b1y — P2 b1 + S2a2 )

превосходит 1:

( а1 Ь2 \

а2 Ь1

а1х — Р1а1 + 5^2 а2х — В1а2 + б'А а1у — 5^1 + ^

\ а2у — 5<1а2 + °1Ь1

Отделение уравнения в системе (41) имеет место, если гапкБ = 1. Если гапкБ = 0, то уравнения (41) полностью разделяются и, согласно теореме 1, приводятся к виду ж// = 0, у// = 0. В [9, 10] показано, что в частном случае системы (42) равенство а1Ь1 — а2Ь2 = 0 возможно, только если а1 = 0, а2 = 0, Ь1 = 0, Ь2 = 0.

Пример 2. Система, которая в случае Г* = 0 описывает плоское движение частицы под действием гироскопических сил, имеет вид

x

2Г y/ — Ux

y

— 2Г x/ — Uy

Г — 0.

(43)

Функции г, и переменных Ь, ж, у предполагаются вещественными, для вторых производных функции и используются обозначения У = иху, Ш = ихх — иуу. Рассмотрим случай нелинейной системы (43). Для нее отличны от нуля следующие коэффииенты в инвариантах (13): аз гу, Ьз ^ а4 Гx, Ь4 гу, а7 иху + Г^, Ь7 иху а8 ихх + Г ,

Ь8 = иуу + Г2. Из условий (23), при к = 1, 2, ] = 3 имеющих вид — Гх(Г + ГЦ) = 0,

—Гу(гх + гу) = 0, следует Гх = 0, Гу = 0.

Пусть в системе (43) Г = Г(Ь). Тогда все коэффициенты (26), (28) равны нулю, а первые несколько ненулевых коэффициентов (29), (30) равны

A31

A42

A81

A83

Г + Uxy, A32 — Uyy — Uxx, A33 3(Uxyy Uxxx)> A51 A53 3Ux

Г" + r(Uxx — Uyy) + Utxy, A82

Г// + r(Uyy — Uxx) — Utxy.

С ними соотношения (24) принимают вид

Г/ — Uxy , A52

A,

41

-A.

43

-3U

xyy xy

3( Uyyy Uxxy),

xxy

4rUxy + Utyy Utxx,

(4Vx2 + Wx2 )Г/2 — (WVx — VWx)2, (4Vy2 + Wy2)r/2 — (WVy — VWy )2

(Wx vxx — VxWxx)2 — 0,

(Wy Vxy — Vy Wxy )2 — 0,

(WxVxy — VxWxy )2 — 0,

(Wy Vyy — Vy Wyy )2 — 0,

(VxWy — Vy Wx )2 — 0,

(Г//2 + 4Г2 Г/2)(4У2 + Ш2) — 2Г/Г"(4УУ* + ШШ() + 8ГГ/2 (ШУ* — УШ*)

+Г/2(4У*2 + Ш2) = (Г(4У2 + Ш2) + ШУ* — УШ*)2,

откуда следует Ш = /^У + /о(Ь), /о2 = (Л2 + 4)Г/2, /1 = (Д2 + 4)Г. Пусть Г = 7//2 с некоторой функцией 7(Ь). Тогда /1(Ь) = 2tg7, /0(Ь) = ±7///ео87 и функция и(Ь,ж,у) должна удовлетворять уравнению

Uxx Uyy — 2 Uxy ±

cosy

(44)

Следовательно, отделение уравнения в системе (43) возможно, если

Г

Y/(t)

U

Y//

— (m(x2 — y2)cosY — 2xy sinY)

(45)

+V+ (t, ycosY + x(sinY + 1)) + +V-1 (t, ycosY + x(sinY — 1)),

где m равно либо +1, либо —1. С функциями (45) все условия (24), (25) теоремы 2 становятся тождествами, а все квадратные уравнения (39) имеют общий корень px/py — (sinY + m)/cosY. Решением последнего уравнения является р — 0(t,z), где z — y cosy + x(sinY + m). Его подстановка в (16) приводит к системе уравнений, при 9 — t

имеющей частное решение ф — (sinY + m) 1/2z. Таким образом, в системе (43) с коэффициентами (45) отделяется уравнение

-// + Y/2 ~ + 2 Г----+---- dVm 0

x +—— x + 2тл/ sinY + m —— — 0 4 dz

относительно функции x(t) — (sinY + m)-1/2(y cosy + x(sinY + m)).

4. Критерий отделимости уравнения в системе (6). Овщий случай

Найдем условия, при которых система (6) может быть преобразована в систему с отделяющимся уравнением (11), (12) заменой переменных (2) с 9x — 0 или 9y — 0. Пусть для определенности 9x — 0. Подстановка преобразования (2) в систему (11), (12) приводит к системе ОДУ второго порядка с той же формой зависимости от x/, y/, что и в уравнениях

(6). Приравнивая ее коэффициенты при степенях x/, y/ соответствующим коэффициентам

уравнений (6), получим 15 соотношений, которые при 9x — 0 можно разрешить относительно всех производных второго порядка функций р, ф и трех производных функции 9. Так же как и в случае преобразования (14), рассмотренного в §2, при этом отделяется подсистема девяти уравнений

9yy — V29t — Q19x + (2F2 — P2)9y — Sp^,

9ty — F29t — M19x + (F — L2)9y — Sptpy, (46)

9tt — 2F19t — K19x — K29y — SP2,

Pxx — V1Pt + (2F0 — P1 )Px — Q2Py + P92 + 3Q9xPx + 3^ Pxy — VoPt + (F2 — S1 )Px + (F0 — S2) Py + P9x9y + 3/2Q(9xPy + 9y Px) + 3RPxPy,

Pyy — V2Pt — Q1Px + (2F2 — P2)Py + P92 + 3Q9y Py + 3RPy, (47)

Ptx — F0Pt + (F1 — L1)Px — M2Py + P9t9x + 3/2Q(9tPx + 9xPt)+ 3RPtPx,

Pty — F2Pt— M1Px + (F1 — L2) Py + P9t9y + 3/2Q(9tPy + 9y Pt)+ 3RPtPy,

Ptt — 2F1 Pt — K1Px — K2Py + Р9^ + 3Q9tPt + 3Rpt2, из совместности которой следует совместность всех 15 уравнений относительно функций 9, p, ф. Здесь использованы обозначения

F0 — (9xx — V19t + P19x + Q29y + SPx)/(29x),

F — (9tx — FA + L19x + M29y + Sptpx )/9x,

F2 — (9xy — V^9t + S19x + (S2 — F0)9y + SPxPy) /9x.

Доказательство приведенного ниже критерия отделимости уравнения в системе (6) проводится аналогично доказательству теорем 2, 3 и приводит к равенствам, подобным (38), (39). Роль производных px, py в них играют миноры M31 — 9xpy — 9ypx, M33 — 9tpx — 9xpt матрицы Якоби преобразования (2). Они не могут быть равны нулю одновременно, иначе из тождества 9tM31 — 9xM32 + 9y M33 — 0 при 9x — 0 следует M32 — 0. Тогда из разложения А — ^tM31 — ^xM32 + фуM33 следует равенство нулю якобиана преобразования (2), что противоречит предположению о его невырожденности.

Теорема 4. Система двух ОДУ второго порядка (6) преобразованием (2) с 9x — 0 приводится к виду (11), (12) тогда и только тогда, когда совместна система алгебраических и дифференциальных уравнений относительно T, Y:

Ф1 = Й3 — Й1Т + (ав — Й5 — »4)Y — 60T2 + (й2 + b2)TY

+ (Ьб — 65 — 64)^2 — a0T2Y — 61TY2 + 63Y3 — 0,

34 — 2а5)Т + (68 — a8)Y + а-—67 Y2 — а0Т3 — 61T2 Y + 63TY2 — 0,

Ф2 = а7 + (а4 — 2а5)Т + (68 — a8)Y + а2Т2 + (6в + 65 — 264)TY ( )

А4Ф1 — 0, А4Ф2 — 0, Ау Ф1 — 0, Ау Ф2 — 0, (49)

Ty- Y — YTx- TYx, (50)

где

BiiBj2 — BjiB

i2

о,

(51)

B22Afci — BjiBj2 Afc2 + Bj1 Ak3

(52)

о

(Afci A13 — A11Afc3)2 + (Afc2 A11 — A12 Afci)(Afc2 A13 — A12Afc3) = 0, (53)

det

Afci Afc2 Afc3 \

A11 A12 A13 I 1=0, i,j = 1,.. .. , 10, k, /, m = 1, .. . , 15,

Ami Am2 Am3 /

(54)

At = dt — T5x + Ao дт + Ai5y + (Aox + TXAot + Y,Aoy + Т2)дтх

+ (Л1ж + ТжЛ1Т + YxA1Y + Тж^ж)дУІ ,

Ay = dy — Ydx; + Л1дТ + Л2дУ + ( Л1ж + ТжЛ1Т + ^жЛ1У + TxYi)dTx + (Л2ж + ТжЛ2Т + ^жЛ2У + Ya2)dYx ,

Bii = Фіу , B12 = — Фіт , B21 = —Ф2У, B22 = Ф2Т,

B2+j, 1 = AtBji + (A1Y + 2Tx)Bji — A0Y Bj2,

B2+j,2 = AtBj2 — (Л1Т + YX)Bji + (A0T + 3TX)Bj2,

B4+j, 1 = Ay Bji + (A2Y + 3YX)Bji — (A1Y + ) j 2,

B4+j,2 = Ay Bj2 — Л2Т Bji + (A1T + 2YX)Bj2, j = 1 2,

B71 = Л0 + TTX — B72 = B81 = Л1 + TYX — ^ B82 = Л2 + YYc — ,

B91 = 2«4 — Aoty «б + (Aott — 2Aity )«7 + Літт «8, (55)

B92 = 2^4 — A0TY ^б + (A0TT — 2A1TY )в7 + A1TT ^8>

B10,1 = 2«5 — A0TY «7 + (A0TT — 2A1TY )«8 + A1TT ^

B10,2 = 2^5 — A0TY ^7 + (A0TT — 2A1TY )^8 + A1TT ^

Aii = Ьз, An = bi, A13 = —ao,

A21 = b4 + Ьб — Ь6 + biT — 2ЬзУ, A22 = a2 + b2 — 2aoT — biY, A23 = bo, A31 = b7, A32 = b6 + Ьб — 2b4 — biT + 2ЬзУ, A33 = —a2 + 2aoT + biY,

A3+fc,1 = AtAfci + 2(A1Y + 2Tx )Afci — A0Y Afc2,

A3+fc,2 = At Afc2 — 2(літ + ^)Afci + (A0T + A1Y + 5Tx )Afc2 — 2A0Y Afc3, A3+fc,3 = AtAfc3 — (A1T + Yc)Afc2 + 2(A0T + 3TX)Afc3,

A6+fc,1 Ay Afci + 2(A2Y + 3Yc)Afci — (A1Y + Тж) Afc2,

A6+fc,2 = Ay Afc2 — 2A2T Afci + (A1T + A2Y + 5Yc)Afc2 — 2(A1Y + Tж)Afc3, A6+fc,3 = Ay Afc3 — Л2Т Afc2 + 2(Літ + 2YX)Afc3, k = 1, 2, 3,

A10,1 = «2, A10,2 = ^2 — «Ъ A10,3 = —

A11,1 = 03 A11,2 = e3 + «2, A11,3 = ^2,

A12,1 = «5, A12,2 = ^5 — «4, A12,3 = —^

A13,1 = «7, A13,2 = ^7 — ^ A13,3 = —^

A14,1 = «8, A14,2 = ^8 — «7, A14,3 = —^

A15,1 = «9, A15,2 = ^9 — «8, A15,3 = — ^8.

В (55) используются обозначения

Ас = —К + 2^Т - АТ2 + ут3 + (-К + 2М2Т - ^Т2)У,

А1 = 61Т — М1 + (^1 — ^)У — ¥>Т2 + (62 — Р^ТУ + М2 У2 + уТ2У — ^ТУ2,

А2 = —5 + (2$1 — Р2)У + (2^2 — А)У2 — ^У3 + (¥2 — 2УсУ + У1У 2)Т, в = 2а>(А1т + А2У + 4УХ) + 271У + 3(—а>у — 6100 — ¥261 + ¥002) — Ь>ж — Р200

+ (62 — Р1 )Ьс — ¥101 + ¥062, 71 = аож + Р^0 — ^260 + "^0^1 — ¥102 ,

«1 = 2ао(Аот + А1У + 4ТЖ) + 271Т + 3(00* + 61^ + ^100 — 5 01 + 6161 — 2¥ 63)

— 2й2ж — 62Х — ^200 — 4М260 — Р1(2а2 + 62) + 62 (02 + 262)

+¥0(864 — 65 — 56б) + ¥1(705 — 2а4 — а6),

в2 = 61 (А1Т + А2У + 4Ух) + 72У + 300* — 02х + 3(^1 + ^2)а0 — 2М260 — ^2а1 + Р261 — (Р1 + 62)а2 + ^0 (264 — 65 — 66) + 2^1(2а5 — 04) , а2 = 61 (А0Т + А1У + 4Тх) + 72Т + (64 + 65 — 66) х — 363у — 2Р2 61 + 3(Р2 — 61)63

+М2(а2 + 62) + (Р1 — 362X64 + 65 — 6б) + 2^2 (аб — 05 — 04) + 2 ¥067 + ¥1(08 — 68),

72 = 61х — 2М2 00 + (Р1 — 62)61 + ^2(02 + 62) — 2 ¥063 + ¥1(264 — 65 — 6б),

в = 263 (А1Т + А2У + 4УХ) + 273^ + 3(63у — 61* — 64Х + 2К2Й0 + (р2 — ^1)61

— М2 62 + 6163 + 62(64 + 65 — 6б) + V (68 — а8)) + 26бх — 5М2Й2 — Р263

+52 (204 + 5а5 — 3аб) + Р1(26б — 364) — 4¥067,

73 = 63х + М261 + (Р1 — 262)63 + ^2(64 + 65 — 66) — ¥167,

а3 = 263(А0Т + А1У + 4Тх) + 273Т — 3(63* + К261 + ^163) + 67х + 5Р263 + М2(366 — 65 — 464) + (Р1 — 6*2)67 + ^2(68 — 08^ в4 = + Дув2 + (А0Т — А1У — Тх)в — (А1Т + ^ж)а1 + (2А1Т — А2У — 2Ух)в2

— А2Т (а2 + #3),

а4 = А*а1 + а2 — А0У в1 — 2Тх а1 — (А1У + Тх)в2 + (А1Т — ^ж)а2 — А2Т в5 = А*в2 — ^3 + А0У ^1 + (А1У — Тх)в2 — (А1Т + ^Х)а2 + 2Ух ^3 + А2Т

а5 = А*а2 — а3 + А0У (а1 — в2) + (2А1У — А0Т — 2Тх)а2 + (А1У + Тх)в3 + (А1Т — А2У +

в6 = 2(60 + 00У )(2А2У — А1Т + 4Ух) + 2а0 (ТА2Т — А2) + 2(62 — 61У )А2Т + 2( —60у + (60х — 00у)У + 00хУ 2),

«6 = 260 (А0Т + А1У + 4Тх) + а^У + 3У1Ф1 — А1ТТ Ф1У

+ (360х + а0у + (Р2 — 61)00 + (362 + Р1)60 + 3^01 + ¥261 — V^(a2 + 362))Т +3(60* + а1х + ^260 — <5161 + 62 а1 — 2У1а3) — а2у — 262у — ^160 — 4М1Й0

— Р2(а2 + 262) + 61(202 + 62) + ¥0(804 — 05 — 506) + ¥2(765 — 264 — 66), в7 = 2(60 + 00У )(А0т — 2А1У — Тх) + 200(А1 — ТА1Т — ТУх)

+ 2(61^ — 62ХА1Т + УХ) + 2(60* — 60хТ + 00*У — 00х ТУ),

«7 = (00т — 02 — 262 + 361^ )(А1У + 2Тх) + 71Т2 + 372ТУ — 373^2 + 3¥0Ф2У

+ (64 + 65 — 66 + 61Т — 363^ )(2Ух — А1Т) + ¥1(Т Ф2Т — Ф2) + 5М2Ф1Т

+3^2(2Ф1 — 2Т Ф1Т — У Ф1У) — 363УА2У + 61(ТА1т + 3УА1У — А1)

+ 360А0У — 67 А2Т + 00 (ТА0Т + 6УА0У — 2А0) — (00* + °2х + 262х)Т + (3(64 + 65 — 66 )х — 363у + 4К200 + 2(Р2 — ^1)61 — 2 ^^2 (02 + 62)

+2¥1(08 — 68) + 4^67 )У + (02* — 62*)/4 + 3/4((404 + 05 — 306)х + 365у — 66у)

— К.00 + 2^260 + 2М201 — М161 + 3^163 — 3^203 + ¥107 — 2 ¥267,

в8 = (300Т — 02 + 61У )(А1У — 2Тх) + (66 + 365 — 364 — 361Т + 63У )(А1т + 2Ух)

— 371Т2 — 372ТУ + 73У2 + 3М2Ф1Т + 52 (У Ф1У — Ф1) + 5^Ф2У

+3¥1(2Ф2 — Т Ф2Т — 2У Ф2У) + 60А0У — 300ТА0Т + 61 (А1 — 3ТА^ — УА1У)

— 367 А2Т + 63(6ТА2Т + УА2У — 2А2) + ((66 + 365 — 364)х — 63у)У

+ (302х — 300* + 4М260 + 2^201 + 26161 + 2 ¥0 (264 — 65 — 66) — 4¥263)Т

+ 3/4(02* — 62* + (404 — 505 — 06)х + 365у — 66у)/4 + 3К100 — 2К260 + М161 + 5203 — ^163 — 3¥107 + 2 ¥2 67 + 2¥^(08 — 68),

«8 = 2(67 — 63Т )(2А1т — А2У + Ух) + 263(А1 — УА1У — УТх)

+ 2(265 — 64 — 61Т )(А1У + Тх) + 2( —67у + 63у Т + 67хУ — 63хТУ),

вэ = —267(А1Т + А2У + 4Ух) + в3Т + 3^2Ф2 + А1УУ Ф2Т + (63* — 367х + К261

— (Х1 + р2)63 + М2(464 — 565 — 66) + (562 — Р1)67 + 352(08 — 68))У + 3(68х — 08х — 67у + К161 + К262 + р2(64 — 265) — 2^207 + 62(08 — 68))

+ (66 + 365 — 364)* — К202 — 4М163 + р1 (364 — 266) + М2 (306 + 705 — 804) + (Р2 + 61)67,

аэ = 2(67 — 63Т )(А1У — 2А0Т — 4Тх) + 263(УА0У — А0)

+ 2(64 — 265 + 61Т )А0У + 2(67* — (63* + 67х)Т + 63хТ2).

Доказательство. Найдем условия совместности системы (46), (47). Если обозначить Т = 9*/9х, У = 9у/9х, то условие равенства производных 9*уу, 9уу* и 9**у, 9*у*, вычисленных с помощью дифференцирования выражений (46) по £, у, имеет вид (48). Дифференцирование (47) по £, х, у и сравнение смешанных производных третьего порядка функции р приводят к двум соотношениям

В11М31 + В^М33 = 0, (57)

где Ву, г, = 1, 2 введены в (55), и шести соотношениям

(^0 + 61 + ^1^^ + ^2^хРх + ^3^х)М31 — 00М33 = 0, (58)

63М31 — (^0 + ^1$2 + ^2^хРх + ^3^х)М33 = 0, (59)

(С1 — 264 — 2(С0 + 61)Т + 263У )М31 + (С2 — 02 + 200Т + (61 — 2С^У )М33 = 0, (60)

(3С2 + 02 + 262 — 400Т — (4С0 + 61)У + 2(^1^2 + ^2^хРх + ^3^)У )М31

+ (2^2 — Р6 + 3^3 Рх/^х)М|1 + 260 М33 — 0

61)

62)

63)

(3С2 — 02 + (61 — 4^)У + 2(^1^2 + ^2^хРх + ^3^х)У )М33

+ (2^2 — Р6 + 3^3^х/^х )М31М33 + 2(66 — 65 — 64 — 61Т + 263У )М31 = 0,

(3С 1 — 466 — 4С0Т — 463У + 2(^1^2 + ^29хРх + ^3^х)Т )М33

— (2П2 — Р6 + 3П3рх/9х)М323 — 267М31 = 0, где П1 = 3/25, — Р^ — 9/452 + 3РВ, П2 = 3В, — 3/2^ + 2Р6, П3 = 6, + 3/2^6,

С0 = Р0х — В2 + ВД + 52^2 — ¥1* — (р1 + р1)¥1 — М2¥0,

С1 = Р1х + (р1 — ^1)^0 + М2р2 + 66 — (ВД + К2¥0)/2 + С0Т + 63У,

^2 = Р2х + (61 — Р2)Р0 + 62Р2 — ¥0* — М1¥1 — (р2 + Р1)¥0 + 00Т + ^0У.

Их алгебраическим следствием являются равенства

Ак1М31 + Ак2М31М33 + Ак3М33 = 0, (64)

где Ак1, к, I = 1, 2, 3, заданы формулами (55).

Чтобы найти условие совместности уравнений (48), (57), (64) с системой (46), (47), продифференцируем их по £ (по у) и вычтем из них эти же уравнения, продифференцированные по х и умноженные на Т (на У). Это дает соотношения (49) и равенства вида (57), (64) с коэффициентами Ву, г = 3, 4,5, 6, Аы, к = 4, ... , 9, определяемыми соотношениями (55). Тождество (50) является следствием равенства производных 9*у и 9у*. С использованием обозначений (56) уравнения (46) могут быть представлены в виде

Т* — ТТх — А0 + 6М23/^3 = 0,

У* — ТУх — А1 — 5М31М33/03 = 0, Уу — УУх — А2 + 6М321/^3 = 0.

Исключение из них слагаемых с 6 приводит к равенствам

(А0 + ТТх — Т*)М31 + (А1 + ТУх — У*)М33 = 0,

(А1 + ТУх — У*)М31 + (А2 + УУх — Уу )М33 = 0.

Чтобы получить условие равенства друг другу смешанных производных функции 9 четвертого порядка, продифференцируем (60)-(63) по х и заменим производные 9 четвертого

порядка в силу уравнений (58), (59), продифференцированных по £, х, у. В случае уравнения (60) это приводит к тождеству, а для уравнений (61)—(63) дает соотношения

а1М31 + в1М33 — 3(Г19х + Г2Рх )М31 = 0

а2М31 + в2М33 — 3(Г19х + Г2Рх )М31М33 = 0, (65)

а3М31 + в3М33 + 3(Г19х + Г2Рх)м|3 = 0,

где Г1 = Р^ — 25,^ + Л,, + Р(26, — 3Л^) + 35(25^ — Л,) — 3ЛР^ + 6Р,,

Г2 = 5^ — 2Л,^ + 6,, — Р6^ + 356, + 3Л(5 — 2Л,) + 6(35, — 2РД Алгебраическим

следствием уравнений (65) является

а2М31 + (в2 — а1)М31М33 — в1М33 = 0, а3М31 + (в3 + а2)М31М33 + в2М33 = 0.

Продифференцировав второе уравнение (65) по у, £ и составив, соответственно, сумму с первым уравнением (65), продифференцированным по £, и разность с третьим, продифференцированным по у, получим соотношения

2«4М31 + 2в4М33

+ 3Г2 [А0ТУМ31 + (2А1ТУ — А0ТТ)М31М33 — А1ТТМ33]М31/9х = ° (66)

2«5М31 + 2в5М33

+3Г2 [А0ТУ М|1 + (2А1ТУ — А0тт )М31М33 — А1ТТ М33]М33/9х = 0.

Для исключения Г2 используем соотношения

а6М31 + в6 М33 + 3Г2М31/9х = 0 а7М31 + в7М33 + 3Г2М31 М33/9х = 0, (67)

а8М31 + в8 М33 + 3Г2М31М33/9х = 0, а9М31 + в9М33 + 3Г2М33/9х = 0,

которые получаются при дифференцировании (61), (63) по у, £ и замене производных 9 в силу уравнений (46), дважды продифференцированных по х. Алгебраическим следствием (66), (67) являются равенства вида (64) с коэффициентами Ак1, к = 12,13,14,15. Подстановка (67) в (66) дает еще два соотношения вида (57), коэффициенты Вэ1, Вэ2, В10,1, В10,2 которых определяются формулами (55).

Таким образом, при исследовании совместности системы (47) получены десять уравнений (57) линейных по М31, М33 и пятнадцать уравнений (64) второй степени по М31, М33. Их условиями совместности являются равенства (51)—(54), которые добавляются к условиям совместности (48)—(50) уравнений (46).

Система (46), (47) совместна в том случае, когда совместна система уравнений (48)—(54) относительно Т, У. Эта система делится на подсистему уравнений (48), (49) и (51)—(54) с г,^ = 1, 2, к,/,т = 1, 2, 3, алгебраических относительно Т, У, и подсистему дифференциальных уравнений, содержащую уравнения (50) и остальные уравнения (51)—(54). Система (48)—(54) совместна при условии, что подсистема алгебраических уравнений разрешима относительно величин Т, У, а их подстановка в оставшиеся уравнения системы приводит к тождествам. Теорема доказана.

Заметим, что в большинстве случаев для того чтобы установить, что уравнение в системе двух ОДУ не отделяется, бывает достаточно исследовать совместность алгебраической подсистемы уравнений (48)—(54). Если она оказывается совместной, и подстановка ее решения Т, У в оставшиеся уравнения (48)—(54) не приводит к противоречивым равенствам, то замена переменных (2), приводящая данную систему ОДУ к виду (11), (12), находится из совместной системы уравнений 9*/9х = Т, 9у/9х = У, (46), (47), (57)—(64).

Чтобы проверить, не приводится ли система (6) к виду (11), (12) преобразованием (2), в котором 9у = 0, достаточно в системе (6) сделать подстановку х = у, у = х и применить к ней теорему 4.

5. ПРИМЕР СИСТЕМЫ С ОТДЕЛЯЮЩИМСЯ УРАВНЕНИЕМ

Пример 3. Продолжим рассмотрение системы (43) и найдем, при каких Г, U в ней отделяется уравнение в результате преобразования (2) с бх = 0. Первое условие (48) и условия (52) при к = 1, 2, j = 2 имеют вид

(Y2 + 1)(YГх - Гу) = 0, ГЛ((У2 - 1)ГЛ - 2УГу)2 = 0,

(2YГх - Гу)((Y2 - 1)Гх - 2YГу)2 = 0,

откуда следует Гх = 0, Гу = 0.

Если Г = Г(£), то все соотношения (53), (54) становятся тождествами, а наиболее простые из условий (51) имеют вид

УхФ = 0, (Yy - УУх)Ф = 0, (Y - TYx + (Y2 + 1)Г)Ф = 0, (68)

где Ф = ихх - Uyy + 2Y(иху - Г'). Пусть Ф = 0 и Г = Y'(t)/2, тогда Y = 0, Yy = 0, Y + (Y2 + 1)y'/2 = 0. Подстановка Y = -tg(Y/2) во второе равенство (48)

Y2(Г' - иху) + Y(Uyy - ихх) + Г' + иху = 0 (69)

с точностью до замены y = y ± п/2 приводит к уравнению (44) относительно U(t, x, y). Если Ф = 0, то все условия теоремы 4 сводятся к совместной системе уравнений

4V2 + W2 = 4Г'2, 2(V - Г')Уу + Ж¥х = 0, 2(V - Г')Жу + WWr = 0, (70)

Г'¥хТ + VГ'' - Г'У - ГГ'W = 0, 2(V - Г')Ту + WT, = 4ГГ', (71)

Г'WxT + WГ'' - FWt + 4ГГ'V = 0, 2(V - f)y + W = 0, ( )

где T = б4/бх, Y = бу/бх. Предполагается, что V ± Г' = 0, Г' = 0, иначе из первого уравнения (70) следует, что система (43) является линейной. Пусть функция U(t,x,y) удовлетворяет трем соотношениям (70), тогда из уравнений (71) находится б. Кроме того, A31 = V - Г', A32 = 0, A33 = 0, и из (64) следует M31 = 0, что эквивалентно уравнению

2(V - Г')ру + W^ = 0 (72)

относительно р. Решение б, р этого уравнения и уравнений (71) необходимо подставить в систему (46), (47), чтобы окончательно определить вид функций б, р в преобразовании (2). Поскольку из соотношений 6t - Тбх = 0, бу - Y6,j: = 0 функция б определяется как функция одного аргумента, то система (46) сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению относительно этой функции. Функция р из уравнения (72) определяется как функция двух аргументов, и ее постановка превращает (47) в совместную систему относительно этой функции. В качестве р можно взять любое частное решение этой системы, выбранное так, чтобы соответствующее преобразование (2) было невырожденным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. S. Lie Gesammelte Abhandlungen. Vol. 5. Leipzig: Teubner, 1924.

2. C. Ferrario, G. Lo Vecchio, G. Marmo, G. Morandi, C. Rubano A separability theorem for dynamical systems admitting alternative Lagrangian descriptions // J. Phys. A: Math. Gen. 1987. Vol. 20, № 11. P. 3225-3236.

3. E. Martinez, J.F. Carinena, W. SarletGeometric characterization of separable second-order equations // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1993. Vol. 113. P. 205-224.

4. F. Cantrijn, W. Sarlet, A. Vandecasteele, E. Martinez Complete separability of time-dependent second-order ordinary differential equations // Acta Appl. Math. 1996. Vol. 42, № 3. P. 309-334.

5. M. Kossowski, G. Thompson Submersive second order ordinary differential equations // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1991. Vol. 110, № 1. P. 207-224.

6. M. de Leon, D.M. de Diego Nonautonomous submersive second-order differential equations and lie symmetries // Int. J. Theor. Phys. 1994. Vol. 33, № 8. P. 1759-1781.

7. M.E. Fels The equivalence problem for systems of second-order ordinary differential equations // Proc. London Math. Soc. 1995. Vol. 71, № 1. P. 221-240.

8. S. Neut, M. Petitot, R. Dridi Elie Cartan’s geometrical vision or how to avoid expression swell // J. Symb. Comput. 2009. Vol. 44, № 3. P. 261-270. (arXiv: math.DG/0504203)

9. Yu.Yu. Bagderina Linearization criteria for a system of two second-order ordinary differential equations // J. Phys. A: Math. Theor. 2010. Vol. 43, № 46. P. 465201.

10. Багдерина Ю.Ю. Разделение уравнений в системах двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Казан. матем. об-во, 2010. Т. 40. С. 37-45.

11. R.A. Sharipov On the point transformations for the equation y'' = P + 3Qy' + 3Ry'2 + Sy'3 // e-print arXiv: solv-int/9706003 (1997).

Юлия Юрьевна Багдерина,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]