Задача оптимизации дифференциальных систем с использованием сопряженных состояний Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.56

Информатика, вычислительная техника и управление

ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

СОПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ

С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов

Представлено исследование задачи оптимизации с точки зрения анализа состояний исходной и сопряженной систем. Получены необходимые и достаточные условия существования и единственности оптимума такой задачи. Результаты иллюстрированы примерами, часто встречающимися на практике

Ключевые слова: оптимизация управления, сопряженные системы, необходимые и достаточные условия существования оптимума

Введение! В работе рассматриваются вопросы оптимизации функционально-

дифференциальных систем с распределенными параметрами на сети (графе) с точки зрения операторных соотношений и им соответствующих сопряженных состояний. Представлены новые подходы анализа задач оптимизации с пространственной переменной, изменяющейся на пространственной сети, математические модели которых и соответствующие им начально-краевые задачи для дифференциальных систем используют в качестве множеств изменения пространственной переменной ограниченные геометрические графы [1]. Применение указанного подхода возможно и в более общем случае при анализе оптимизационных задач на сетеподобных областях эвклидова пространства М". Работа продолжает исследования, представленные в [2 - 7].

1. Оптимизация эллиптических систем.

Данный раздел имеет вспомогательный характер и определяет основную идею дальнейшего исследования [8]. Пусть Н - гильбертово пространство над полем действительных чисел R . Рассмотрим в Н неограниченный оператор L с областью определения D(L), плотной в Н (предполагается, что L - замкнутый оператор). Снабдив D(L) нормой

||и|| = (| и |2 + 2)1/2 (через |и| обозначена норма в Н), будем предполагать, что L является изоморфизмом D(L) и Н , причем (Lu,и)> 0 для любых и е D(L) (через (•, •) обозначено скалярное произведение в Н).

Подвальный Семен Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: spodvalny@yandex.ru Провоторов Вячеслав Васильевич - ВГУ, д-р физ.-мат. наук, доцент, e-mail: wwprov@mail.ru

Пусть далее и - гильбертово пространство функций, осуществляющих управляющие воздействия на процесс, описываемый оператором L . Рассмотрим линейный оператор В: и ^ Н (оператор воздействия). Для заданной функции воздействия V е и состояние у^) системы будет принадлежащее D(L) решение уравнения

Ly(v) = f + Bv , (1)

f задано в Н . Для V е и задается функционал (в приложениях - функция стоимости, штрафная функция) вида

I |2 II ||2

J (V) = |у (V) +| |и|и (приведенный функционал носит иллюстративный характер и ни в коей мере не описывает все ситуации, встречающиеся на практике). Можно показать [1], что существует и притом только один элемент и е и такой, что для любых V е и

3(и) < 3(V) (2)

Определение 1. Элемент и е и называется оптимальной функцией воздействия (оптимум) задачи (1), если она удовлетворяет неравенству (2).

В монографии Ж.-Л. Лионса [1] показано, что и е и характеризуется тем, что для любых V е и

(у (и), у^) - у(0)) + (и, V )и = 0. (3) Введем сопряженное состояние р(V) системы (1), р^) е В(Г):

^рМ = уМ , то соотношение (3) для любых V е и будет эквивалентно уравнению

(Г р(и), у^) - у(0)) + (и, V)и = 0,

откуда

(р(и), L(у^) - у(0))) + (и, V)и = 0 и далее для любых V е и

( р(и), Bv ) + (и, V )и = 0, так что окончательно

В* р(и) + и = 0. (4)

Исключая и из (4), получаем следующее утверждение:

Теорема 1. Оптимум системы (1) имеет вид u = -B'p(u),

где р задается решением {у, р} е D(L) х D(L ) системы

Ly + BB* p = /, L*р - у = 0.

(5)

2. Оптимизация эволюционных систем. Ниже приводится математическое описание процессов [8], для которых зависимость от времени вносит существенный вклад в анализ (см. также [9, 10]). 2.1. Основные обозначения и понятия. Пусть

V - заданное подпространство пространства Н . Обозначим через V* пространство, сопряженное к V, будем считать, что Н * совпадает с Н, тогда

V с Н с V*. Через t е (0, Т), Т < да обозначим временную переменную.

Пусть задана билинейная форма ^ 1(.;\,\), непрерывная на пространстве

V со следующими свойствами:

1) для любых функция t ^ измерима на (0, Т)

2) для любых имеет место

\£(Г;\,\)\ < с\\ Vt е (0, Т), 0 < с <да;

3) существует такое число X , что

+Ц\\\Н > а|\\|2

V\ еV, 0 < а < да, Введем далее пространство Ь2 (0, Т; V) функций t ^ /^), отображающих интервал (0, Т) в пространство V, измеримых и таких, что

(6)

(7)

выполняется

(|||/^)||2dt)1/2 < да.

Аналогично определяется пространство L2(0, ТV ).

Для функции / е Ь2(0,Т V) можно определить производную следующим образом. Введем пространство, сопряженное к пространству отображений на интервале (0, Т) со значениями в V . Пусть В((0, Т)) - пространство отображений на интервале (0, Т) со значениями в V, бесконечно дифференцируемых на (0, Т) и имеющих компактные в (0, Т) носители. Через D*((0, ТXV) обозначим пространство линейных непрерывных отображений элементов пространства D((0, Т)) со значениями в V . Таким образом, если

/ е ^((0, Т);П, то /(<р^ и /(\) -

непрерывное отображение D((0, Т)) ^ V для любого элемента \ е Б((0, Т)) . Будем обозначать /(\) как обычные функции:

/ (\)=| / ^\т.

(8)

d/

Определим производную — элемента

dt

/ е D*((0, ТXV) с помощью соотношения

(\) = -/ (-г1). dt dt

Откуда следует, что задано линейное непрерывное

df

отображение D((0, Т)) ^ V, а значит, — суть

dt

элемент D*((0, ТXV) .

Предельный переход /п ^ / при п ^ да в пространстве D*((0, ТXV) означает /п (\) ^ /(\) при п ^ да для любых \ е Б((0, Т)) ; в этом случае

^ ^ ^ в D*((0, Т); V) . dt dt

Замечание 1. Если / е Ь2(0,ТV), то можно определить /(\) равенством (8), т.е. обычным интегралом Лебега со значениями в V . Тем самым определяется также элемент / е D*((0, ТXV)и линейное непрерывное взаимно однозначное отображение / ^ /, т.е. вложение пространства Ь2(0,ТV) в D*((0,ТXV) . Отождествляя элементы / и / , получим L2(0,Т;У) с D*((0,Т)^) . Следовательно, для функции / е Ь2(0,Т;V) всегда

df *

можно определить производную —е D ((0, ТXV) .

dt

2.2. Основные утверждения. В соответствии с замечанием 1 введем пространство

W(0, Т) = |/: / е L2 (0, Т; V),/ е D* ((0, Т); V) снабженное нормой, определяемой соотношением

Ш (0,Т )

= (Ц / (t)l I2 ^+1

dt )''

Замечание 2. Для каждого фиксированного t можно записать

1(К\\) = (А(0\,\), A(t)\еV*, где символ (•, •) обозначает скалярное произведение

элементов, принадлежащих V* и V, соответственно. Отметим, что

А^): L2(0,Т; V) ^ L2(0,Т; V*) - линейный

ограниченный оператор. Действительно, если

/ е 12(0,ТV).

то

A(t) / е V . Функция

t ^ (A(t)/)(t) измерима в силу свойства 1 и в силу (6) удовлетворяет условию

IIА^)/(0||„. < с II/(t)||v , откуда и следует утверждение.

2

V

Пространство Ш (0, Т) обладает следующим важным свойством:

Теорема 2 [1]. Всякая функция f е Ш(0,Т), надлежащим образом измененная на множестве меры нуль, является непрерывной функцией [0, Т ] ^ Н .

Рассмотрим теперь эволюционную задачу: определить функцию у(?) еШ (0, Т),

удовлетворяющую уравнению

у(и) 1=0=у( х,0;и) = Уo,

(12)

+ у =

М

(9)

где f (?) - заданная функция пространства L2 (0, Т; V ), и начальному условию

у(0) = у0, (10)

где у0 - заданный элемент пространства Н .

Теорема 3. Если выполнены условия (6), (7), то задача (9), (10) имеет единственное решение, непрерывно зависящее от исходных данных: билинейное отображение f, у0 ^ у

пространства L2(0, Т^*) х Н в Ш(0, Т) непрерывно.

Доказательство теоремы здесь не приводится, оно основано на методе Галеркина и почти дословно повторяет доказательства аналогичных

утверждений, представленных в работах [10, 11]. При этом существенно используется предположение сепарабельности пространства V - наличие бесконечного специального базиса, который в прикладных задачах (оператор А не зависит от переменной ?: А = А(?)) является системой собственных функций (или обобщенных слбственных функций) оператора А в пространстве V [10].

Замечание 3. Во многих ситуациях, прежде всего связанных с дифференцируемостью элементов пространства V и однородностью краевых условий для этих элементов, удобно использовать эквивалентную вариационную форму записи задачи (9), (10) (см. работы [12]):

(^,г)+*('; у, г)=(f о, г)

м

Функция у(и) представляет собой состояние системы (11), (12), наблюдение z(o) определяется линейным непрерывным оператором (оператор наблюдения) С : Ш (0, Т) ^Т (У- заданное пространство) и задается следующим образом: z(u) = Су(и).

Введем линейный непрерывный оператор N : и ^ и такой, что (Ми,и)и > у || и ||2 (у > 0). Минимизирующий функционал задается соотношением

3(и) =|| Су(и) - 20 ||У +(Ми, и)и .

Замечание 4. Оператор N берется достаточно большим (в смысле нормы), чтобы функционал 3 (и) обладал свойством коэрцитивности, т.е. 3(и) , если ||и||и^+»; представление функционала 3 (и) вышеприведенным

соотношением не является единственным и используется здесь таковым лишь для иллюстрации идеи ислледования.

Задача оптимизации состоит в том, чтобы отыскать щГ 3(и); элемент и , доставляющий

иеиа

инфинум функционалу 3(и), называется оптимумом.

В соответствии с предыдущими результатами имеет место

Теорема 4. Если оператор N ^ 0, то существует единственное оптимальное управление.

Как известно (см. [1, глава 1] и раздел 1 настоящей статьи) элемент и является оптимумом тогда и только тогда, когда

3 '(и)(и- и) > 0

для любого и е и ; 3 '(и) - производная Фреше функционала 3(и).

Лемма 1. Элемент и является оптимумом тогда и только тогда, когда

для любых элементов г из V . При этом имеет место (10).

Пусть заданы гильбертово пространство управлений и , иа - заданное подмножество и и линейный непрерывный оператор

В: и ^ L1(0,ТV*); пусть далее f е 1г{0,Т-у"), у0 е Н . Предположим, что выполнены условия (6), (7) и у(и) = у(х, ?;и) е L2(0, Т V) - решение задачи ёу(и)

Ж

- + А(/) у(и) = / + Ви.

(11)

(Су(и) - ¿0, С (у(и) - у(и)))т + +(Ми,и-и)и > 0

(13)

для любых и е иа.

Доказательство очевидным образом вытекает из представления первого слагаемого функционала 3 (и) через скалярное произведение в пространстве У .

Очевидно, неравенство (13) принимает вид

(С* (Су(и) - Zo), у(и) - у(и)) + +(^,и- и)и > 0

(С * - сопряженный к С оператор) для любых оеПд, при этом первое слагаемое в (14) является скалярным произведением элемента пространства W *(0, Т) и элемента из W (0, Т) (W*(0, Т) - пространство, сопряженное к W(0, Т)).

2.3. Сопряженное состояние. Введем сопряженное состояние системы (11), (12), которое, как нетрудно заметить, будет зависеть от представления оператора наблюдения С . При этом рассмотрим два достаточно распространенных в приложениях случая: распределенное и финальное наблюдения. Аналогичные рассуждения

использованы в [13 - 15].

2.3.1. Распределенное наблюдение. Оператор

С -

линейное непрерывное отображение

пространства

¿2(0, Т V) в У .

Тогда

С : У ^ L2(0, Т V ) и неравенство (14) принимает вид

|(С*(Су(и) - Zo),у(о) -у(и))<И-

(15)

+(Ш,и- и)и > 0

для любых и е и. Сопряженное состояние со(и) е ¿2(0,ТV) системы (11), (12) определяется как решение на (0, Т) уравнения

—а(и)

+ А ^)а(и) =

dt

= С*(Су(и) - Zo) с финальным условием

с (и) ^=т = 0.

(16)

(17)

Лемма 2. Задача (11), (12) имеет единственное решение.

Доказательство становится очевидным, если заменить t на Т -1.

Замечание 5. Эквивалентная вариационная форма записи задачи (16), (17) для элементов V при однородных краевых условиях имеет вид

-(С),,)+£*«-Мии) = dt

= (С*(Су(и) - Zo),,)

для любых элементов , из V . При этом имеет место (17).

Неравенство (15) можно преобразовать. Умножим (16) (и = и) на у(и)-у(и) и

проинтегрируем от 0 до Т. Заметим, что из полученных соотношений вытекает

I <

dt

У(и) - У(и)^ =

а тогда

г d

= | (с(и), — (у(и) -у(и))^, 0 —

Т

I (АС(и), у(и) - у(и)^ =

0

Т

= | (с(и), А(у(и) - у(и))—

0

Т

I(С*(Су(и) - Zo),у(и) -у(и)— =

0

т d

= | (с (и), — (у (и) - у(и)) + 0 — +А(^( у(и) - у (и))— =

Т

= | (ю(и), В(и - и)— =

0

= (В*ю(и),и- и)и = = (В*ю(и),и-и)и,

где (В*ю(и),и-и) - скалярное произведение

элементов и * и и, соответственно. Отсюда следует, что неравенство (15) принимает вид

(В*ю(и),и-и)и > 0 Vи е ид,

для любых и е ид и значит, справедлива

Теорема 5. Если С - оператор

распределенного наблюдения системы (11), (12), то оптимум и е ид характеризуется соотношениями

—У(и)

dt

у(и) и У0

+ А^) у(и) = / + Ви,

(18)

—с(и)

+ А*(^ю(и) =

dt

= С'(Су(и) - Zo)

(19)

с (и) \1=Т = 0,

(ВС(и),и-и)и > 0 Vи е ид, (20) где у(и),с(и) е ¿2(0, Т V) .

Замечание 6. Соотношения (18), (19) в эквивалентной вариационной форме записи для

элементов V при однородных краевых условиях принимают вид

(^1Г>Г) + *('; у(и), г) = (/ + Ви, г),

Ж

-(^,г) + £*((;а(и),г) = т

= (С*(Су(и) - ¿0),г)

для любых элементов г из V . При этом имеет место соотношения (12) и (17).

Замечание 7. Если иа совпадает си, то неравенство (20) приводится к виду

(В*ю(и),и-и)и = 0 Vи е иа.

Отсюда определяется и , а оптимум получается из решения задачи

ту + А (Г) у + ВМ-1В'а= /, Ж

у г=0 Уo,

(21)

-—■+ А* (Г)с - С*Су = -С * 20, Ж (22)

со I?=Т = 0,

по формуле

и = - N

(23)

2.3.2. Финальное наблюдение. Наблюдение С у(и) определяется линейным непрерывным оператором Б : Н ^ Н согласно соотношению Су(и) = Бу(х, Т;и). Функционал 3(и) имеет вид

3(и) =||Ду(-,Т;и) - 20 |£ +(Nu,и)и,

оптимизационная задача на множестве иа остается неизменной, а неравенство (15) трансформируется в неравенство

(Бу(Т; и) - ¿0, Бу(Т ;и) - Бу(Т; и))Н + +(Nu,и- и)и > 0

(24)

для любых и е иа . Сопряженное состояние с(и) е L2(0, ТV) системы (11), (12) в этом случае определяется как решение на (0, Т) уравнения

ёт(и) Ж

+ А*(/>(и) = 0,

(25)

ю( х, Т ;и) =Т = = Б* Бу( х, Т; и) - 20 (х)

Лемма 3. Задача (11), (12) имеет единственное решение.

Для доказательства, как и в доказательстве леммы 2, достаточно заменить Г на Т - Г.

Используя приведенные в п. 2.3.1 преобразования и учитывая соотношение

ж

у (и) - у(им=

-I (

0

т т

= 1 (® (и), тг (у(и) - у(и)))т -

л

-(Б Бу(Т;и) - 20,у(Т;и) - у(Т;и))л

получим

(Бу(Т; и) - 20, у(Т ;и) - у(Т; и))Н =

Т

= | (ю(и), В(и - и))йТ,

0

значит, неравенство (24) примет вид

(В*ю(и) + Nu,и-и)и > 0 VиеUа.

Последнее приводит к следующему утверждению, аналогичному утверждению теоремы 4.

Теорема 6. Если С - оператор финального

наблюдения системы (11), (12), то оптимум и е иа характеризуется соотношениями

ту(и)

Ж

у(и)г=0 у0

+ А(Г) у(и) = / + Ви,

(27)

ёт(и)

+ А (Г)с(и) = 0,

Ж

со(х,Т;и) |г=т = = Б* Бу( х, Т; и) - 20 (х),

(В с(и) + Ш,и-и)и > 0 V и е и а.

(28)

(29)

где у(и),с(и) е L2(0, Т;V) .

Замечание 8 (аналогичное замечанию 7). Если иа совпадает с и, то оптимум получается из решения задачи

с финальным условием

по формуле

—У(и) dt

+ A(t) у(и) +

+BN-'В'ю = /, У(и) I=0 Уo,

йт(и) dt

+ А ^)а(и) -

-С'Су(и) = -С* Zo с (и) I=т = 0,

и = - N-1Btю

(30)

(31)

(32)

йи(1)у

Е =

1 дх

= Е «(0);

У1 ег (£)

йи(0)у

1 Йх

(33)

для всех узлов £ е J(Г) (существование таких функций показано в [1, с. 92]).

Пусть V = W1^(a,Г); В - тождественное отображение; С - вложение пространства V в Н ;

У = Н .

Определим эллиптический оператор А соотношением

3. Примеры задач оптимизации. Рассмотрим непосредственные приложения полученных в разделах 1 и 2 результатов, которые явились предметом исследований в ранних работах авторов [16, 17]. При этом анализируются эволюционные системы, пространственные переменные которых изменяются на сетях (графах) Г .

3.1. Оптимизация эллиптической системы. Обозначим через ЙГ множество граничных, через J(Г) — множество внутренних узлов графа Г и пусть Г0 — объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, Каждое ребро у графа Г параметризуется отрезком [0,1] и параметром х е [0,1], ориентация ребер установлена в [2, с. 88]. Введем необходимые пространства [18, 19]: Н = ¿2(Г) - простран-ство функций, суммируемых с квадратом на Г ; и = ¿2(Г) (распределенное на Г управление); W'(Г) - пространство функций из ¿2(Г) , имеющих обобщенную производную 1-го порядка по х также из Ь2 (Г) .

Рассмотрим билинейную форму йц( х) йу( х)

1(р,у) = |а( х)

-йх +

Г йх йх +|Ъ( х)^( х)у( х)йх,

Г

коэффициенты а( х), Ь( х) — фиксированные измеримые ограниченные на Г0 функции, суммируемые с квадратом: 0 < а, < а(х) < а*, Ъ, < Ъ(х) < Ъ , х еГ0 (а,, а, Ъ,, Ъ — фиксированные постоянные). Очевидно, что форма 1(^,у) обладает свойствами (6), (7). Обозначим через W0 (Г) с W1 (Г) пространство, являющееся

замыканием в норме W'(Г) множества гладких функций, удовлетворяющих соотношениям (условия согласования)

А = -—(а( х)) + Ъ (х) ц( х) йх йх

Состояние у(и) = у( х; и) определяется как решение задачи Дирихле:

Ау(и) = / + и, у(х; и) |дГ = 0. (34)

Задача оптимизации системы (34) состоит в отыскании

Т

^ 3(и) = М {I (у(х; и) - z0 (х))2йх +

иеид иеид ^

+(Ш,и)Н }

Сопряженное состояние ю(у) = со(х;у) системы (34) является решением краевой задачи

А'ю(и) = у(и) - Zo, ю(х;и)|дГ= 0.

Применяя теорему 1 для случая ид = и (нет ограничительных условий на управляющее воздействие), получаем необходимые и достаточные условия существования оптимума и , т.е. систему для определения и . Оптимум системы (34) при этом имеет вид

и(х) = -(х), (35)

где со(х) задается решением {у(х),с(х)} системы (см. раздел 1)

Ау + N ~с = /,

А *

А с-у =

Замечание 9. Если ид с и , то соотношение (32) заменяется неравенством |[с(и) + №](и-и)йх > 0

Г

для любого и е ид.

3.2. Оптимизация эволюционной системы. К обозначениям п. 3.1 добавим следующие. Через ГТ обозначим область

ГТ = Г0 х (0, Т), причем Гг = Г0 х (0, Г);

агт = аГ х (0, Т). Пусть далее L2 (ГТ) — пространство функций, суммируемых с квадратом на ГТ (аналогичное пространству L2(Г) ); L21(ГT)

— пространство функций из L1(ГT) с нормой

= /(//2 (х, Г)йх)1/2 йГ ; Ш2'0 (ГТ) —

пространство функций /(х, Г) е L2 (ГТ), имеющих обобщенную производную 1-го порядка по х , принадлежащую L2 (ГТ),

Мшу(Гт)

| I / (х, Г)

2 + аи( х, г )

дх

через Ш2'0(а, ГТ) с Ш2'°(ГТ)

йхй . Обозначим

пространство,

являющееся замыканием в норме Ш2'0(ГТ)

множества гладких функций, удовлетворяющих аналогичным (33) условиям согласования

аи(1, Г)т X а(\)у -^ =

УjеR(4)

= X а(0)у

те к)

ах аи(0, г )т ах

для всех узлов К е 3(Г) и для любого / е [0, Т] (подробное описание таких пространств приведено в работах [1 - 3].

Пусть Н = L2 (ГТ); пространство управлений

и = L2(ГT); как и выше в п. 3.1: V = Ш1(а,Г), В -тождественное отображение, С - вложение пространства V в Н, У = Н . Состояние у(и) = у( х, Г; и) определяется как решение задачи

ау(и) аг

х, Г еГ

+ А(Г) у(и) = / + и,

у(и)[=0 = у( х, 0; и) = у,( х), (36) х е Г,

у(и) |аГ = у(х, ?; и) |аГ= 0.

Задача оптимизации системы (36) состоит в отыскании

М 3(и) =

иеиа

= ^ { I (у(х,Г;и)-20(х,Г))2йхЖ + .

иеиа Г

Г Т

+(Ш,и)Н }

Сопряженное состояние с (и) = ю(х, Г; и) системы (36) определяется как решение задачи

ас (и)

аг

+ А (Г)ю(и) =

= у(и)-20, х,Г еГт, с (и) ^=Т = со (х, Т; и) = 0, х е Г,

с (и) |аГ= ю(х, Г; и) ^ = 0, Применяя теорему 1 для случая иа = и (нет ограничительных условий на управляющее воздействие), получаем необходимые и достаточные условия существования оптимума и , т.е. систему для определения и . Оптимум системы (36) (см. соотношение (35)) имеет вид

и( х, Г) = -'ю)( х, Г), (37)

где ю( х, Г) задается решением {у( х, Г),ю( х, Г)} системы

^ + А(Г) у + N -с= /, т

йю . ч

---+ А (Г)ю - у = -20,

Ж 7 0

у(и)г=0 Уo, ю(ин=т = 0,

Замечание 10. Если иа с и, то соотношение (37) заменяется неравенством

| [ю(и) + №](и-и)йхЖ > 0 для любого и е иа.

4. Заключение. В работе развиваются

некоторые методы решений начально-краевых задач для эволюционных уравнений с распределенными параметрами на сетеподобных областях (основополагающие формализмы математических моделей эволюционных процессов и явлений в сетеподобных объектах), используя так называемые сопряженные состояния таких задач. При этом учитывается принципиальное отличие от классических подходов в понимании решения таких задач [20 - 24] - функции (отображения), используемые при интерпретации решений, не являются не только гладкими (дифференцируемыми) по пространственным переменным, но и подчас непрерывными. Изучаемые методы и подходы (ни в коей мере не являющиеся исчерпывающими) демонстрируются на конкретных примерах прикладного прикладных характера.

Полученные результаты являются основополагающими при исследовании

оптимизационных задач разного типа, а именно, задачи устойчивости, оптимального управления, стабилизации [25 - 30]. Основными этапами решения (общая схема исследования) этих задач являются:

- анализ начально-краевых задач: однозначная разрешимость Слабая разрешимость), непрерывность по исходным данным, вопросы

l2l(Гт)

Т

Т

корректности постановок задач (корректность по Адамару),

- построение решения задачи оптимизации.

Литература

1. Провоторов, В.В. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе [Текст] / В.В. Провоторов, А.С. Волкова. - Воронеж. - 2014.

2. Подвальный, С.Л. Оптимизационные задачи для эволюционных систем с распределенными параметрами на графе [Текст] / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов // Современные методы прикладной математики, тоерии управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014) сборник трудов VII Международной конференции. - 2014. - С. 282-286.

3. Подвальный. С.Л. Оптимизация по стартовым условиям параболической системы с распределенными параметрами на графе [Текст] / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 58. - № 4. - С. 70-74.

4. Подвальный, С.Л. Определение стартовой функции в задаче наблюдения параболической системы с распределенными параметрами на графе [Текст] / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2014. - Т.

10. - № 6. - С. 29-35.

5. Провоторов, В.В. Оптимальное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе [Текст] / В.В. Провоторов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2014. - № 3. - С. 154-163.

6. Подвальный, С.Л. Стартовое управление параболической системой с распределенными параметрами на графе [Текст] / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов// Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2015. - № 3. - С. 126-142.

7. Подвальный. С.Л. Управляемость дифференциальной системы параболического типа с распределенными параметрами на графе [Текст] / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов// Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015. - Т.

11. - № 3. - С. 49-56.

8. Лионс, Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными [Текст] / пер. с фр. Н. Х. Розова; под ред. Р. В. Гамкрелидзе. М.: Мир. - 1972. - 414 с.

9. Волкова, А.С. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе [Текст] / А.С. Волкова, В.В. Провоторов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2014. - № 3. - С. 3-18.

10. Провоторов, В.В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде [Текст] / В.В. Провоторов // Математический сборник. - 2008. - Т. 199. -№ 10. - С. 105-126.

11. Провоторов, В.В. Спектральная задача на графе с циклом [Текст] / В.В. Провоторов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 11. - С. 1665.

12. Провоторов, В.В. Граничное управление волновой системой в пространстве обобщенных решений на графе графе [Текст] / В.В. Провоторов, Гнилицкая Ю.А. // Вестник Санкт-Петербургского университета. - Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2013. - № 3. - С. 112-120.

13. Подвальный, С.Л. Сопряженные системы и градиент при оптимизации динамических систем [Текст] / С.Л. Подвальный// Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - Т. 8. - № 12-1. - С. 57-62.

14. Подвальный, С.Л. Особенности поисковой градиентной оптимизации сложных объектов с использованием сопряженных систем [Текст] / С.Л. Подвальный // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 56. - № 2. - С. 18-22

15. Подвальный, С.Л. Решение задач градиентной оптимизации каскадно-реакторных схем с использованием сопряженных систем [Текст] / С.Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т.9. - №2. - С. 27-32.

16. Volkova, A.S. On the Solvability of Boundary-Value Problems for Parabolic and Hyperbolic Equations on Geometrical Graphs [Text] / A.S. Volkova, Yu.A. Gnilitskaya, V.V. Provotorov // Automation and Remote Control. - 2014. -Т. 75. - № 2. - C. 405-412.

17. Provotorov. V.V. Boundary control of a parabolic system with distributed parameters on a graph in the class of summable functions [Text] / V.V. Provotorov // Automation and Remote Control. - 2015. - Т. 76. - № 2. - C. 318-322.

18. Podvalny, S.L. The questions of controllability of a parabolic systems with distributed parameters on the graph [Text] / S.L. Podvalny, V.V. Provotorov // В сборнике: 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP). - 2015. - C. 117-119.

19. Provotorov, V.V. Boundary control of a parabolic system with delay and distributed parameters on the graph [Text] / V.V. Provotorov // В сборнике: 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP). - 2015. - C. 126-128.

20. Подвальный, С.Л. Модели многоальтернативного управления и принятия решений в сложных системах [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 56, - № 2.1. - С. 169-173

21. Подвальный, С.Л. Многоальтернативные систем: концепция, состояние и перспективы [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев// Управление большими системами: сборник трудов. - 2014. - № 48. - С. 6-58.

22. Подвальный, С.Л. Эволюционные принципы построения интеллектуальных систем многоальтернативного управления [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 57. - № 3. - С. 48.

23. Подвальный, С.Л. Модульная структура систем многоальтернативного моделирования процессов полимеризации [Текст] / С.Л. Подвальный, А.В. Барабанов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т.9. - № 5-1. - С. 4143.

24. Podval'ny, S.L. Intelligent Modeling Systems: Design Principles [Text] / S.L. Podval'ny, T.M. Ledeneva // Automation and Remote Control. - 2013. - Vol. 74. - № 7. - P. 1201-1210.

25. Александров, А.Ю. Об устойчивости решений одного класса нелинейных систем с запаздыванием [Текст] / А.Ю. Александров, А.П. Жабко // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 9. - С. 3-14.

26. Александров, А.Ю. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием [Текст] / А.Ю. Александров, А.П. Жабко // Известия вузов. Математика. - 2012. - № 5. - С. 3-12.

27. Веремей, Е.И. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса [Текст] / Е.И. Веремей, В.М. Корчанов // Автоматика и телемеханика. -1988. - № 9. - С. 126-137.

28. Веремей, Е.И. Стабилизация плазмы на базе прогноза с устойчивым линейным приближением [Текст] / Е.И. Веремей, М.В. Сотникова // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2011. -Вып. 1. - С. 116-133.

29. Карелин, В.В. Штрафные функции в задаче управления процессом наблюдения [Текст] / В.В. Карелин // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2010. - № 4. - С. 109-114.

30. Потапов, Д.К. Оптимальное управление распределенными системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью [Текст] / Д.К. Потапов // Изв. РАН. ТиСУ. - 2013. - № 2. - С. 19-24.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

THE PROBLEM OF OPTIMIZATION OF DIFFERENTIAL SYSTEMS USING

THE CONJUGATE STATES

S.L. Podvalniy, V.V. Provotorov

Presents a study of the optimization problem from the point of view of the analysis of States of the original and conjugate systems. The necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution to the problem of finding the optimum. The results are illustrated with examples from practice

Key words: optimization of associated systems, necessary and sufficient conditions for the existence of the optimum