Задача оптимизации параболической системы с запаздыванием и распределенными параметрами на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.56

Информатика, вычислительная техника и управление

ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ГРАФЕ

С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов

Оптимизация дифференциальных систем в банаховом пространстве, состояние которой определяется как слабое решение начально-краевой задачи для параболического уравнения с распределенными параметрами на графе, - новое направление в анализе процессов, описываемых эволюционными уравнениями на сетях. В работе получены необходимые и достаточные условия оптимума для ситуации, обусловленной фиксированным запаздыванием пространственной переменной. При этом указаны пути исследования более общих задач с распределенными параметрами на сетеподобных областях

Ключевые слова: дифференциальная система в банаховом пространстве, запаздывание, распределенные параметры на графе, задача оптимизации

1. Введение. В работе рассматриваются вопросы оптимизации дифференциальной системы в банаховом пространстве, состояние которой определяется как слабое решение начально-краевой задачи для параболического уравнения с распределенными параметрами на графе. На этой базе рассмотрены задачи оптимизации с запаздыванием, получены условия существования единственного оптимума и соотношения, характеризующие этот оптимум, а также описываются приемы, позволяющие установить свойство управляемости указанной системы. Все рассмотрения используют произвольный связный ограниченный ориентированный граф, допускающий наличие циклов. Работа продолжает исследования, результаты которых приведены в публикациях [1 - 6].

2. Основные понятия и предложения.

Используется произвольный связный ограниченный

ориентированный граф, допускающий наличие

циклов, при этом сохраняются ставшими

классическими обозначения, принятые в работах А.С. Волковой, Ю.А. Гнилицкой и В.В. Провоторова [7 - 9] (см. также [10, 11]). Обозначим через ЭГ множество граничных узлов Q, J(Г) -

множество внутренних £ узлов графа Г и пусть Г0 - объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, ЭЭТ - множество всех граничных ребер

(ребер, содержащих граничные узлы Q е ЭГ);

ГТ = Г0 х (0,T) (Г, = Г0 х (0,t)), ЭГТ = ЭГх (0,Т)

(ЭГ, = ЭГх (0, t)). Каждое ребро у графа Г

ориентировано, параметризуется отрезком [0,1] и переменной х е [0,1].

Введем необходимые пространства. Через ¿р (Г) (р = 1,2) обозначим банахово пространство измеримых на Г0 функций с конечной нормой

IIи И^ (Г)=фр (х¥х)1/р

Г

(аналогично определяются пространства Lp (ГТ), р = 1,2); Г2(Г) - пространство функций из ¿2 (Г), имеющих обобщенную производную 1 -го порядка также из ¿2 (Г), норма в РТ2 (Г) устанавливается

соотношением

II U 1Ц(Г)= -ИХ)

2 du (г) ,

н--:— )dx;

2(Г) гч 4 ' ^х

¿21(ГТ) - пространство функций из Ь1(ГТ) с нормой

Т

II и Их21(ГТ)= №2(х,t)й?х)112Л;

0 Г

РТ2'°(ГТ) - пространство функций и(х,^ из ¿2(ГТ), имеющих обобщенную производную 1-го порядка по х, принадлежащую ¿2(ГТ), норма в ^'2'0(ГТ) вычисляется соотношением

2 Л

ди (х, t)

1 u !UT)= i|u(x,t)2 +

Эг

dxdt.

Пусть далее V2 (ГТ) - множество всех функций и(х, t) е Ж210 (ГТ) с конечной нормой

Т

Подвальный Семён Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8(473) 243-77-18

Провоторов Вячеслав Васильевич - ВГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: wwprov@mail.ru

1 |u| kr.=max I lu( x t)l z (г) +

(i)

К(ГТ)

сильно непрерывные по / в норме L2 (Г), т. е.

такие, что и (х, t + At) - и (х, t)

1х2(Г)

^ 0 при А/ ^ 0

равномерно на [0,Т].

Рассмотрим билинейную форму

Км,у) =

dц(х) dv(x)

= к а( х)-

Сх Сх

+ Ь(х)^(х)г(х) I Сх.

(2)

коэффициенты а(х), Ь(х) в (2) - фиксированные измеримые ограниченные на Г0 функции. Из леммы 2 [10] следует, что в пространстве ^>(Г) есть множество О функций и(х) е С (Г) (С(Г)-пространство непрерывных на Г функций), удовлетворяющих соотношениям

X а(1)г

у,еЯ(4)

Си(1)у Сх

= X а(0)г

¡ег(4)

йи(0)г Сх

во всех узлах £е J(Г) (здесь Я(£) - множество ребер, ориентированных «к узлу £», г(£) -множество ребер ориентированных «от узла £»; через и(-)у обозначено сужение функции и(-) на ребро у). Замыкание в норме РТ2(Г) множества функций из О обозначим через Ш21(а,Г).

Пусть далее О1(а, ГТ) - множество функций и(х,/) е У2(ГТ), чьи следы определены на сечениях области ГТ плоскостью / = /0 (/0 е [0, Т]) как функции класса ^>(а, Г) и удовлетворяют соотношениям

ди(1, /)у ди(0, /)у

X а(1)у. у = X а(0)у у

Г1 еЛ(£) 1 дх у.ег(£)

у дх

(3)

для всех узлов £ е О (Г). Замыкание множества О1(а, ГТ) по норме (1) обозначим через К2'0 (а, ГТ) с ^2'0 (ГТ). Другим подпространством пространства ^'2'0(ГТ) является ^"(а, ГТ )-замыкание в норме ^'2'0(ГТ) множества гладких функций, удовлетворяющих соотношениям (3) для всех узлов £е О (Г) и для любого / е (0,Т);

аналогично определяется пространство Р^2(а, ГТ). Отличием элементов пространства У20(а, ГТ) от элементов ^"(а, ГТ) является отсутствие у последних непрерывности по переменной /,

соотношение (3) имеет место почти всюду на (0,Т). По мере необходимости будут введены другие пространства и их подпространства с интересующими нас свойствами.

Далее рассмотрим эволюционную задачу без запаздывания с распределенными параметрами на графе Г и соответствующую ей задачу оптимизации в пространстве У10 (а, ГТ).

3. Оптимизация параболической системы без запаздывания. Рассмотрим начально-краевую задачу (трактовка, используемая в работе [7])

МхО-АГ а( х) д^ 1 + д/ дг ^ дх

+Ь( х) у( х, / ) = / (х, /),

У I,=0 = x), х ^ ду

а( х) дх 1эгт = У( x, /)

(4)

(5)

отыскания решения у(х, /) в области ГТ, удовлетворяющего условиям (1); /(х, /) е L21(ГT), х) е Ь2 (Г); v(х, /) е Ь2 (дГТ).

Определение 1. (см. [2 - 6], а также [7]) Слабым решением начально-краевой задачи (4), (5) называется функция у(х, /) е У2° (а, ГТ ) ,

удовлетворяющая интегральному тождеству

|у( х, / х, / )Сх -

-|у(х,/) ^^/) йхй/ + £,(у,^) = = |<р( х)^ (х, 0)Сх +| v( х, / (х, /)СхС/ -

Г ЭГТ

+| / (х, / х, / )СхС/

(6)

для любой г/(х, /) е РТ1(а, ГТ ) и при любом / е [0,Т]; £, (у,^) - билинейная форма, определяемая соотношением

£, (у,^) =

= |(а(х)

ду(х,/) д^(х,/) дх дх

+ Ь( х) у( х, / (х, / ))СхС/.

Теорема 1. Задача (4), (5) при V е L2(дГT) однозначно разрешима в У20(а,ГТ), имеет место

У

непрерывность линейного отображения V ^ у(у) пространства ¿2(дГТ ) в К2'°(а, ГТ ).

Доказательство теоремы почти дословно повторяет доказательство, приведенное в [5].

Для определенности рассмотрим задачу граничной оптимизации системы (4) с функцией воздействия v(х,t) во втором соотношении (5). Другие оптимизационные задачи, например, задача стартовой оптимизации [2, 3] или задача распределенной оптимизации [6], формулируются аналогично.

Пусть и = Ь2(дГТ) (пространство граничных воздействий). Функция у(х, t) е V2'° (а, ГТ) (состояние системы) (4), определяемое как слабое решение задачи (4), (5), очевидно, зависит от v( х, t), поэтому всюду ниже обозначение у(х, t) будет заменено на у(у)(х, t). Пусть наблюдение имеет вид Су^) = у^) |дГт , где С : ¿2 (Гт) ^ ¿2(Г) -линейный непрерывный оператор (оператор граничного наблюдения), у(V) |дГ - след функции

y(v) на поверхности дГТ (если дГТ заменить на подмножество с дГТ , то наблюдаются значения функции у(у) на части 5 поверхности дГТ). Пусть далее N : И ^ И - линейный непрерывный эрмитов оператор, (Ну,у)и > д\| V ||и (д >0 -- фиксированная постоянная); J (V) - функционал, требующий минимизации на выпуклом замкнутом множестве Ид с И (в приложениях - функция стоимости):

J00= I\Су^)-^01II

0 ||Х2(ЭГТ) +(Н, ^и,

где z0 (х, t) е ¿2 (дГТ) - заданное наблюдение.

Задача оптимизации системы (4) заключается в том, чтобы отыскать шр J(V) .

уеид

Элемент v(х, t), на котором определяется инфимум функционала J(V) , назовем оптимумом.

|у (и)( х, t (х, t )ск -

Г

-|у(и)(х, г) д^(х't) СхА + (у(и),^) =

Г' (7)

= |<р(х)^(х,0)Сг + | и(х, г)^(х,г)СхСг +

Г ЭГТ

+| / (х, t х, t )СхСг

г,

для любых функций г/(х, t) е^1(а, Гт ) и при любом г е [0,Т],

I (Cy(v)(x, г) - Zo(х, г)) X

хС (y(v)( х, г) - у(и)( х, г ))СхСг + +(Ни, V - и)И > 0

(8)

для любых V е Ид; здесь у (и) е V1 (а, Гт ).

Неравенство (8) можно преобразовать с помощью сопряженного состояния системы (4), учитывая симметричность формы I, (г е [0,Т]). Сделаем это только для случая С : ¿2(дГТ) ^ ¿2(дГТ), тогда неравенство (8) можно переписать в виде

(С *(Су (и) - z°), у - у(и ^) + +(Ни, V - и)И > 0

¿2(дГт) (9)

для любых V е Ид (здесь С *: ¿2 (Гт) ^ ¿2 (Гт) -сопряженный к С оператор).

Для внешнего воздействия v( х, г) сопряженное состояние со^)(х,г) е^2(а,Гт), со^)(х,Т) = 0, определим соотношением

-I

дю(у)( х, г)

дг

С(х, г)СхАг + £т =

= 1 С* (Су (v)( х, г) - z° (х, г)(х, г )СхСг

(10)

4. Соотношения, характеризующие оптимум. Предварительно приведем утверждение, основанное на теории минимизации коэрцитивных форм [11, с. 13].

Теорема 2 [7]. Задача оптимизации системы (4) имеет единственный оптимум, если оператор N ненулевой. Для того чтобы элемент и(х,г) е Ид был единственным оптимумом, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения:

для любых функций £(х, г) е ^2'°(а, Гт).

Пусть функция у(у)( х, г) удовлетворяет тождеству (6), а у(и)(х, г) - тождеству (6) при V = и. Положим в (10) V = и и £(х, г) = у^)(х, г) - у(и)(х, г) е ^'°(а, Гт) (последнее возможно, так как VI'0 (а, Гт) е РТ2'° (а, Гт)), получим

Т

т

Т

-I

дю(и)( х, /) д/

(у (v)( х, /) - у(и)( х, / ))СхС/ +

+£т (ю(и), y(v) - у(и)) =

(11)

= I С'(Су(и)( х, /) - z0( х, /)) х

ЭГТ

х(у М(х, /) - у (и)(х, /))СхС/.

С другой стороны, из соотношения (6) вычтем соотношение (7) и, заменив /(х,/) на ю(и)(х,/), получим при / = Т соотношение

-I

дт(и)( х, /) д/

(у (v)(х, /) - у (и)(х, /)) йхй/ +

т

+£т (У(v) - у(и),ю(и))= (12)

= I (v(х,/) - и(х,/))«(и)(х,/)СхС/.

ЭГТ

Сравнивая в (11) и (12) стоящие справа выражения и учитывая симметричность формы £Т (•, •), приходим к равенству

IС *(Су(и)( х, /) - z0 (х, / ))(у (v)( х, /) - у(и)( х, / ))СхС/ =

ЭГТ

= I ю(и)(х,/) (v(х,/) - и(х,/)) СхС/,

из которого вместе с (9) вытекает неравенство I (ю(и)(х,/) + Ыи(хх,/))х

дГТ

х (v(х,/) - и(х,/)) Сст > 0

(13)

для любых V е Од, эквивалентное неравенству (8). Таким образом, справедлива

Теорема 3. Пусть множество Од ограничено. Для того чтобы элемент и(х,/) е Од был оптимумом, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения

!у(и )(х, / )/ (х, / )Сх -

Г

-I у(и)( х, /) д/( X, /) йхй/ + £, (у(и),/) =

Г, д/

' (14)

= I<p(х)/(х,0)Сг + I и(х,')/(х,')СхС' +

Г ЭГТ

+! / (х,' )/ (х,' )СхС'

для любых функций г/ (х,') е W12 (а, ГТ ) и при любом ' е [0,Т],

I

5ю(и)( х,') д/

С( х, /)СхС/ + £Т («(и), С) =

= I С*(Сю(и)(х,/) - z0(х,/))С(х,/)Сст

ЭГТ

для любых функций С (х, /) е W2'0 (а, ГТ ) , I (ю(и)(х,/) + Ыи(хх,/))х

дГТ

х (v(х,/) - и(х,/)) йхй/ > 0

(15)

(16)

для любых V е Од, где у (и) еУ^Ча, ГТ ), «(V) е Г2(а,ГТ) и ю^)(х,Т) = 0.

При этом: 1) если оператор N Ф 0, то оптимум и е Од единственен, 2) если N = 0, то соотношениям (14)--(16) удовлетворяет по крайней мере один элемент и е Од; множество таких элементов соответствует совокупности оптимумов, образующих выпуклое подмножество множества Од.

5. Оптимизация параболической системы с запаздыванием. Рассмотрим далее в пространстве У2'°(а, ГТ) эволюционное уравнение (4) с запаздыванием h е (0, Т)

ду( х,/ )-АГ а( х) ду(хА 1 +

д/ сх ^ ' дх ) (17)

+Ь( х) у (х, / ) + с( х) у ( х, / - К) = / (х, /),

здесь х,/ еГкТ = Г0 х (h,T), коэффициент с(х) -ограниченная измеримая на Г функция. Каждое решение у(х,/), х,/ еГА уравнения (17) определяется начальной функцией

в(х, /) еУ2,0(а, Г„):

у(х,/) = в(х,/), х,/ е ГА

(18)

Добавляя к соотношениям (17), (18) краевое условие

а(х) Су |дГ> Т = V(^ /)

дх Н-Т

(19)

Т

Т

Т

(функция v(х,г), как и в разделе 4, принадлежит множеству Ид), получим начально-краевую задачу

(17) - (19), решение у(х, г) = у(у)(х, г) которой определяет состояние системы (17), (18) в пространстве VI"0 (а, ГЛТ).

Определение 2. Слабым решением начально-краевой задачи (17) - (19) называется функция у^)(х, г) е VI'0 (а, ГТ ), удовлетворяющая условию

(18) и интегральному тождеству

1у(х,г'Жх,г)Сх- I у(х,г) д^(х'г) СхА+1к1 (у,ф +

Г Г,, дг

+ I с(х)у(х,г - К)ц(х,г)СхСг = х, Куц(х, к)Сх +

ГГ

+ I v(х,гх,г)СхСг + I /(х,гх,г)СхСг

дГ. , Г, ,

при любом г е (к, Т) и для любой функции Л(х,г) е W2(а,Гт); Гм = Г° х (к,г).

Представим уравнение (17) в более удобной для анализа форме [11, с. 270]. Пусть 2 : W2(a, ГТ) ^ W2(a, ГТ) - линейный непрерывный оператор (оператор запаздывания), определенный

соотношением

2у =

у(х, г - к), х, г е Гк 0, х, г еГ .

Зададим функцию в(х,г) еV2'0(a,Гк), удовлетворяющую краевому условию

х, г). , ч

а( х)—--к = v( х'г)'

дх к

и на ГТ введем функцию

F (х, г ) =

/(хг)'хг е гк'т'

д^)_А( а( х)

дг дх ^ дх

+Ь(х)в(х,г), х,г е Гк

(как понимать это выражение на Гк будет ясно ниже) и функцию

у°( х) = в( х, 0)

(так что у0 (х) е ¿2 (Г), так как у° (х) е W21 (а, Г) с ¿2 (Г) в силу определения

пространства V,.; (а, ГТ) и в(х,г) е (а, ГТ)). Тогда соотношения (17), (18) примут вид

^-АГ а(х) ^ 1 + дг дх ^ дх )

+Ь( х) у( х, г) + с( х) 2у( х, г) =

= F (х, г), х, г е ГТ,

у(х, 0) = у0 (х), х е Г.

(20)

(21)

К соотношениям (20), (21) добавим краевое условие

а(х) — |дГ = V, х, г е дГТ дх

(22)

и рассмотрим систему (20), (21), состояние которой определяется как решение у(у)(х, г) начально-краевой задачи (20) - (22) в пространстве Оа, Гт ).

Определение 3. Слабым решением начально-краевой задачи (20) - (22) называется функция

у^)(х, г) е V2 (а, ГТ), интегральному тождеству

удовлетворяющая

!у х, г (х, г )Сх -1 y(v)( х, г) г) СхСг +

г г,

+1 г (y(v),^) + !с( х) Zy(v)( х, г Ж х, г )СхСг =

г,

= /у°( х)п( х, к)Сх + I v( х, г )ц( х, г )СхАг +

Г дГ(

+1F (х, г )ц( х, г)СхСг

Гг

при любом г е [0,Т] и для любой функции х,г) е W 1(а,ГТ) .

Если функция у(у)(х, г) еV2'°(a, ГТ) является

слабым решением задачи (20) - (22), то она и слабое решение задачи (17) - (19). Действительно, при г е (0, к) тождество (23) в силу представлений 2у(х, г) и F(х, г) на Гк превращается в

!уОО( х, /)/(х, / )Сх -

-Iy(v)( х, /) Щт^ СхС/ + £ / (уМ,/) =

д/

= !у0 (х)/ (х, И)Сх + I v( х, /)/ (х, / )СгС/ -

Г дГ/

+I ¥ (х, /)/ (х, / )схС/,

(23)

где

I ¥ (х, /)/(х, / )СгС/ =

= х,/)/(х,/)сх - х,/)д/(x,/) Схй/ + £/ (0, /) -

Г Г д/

-^(х, 0)/ (х, h)сX - I с(х) д0(x, /) / (х, /)СхС/.

дх

Откуда в силу первого утверждения теоремы 1 следует, что у(у) = 0 на ГИ.

При / е [И,Т) в соотношении (23) сделаем следующие преобразования: прибавим и вычтем слагаемое |у(у)(х,И)/(х,/)Сх и интегралы на [0,/]

Г

представим в виде сумм интегралов на [0, И] и [И,/]. На отрезке [0, И] получим тождество, аналогичное (24), оставшиеся слагаемые, учитывая представление Zy(x, /) на ГИ/, образуют соотношение вида

!у х, /)/ (х, / )Сх -

Г

- I у^)(х,/)СхС + £„,(y(v),/) + / д/

'-и,/

+ I с(х)y(v)(х, / - И)/(х, /)СхС/ = (24)

= !уМ(х,И)/(х, И)Сх + I v(х,/)/(х,/)СхС/ +

Г ЭГ, ,

И,/

+ I /(х,/)/(х,/)СхС/

при / е [И,Т). Отсюда и из у(у)(х, И) = 0(х, И) (следует из (18)) вытекает, что функция у(у)(х, /) удовлетворяет определению 2.

Утверждения теоремы 1 остаются справедливыми и для начально-краевой задачи (20)--(22). Результаты раздела 3 нетрудно распространить и на рассматриваемый здесь случай запаздывания.

Задача оптимизации системы с запаздыванием (20), (21) состоит в том, чтобы отыскать шр О(V).

уеОд

Для системы (20), (21) определим сопряженное состояние ю(х,/), учитывая представление

сопряженного оператора 2* : ^>(а, ГТ) ^ ^(а, ГТ)

г * р =

р(х,/ + И), х,/ е ГИ 0, х, / еГ „,

как слабое решение ю(х,/) = ю(у)(х,/) начально-краевой задачи

дгф)(х,/)-_5 Га(х)+ д/ дх ^ Эх

+Ь(х)ю^)(х, /) + 2 *юМ(х, /) = 0, х,Т) = 0, х еГ,

а( х)

дю^) дх

|д^ = С (CУ(v)( x, /) - zo(x, /Л

(25)

(26) (27)

в пространстве (а, ГТ).

Определение 4. Слабым решением начально-краевой задачи (25) - (27) называется функция ю(у)(х,/) е ^2(а,ГТ ), удовлетворяющая

интегральному тождеству

-I

дю(у)( х, /) д/

С (х, / )СхС/ + £ Т (т^),С) +

+ ! с(х)2 *ю(у)( х, / )С( х, / )СхС/ =

гт

= I С* (Су(у)( х, /) - z0 (х, / ))С (х, / )СхС/

(28)

для любых функций С (х, /) е W2'0 (а, ГТ ) .

Доказательство однозначной разрешимости задачи (25) - (27) аналогично приведенному в [6, 7], необходимо учитывать специфику представления 2 *ю(у)( х, /) и сепарабельность пространства Г2(а, ГТ) [8 -10, 12].

Все утверждения разделов 3 и 4 сохраняют свою силу. Оптимум и е Од, как показано в теореме 2, характеризуется соотношением (8), которое можно преобразовать с помощью сопряженного состояния системы (21), (22).

Пусть у(у)( х, /) удовлетворяет тождеству (23), у(и)(х,/) - тождеству (23) при V = и . Положим в (28)

v(x, /) = и( х, /)

Т

Т

Г

И,/

и

С( х, /) = y(v)(x, /) - у(и )(х, /)

(ясно, что С(х,/)еУ12°(а,ГТ) сW2'0(a,ГТ)), получим

-I

дю(и)( х, /)

С

[у (v)(x, /) - у (и)(х, /)]СхС/ +

(29)

+£т (ю(и), у(у) - у(и)) + +1 с(х)2 *ю(v)(x, /) х

гт

х[y(v)( х, /) - у(и)( х, / )]СхС/ = = IС (Сю(и )(х, /) - z0(x,/)) х

ЭГт

х[у (v)( х, /) - у(и)( х, / )]СхС/.

С другой стороны, в соотношении (23) положим / = Т и вычтем из него это же соотношение при V = и. Заменим /(х,/) на ю(у)(х,/), получим соотношение (ю^)(х,Т) = 0 )

дю^)( х, /) д/

СхС/ +

(30)

-I [ уМ( х, / ) - у(и)( х, / )]

гт

+£т (у^) - у(и),ю) +

+1 с(х)2[y(v)(х, /) - у (и)(х, /)]ю(у)(х, /)СхС/ =

гт

= I Vх, /) - и(х, /)]юСу)(х, /)СхС/

Сравнивая в (29) и (30) стоящие справа выражения, учитывая симметричность формы £Т(у,/), представления операторов 2, 2* и определение сопряженного оператора, приходим к равенству

IС \Са(и )(х, /) - z0 (х, / ))(у (v)( х, /) - у(и)( х, / ))Са =

дГТ

= I ю(и)(х, /) (v(х, /) - и(х, /)) Са,

дГТ

из которого вытекает неравенство I (ю(и)(х,/) + №и(х,/))^(х,/)-и(х,/))Са >0 (31)

для любых v(x,/) е Од, эквивалентное неравенству вида (8).

Замечание 1. Все приведенные рассмотрения не многим отличаются от случая, когда наблюдение финальное и имеет вид Су(у) = Dy(v)(х, Т), где С (оператор финального наблюдения) определяется

линейным непрерывным оператором

Б : Ь2 (Г) ^ Ь2 (Г), например,

Dy(v)(x, Т ) = у^)( х, Т) [5]. Функционал О (V) имеет представление

О(V) =П Бу^)(х,Т) -^ v)D,

где 2й (х) е Ь2 (Г) - заданное наблюдение. Неравенство (8) принимает вид

^БуиХх, Т) - z0 (х))( Бу(у)( х, Т) - Бу(и)( х, Т ))Сх +

Г

ЦЫи, V - u)D > 0

для любых V е Dд. Сопряженное состояние ю^)(х,/) системы (20), (21) определяется как слабое решение в пространстве ^>(а, ГТ) начально-краевой задачи для уравнения (25) с начальными

ю(v)( х, Т) = В'( Ву(у)( х, Т) - z0( х), х е Г (32)

и краевыми

а(х)дю(^ |яг =0, х, / е дГг

дх дгТ

(33)

условиями; тождество (29) для этого решения трансформируется к виду

-I

Эю(v)( х, /) д

С (х, / )СхС/ + £ Т (ю (V), С) +

-1с(х)2*ю(v)(x,/)С(х,/)СхС/ = 0

для любых функций С( х, /) еW2 (а, ГТ). Доказательство однозначной разрешимости задачи (25), (32), (33) аналогично приведенному в [6, 7].

6. Управляемость системы (20), (21).

Приведем определение управляемости системы (20), (21) в редакции, принятой в монографии [11, с. 214].

Определение 5. Система (20), (21), состояние которой определяется как решение начально-краевой задачи (20) - (22), называется управляемой, если наблюдение Су^) заметает

подпространство, плотное в пространстве наблюдений Ь2 (Г) , когда внешнее воздействие V на систему (20), (21) пробегает все пространство внешних воздействий D.

Т

Т

Т

Т

Т

Покажем, что рассматриваемая система (20), (21) управляема. Пусть функция р(х, г) из пространства наблюдений ¿2(дГТ) ортогональна к подпространству, заметаемому наблюдением Су(у)(хг) = y(v)(х'г)|Эг :

I р(х, г) у^)( х, г )СхСг = 0

(34)

для любых V е И. Рассмотрим функцию р(х,г) еW2(a,ГТ) как слабое решение начально-краевой задачи

-ФСхо-_ЗГ а(х) др(хг) 1+

дг дх ^ дх )

+Ь( х) р(х, г)+с( х)2 * р( х, г) = 0,

р(х, Т) = 0, х е Г, р 1эг = р(х, г), х, г е дГТ,

-I г)^(х,г)СхСг+(р,С) +

(35)

(36)

(37)

т. е. функция р( х, г) (р( х, Т ) = 0, х еГ) удовлетворяет интегральному тождеству

+ ! с(х)2 * р(х, г)С(х, г )СхСг = (38)

гт

= I р( х, г х, г )СхСг

Зафиксируем г = Т в соотношении (23) вычтем из него то же самое соотношение при V = и , положив при этом х, г) = р( х, г) (р( х, Т) = 0):

- I [уМ(х, г) - у(и)(х, г)]др(х'г) с1хс1г +

дг

т

+^т (У(v) - у(и), р) + +

I с(х)2[у(у) - у(и)](х, г) р( х, г )СхСг = (40)

гт

= I ^(х,г) - и(х,г)]р(х,г)СхАг.

Так как

I с(х)2[у (V) - у(и)]( х, г) р( х, г )СхСг =

ГТ

= I с( х)2 * р( х, г )[уМ( х, г) - у(и)(х, г )]схСг,

ГТ

то, сравнивая правые части (39) и (40), получим I р( х, г )[у(у)(х, г) - у(и)(х, г )]схСг =

дГТ

= I [v(x,г) - и(х,г)]р(х,г)СхСг.

дГТ

Отсюда, учитывая (34), следует

I ^(х,г)-и(х,г)]р(х,г)СхСг = 0,

для любой функции £(х, г) еW2'°(a, ГТ).

Доказательство однозначной слабой разрешимости задачи (35)-(37) почти дословно повторяет рассуждения при доказательстве теоремы 1.

Положим в соотношении (38) х, г) = у^)(хД)-у(и)(хД). Ясно, что

С(х, г) е V2'° (а, ГТ) с W2'° (а, ГТ), тогда

-I г) [ y(v)( х, г) - у (и)(х, г )]СхСг +

р1дГТ = 0

(41)

+1Т (р, y(v) - у(и)) + +

I с(х)2 * р( х, г )[уМ( х, г) - у(и)( х, г )]схСг =

ГТ

= I р( х, г )[уМ( х, г) - у(и)( х, г )]схСг.

(39)

и в силу единственности обобщенного решения уравнения (35) с нулевыми исходными данными (36) и (41) получаем р(х,г) = 0, значит, как следует из соотношения (37), р(х, г ) = 0 (все равенства здесь понимаются почти всюду). Следовательно, справедлива

Теорема 4. Система (20), (21), состояние которой определяется как обобщенное решение начально-краевой задачи (20)-(22) управляема в пространстве К2'°(а,ГТ ).

Замечание 2. Если рассматривается финальное воздействие (см. замечание 1) на систему (20), (21), то указанная система остается управляемой. В этом случае функция р(х) принадлежит пространству наблюдений ¿2(Г) и ортогональна к подпространству, заметаемому наблюдением

Т

Т

Т

Т

Т

а значит

Т

Т

Су 00( х, / ) = Бу х, Т), заменяется на

соотношение

(34)

Ip(x) y(v)( х,Т )СхС/ = 0

для любых V е D . Функция р(х, /) еW2(a, ГТ) является слабым решением начально-краевой задачи

-_дГ а(х) Эр^ V

д/ дх ^ дх )

+6( х) р( х, /) + с( х)2 * р( х, / ) = 0,

р(х Т) = р(x), х е г, р |ЭГт=а

т. е. удовлетворяет интегральному тождеству

- I др(X,/) С(х,/)СхС/ + £Т(р,С) + б/

ГТ

+1 с(х)2 * р( х, /)С(х, /)СхС/ = 0

(42)

для любой функции С(х,/) еW2'0(a,ГТ). Все

рассуждения данного раздела остаются справедливыми.

7. Заключение. Отметим неклассическую особенность представленных рассмотрений для дифференциальных систем (4) и (20), (21) с распределенными параметрами на графе -используются пространство суммируемых на цилиндре ГТ функций в качестве пространства состояний задач (4), (5) и (20) - (22), при этом пространство суммируемых на дГТ включает пространство граничных воздействий и граничных наблюдений. Представленные подходы частично использованы в работах [13 - 18] одного из авторов. Отметим также аналогичные идеи при анализе устойчивости нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием [19, 20], стабилизации динамических систем [21 - 23] и при изучении волновых процессов [24, 25] с учетом стохастических явлений [26, 27], особенно при управлении динамическими сиситемами в критических ситуациях [13,16,17,28]. Остается отметить существенную возможность

применимости представленных рассмотрений -прикладные задачи сетевой гидродинамики для многофазных сред.

Литература

1. Провоторов В.В. Математическое моделирование колебательных процессов

поддерживающих растяжек упругой мачты // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. 2006. № 2. С. 28-35.

2. Подвальный, С.Л. Оптимизация по стартовым условиям параболической системы с распределенными параметрами на графе [Текст] / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 58, № 4. - С. 70-74.

3. Подвальный, С.Л. Определение стартовой функции в задаче наблюдения параболической системы с распределенными параметрами на графе [Текст] / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2014. - Т.

10, № 6. - С. 29-35.

4. Провоторов В.В. Оптимальное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. Вып. 3. С. 154163.

5. Подвальный С.Л., Провоторов В.В. Стартовое управление параболической системой с распределенными параметрами на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2015. Вып. 3. С. 126142.

6. Подвальный, С.Л. Управляемость дифференциальной системы параболического типа с распределенными параметрами на графе [Текст] / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015. - Т.

11, № 3. - С. 49-56.

7. Провоторов В.В., Гнилицкая Ю.А. Граничное управление волновой системой в пространстве обобщенных решений на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. Вып. 3. С. 112-120.

8. Волкова А.С., Провоторов В.В. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. № 3. С. 3-18.

9. Провоторов В.В. Собственные функции краевых задач на графах и приложения. Воронеж, 2008.

10. Провоторов В.В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде Математический сборник. 2008. Т. 199. № 10. С. 105-126.

11. Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / пер. с фр. Н. Х. Розова; под ред. Р. В. Гамкрелидзе. М.: Мир, 1972.

12. Провоторов В.В. Спектральная задача на графе с циклом.// Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1665.

13. Подвальный, С.Л. Концепция многоальтернативного управления открытыми системами: истоки, состояние и перспективы [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9, № 2. - С. 4-20.

14. Подвальный, С.Л. Особенности поисковой градиентной оптимизации сложных объектов с использованием сопряженных систем [Текст] / С.Л.

Т

Подвальный // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 56, № 2. -С. 18-22.

15. Подвальный, С.Л. Модели многоальтернативного управления и принятия решений в сложных системах [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 56, № 2.1. - С. 169-173.

16. Подвальный С.Л., Васильев Е.М. Многоальтернативные системы: концепция, состояние и перспективы // Управление большими системами: сборник трудов. 2014. № 48. С. 6-58.

17. Подвальный, С.Л. Зволюционные принципы построения интеллектуальных систем многоальтернативного управления [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 57, № 3. - С. 4-8.

18. Podval'ny S.L., Ledeneva T.M. Intelligent Modeling Systems: Design Principles // Automation and Remote Control. 2013. Т. 74, N 7. С. 1201-1210.

19. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об устойчивости решений одного класса нелинейных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2006. № 9. С. 3-14.

20. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия вузов. Математика. 2012. № 5. С. 3-12.

21. Веремей Е.И. Алгоритмы решения одного класса задач Hinf-оптимизации систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2011. № 3. С. 52-61.

22. Веремей Е.И. Основные направления применения компьютерных технологий в задачах управления динамическими объектами // Вестник Воронежского государственного университета. Серия

Системный анализ и информационные технологии. 2012. № 1. С. 16-21.

23. Веремей, Е.И. Спектральное представление оптимальных решений задач среднеквадратичного синтеза [Текст] / Е.И. Веремей // Системы управления и информационные технологии. - 2012. - № 3.1 (49). - С. 124-128.

24. Provotorov V.V. Boundary control of a parabolic system with distributed parameters on a graph in the class of summable functions // Automation and Remote Control. 2015. Т. 76. № 2. C. 318-322.

25. Провоторов, В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы "мачта-растяжки" [Текст] / В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. -2008. - Т. 32, № 2.2. - С. 293-297.

26. Карелин В.В. Штрафные функции в задаче управления процессом наблюдения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010. Вып. 4. С. 109-114.

27. Потапов Д.К. Оптимальное управление распределенными системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Изв. РАН. ТиСУ. 2013. № 2 С. 19-24.

28. Подвальный, С.Л. Многоальтернативные системы: обзор и классификация [Текст] / С.Л. Подвальный // Системы управления и информационные технологии. - 2012. - Т. 48, №2. - С.4-13.

29. Подвальный, С.Л. Модульная структура системы многоальтернативного моделирования процессов полимеризации [Текст] / С.Л. Подвальный, А.В. Барабанов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т.9, №5-1. - С. 41-43.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

THE OPTIMIZATION PROBLEM OF PARABOLIC SYSTEM WITH DELAY AND DISTRIBUTED

PARAMETERS ON THE GAPH S.L. Podvalny, V.V. Provotorov

Optimization of differential systems in the Banach space, whose state is defined as a weak solution of the boundary value problem for a parabolic equation with distributed parameters on the graph - it is a new direction in the analysis of the processes described by evolution equations on networks. In the work it is obtained the necessary and sufficient conditions for the optimum in situation is conditioned by the fixed delay of the spatial variable. And it is indicated the way for research of more general problems with distributed parameters on the net-like areas

Key words: differential systems in the Banach space, the fixed delay, the distributed parameters on the graph, the optimization problem