Математическая модель волновых процессов динамики многофазных сред в гидросети Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

ЭО!: 10.20310/1810-0198-2016-21 -2-487-491

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ДИНАМИКИ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД В ГИДРОСЕТИ

© И.В. Приходько, А.В. Иванов

Рассматривается дифференциальная система с распределенными параметрами на графе, состояние которой определяется слабым решением начально-краевой задачи для уравнения с частными производными гиперболического типа. Представлены условия однозначной разрешимости такой задачи и условия непрерывности решения по исходным данным. Последнее означает корректность задачи по Адамару и во многом определяет однозначную разрешимость оптимизационных задач разного типа для такого рода систем. Ключевые слова: дифференциальная система; распределенные параметры на графе; однозначная слабая разрешимость; корректность по Адамару.

1. Введение. В предлагаемой работе сделана попытка описать математическими формализмами пульсовое движение многофазной среды в сетеподобной гидросистеме и последующего анализа полученной математической модели распространения волн. При этом предполагается, что диаметр трубопроводов гидросистемы достаточно мал, и имеется возможность использовать т. н. «лучевой метод» решения одномерных динамических систем, в который вкладывается понятие луча как ортогональной траектории волнового фронта и представления решения за волновым фронтом как функции длины вдоль этого луча за волновой фронт. В данной работе понятие луча упрощается, т. к. волновой фронт есть перемещающее вдоль трубопровода нормальное сечение, и луч есть осевая линия трубопровода. В некоторой специальной литературе такую ситуацию называют квази-одномерной. Основой такой модели является начально-краевая задача для гиперболического уравнения с распределенными параметрами на графе (математический аналог гидросети). Эта модель допускает построение решений, не обладающих классическим свойством гладкости, - решения (слабые решения) являются суммируемыми функциям и являются элементами пространства соболевского типа с определенными свойствами.

Результаты исследования получены под непосредственным влиянием идей, заложенных в работах [1-5].

1. Основные понятия и определения. Анализ волновых процессов в сетеподобной гидросистеме основан на естественной аналогии ее с пространственным геометрическим графом. При этом представленное математическое описание использует произвольный связный ограниченный ориентированный граф Г , допускающий наличие циклов, сохраняются обозначения, используемые в [2-4]: через V обозначено множество узлов 2 графа Г , ЭГ - множество граничных (всего

таких узлов р +1), J(Г) - множество внутренних узлов ( V = ЭГ^ J(Г) ); Г - объединение всех ребер (длина каждого ребра равна 1), не содержащих конце-

вых точек (Г = Г \ V), Я(2) - множество ребер, ориентированных «от узла 2 », г(2) - множество ребер, ориентированных «к узлу 2 »; Г = Г х (0, Т) , ЭГг = ЭГ х (0, Т) , каждое ребро у графа Г параметризуется параметром х е [0,1] .

Обозначим через С (Г) множество непрерывных

на Г функций, С(Г0) - множество кусочно непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле 2 по разным ребрам могут быть различными),

Сп (Г0) - множество функций, для которых все производные до и-го порядка включительно принадлежат С(Г0) . Через (Г) обозначим пространство функций, интегрируемых с квадратом на графе Г ;

(Г) • (к = 1,2) - пространства функций из £2 (Г) , имеющих обобщенные производные до к -го порядка включительно, также принадлежащие £2 (Г) . Аналогично вводятся пространства (Гг) и

Жк (Гг ) • (к = 1,2) . По мере необходимости ниже вводятся и другие пространства.

Сужение функции /(х) на ребро ук будем обозначать через /(х)ук . Интеграл от функции /(х) по графу Г понимается как сумма интегралов от сужений / (х)у к по каждому ребру: | / (х)Сх =

Г

т

= \ I /(х)у4 Сх (знаки интегралов по ребрам ук

к=1

У к

зависят от выбора ориентации на каждом ук ).

На графе Г рассмотрим дифференциальное урав-

(Ли)(x) = d\ a(x)| + b(x)u(x) = f (x).

dx V dx

(1)

Сделаем следующие необременительные в приложениях допущения, имеющие место на протяжении всего исследования:

1) коэффициент а(х) > а» > 0 суть непрерывная

на Г о функция, имеющая непрерывную на Г0 производную: а(х) е С(Г0) С:(Г0), Ъ„ < Ъ(х) < 0 , - непрерывная на Г0 функция: Ъ(х) е С(Г0) ;

2) уравнению (Ли)(х) = 0, х е Г при заданных граничных условиях в узлах множества дГ удовлетворяет лишь функция и = 0, х е Г .

Обозначим через 30 множество функций и(х) класса С(Г) С2 (Го ) , удовлетворяющие соотношениям:

X a(°)

у j er©

du(0)у dx

du(l)y

y j ей®

dx

^e J (Г) (2)

во всех внутренних узлах графа Г (здесь Я(2) - множество ребер, ориентированных «к узлу 2, », г(2) -множество ребер, ориентированных «от узла 2 »), и соотношениям:

kx)\ эг= °

(3)

в граничных узлах графа.

Замечание 1. Соотношения (3) (условия Дирихле) могут быть заменены и смешанными условиями

%) ^ + А;и(0) 1 = 0,

dx

a(l) + Ш (l) | = 0

dx ^ур+i

(4)

в граничных узлах графа, здесь hj (] = 1, р), Н -фиксированные положительные постоянные.

На множестве 30 оператор, порожденный дифференциальным выражением (Ли)(х) , имеет ограниченный в норме ¿2(Г) обратный оператор в силу следующего неравенства:

1142(г) - 4 Ли\

¿2 (Г)'

(5)

с - постоянная, что вытекает из вышеприведенных допущений.

Обозначим через ^о(Г,J(Г)) замыкание множества 30 в норме, определяемой скалярным произведете (U,у) = |(Ш + ихУх + иххУххУх.

г

Функции и(х) из W20(Г,J(Г)) имеют обобщенные производные до второго порядка включительно, принадлежащие ¿2(Г) . При этом значения и(х) на

дГ равны нулю. Ясно, что ^220(Г, J(Г)) суть подпространство ¿2 (Г).

2. Вспомогательные предложения. Дальнейшее исследование предварим следующими вспомогательными утверждениями, полное доказательство которых

содержатся в работе [5]. На функциях из ^220(Г, J (Г)) рассмотрим оператор Л : Ли е Ь2 (Г) (для простоты изложения мы оставляем обозначения оператора таким же, что ииспользуется в обозначении соответствующего ему дифференциального выражения (Ли)(х)). Возьмем последовательность функций ми (х) из

^20(Г,J(Г)) такую, что /п =Лип(х) сходится в норме ¿2 (Г) к некоторой функции / е ^ (Г) . Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Оператор Л замкнут в Ь2 (Г) . Из утверждения теоремы следует, что предельная функция и(х) для последовательности {ии (х)}и>1

также принадлежит ^220(Г, J(Г)) . При этом если множество значений Ли , и е 50 плотно в ¿2 (Г) , то краевая задача (1), (3) разрешима для любой правой части / е ^ (Г) уравнения (1) и ее решение принадлежит ^220(Г, J(Г)) . Утверждение теоремы имеет

место и для оператора краевой задачи (1), (4). Таким образом, при высказанных предположениях оператор Л устанавливает взаимно-однозначное соответствие

между ^(Г, J(Г)) и ¿2(Г) .

Лемма 1. Для любой функции и(х) е

e W2 о (Г, J(Г)) справедливо неравенство:

Н^22(Г)

- с||Ли|

¿2 (Г)'

(6)

С - некоторая фиксированная постоянная.

3. Постановка задачи. Исходим из свойства следов

элементов Wl (Г ) , а именно, они определены на каждом сечении Г плоскостью t = /0 • (/0 е[0,Т]) как элементы ¿2 (Г) и непрерывны по / в норме ¿2 (Г) [2]. Определим (а, Г) как множество функций и(х, t) еW2(Гг ) , которые при фиксированном ( е[0,Т] принадлежат классу W210(a, Г) . Замыкание множества (а, Г) по норме W2(Гг) обозначим W2 0(а,ГТ) . Ясно, что элемент и(х,t) е ) при

фиксированном t е [0, Т] удовлетворяет аналогичным (2) соотношениям вида:

у

u

Е ««у

Эм(1,2)у

■= Е а(0)у

Эи(0, г)

У, еЯ(2) У' Эх у, ег(2) У' Эх

(7)

для всех узлов 2 е J(Г) . По мере необходимости будут введены другие пространства и их подпространства с интересующими нас свойствами.

Далее, в области ГТ рассмотрим задачу нахождения решения у( х, г) уравнения

Э2у(х, г)_ Э ( Эу(х, г) Эг2 Эх 1Я(х) Эх

+Ь( х) у(х, г) = / (х, г), (8)

удовлетворяющего соотношениям (2) во всех внутренних узлах графа Г , начальным

I Эу |

У г=0 = Ф(х)^ г=0 = Т(x), х е Г Эг

и граничному

у| ЭГ=0, 0 < г < т

(9)

(10)

условиям. В прикладных задачах гидродинамики соотношения (7) выражают баланс волновых импульсов, соотношения (10) - условия непротекания стенок гидросистемы (изолированность текучих сред от внешней среды).

4. Разрешимость краевой задачи (8)-(10). Для

удобства получения результатов представим задачу (8)-(10) в операторной форме, используя известное преобразование, сводящее неоднородности начальных данных в правую часть уравнения (8) (для простоты изложения обозначение правой части / оставим неизменным). Относительно новой функции и(х, г) рассмотрим уравнение:

Ьи = игг - Ли = /, х, г е Гт = Г0 х (0, Т) (11)

при начальных условиях

и\г=0 = иг\г=0 = 0 хе Г0 (12)

и граничном условии

и ЭГ= 0, 0 < г < Т

(13)

или смешанного типа (4).

Обозначим через Т оператор, порожденный дифференциальным выражением Ьи и рассматриваемый

на функциях класса Ж220(а, Г) . Такие функции удовлетворяют уравнению (11) для почти всех х, г е Гг . Элементы и(х,г) этого класса при всех г е [0,Т] принадлежат пространству Ж22(Г, J(Г)) и непрерывно зависят от г в норме этого пространства (т. е.

и (х, г + 8) - и (х, г) 2 — 0 при 8 — 0 и

II "Ж2 (Г )

г,г + 8е[0,Т ]). Производная щ (х, г) при всех г е [0,Т] является элементом пространства Ь2 (Г0) и непрерывно зависит от г в норме Ь2(Г0). В соответствии с этим начальные условия (12) понимаются в смысле ||и(х, г)||

г —^ +0, а граничное условие (13) - в том, что и(х,г) еЖ20(Г, J(Г)) . Через , Ят обозначим

область определения и область значения оператора Т соответственно.

Для функций и (х, г) из И справедливо энергетическое неравенство [4] вида:

11Ж22(Г) — 0,

1и(х, г)1 Ь (Г) — 0 при

1М1ж21(Гт ) < С1

11Ь2(Гт ) '

(14)

Обозначим через Т замыкание оператора Т . Неравенство (14) будет справедливо и для функций из , которое будет замкнутым подпространством

Ь (Г) и состоит из всех функций и , квадратично суммируемых на Г вместе со своими обобщенными производными и , и , и , и и удовлетворяющих условиям (13). Для доказательства однозначной разрешимости операторного уравнения Т = / для любой / е Ь (Г) достаточно доказать теорему:

Теорема 3. Пространство Ь2 (Г) не содержит элемента, ортогонального Я^, т. е. если

| Ьи • уСхйг = 0 для всех и е Я— , то V = 0.

Доказательство. Доказательство проведем для функций и(х, г) из И;. По функции v(x, г) построим функцию ю(х, г) , а в качестве и(х, г) возьмем функцию:

и( х, г) =

г i

| Ст|ю( х, с)Сс, г е [г0, г], г0 г0 0, г е[0, г0 ].

Тогда соотношение | Ьи • vdxdг = 0 после нескольких

интегрирований по частям, учитывая утверждение леммы 2 и свойства функции ю(х, г) , дает:

Т

0 = | Ьи • vdxdг = Цю( х, г )Люг (х, г)СхСг +1 (Лю),

Гт г0 Г

Т г

Здесь I (Лю) = Л (|лю(х, с)Сс)Лю( х, г)СхСг.

гп Г гп

T

Рассмотрим первый интеграл JJro(x,t)Arnt(x,t)dxdt.

t„ г

равный

T

сумме интегралов

■ 1Т

Цю(х,tXа®х(х,t))х(х,t)dxdt и — ЦЪ(ю2(х,1))tdxdt. tо г 10 г

Учитывая соотношение ю| 9Г = 0(1 е [0, Т]), а также условия согласования (7) в узлах 2 е J(Г) , проведем следующие преобразования:

ra(x,t)( aratx (x, t)) xdxdt =

T

JJa(x)(rajx(x,t))tdxdt'

ff T » 1

J J = -iУ J(ra(araft)x)(x,t) 1 dxdt = -1J t0 г J TTJ 210 г

Отсюда окончательно получаем:

0 = |Ьи • ус1хЛ = — |[а(х)ю2(х,10) - Ъ(х)ю2(х,10)]зх + (15)

ГТ Г

+1 (Лю)

В интеграле I (Лю) сделаем замену

$(х, 1) = |ю2( х, д^д и соотношение (15) примет сле-

10

дующий вид:

— | [а( х)ю2 (х, 10) - Ъ(х)ю2 (х, ^х + (ЛЗ)2 (х, Т) = 0.

Отсюда заключаем ( — Ъ(х) > 0 на Г ), что ю(х, 10) для любого 10 е[0,Т], т. е. у(х, 1) = Лю1 (х, 1) = 0 . Теорема доказана.

Приведенное доказательство без каких-либо существенных изменений переносится на уравнение (11) с начальными (12) и граничными условиями (4). Из утверждения теоремы вытекает, что оператор ^ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между функциями из и функциями из Ь (Г ) , уравнение (11) однозначно разрешимо для любой функции

I е ¿2 (Г).

5. Заключение. Все рассмотрения без особенных изменений переносятся на случай краевых условий 2 и

3 рода. Пространство W20(a, Г) заменяется на

W22(a, Г) , определение обобщенного решения начально-краевой задачи для уравнения (11) претерпевает несущественные изменения.

Предлагаемый в данной статье подход имеет большое значение для построения компьютерных систем мониторинга и эффективного управления [6-14] сложных объектов различной природы, которые описываются уравнениями в частных производных как при анализе энергетических и экономических процессов [6-10], так и при анализе устойчивости механических систем по внешним воздействиям [11-14].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Podvalny S.L., Provotorov V.V. The questions of controllability of a parabolic systems with distributed parameters on the graph // International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V. I. Zubov (SCP). 2015. C. 117-119.

2. Подвальный С.Л., Провоторов В.В. Оптимизация по стартовым условиям параболической системы с распределенными параметрами на графе // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 58. № 4. С. 70-74.

3. Подвальныш С.Л., Провоторов В.В. Стартовое управление параболической системой с распределенными параметрами на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2015. № 3. С. 126-142.

4. Volkova A.S., Gnilitskaya Yu.A., Provotorov V. V. On the Solvability of Boundary-Value Problems for Parabolic and Hyperbolic Equations on Geometrical Graphs // Automation and Remote Control. 2014. Т. 75. № 2. C. 405-412.

5. Provotorov V.V. Boundary control of a parabolic system with delay and distributed parameters on the graph // International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP). 2015. C. 126-128.

6. Веремей Е.И., Сотникова М.В. Стабилизация плазмы на базе прогноза с устойчивым линейным приближением // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2011. № 1. С. 117-134.

7. Веремей Е.И. Спектральное представление оптимальных решений задач среднеквадратичного синтеза // Системы управления и информационные технологии. 2012. № 3.1 (49). С. 124-128.

8. Потапов Д.К Непрерывная аппроксимация одномерного аналога модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости // Сибирский журнал вычислительной математики. 2011. Т. 14. № 3. С. 291 -296.

9. Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Lavrent'ev problem for separated flows with an external perturbation // Electron. J. Differ. Equ. 2013. № 255. P. 1 -6.

10. Борисоглебская Л.Н., Сергеев С.М., Миронова И.А. Система оценки конкурентоспособности предприятия с учетом базовых экономических индексов, инфляционного фона, сезонных трендов (на примере легкой промышленности) // Вестник Университета (Государственный университет управления). 2013. № 13. С. 14-22.

11. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия высших учебных заведений. Математика. 2012. № 5. С. 3-12.

12. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об устойчивости решений одного класса нелинейных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2006. № 9. С. 3-14.

13. Сотникова М.В. MPC-управление движением перевернутого маятника на вращающейся платформе // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 55. № 1. С. 38-42.

14. Жабко А.П., Зараник У.П. О приближении решений экспоненциально устойчивых систем дифференциально-разностных уравнений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2011. Вып. 3. С. 29-38.

Поступила в редакцию 18 марта 2016 г.

T

г

UDC 517.958

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -2-487-491

MATHEMATICAL MODEL OF WAVE PROCESS DYNAMICS OF MULTIPHASE MEDIUM SPHERES IN HYDROGRAPHIC NETWORK

© I.V. Prikhodko, A.V. Ivanov

We consider the differential system with distributed parameters on the graph, the state of which is determined by a weak solution of initial boundary value problems for partial differential equations of hyperbolic type. Presents the conditions for the unique solvability of this problem and the conditions of continuity of the solution on the initial data. This means correct problems Hadamard and largely determines the unique solvability of optimization problems by a different type for this kind of systems.

Key words: differential system; distributed parameters on the graph; the unique solvability of the weak; the correctness of Hadamard.

REFERENCES

1. Podvalny S.L., Provotorov V.V. The questions of controllability of a parabolic systems with distributed parameters on the graph. International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V. I. Zubov (SCP), 2015, pp. 117-119.

2. Podval'nyy S.L., Provotorov V.V. Optimizatsiya po startovym usloviyam parabolicheskoy sistemy s raspredelennymi parametrami na grafe. Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii, 2014, vol. 58, no. 4, pp. 70-74.

3. Podval'nyy S.L., Provotorov V.V. Startovoe upravlenie parabolicheskoy sistemoy s raspredelennymi parametrami na grafe. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Seriya 10: Prikladnaya matematika. Informatika. Protsessy upravleniya, 2015, no. 3, pp. 126-142.

4. Volkova A.S., Gnilitskaya Yu.A., Provotorov V.V. On the Solvability of Boundary-Value Problems for Parabolic and Hyperbolic Equations on Geometrical Graphs. Automation and Remote Control, 2014, vol. 75, no. 2, pp. 405-412.

5. Provotorov V.V. Boundary control of a parabolic system with delay and distributed parameters on the graph. International Conference "Stability and Control Processes" in Memory ofV.I. Zubov (SCP), 2015, pp. 126-128.

6. Veremey E.I., Sotnikova M.V. Stabilizatsiya plazmy na baze prognoza s ustoychivym lineynym priblizheniem. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Seriya 10: Prikladnaya matematika. Informatika. Protsessy upravleniya, 2011, no. 1, pp. 117-134.

7. Veremey E.I. Spektral'noe predstavlenie optimal'nykh resheniy zadach srednekvadratichnogo sinteza. Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii. 2012, no. 3.1 (49), pp. 124-128.

8. Potapov D.K. Nepreryvnaya approksimatsiya odnomernogo analoga modeli Gol'dshtika otryvnykh techeniy neszhimaemoy zhidkosti. Sibirskiy zhurnal vychislitel'noy matematiki, 2011, vol. 14, no. 3, pp. 291-296.

9. Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Lavrent'ev problem for separated flows with an external perturbation. Electron. J. Differ. Equ., 2013, no. 255, pp. 1-6.

10. Borisoglebskaya L.N., Sergeev S.M., Mironova I.A. Sistema otsenki konkurentosposobnosti predpriyatiya s uchetom bazovykh ekonomicheskikh indeksov, inflyatsionnogo fona, sezonnykh trendov (na primere legkoy promyshlennosti). Vestnik Universiteta (Gosudarstvennyy universitet upravleniya), 2013, no. 13, pp. 14-22.

11. Aleksandrov A.Yu., Zhabko A.P. Ob asimptoticheskoy ustoychivosti resheniy odnogo klassa sistem nelineynykh differentsial'nykh uravneniy s zapazdyvaniem. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika, 2012, no. 5, pp. 3-12.

12. Aleksandrov A.Yu., Zhabko A.P. Ob ustoychivosti resheniy odnogo klassa nelineynykh sistem s zapazdyvaniem. Avtomatika i telemekhanika, 2006, no. 9, pp. 3-14.

13. Sotnikova M.V. MPC-upravlenie dvizheniem perevernutogo mayatnika na vrashchayushcheysya platforme. Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii, 2014, vol. 55, no. 1, pp. 38-42.

14. Zhabko A.P., Zaranik U.P. O priblizhenii resheniy eksponentsial'no ustoychivykh sistem differentsial'no-raznostnykh uravneniy. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Seriya 10: Prikladnaya matematika. Informatika. Protsessy upravleniya, 2011, no. 3, pp. 29-38.

Received 18 March 2016

Приходько Инна Владимировна, Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, г. Воронеж, Российская Федерация, младший научный сотрудник НИЦ, e-mail: [email protected]

Prikhodko Inna Vladimirovna, Air Force Academy named after professor N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin, Voronezh, Russian Federation, Junior Research Worker of Scientific Research Center, e-mail: [email protected]

Иванов Алексей Владимирович, Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат технических наук, доцент, начальник 3 научно-исследовательского отдела НИЦ, e-mail: [email protected]

Ivanov Aleksey Vladimirovich, Air Force Academy named after professor N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin, Voronezh, Russian Federation, Candidate of Technics, Associate Professor, Head of 3rd Scientific Research Department of Scientific Research Center, e-mail: [email protected]