Об асимптотике спектра краевой задачи для дифференциального оператора высокого порядка с суммируемым потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, индикаторная диаграмма [16, гл. 12] представляет собой правильный восемнадцатиугольник, вершинами которого являются точки щ(к = 1,2,... 18) из (4), при этом корни уравнения (21) могут находиться только в восемнадцати заштрихованных секторах бесконечно малого раствора, биссектрисы которых являются серединными перпендикулярами к сторонам этого восемнадцатиугольника. Поэтому из общей теории нахождения корней функций вида (21) следует справедливость следующего утверждения.

Теорема 3. Уравнение на собственные значения оператора (1)-(2)-(3) в секторе 1), соответствующем отрезку [щ; щ ] индикаторной диаграммы (22), имеет следующий вид:

)Г • Д7 • 2М17

щ«1 _

18а>У7 Л sЪ4

1г

щ21 •е

- 2М17 •[<1 • еащм

18а17^17 -1534

= 0.

(23)

Для нахождения корней функции ^ (5) из (23) перепишем ее в следующем виде:

&(5) = ^ 17 • 0 34 ) = 0'

18а 5 V 5 )

(24)

/ Ч г ащ5Л Яю(5) = •е 1 -

Г М, 7 г

■ ~ 2 11 • щ,1 • е 2

Я1,17(у) = А17,1(Л 5)-^ • 41,2

(25)

(26)

Поделив в уравнении (24)-(25) на щ11 • е 2 Ф 0, имеем:

= ~10(5)^а117^17 ^ ~1Д7(5) + 0 "14 I = 0

(27)

~10(у) = еа(щ-щЬ- 2М17 •

2М1' • Щ1 • Щ-Г1

(28)

~1>17(у) = щ-Г1 • е-^А^л(я,5)-2М17 • • е-^А,!(я,5).

(29)

Основное приближение уравнения (27)-(29) имеет вид ~10(у) = 0 . Учитывая, что 2 = щ = е 18, щ = 1, находим, что ~ 0(5) = 0 только в следующем случае:

ехр[ал5 •(щ -щ)] = 2М11 • 2Г • е2л-к(=)ехр[ал5•(щ -щ)] = ехр| —(М17 + г1)+ 2л-к I,к е 2.

18

Следовательно, корни основного приближения уравнения (27)-(29) (т. е. корни уравнения ~10(у) = 0 ) находятся в явном виде по формуле

2-к

кХосн =—(-Ч , ~ = к + -1 • (М17 + Г1) М17 = Т тг.

а •(щ1 - щ2) 18 ,=1

17

5,

Из общей теории нахождения асимптотики корней целых функций вида (27)-(29) [2; 17, гл. 1; 18-19]) следует, что справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(2)-(3) в секторе 1) индикаторной диаграммы (22) имеет следующий вид:

2-к

2- • &

- + -

17, к ,1

5к,1 =—(-ч + —(-+ Т1?! }~ = к + ^•(М17 + Г1)к е 2

а •(щ -щ) а •(щ -щ)• к Vк ) 18

2132

5

Для доказательства теоремы 4 достаточно вычислить коэффициенты а?17 к 1 из (30) в явном виде. Применяя формулы (9)-(10) для выражений ЛЩ^ (л, 5) и ЛЩ] 2 (л, 5) из (29) и формулы Маклорена, находим:

А"7М5) =

ч ,1

л л

щ aw1sл Г /Д // \ \ т. , щ ащ.5ж Г /Д

] • щ 1 'е "I )• ехР(\^1 — w1)а5л)жа11 + w2 • 1 • е 2 -I q\t)х

о

х ехр^ — w2 ')а5л^а12 + о(1

5к ,1 л

17,2(л,^ = w1 • w1"I • е-1- • Iч(/)" ехр(^2 — wl)aSл)dta2l + W2 • Щn1 • eаW25л • ]"ч(/)х

кд 0 о

ехР(^2 — w2 )a5л)dta22 + °(0] ■

(31)

гa(wl — w2 Ы = 2М17 , 2щ1

1+—+о\

Л7

34

(32)

5к ,1

217 • /17 • к17

• а17 •(w1 - w2 )]

17

1 + о

(33)

Подставляя формулы (30)-(33) в уравнение (27)-(29) и проводя необходимые преобразования, получаем:

М17 п1 , М17 щ 2л' • ^7,к,1 z 17 • z 1 + z 17 • z 1 • -

+о

М17 п — г 17 • г 1

18а17 • 217 • У17 • к17 I 4

a(w1 — w2

. щ М17 М1

+ ^ • г 1 • г 17 • г 1

л

V о )

7 • I

J V о

щМ - W2 • w2 • г 17 •

а11

а22.

М17 a(W1 — W2 )5Л

!щ • г 17 •е

V о )

+О| £1- о

V о )

а21

(34)

Из формул (4)-(5) выводим:

^ — = 1 — г = 1 — е 18 = е

2л/ л/ 18 _„18

л/ л/

_(— 2/)

е18 • 81И

18

(35)

(л \ (л \

Подставляя (35) в (34) и учитывая, что

V 0

а11

I■■■ = I■■■ q(t)dtall,

V 0

а22

d17k1 =—---77—1-тт •(w1 — w2 )17 ••

17,кД 18л ГМ17 • 2П1 • 2

Мп п

щ • г 17 • г '

М„ —М,7 п

w^ • г 17 • г 17 • г 1

(л \ !•••

_М17 ^М17 _П1

— щ • г 17 • г 17 • г

17 • гП1 [I■■■

л

Млн п

— w9 • г 17 • г 1

М

а11

' а22.

-5к, 1, о

(36)

Вторая из скобок в формуле (36) равна:

о

л

5

к ,1

1

1

5

' 1 ^

х

34

'л >

л

+

х

Wl • е

5 — 5

к ,1

л

е 18 — е1

л

о

л

+

о

+

чо у

V о у

5

2133

щ • 2Г •

„2М17 и.

V 0 )

с12

V 0

а 21

2 • 2Г1 | д^ )• еа(щ1 - щ )stdtí

0

а12 '

Г 2М17 „ 2 1 • 2 17 X

я

х| д( )• еа(щ- щ

0

5 к ,1,о

я- л- 2я- , , л ■М,.

2-к

= 2Г1 • 2М17 • е18 • е18 • е" 18 ' 17 | g(t)• ехр

0

„ к си • 2- —

dt -

с-(Щ - щ )

Г М, 7 1

-2 1 • 2 17 • е 1

2я- , , я

М

'М" • |д(t)• ехр[- 2~-& = е18 • 2Г • 2М17 • 2-| д(t)• з1п

00

~ я 2я ,,

2И +----М17

18 18 17

Поэтому из (36)-(37) выводим:

_ (щ -щУ8

&17Ж1 = 18л • 218

я

| д( )dtсll -

81П

18

я

V 0 )

п1

к е 2,

(37)

(38)

17 (л \

Л, ~ 7 МЦ + ,1

М17 = > тк, к = к +--17-1, интеграл

к =1 18

/...

V 0 )

определен в (37).

Таким образом, теорема 4 полностью доказана.

Изучая подробно индикаторную диаграмму (22) и соответствующие ей уравнения на собственные значения, аналогично уравнению (23), приходим к справедливости следующего утверждения.

Теорема 5. 1) В секторе 2) индикаторной диаграммы (22) асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(2)-(3) имеет вид:

5к ,2 = 5к ,1 • е

2л-18

(39)

где ^ ] определены в (30), (37)-(38).

2) Для остальных секторов индикаторной диаграммы (22) справедливы формулы:

- (п-1)

, п = 1,2,3,...!18; 5к, п+18 = , п, п = 1,2,...=18.

(40)

3) При этом собственные значения дифференциального оператора (1)-(2)-(3) находятся по формуле

^к .„ = СП, п = 1,2,...18; к = 1,2,3,...

(41)

С помощью формул (30) и (37)-(41) доказывается следующая теорема о поведении собственных функций дифференциального оператора (1)-(2)-(3).

Теорема 6. Собственные функции ^(х,)(к = 1,2,3,..) дифференциального оператора (1)-(2)- (3), соответствующие собственным значениям Хк из (40)-(41), вычисляются по следующей формуле:

8 к (Х 5к ) =

у1т )(0, 5) у2т1 )(0, 5)

У1(т2 )(0, 5) Ут2 )(0, 5)

у1т17)(0, 5) Ут17)(0, 5)

У1(Х5) У 2(Х5)

Ут )(0,5) У^1 )(0,5)

у1т2 )(0,5) у1т2 )(0,5)

У1(т17)(0, 5) У1(т17)(0, 5)

У17 ^Х 5) Уl8(x, 5)

я

я

л

а

1

я

0

5кг = 5к1 • е

Применяя формулы (11), формулу (42) можно переписать в следующем виде: 2134

tk sk ) =

wm w2mi. . w™1 w1H

m-, w2 m-, w2m2 . m-, .. wim72 m-, w182

w,

w^

У1(Хs) У2 (Xs)

W17" У17(Хs)

w

У18(Хs)

(43)

Формула (43) позволяет аналогично работам [15] и [20] вычислить асимптотику собственных функций дифференциального оператора (1)-(2)-(3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Садовничий В.А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Математический сборник. 1967. Т. 72. № 2. С. 293-310.

2. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Математический сборник. 1968. Т. 65. № 4. С. 558-566.

3. Чернятин В.А. Асимптотики высшего порядка спектра оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 2. С. 206-215.

4. Ильин В.А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Математические заметки. 1977. Т. 22. № 5. С. 698-723.

5. Gottlieb H.P.W. Iso-spectral Operators: Some Model Examples with Discontinuous Coefficients // Journal of Math. Anal. and Appl. 1988. V. 132. P. 123-137.

6. Будаев В.Д. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций оператора второго порядка с разрывными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 6. С. 941-952.

7. Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 530-532.

8. Митрохин С.И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Доклады АН. 1997. Т. 356. № 1. С. 13-15.

9. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия математическая. 2000. Т. 64. № 4. С. 47108.

10. Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского университета. Серия 1: математика, механика. 2009. № 3. С. 14-17.

11. Митрохин С.И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3. № 4. С. 95-115.

12. Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора десятого порядка с суммируемым потенциалом // Успехи современного естествознания. 2010. № 3. С. 146-149.

13. НаймаркМ.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

14. ФедорюкМ.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. 352 с.

15. Митрохин С.И. Спектральные свойства краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с интегрируемыми коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 8. С. 1085-1093.

16. БеллманР., КукК.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

17. ЛевитанБ.М., СаргсянИ.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. 672 с.

18. Садовничий В.А., Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 1. С. 109-116.

19. Садовничий В.А., Любишкин В.А., Белабасси Ю. О регуляризованных суммах корней целой функции одного класса // Доклады АН СССР. 1980. Т. 254. № 6. С. 1346-1348.

20. Mitrokhin S.I. About effect of splitting for the differential operator of the fourth order with the summable potential // European Journal of Natural History. 2011. V. 1. P. 33-40.

Поступила в редакцию 10 мая 2016 г.

Митрохин Сергей Иванович, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, профессор РАЕ, e-mail: mitrokhin-sergey@yandex.ru

2135

UDC 517.927.2

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -6-2128-2137

ABOUT RESEARCH OF THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF THE SPECTRUM OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE DIFFERENTIAL OPERATOR OF A HIGH ORDER WITH A SUMMABLE POTENTIAL

© S.I. Mitrokhin

Lomonosov Moscow State University 1 Leninskie Gory, Moscow, Russian Federation, 119991 E-mail: mitrokhin-sergey@yandex.ru

The boundary value problem for the differential operator of a high order with the separated boundary conditions is studied. The potential of the operator is summable function on the interval. The asymptotics of solutions of the corresponding differential equation for large values of spectral parameter is derived. The new method for finding of the asymptotics of eigenvalues of the studied operator is offered. Key words: differential operator; boundary value problem; summable potential; separated boundary conditions; asymptotic behavior of spectrum; eigenfunction

REFERENCES

1. Sadovnichiy V.A. O sledakh obyknovennykh differentsial'nykh operatorov vysshikh poryadkov [About traces of ordinary differential operators of highest order]. Matematicheskiy sbornik-Sbornik: Mathematics, 1967, vol. 72, no. 2, pp. 293-310. (In Russian).

2. Lidskiy V.B., Sadovnichiy V.A. Asimptoticheskie formuly dlya korney odnogo klassa tselykh funktsiy [Asymptotic formula for one class roots of all-zero functions]. Matematicheskiy sbornik - Sbornik: Mathematics, 1968, vol. 65, no. 4, pp. 558-566. (In Russian).

3. Chernyatin V.A. Asimptotiki vysshego poryadka spektra operatora Shturma-Liuvillya [Asymptotic behavior of highest order of Shturma-Liuvillya operator]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2002, vol. 38, no. 2, pp. 206-215. (In Russian).

4. Il'in V.A. O skhodimosti razlozheniy po sobstvennym funktsiyam v tochkakh razryva koeffitsientov differentsial'nogo operatora [About convergency of degradation on the functions in points of discontinuity of coefficients of differential operator]. Matematicheskie zametki -Mathematical Notes, 1977, vol. 22, no. 5, pp. 698-723. (In Russian).

5. Gottlieb H.P.W. Iso-spectral Operators: Some Model Examples with Discontinuous Coefficients. Journal of Math. Anal. and Appl., 1988, vol. 132, pp. 123-137.

6. Budaev V.D. O bezuslovnoy bazisnosti na zamknutom intervale sistem sobstvennykh i prisoedinennykh funktsiy operatora vtorogo poryadka s razryvnymi koeffitsientami [About absolute basis property at closed interval of systems of proper and associated function of operator of the second order with discontinuous coefficient]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 1987, vol. 23, no. 6, pp. 941-952. (In Russian).

7. Mitrokhin S.I. O spektral'nykh svoystvakh differentsial'nykh operatorov s razryvnymi koeffitsientami [About spectral properties of differential operators with discontinuous coefficients]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 1992, vol. 28, no. 3, pp. 530-532. (In Russian).

8. Mitrokhin S.I. O nekotorykh spektral'nykh svoystvakh differentsial'nykh operatorov vtorogo poryadka s razryvnoy vesovoy funktsiey Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 1997, vol. 356, no. 1, pp. 13-15. (In Russian).

9. Vinokurov V.A., Sadovnichiy V.A. Asimptotika lyubogo poryadka sobstvennykh znacheniy i sobstvennykh funktsiy kraevoy zadachi Shturma-Liuvillya na otrezke s summiruemym potentsialom [Asymptotic behavior of every order of eigenvalue and eigen functions of boundary value of Shturm-Liuvillya at the piece with sum potential]. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Seriya matematicheskaya -Izvestiya: Mathematics, 2000, vol. 64, no. 4, pp. 47-108. (In Russian).

10. Mitrokhin S.I. Asimptotika sobstvennykh znacheniy differentsial'nogo operatora chetvertogo poryadka s summiruemymi koeffitsientami [The asymptotics of the eigenvalues of a fourth order differential operator with summable coefficients]. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1: matematika, mekhanika - Moscow State University Bulletin. Series 1. Mathematics. Mechanics, 2009, no. 3, pp. 14-17. (In Russian).

11. Mitrokhin S.I. O spektral'nykh svoystvakh odnogo differentsial'nogo operatora s summiruemymi koeffitsientami s zapazdyvayushchim argumentom [On spectral properties of a differential operator with summable coefficients with a retarded argument]. Ufimskiy matematicheskiy zhurnal - Ufa Mathematical Journal, 2011, vol. 3, no. 4, pp. 95-115. (In Russian).

12. Mitrokhin S.I. Asimptotika sobstvennykh znacheniy differentsial'nogo operatora desyatogo poryadka s summiruemym potentsialom [Asymptotic behavior of eigen values of differential operator of tenth order with summing potential]. Uspekhi sovremennogo estestvoznaniya - Advances in current natural sciences, 2010, no. 3, pp. 146-149. (In Russian).

13. Naymark M.A. Lineynye differentsial'nye operatory [Linear differential operator]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 528 p. (In Russian).

14. Fedoryuk M.V. Asimptoticheskie metody dlya lineynykh obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Asymptotic behavior methods for linear ordinary differential equation]. Moscow, Nauka Publ., 1983. 352 p. (In Russian).

2136

15. Mitrokhin S.I. Spektral'nye svoystva kraevykh zadach dlya funktsional'no-differentsial'nykh uravneniy s integriruemymi koeffitsientami [Spectral properties of boundary values for functional-differential equations with integral coefficients]. Differentsial'nye uravneniya -Differential Equations, 2010, vol. 46, no. 8, pp. 1085-1093. (In Russian).

16. Bellman R., Kuk K.L. Differentsial'no-raznostnye uravneniya [Differential-different equations]. Moscow, Mir Publ., 1967. 548 p. (In Russian).

17. Levitan B.M., Sargsyan I.S. Vvedenie v spektral'nuyu teoriyu [Introduction in spectral theory]. Moscow, Nauka Publ., 1970. 672 p. (In Russian).

18. Sadovnichiy V.A., Lyubishkin V.A. O nekotorykh novykh rezul'tatakh teorii regulyarizovannykh sledov differentsial'nykh operatorov [About some new results of theory of regularized traces of differential operators]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 1982, vol. 18, no. 1, pp. 109-116. (In Russian).

19. Sadovnichiy V.A., Lyubishkin V.A., Belabassi Yu. O regulyarizovannykh summakh korney tseloy funktsii odnogo klassa [About regularized radical union of entire function of one class]. Doklady Akademii nauk - Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 1980, vol. 254, no. 6, pp. 1346-1348. (In Russian).

20. Mitrokhin S.I. About effect of splitting for the differential operator of the fourth order with the summable potential. European Journal of Natural History, 2011, vol. 1, pp. 33-40.

Received 10 May 2016

Mitrokhin Sergey Ivanovich, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Professor of RAS, e-mail: mitrokhin-sergey@yandex.ru

Информация для цитирования:

Митрохин С.И. Об асимптотике спектра краевой задачи для дифференциального оператора высокого порядка с суммируемым потенциалом // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 21282137. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2128-2137

Mitrokhin S.I. Ob asimptotike spektra kraevoy zadachi dlya differentsial'nogo operatora vysokogo poryadka s summiruemym potentsialom [About research of the asymptotic behavior of the spectrum of a boundary value problem for the differential operator of a high order with a summable potential]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2128-2137. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2128-2137 (In Russian).

2137

УДК 517.95

БОТ: 10.20310/1810-0198-2016-21 -6-2138-2142

ЕДИНСТВЕННОСТЬ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА СЕТИ

© А.А. Парт

Военный учебно--научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» 394064, Российская Федерация, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54а Е-шаД: anna_razinkova@mail.ru

Доказана единственность слабого решения третьей начально-краевой задачи для уравнения гиперболического типа с распределенными параметрами на ориентированном ограниченном графе, граничные условия которой сведены к однородным.

Ключевые слова: граф; гиперболическое уравнение; начально-краевая задача; слабое решение

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассматривается единственность слабого решения начально-краевой задачи для гиперболического уравнения второго порядка с распределенными параметрами на произвольном ориентированном графе. Такие решения определяются с помощью интегральных тождеств, заменяющих собой уравнения, начальные и граничные условия. Полученные результаты являются основополагающими при исследовании задач оптимального управления колебаниями сетеподобных промышленных конструкций.

Центральная идея, определившая все содержание настоящей статьи, состоит в применении используемых в [1, с. 146, 196] подходов к анализу таких задач и обобщении известных классических утверждений об однозначной разрешимости начально-краевых задач.

Данная работа является продолжением исследования существования слабого решения начально-краевой задачи для гиперболического уравнения второго порядка с распределенными параметрами на произвольном ориентированном графе [2-3].

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Используются обозначения, принятые в работах [45]: ребра у графа Г имеют одинаковую длину и параметризованы отрезком [0,1]; сГ - множество граничных узлов Е, , 3(г) - множество внутренних Е, узлов графа Г ; Г0 - объединение всех ребер, не содержащих концевых точек; Г = Г х (0, Т) (Г = Г0 х (о, г)), дГТ = СГ х (о, Т) (сГ = СГ х (0, г)).

Обозначим через ¿2 (г) пространство функций, интегрируемых с квадратом на Г (аналогично вводится пространство ¿2(ГТ), ГТ =Гх(0,1)); W21(г) -пространство функций из ь2 (г) , имеющих

обобщенную производную 1-го порядка также из ¿2 (г) ; w2(гr) - пространство функций из ь2 (гт ), имеющих обобщенные производные первого порядка из (Г); ¿2!(Гг) - пространство функций из

Т

А (Г) с нормой 1(Г) = {(|"2(хг)^х)112Сг ;

0 Г

(Гг) - пространство функций м(хг) из ¿2 (Гт ),

имеющих обобщенную производную 1 -го порядка по х, принадлежащую Ь2(Г) " "2

= Г1 и2 (х, г)

гЛ

ди2 (х, г) сХ

¿2 (Гт ), сХ&.

и

(Гт )■

Рассмотрим билинейную форму Сц(х) С\>(х)

^ у) = !( а(х)

Сх сх

+ Й(х)ц(х)у( х)

с фиксированными измеримыми ограниченными на Г0 коэффициентами а(х), Ь(х). Обозначим через 0(а, Г) множество непрерывных во всех внутренних узлах 3(г) функций и(х) из класса W21(г), для ко-Си( х)

торых сужение I а(х)

Сх

непрерывно во всех

Ук

концевых точках ребер ук (к = 1, т) [6], при этом

и(х) удовлетворяют соотношениям

_ Си (1)у _ Си(1)у. у а(1)у -- = У а(1)у -;—- во всех узлах

У, еЯ® - Сх У-ег©

у - Сх

Г

2138

Е, е 3(г) (здесь ^(Е) - множество ребер, ориентированных «к узлу Е, »; г(е) - множество ребер ориентированных «от узла Е, »; через м(-)у обозначено сужение функции и(-) на ребро у ). Замыкание

О(а, Г) в норме Ж (г) обозначим через Ж (а, г) . Пусть далее ^ (а, Г) - множество функций

и(х, t) е Ж (Г ), чьи следы определена: на сечениях области Г плоскостью t = (^ е [0,Т]) как

функции класса (а, Г) и удовлетворяют

^ а(,)у, ^ -

соотношениям

у, еЯ(Е)

у 1 йX

Ейи(1,/)у , . а(1) -— для всех узлов Е е 3(Г).

... 1 ¿х У1 ег(Е)

Замыкание множества ^ (а, Г) в норме Ж(Гт) обозначим через Ж (а, Гу ) . Множество Ж1 (а, Гг) состоит из элементов Ж1 (а, Гг), равных нулю при t = Т. Замыкание в норме Ж2(г) множества функций из О , равных нулю во всех узлах Е, е йГ , обозначим через Ж20 (а, Г).

3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В пространстве Ж2(а, Гг) изучается третья краевая задача, граничные условия которой сведены к однородным:

^-И а(х)^11 + *Шх, ^ = / (х, t),

дГ дх { дх

lt=0

= Ф(х),

ди

Иг

= у(х), х е Г,

t=0

аи(х, t) + а(х)

ди(х, t) дх

= 0, 0 < t < Т,

(1)

(2)

(3)

дГ

здесь

а = сош^ а ^ 0,

Ф(х) е Ж1 (а, Г), у(х) е Х2 (г) , /(х, Г) е Ь21 (ГТ ) . Для коэффициентов а(х) и Ь(х) справедливы предположения

0 < а* < а(х)< а* , |й(х) < ~ , х еГ . (4)

Определение 1. Обобщенным решением класса ЖЧг) краевой задачи (1)—(3) называется функция

и(х, ^ е (Гг), равная ф(х) при Г = 0 и удовлетворяющая интегральному тождеству

гГ_5„М ^ + а(х)Мх£) ^ + 6(х)„(х, t )|(х, t ^ + •> ^ й/ дt дх дх ^

+ |а«(х, г )л(х, / = |у(х)л(х,0)ах +| / (х, г )|(х, / ¿и?/ (5)

дГТ Г ГТ

при любых л(х, t) е Ж\( а, Гг ), |(х, Т) = 0.

Теорема 1. Для любых ф(х) еЖ2'(а, Г), у(х) е (г), /(х, 0 е ¿21 (Гт ) и при выполнении предположений (4) начально-краевая задача (1)-(3) имеет обобщенное решение из (а, Г ).

Здесь не приводится доказательство теоремы, полное доказательство можно найти в [3, с. 22].

Теорема 2. В предположениях теоремы 1, начально-краевая задача (1)-(3) имеет не более одного обобщенного решения из пространства (а, Г ).

Доказательство. Пусть задача (1)-(3) имеет два обобщенных решения щ, и2 еЖ21(а, Гг) , тогда их

разность и = щ — и2 принадлежит (а, Г ) и удовлетворяет тождеству (5) с / = у = 0 и при Г = 0 обращается в нуль. Возьмем в этом тождестве

Л( х, ^ =

0, т< Г < Т,

£

Г и( х, q)dq,

0 < / <т

(6)

с произвольной фиксированной те[0,Т]. Ясно, что Л(х, t) е Ж1 (а, ГТ ) и имеет обобщенные производные

Лх = их е ¿2(ГТ ) и Лх е ¿2 (ГТ) , кроме того Л, Лх и и являются элементами ¿2 (г), непрерывно зависящими от t е [0,Т]. Подставляя ЙЛ(X,t) в (5) (/ = у = 0),

Й/

- е получим

д 2л(х,/) ^^ ) -ллд гл{хл) ЙЛ(Х,0 ^С^ЙЛСХ1£)

Д т2 д х'~дйдх аГ

_ л(х,£= 0

Ь(х) , ' л^^ЩхЛ — (7)

и после интегрирования, учитывая Лt (х,0) = и(х,0) = 0 и лх (х, т) = 0, приходим к

!

д 2|(х, т^

+ а(х)Гдл(х,°)1 йх +а | л 2 {х,0)<^х

^ х ' ) дг

2 Г Ь(х) дл(x, t^ л(х, t)dxdt.

Далее в силу (4)

т

Г

2139

/ИгТ ]сх «^М* < +|[«,-~!("2)С'|ч2(х,0)сх'

Г V4 У 4 ) ЭГ ГЯ"! ,

(8) 0 дГ

dq< 0.

СхСг.

Для почти всех х е Г справедливо

X х( г >

|л2(х,г)Сг = J Jи(х,с)Сс 0 0 V х >

х г

< |(х - г)Jи2(х,с)Сс,Л < х2 Jи2(х,сС

0 х 0

Эл(х, г) _

сг <

(9)

и, учитывая —,ч - = и( х, г), неравенство (8) преоб-

Эг

разуется к виду

| и 2(х, х)Сх + | а(х)(Э^(х,0)1 Сх +а|-2 (х,0)Сх <

Г Г ^ ) ЭГ

< ~ | (и2 (х, г)+-л2 (х, г ))схсг.

В силу оценки (9), последнее неравенство примет

вид:

|и2(х,х)Сх + |а(х)ТЭл(х,0)Л] Сх +а|л2(х,0)Сх

Г Г ^ ) ЭГ

< ~ |(и 2( х, г) + х2и2 (х, г ))СхСг,

упростив, перенесем правую часть налево | и 2(х, х)Сх - Ь (1 + х2 )| и 2 (х, г)СхСг +

Г Г,

| а(х/Эл(х0)^2 Сх +а | л2 (х,0)Сх < 0

у ^ ^ зг

+ J а(х

Г

Полученное неравенство умножим на е интегрируем от 0 до х :

~Д1+г2 С

^-Ь|(1+г2)Сг -е 0 I и2(х,х)Сх

Сс -

х /

-Ь|(1+г2 )с

ь(1 + с2 ) 0 I и2 (х, г)СхС

и (х, г СхСг

Сс +

|( а(х)(дздх^}

П Г ^ '

Сх

Сс+

Второе слагаемое интегрируем по частям:

-ь|(1+г2 С

е 0 | и (х, х )

Г

| и 2(х, х)сх

Сс+

-Ь С(1+г2 С

II и (х, гушг

-Ь С(1+г2 С

| и 2 (х, х)Сх

+ а

-Ь|(1+г2)с

0

-ЬТ|(1+г2 С

Сс| а^)

дл4х® л+

Сс|л2(х,0)Сх < 0.

Выполняя подстановку, учитываем, что и(х,0) = 0 , приходим к неравенству:

-~/(1+г' Сг г п х -Ь №+г' Сг г , У

е 0 I и (х,г)СхСг +1 е 0 ССI а(х) ■

( ~С, , Л

х -ь|(1+г2 С

| а(х) Эл(х,0)Ч| Сх +

V )

( -С/ , ^

-ЬД1+г2

| е 0 СС|л2(х,0)Сх < 0.

V )

Отсюда следует равенство нулю на Г всех слагаемых, т. е. и2(х,г) = 0, Э-(х,0) = 0 и л(х,0) = 0 . Учи-

дх

тывая произвольность выбора х е [0,Т] получаем и(х, г) = 0 почти всюду на Г . Теорема доказана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Доказана единственность слабого решения третьей начально-краевой задачи для уравнения гиперболического типа с распределенными параметрами на ориентированном ограниченном графе, граничные условия которой сведены к однородным. Представленные результаты являются основополагающими в задачах оптимального управления эволюционными системами на сетях [7-8] и анализе сетевых коммерческих математических моделей [9-10].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

2. Парт А.А. Начально-краевая задача для уравнения гиперболического типа и ее разрешимость // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2016): сб. тр. 9 Междунар. конф. Воронеж, 2016. С. 266-268.

2140

х

х

е

0

0 Г

V

0

х

+

е

0

Г

ч

х

+

0

х

е

0

Г

0

Г

и

0

Г

Г

0

2

+

3. Парт А.А. Разрешимость начально-краевой задачи гиперболического типа с распределенными параметрами на графе // Системы управления и информационные технологии. 2016. № 3. С. 19-23.

4. Провоторов В.В., Волкова А. С. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе. Воронеж: Научная книга, 2014. 188 с.

5. Подвальный С.Л., Провоторов В.В. Оптимизационные задачи для эволюционных систем с распределенными параметрами на графе // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014): сб. тр. 7 Меж-дунар. конф. Воронеж, 2014. С. 282-286.

6. Волкова А. С., Провоторов В.В. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. № 3. С. 3-18.

7. Provotorov V. V. Boundary control of a parabolic system with delay and distributed parameters on the graph // Stability and Control Processes:

International Conference in Memory of V.I. Zubov (SCP). St. Petersburg, 2015. P. 126-128.

8. Podvalny S.L., Provotorov V.V. The questions of controllability of a parabolic systems with distributed parameters on the graph // Stability and Control Processes: International Conference in Memory of V.I. Zubov (SCP). St. Petersburg, 2015. P. 117-119.

9. Сергеев С.М. Математическое моделирование сети торговых предприятий // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т. 8. № 1. С. 66-71.

10. Сидненко Т.И., Сергеев С.М. Моделирование движений порожденного спроса на аграрном рынке в условиях асимметрии информации // Известия Санкт-Петербургского государственного аграрного университета. 2015. № 39. С. 268-270.

Поступила в редакцию 19 сентября 2016 г.

Парт Анна Александровна, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Российская Федерация, преподаватель 206 кафедры, e-mail: anna_razinkova@mail.ru

UDC 517.95

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -6-2138-2142

UNIQUENESS OF THE WEAK SOLUTION OF THE THIRD INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR HYPERBOLIC EQUATIONS WITH DISTRIBUTED PARAMETERS ON A NETWORK

© A.A. Part

Military Training and Research Center of the Air Force "Air Force Academy named after Professor

N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin" 54a Starykh Bolshevikov St., Voronezh, Russian Federation, 394064 E-mail: anna_razinkova@mail.ru

We prove the uniqueness of the weak solution of the third initial-boundary value problem for hyperbolic equations with distributed parameters on a limited oriented graph, the boundary conditions which are reduced to a uniform.

Key words: graph; hyperbolic equation; boundary value problem; weak solution

REFERENCES

1. Ladyzhenskaya O.A. Kraevye zadachi matematicheskoy fiziki [Boundary-value problems of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1973. 407 p. (In Russian).

2. Part A.A. Nachal'no-kraevaya zadacha dlya uravneniya giperbolicheskogo tipa i ee razreshimost' [Initial boundary value problem for an equation of hyperbolic type and its solvability]. Sbornik trudov 9 Mezhdunarodnoy konferentsii «Sovremennye metody prikladnoy matematiki, teorii upravleniya i komp'yuternykh tekhnologiy (PMTUKT-2016)». [Proceedings of the International Conference 9 "Modern methods of applied mathematics, control theory and computer technology (PMTUKT 2016)"]. Voronezh, 2016, pp. 266268. (In Russian).

3. Part A.A. Razreshimost' nachal'no-kraevoy zadachi giperbolicheskogo tipa s raspredelennymi parametrami na grafe [The solvability of the initial boundary value problem of hyperbolic type with distributed parameters on the graph]. Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii — Control systems and information technologies, 2016, no. 3, pp. 19-23. (In Russian).

4. Provotorov V.V., Volkova A.S. Nachal'no-kraevye zadachi s raspredelennymi parametrami na grafe [Initial-boundary value problems with distributed parameters on the graph]. Voronezh, Science Book Publ., 2014. 188 p. (In Russian).

5. Podval'nyy S.L., Provotorov V.V. Optimizatsionnye zadachi dlya evolyutsionnykh sistem s raspredelennymi parametrami na grafe [Optimization problems for evolutionary systems with distributed parameters on the graph]. Sbornik trudov 7Mezhdunarodnoy konferentsii «Sovremennye metody prikladnoy matematiki, teorii upravleniya i komp'yuternykh tekhnologiy (PMTUKT-2014)» [Proceedings of the 7 International Conference "Modern methods of applied mathematics, control theory and computer technology (PMTUKT 2014)"]. Voronezh, 2014, pp. 282-286. (In Russian).

6. Volkova A.S., Provotorov V.V. Obobshchennye resheniya i obobshchennye sobstvennye funktsii kraevykh zadach na geometricheskom grafe [Generalized solutions and generalized eigenfunctions of boundary value problems on geometrical graph]. Izvestiya vysshikh

2141