Об изучении спектральных свойств дифференциальных операторов четного порядка с разрывной весовой функцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки

Том 23, № 121

2018

УДК 517.927.2

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-121-74-99

ОБ ИЗУЧЕНИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА С РАЗРЫВНОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ

С. И. Митрохин

ФГБОУ ВО «Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова» 119991, Российская Федерация, г. Москва, Ленинские горы, 1 E-mail: [email protected]

Аннотация. Изучена краевая задача для дифференциального оператора высокого четного порядка, коэффициенты которого являются разрывными функциями в некоторой внутренней точке отрезка, на котором рассматривается оператор. В точке разрыва коэффициентов требуется выполнение некоторых условий «сопряжения», которые следуют из физических условий. Граничные условия рассматриваемой краевой задачи являются разделенными и зависят от нескольких параметров. Тем самым одновременно изучаются спектральные свойства целого семейства дифференциальных операторов. Весовая функция оператора является кусочно-постоянной на отрезке задания дифференциального оператора. При больших значениях спектрального параметра выведена асимптотика решений дифференциальных уравнений, определяющих изучаемый оператор. С помощью этой асимптотики изучены условия «сопряжения». Полученные формулы позволяют исследовать граничные условия рассматриваемой краевой задачи. В результате выведено уравнение на собственные значения исследуемого оператора. Доказано, что собственные значения оператора являются корнями некоторой целой функции. Изучена индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения оператора. Доказано, что спектр оператора является дискретным. В различных секторах индикаторной диаграммы найдена асимптотика собственных значений изучаемого оператора, зависящая от параметров граничных условий. Найденные формулы позволяют находить асимптотику собственных функций оператора и вычислять регуляризованные следы этого оператора.

Ключевые слова: дифференциальный оператор; краевая задача; спектральный параметр; весовая функция; асимптотика собственных значений; собственные функции

Рассмотрим дифференциальный оператор высокого четного порядка, задаваемый на отрезке [0; п] дифференциальными уравнениями

0 ^ x < x\, a > 0, x\ < x ^ n, b > 0,

(1)

с условиями «сопряжения» в точке XI разрыва коэффициентов

*.(* о) = й(«. + 0; уЩгЛ = у1^!1> ™ = 1.Я.....э, (з)

с разделенными граничными условиями вида

у{Р\0) = у1т2)(0) = х>о<= у*->(0) = У(2%) = 0, (4)

т,1 < т2 < >оо<< гпд; тр, / }0,1,2,..., 9| , р = 1, 2,.... 9.

Дифференциальные уравнения (1), (2) можно записать в виде одного уравнения у[10){ж) + д(х)у(х) = \р(х)у(х) , 0 х тг , где

у(х) =

yi{x), 0 < х < хг

, , . Ф) =

У2\х), XI < х < 7Г;

gi(x), 0 < х < Xi

р(х) =

92(2:), XI < х ^ 7Г;

а10, а > 0, 0 ^ х < Ж!

Ь10, Ъ > 0, Xi < X ^ 7Г.

При этом число Л называется спектральным параметром, функция q(x) называется потенциалом, функция р(х) - весовая функция. Мы предполагаем, что выполнены следующие условия гладкости потенциала q(x):

Я1(х) /CQ[0;Xly, q2(x) /С9(Х1-тг]-

5

{ lim qi(x) = gi(xi) ä e ; {lim q2(x) = q2{xl) le.

x—^ti—0 x—>aci+0

Краевые задачи вида (l)-(3) в случае дифференциальных уравнений второго и четвертого порядка описывают продольные и поперечные колебания стержней и балок, составленных из материалов различной плотности. Изучение дифференциальных операторов порядка выше четвертого является актуальной задачей настоящего времени ввиду сложностей теоретического исследования. Это также важно для развития теории дифференциальных уравнений с негладкими коэффициентами.

Асимптотика спектра дифференциальных операторов с гладкими коэффициентами изучена в работах [1-4]. Дифференциальные операторы с кусочно-гладкими коэффициентами исследовались в работах [5-9]. Случай суммируемых коэффициентов начал изучаться недавно и продемонстрирован в работах [10-15]. Во всех этих работах весовая функция была постоянной (чаше всего равной единице). Дифференциальные операторы второго порядка с кусочно-постоянными весовыми функциями исследовались в работах [16-18]. Операторы порядка выше второго с кусочно-постоянными весовыми функциями ранее фактически не исследовались ввиду сложностей теоретического характера. Новизна данной работы заключается в том, что продемонстрирован метод доказательства дискретности спектра исследуемой краевой задачи (порядок которой больше второго). Исследование операторов с кусочно-гладкими весовыми функциями на данный момент не представляется возможным из-за сложности практического характера.

§ 1. Асимптотика решений дифференциальных уравнений (1) и (2) при больших значениях спектрального параметра Л. Введем следующие обозначения: Л = s10 , s = 10 Л , при этом 1 1 = +1. Пусть Wk (к = 1,2,..., 10) - различные

корни десятой степени из единицы

ии

1° = 1, пк = е^-Ъ (к = 1,2,..., 10); «л = 1;

ш /2тг\ . /2тг\

и)2 = е 10 = сой —— I + г бш —— = г Ф 0;

V ю

V ю

(Э

Шз = е ю = соз | — | + г 81П [ — | = 2 ;

47Г

(6)

ги4 = г ;...; ют = г™ (т = 1,2,..., 10); шт+ю = ™т.

Числа п>к (к = 1,2,..., 10) из (6) делят единичную окружность на десять равных частей, при этом они удовлетворяют следующим соотношениям:

10

10

= 0, т = 1,2,... ,9; ^ = 10, т = 0, т = 10.

(7)

к=1

к=1

Методами монографии [19, гл. 2] доказывается следующее утверждение.

Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) при условии гладкости (5) имеет следующий вид:

ю (т)/ \ 10 (т)/ ч

= т=1,2,...,9, (8)

^=1

*:=1

(аз)'

где (к = 1,2,... ,10) произвольные постоянные, при этом справедливы асимптотические формулы и оценки

у1к(х,з) = е™>°ях

Угк (,х>3) т „ашь вх [азУ

АяМх) А°юк(х) /е|1ш^у 59 510 511 )

к = 1,2,..., 10,

59 510 —^ 511 )

(9)

(10)

к= 1,2,..., 10; т= 1,2,..., 9.

При этом для коэффициентов разложений (9), (10) справедливы следующие формулы:

/X

А*,к( 0) = 0, ¿ = 1,2,..., 10;

о 9д1(0). г Тд^) 9^(0) _ _

20а10 ' 20а10

К......*

20а10

8 7^) 9д1(0)

~ 20а10 ' ^ ] ~ 20а1»

(П)

9д1(х) 9?1(0)

к = 1,2, ...10; т = 1,2,..., 9.

При этом выполняются следующие начальные условия и свойства:

(0) - о- Л1 (0) - 2?1(0)- ■ А- ГО) - ( 2т)91(0)- ■ А8 (0) - ( 16)911^

!)!(0); к = 1.2,..., 10; т= 1,2,...,9;

20а10

90

^10, к(х) + ^10, (с 0е) + >00<+ Ащ^х) + — 2д010

п п

90

т=0

т=0

20а10

, к= 1,2,...,10,

(13)

(14)

(15)

то есть эти суммы не зависят от к.

Аналогичным образом устанавливаются следующие утверждения и свойства.

Теорема 2. Общее решение дифференциального уравнения (2) при условии гладкости (5) потенциала д(х) имеет следующий вид:

У'2 (

10 ^(т) / \ 10

к=1 ^ ' к=1

(.Ьз)т

, т= 1,2,.... 9.

(16)

где С2к (к = 1,2,..., 10) произвольные постоянные, причем для фундаментальной системы решений }у2к(х, з)| ¿2=1 справедливы асимптотические формулы и оценки:

у2к(х,з) = еЬш^ (6з)т

5П

- о/1 о л

= шь е

. , В9,к(х) В™к(х) ( ^ З9 510 "V

, к = 1,2,..., 10,

5П

В9,к(х) =

к = 1,2, ...,10, т= 1,2,..., 9; Ык

э I

XI

10Ь9

00 () 9д2(х0

10,А V / — 20^9 ' 10,кУх) —

I д2Ц)с1Ц В9,к(0) = 0;

7д2(х) 952(^1)

20 Ь9

ВГ.,М=(9 2Щй ^Ч к=1,2.....10; т = 0,1,2.....9;...;

20£>9

8 7д2(х) 9д2(Х1)

п10,к\х) ~ 20^9 ' Ю,к\х) ~

в°1о*Ы = о; Щ^Ы = в^Ы =

(17)

(18)

(19)

(20)

9д2(ж) 9д2(хг) 20 Ь9

( 277г)д2(ж!)

20Ь9

(21)

Д9 / ч _

20Ь9 ' ~ 20Ь9

9 9

; к= 1,2,..., 10; т = 0,1,2,...,9; 90

20Ь9

, к = 1,2,..., 10,

(22)

т=0 'Ш=0

то есть эти суммы не зависят от переменной к.

§ 2. Изучение условий «сопряжения» (3). Из условий «сопряжения» (3) и формул (8), (16) имеем:

у2(х 1 + 0; в) = уг(ад 0; з) ос ю

Уй1 лх1 + 0;*) (з) УТ]{х1 0;з)

*:=1 (т),

10

= У^ в)

я=:п+0 к=1

Х=Х1~0

(Ъзу

(азу

оо

1>

ОО 7 к к=1

(■Ьз)т

к=1

1 0;д) (ш?)т

, т = 1,2,.... 9.

(23)

Система (23) представляет собой систему из десяти линейных однородных уравнений с десятью неизвестными С21, С22, ■ ю, переменные Сц, С12,..., Схю являются при этом параметрами. Определителем этой системы является определитель Вронского функций У21{%, <?), ^22(^1 5))У2,ю(х, 3) 1 который не зависит от х и не равен нулю ни в одной точке отрезка [0; 7г]. Применим теорему Крамера: решение системы (23) единственно и находится по следующим формулам:

С*21 —

Д,

д2„М а О'

С'2 2 —

^20^, 3)

; • - -; С2Д0 —

40

(24)

где

Д20(ж,5) = Д2о(ж1,5) = Д20(«) = (^Л¥г[у21(ж,8);г/22(£,з); -- -; 1/2,10(2;, в)] =

У2 Лх,3) У22{Х,Я) ■ ■ У2,э(^, 5) 2Лгд 3)

¡/210е,з) У2,я(Х> У2,ю(Ж1 3)

Ъз Ъ.З Ъз

У2\{Х1 3) У22(Х^) У2,1о(Ж1 3)

(Ъз)2 (/Ьз)2 (£>з)2 (Ьз)2

(9)/ \ У21Ч1, 5) (9) / ч УжАх,3) У2,9 К3) (9) / У2Д0 V®, 3)

(Ъз)9 (Ьз)9 (ЪзУ (Ъзу

определители Д„г (т = 1,2,..., 10) формулы (24) получаются из определителя Д20(х, в) формулы (25) заменой т-го столбца на столбец

\Ь=1 к=1 к= 1 ^ > /а^ц-о

Например, имеем

Д1 =

" 10 X] С1ку1к(х, з) _к=1 Д У1к(х13) _к=1 «« . Х1-0 3=1-0 У-п(х,3) . »22 Ьз У2,1о(-С)

к1к м9 3=1-0 (9) / ч »а (Ьз)9 (9) / \ У2,10\Х1 3) (Ьз)9

(27)

т=з=1-|-0

Д2 =

У21{Х73) 10 X] С1кУ1к(х, з) к=1 аз У23(Х,3) . ■ У2,1о(Х>3)

¡/21(Х, 3) Ьз XI —0 3=1-0 Уж(х,3) Ьз У2,ю(х1 Ьз

У-п(Х>3)

(ЪзУ

м ДМ

к=1

Узз (^¿0 уЦо(х> ■9)

(£>з)9

(Ьзу

(28)

т=з=1+0

Раскладывая определитель А! из (27) по первому столбцу, получаем

Д1 = СцДц + С12А12 + ХХХ+ С^юДиО)

Угк(х,3) У22(Ж,5) У2з(х,3) У2,1о(х,3)

У[к(Х: У2з(Х1 3) У2,10 (■Е1

А 1к = аз Ьз Ьз Ьз , к

(9) / ч (9) 1 ч у\Лх,3) (9) / ч У2,10 \Х1 3)

(аз)9 (Ьз)9 (Ьз)9 (Ьз)9 з==з=1±0

Раскладывая определитель Д2 из (28) на сумму определителей

находим

д2 = С11Д21 + С12Д22 + УХХ+ СМо Агдо,

У2 Лх,3) У2з(х,3) У2,1о(х,3)

У2 ЛХ,3) У23 *) У2,10 (■Е1

Дьь = Ьз аз Ьз Ьз , /с

(9) / ч У21 \х> з) (9) / ч (9)/ \ У2зЛх>3) (9) , ч У2,10№

(Ьз)9 (аз)9 (Ьз)9 (6з)9 з==з=1±0

(29)

, к= 1,2,... ,10. (30)

(31)

к= 1,2,..., 10. (32)

Аналогичным способом выводятся формулы

Аз = Сц А 31 + С12Д32 + >осх— С110Аздо;...; Ат = СцДт 1 + С12 Ат2 + >00<+ С^юАтло, т = 1,2,..., 10;...; (33)

^10 — Сц ^10,1 + С [2^10,2 + >оо<+ С110Д1010,

при этом определитель Атп (тп, п = 1,2, ...,10) в силу формулы (26) получается из определителя Д20(ж,з) из (25) заменой т-го столбца на столбец

„ Л, „У У1п(х'8).У1п(х,в) . Уь^УОУ У1п\,Х1 в), '/ \2 ■■■'/• \9 I

Обозначим через Д0о определитель Вандермонда чисел ид, 'Ш2) - - -, Юш из (6), (7):

1 1 . . 1 1

w1 w2 . ■ ™9 ww

Доо = detWand's (wj., w2, -.., ш10) = wj w\ . ■ wlo

g 9 Щ ■ g ■ Щ 9 W10

Д (wk wm) 3= 0.

к>т; к, 771=1,2,. ..ДО

Пусть матрица (г^тп) — матрица алгебраических миноров к элементам Доотп определителя Д00 из (34). Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Матрица алгебраических миноров (г/тп) имеет следующий вид:

("тп) =

fil ^21 ^31

Vil "22 "32

"\з "23 "33

»00

10

^9,1 ^9,2 ^9,3 iy10,l "10,2 ^10,3 1 1

^1,9 ^1,10 ^2,9 "2,10 "3,9 ^3,10

^9,9 "9,10 "l 0,9 ^10,10 1

w

-1

w.

-1

w

-1

w

-1

w

-2

W

-2

W

-2

W

-2

W

-8

W.

-8

W

-8

W

-8

W,

.—9

-'1 w2 ш3 ш4.

Для проверки справедливости формул (35) теоремы 3 достаточно разложить определитель Д00 из (34) по строчкам и по столбцам и получить верные равенства (хотя есть и строгое доказательство теоремы 3).

Для вычисления в явном виде определителей Дць (к = 1,2,..., 10) формул (30) и (29) воспользуемся асимптотическими формулами (9), (10) и (17), (18):

.-9

Wr,

.-9

w.

.9

m

-i

w

w,

-2

W

-1 10

Щ

-8

W

W a

.9

W

.9 10

(35)

Ai t =

= 10

ja

wke

ak

1 +

= 10

w2e

.62

1 +

^3,2 ^10,2

+ s10

9,2 ^10,2

До " "

В,

«1,10 «2,10

9 „ак

vote

=10

9„b2

wZe

1 +

B.

9,2 ^10,2

= 10

«10,10

, (36)

где введены обозначения еак = eaWkX1 , ebm = ebWmTl , все функции берутся в точке Xi (то есть при х = Xi ОС), « + ... » = «+0(^т)»! к = 1,2, ...,10, unW = wn-ieb,^^ + В^ + + о , тг = 1, 2,..., 10, при этом в силу формул

(19) Д^(х!)=0.

Из первого столбца определителя А^ (к = 1, 2,..., 10) из (36) вынесем множитель еашлз:г1 ^ из ВТОрОГО _ множитель bw2sxi }... ; из десятого столбца - множитель е^'10^1 ,

(7)

воспользуемся формулой W\ + 'Ш2+и'з + 'У-'ю = 0 , затем получившийся определитель разложим по столбцам на сумму определителей, в результате получим

m=2

k= 1,2,...,10,

, (37)

при ЭТОМ £m=l ( = :' 0,

1 1 1 .. 1

Wk w2 W3 . . ww

AiM — wl w\ w¡ . ■ ww

Q g g Щ ■ g

(34)

Aoo, к — 1; 0, A: = 2,3,..., 10,

Hifc = tf1M + Hík,2 + Н1к,з + XXX+ Hlk¿о, к = 1,2,..., 10,

А10,кЫ 1 1 . 1 1 1 . . 1

^lo.feí^i) w2 w3 . ■ ww Wk W2Bw!k(Xl) w3 . ■ %

Hlk,l — w\ w\ . ■ ww ; H\k¿ — w\ . ■ ™¡o

9 Щ 9 9 ■ ww 9 Wk wíBw^Xí) 9 Щ - g ■ ww

(38)

(39)

(40)

определители Н^ т получаются из определителя А0оИз(34) заменой первого столбца на столбец (1; шк] Щ]...; и.'®)* , и заменой т-го столбца на столбец ;

ш2тВ^х1)]...^тВ10т(х1)У, к = 1,2,...,10, т = 2,3,4,..., 10.'

Аналогичным образом выводятся формулы для вычисления определителей (¿ = 1,2,..., 10) из (31), (32):

A2k(Xl íS)=e™b*be-bw*8Xl

1 ( 10

S ^ m=2

m=2 ' \ /J

, к = 1,2, ...10,

1 1 1 .. 1

Wl Wk . wm

AiM — w\ Wl wj . ■ ww

9 W{ g wk g Щ ■ g

(34)

Aqoj к — 2; 0, k= 1,3,..., 10,

(41)

(42)

Н-2к — Н2к,1 + Н2к,2 + Н2к,з + х>о<+ Н2к,ю, к — 1,2,..., 10,

1 1

™1 ™кА1о,к(Х1)

(43)

Щ0,кЫ 1 1 . . 1

™1В[0,к(Х1) Щк ■ %

Н2к,1 — ™21ВЮ,к(Х1) ш2 . ■

Щ1Вю,к(х1) 9 ™к 9 Щ ■ 9 ■ Що

Н2к,2 —

™кА%, к(х0 ш

1

Шю

IV

10

IV

10

(44)

определителиполучаются из определителя Д00 из(34)замеиой второго столбца на столбец (1; и^; и^;...; ги^)* , и заменой т -го столбца на столбец (В°0 т(х1)]и>тВ110 т(ж1);

к = 1,2,..., 10, т= 1,3,4,..., 10.' Аналогичным образом устанавливаются формулы

Д33 = е™381^^811^ Д3 к =

4^) ^ П

х 1 а 1 а ш 1 I 11

о + 4 +

з9 Д00510

Ш]

тт — с --100

Дтй = еатк 811 е _1 Ьш™ 3 г 1Д оо

1 +

Ам^) Д

+

(45)

, ¿3=3;...; (46)

, т= 1,2,... 10, (47)

0+-+ Нтк +о(—

10 1 —\ „11

Ащю = е^^-ьичо^д

00

1 +

, т, к = 1,2,..., 10, т 3= к\...;

(48)

^доО^) #10, ю

+

+ 0(4

Доо510 "У*11

Д10,ь = е<и™е-Ьш 10ЯТ1Д

00

О ь

0 +

Д00810

, т = 1,2,..., 10,

(49)

(50)

при этом определители Нтк (т7к = 1,2, ...,10) формул (45)—(50) находятся следующим образом:

Нтк — Нтк 1 + ДтгЬ,2 + Нтк, 3 + ХХХ+ Нтк,10, (51)

определители Нткт(х 1) получаются из определителя Доо из (34) заменой т-го столбца на столбец ()5 "'к^о.кО1^); ш\В'10 к(х1)\...; и^Л^о^ад))* , определители Нткр (т. к,р = 1,2, ...,10; р 3= т) получаются из определителя Д00 из (34) заменой га-го столбца на столбец (1; ги^; ...; IV®)* , и заменой р-го столбца на столбец В10,т(х1^ »тВ!о,т(Х1)5 (Х1) - ■ ■ 1 ■

§ 3. Изучение граничных условий (4). Подставляя в первые девять из граничных условий (4) формулы (9), (10), получаем

у{™р)(0, з) 1=' 0 (р = 1,2,..., 9) оо £ С1к>

(4)

ю

У&Ч м

(аз)тр

к=1

= 0, р = 1,2,... ,9.

(52)

Из последнего из граничных условий (4) с применением формул (17), (18), (24) находим

А! Д2 Аю УЙ'О'КД)_

,ЭС А20(з) а 0 (Ьз)п 1 + А20(з) + Д20(з) (Ьз)111

Подставляя в это уравнение формулы (29)-(33), получаем

ю (щЪ ч ю (щЪ ч

*:=1 >0/

Ю (То1), ч

К)/ Ч (4) п У2к Л^3) п

у\ >(тг,з) = 0оо^С2к =0оо

,(«0/

£=1

„(п0/__Ч 10

ю (Щ), V 10

С^Аю^ — = 0 °° > , С1кЪтк = О,

к=1

¿=1

¿ю,* = А-^Й^Г1 + + х-' Дюк = 1,2,..., 10.

(Ъз)

(Ъв)

п 1

(И

"1

(53)

(54)

Система (52)-(54) представляет собой однородную систему из десяти линейных уравнений с десятью неизвестными Си, С12, - ■ -, С110. Из метода Крамера следует, что такая система имеет ненулевые решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Поэтому справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)—(5) имеет следующий вид:

№ = У{п11)( 0,8) (аз)т1 уЙг2)(о,5) (шО™2 у^(о^) (аз)™1 у&^о,-) (шО™2 уЙ°(М (аз)"1* (аз)7"* о,-) (аз)"1* (аз)™*

»М о,-) о,-)

(аз)т° (аз)тэ (аз)"»

¿10,1 ¿10,2 ¿10,9 ¿10,10

= 0,

(55)

где элементы Ь10к (к = 1,2,...,10) определены формулой (54).

Из формул (9)—(12) следует, что

(аз)тР = Юк

к = 1, 2,..., 10, р = 1,2,... ,9, а из формул (13)—(15) следует, что =

АТо1 (0) = (пс зависит от к), поэтому из первой строчки определителя

1 +

«

f(s) из (55) вынесем множитель

несем множитель

1 +

¿Го»

1 +

—шз-

+ 0(4г) 3= 0, из второй строчки вы-

+ 0(~тт) 3= 0, из девятой строчки вынесем множитель

1 +

А?0Рi(0)

ющсм виде:

+ ï 0, в результате чего уравнение (55) можно переписать в следу-

т =

wTl wT . - wmi

w™2 . w™2 wm2 Ш10

w10

Wo,l ¿10,2 ■ ¿10,9 ¿10,10

= 0.

(56)

Раскладывая определитель f(s) из (56) по последней строчке, имеем К3) = С 1)}6ю,1^ю,1 ^0,2^10,2 + Ью,зАо,з ¿10,9^10,9 ¿>10,10^10,101 = (57)

где ъ (А' = 1,2,.. ., 10) - алгебраические миноры к элементам (к = 1,2,..., 10), которые находятся по формуле (54). Для определителя Дщю имеем

w711 »г .

•^10,10 — wГ «s* . . K2 (fi)

wГ «5* ■ . «c

zm' ^Smi

z™2 32to2 28î7J2

2m3 32»u3 -,8m3

•^rag 7me 22ТОЭ

= detWand/s(zmV"V..,zm9) = Д (zmk zm") = D0 Э= 0.

k>p: к, p=l,2.....3

Для определителя DW1 с помощью свойств определителя выводим:

(58)

Ao,i = 1/J1™2

1l!m° Ш10

(6)

zm i T8mi

Z™2 z2™2 . z8m2 29m2

z1™3 ^2ms т8тз

-,2î7ïy Т8т9 2 9m0

(58)

zmizm2(... ) z'"9Dq = zMWо a 0; M =

k= 1

(59)

(60)

Аналогичным способом находим

D 10,2 = z2^IoD0] DW3 = 23j1/dÎ)0; ... ; .Dio,fe = 2^M9Dq, i; = 1, 2,..., 10;... ; Dio,g = z9MeA>; I>io,io = z10M*D0.

Подставляя формулы (58)-(60) в уравнение (57), получаем

f(s) = Ьюл2мЮ0 bWt2z2M°D0 + bWj32?M»D0 xxx+ b10,9z9MW0 bWtWz10M»D0 = 0, откуда, поделив на zM°D0 3= 0, имеем

f(s) = bw, 1 ¿io,2^M9 + ¿io,3^2Mq >00<+ bw,9z8M° bw,iaz9M» = 0. (61)

Применяя формулы (54), перепишем (61) в виде

^ ' к=1 4 У 10 (щ), ч 10 (111)/ ч

I _8Мв д У2к ПУ^ ,9МЭ V Л _ п

А.(Ьз)«, 2 Ъ-и'

откуда, перегруппировывая слагаемые, получаем

,(ш)/ ч ю „(»О / ч ю

(Ъз)

(И"1 ^ (М"1

£=1

(тц)/ ч 10

(62)

к= 1

причем среди определителей (т, к = 1,2, ...,10) в силу формул (37)—(51) основными по росту 5 являются определители Дп.„ (та = 1,2,..., 10).

Используя формулы (17), (18) и (37)-(51), уравнение (62) можно выписать более подробно

/(в) = /1(5) + /2(з) + Мз) = О, (63)

ЭЩ

/г(з) = ш^е*™1™

) ^а-шгвх!^-Ыьчзх!

(

Лд(тг) , Яп

1 +

+ 0 —

^М^вщгжЕ! &м>1

59 Л00510 —^а11

л О Я12 / 1

Доо^

ю —V С11

+

,, 2Л/у ^ашз вхг^-Ьипях!

0+4 + ^ + 01^

Ш] 4

^ Д00510

(64)

*

) еши1яа;1 Ьшажк!

О Я21 / 1

1+ЛцМ + Нщ_ (1

,, 2Л/у ^ашз ет 1 ^—ят 1

Д00510 -V*11

0+4 + ^ + 01 Чт

+

/3(з) = ^1еЬшзтг

Ш] 4

^ Д00510

(65)

О Я31 / 1

— I си

^Мо еаи123Х1 38X1

" О Н32 / 1

0 + ^ +

10 1 —I е11

+

^ т

Мз) =

• В, до(тг) Д^доС7Г) / 1

={

I еаИ)1«Е1е-6Ш10ЖЕ1

+

0+4+ Я1°

Аоой

10 1 —I „11

-\-22Мэ еа™зВХ1 е~Ьи}1°ВХ1

г8М9 ^шиввц е-Ьи,ю*11

Аоо5

0 + 4+ Я10'9

ю 1 —\ „11

+

Х>0<+

Аоо«

10 1 —I „11

+ о

^а-ш^оях], (»шюязс!

^ + ^ЭДо(^) #10.10 | -

Ада*10

й]

(66)

Уравнение (63), перегруппировывая слагаемые в порядка их роста по переменной з , можно записать в виде:

г/ч г (ч , /э(з) , /ю(я) /(в) = /„(в) + — +

(67)

причем основным приближением уравнений (63) и (67) является

/о(в) = ^¿И^-^еЧ»-»!)»!- 1 ^Л+Э е«И'2 1 е6 (тг - Т !) Ш2 £

+IV™ 1 2'9 еашз1 а-1 щт11^9ЛГвеаичояа:1еЬ(1Г—1ая)и>юв _ д

Последнее соотношение в обозначениях А = ах 1 , Я = 6{7Г хг) принимает вид /о(з) = 1и™1еЛи,1веВ101в 1 3е3 + 1^122М9еАшз"еЯшз" . . .

и)^г9МаеА™10,1еВт10* = 0.

(68)

(69)

Для нахождения корней уравнения (67)—(69) необходимо изучить индикаторную диаграмму (см. [20, гл. 12]), то есть выпуклую оболочку множества показателей экспонент, входящих в это утверждение. Следовательно, индикаторная диаграмма (см. [20, гл. 12]) уравнений (63)-(66), (67) и (68), (69) имеет следующий вид:

1 Т ? (70)

При этом на отрезке + (А + (¿ = 1,2,..., 10) (эти точки являются

показателями экспонент, входящих в основное приближение /0(.5-) = 0 из (69)) находятся также точки Ать + Вюк+1 и Аи}к+1 + Вюк (к = 1,2,..., 10) , которые являются показателями экспонент, находящихся в уравнении (63)-(68) при 4т и при .

Из [20, гл. 12] следует, что корни уравнения (63)-(68) находятся в секторах бесконечно малого раствора, биссектриса которых является серединным перпендикуляром к отрезкам [(Л + В)ъик; (А + В)шк+1] (к = 1,2,..., 10).

t

§ 4. Асимптотика собственных значений в секторе 1). Из вида индикаторной диаграммы следует, что для нахождения корней уравнения (63)-(68) в секторе 1) надо отбросить бесконечно малые величины и оставить только экспоненты с показателями {А + В)и>1, (А + В)ш2 , Аъи^ + Ви)2 и Ат2 + Вт1 . Поэтому справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(5) в секторе индикаторной диаграммы (70) имеет следующий вид:

gi(s) = w^eAwiSeBwiS

,,«1 ^Mg^Aw2SeBw2S

1 +

i?9,l(7r) , ^Го1,

+

= 1D

^ =9 ^ Л„„вЮ =11

1 в9.2(тг) В^Г) /1

+w"le

Т11 Amis „Вшч в

1 +

1 +

B9

s

Bs, I(jt)

s11

' —

Ados10

Aqos10 ' ^(s1

Aqqs

S9 \s10J

0+U

Доо»10

Ш

+ = 0.

Поделив в уравнении (71) на ги"1е/1ш28еВш23 3= 0, приведем его к виду

_£?1 В2

ло 1 — \

(1 х\ inni 2 Mg

П1 ^

йз R& ( 1

(71)

+

Лю*10

•ш.

"1

IV

"1

ц (А+В) (ил—412)$ ^Мд В{т»1-ща)л

т

+ 0^=0.

(72)

«1 (6) П1 п1 (6) -1 то?1 л,

при этом ги2 = г 1, ги/ = 1, -бу- = 2 1

Ш1

Иг = А 1(2:1) + Во;2(тт), Д2 = ^д(тг) +

00

Дз = Л,2(2:1) + в9>2(тг), Д4 = В^Тг) +

Упорядочивая в уравнении (72), (73) величины по росту я, получаем

д1(з) = [е(-А+в^12П12Мо] + +^ [й1е(А+в)(™1-Ш2> Яз^"1 2Мэ] +

о5 V5 /

А005

Основное приближение уравнения (74) имеет вид

_ , 27гг 27гг , , 27гг&

= 2тк + — П1 + — М9 оо ,м>оск = {А + Щю1 ша),

(73)

(74)

Поэтому справедливо следующее утверждение (см. [1, 2, 4]).

Теорема 6. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)—(5) в секторе 1) индикаторной диаграммы (70) имеет следующий вид:

2т

Зк, 1 =

(А + В)(т 1 т2)

к + —Н—+Ш "утт

¿9

к10

А;11

, /с /М.

(75)

Для доказательства теоремы 6 необходимо показать, что коэффициенты <¿»¿,1 и ^10,^,1 асимптотического разложения (75) находятся в явном виде. Из формул Маклорена выводим

(75)

= ехр = ехр

(А + В)(т1 т2)

2тк + 2т(^^ + ... \ к9

(А + В)Ц гу2) V к9 к10 \ки//_

1 , М п, м- Г1 | 27гг^9^,1 | 2^10^,1 | 1 ^

2тгг

= 2П12Щ

к9

А10

1 , (75) (А + В)т{ш1 ю2)т 1

1+Ок-

(~к10)_

2тжтгт ¿"г

Подставляя формулы (76), (77) в уравнение (74), получаем

1

, т = 9, т = 10.

(77)

2;П13Мв

к9

к10 -ип

297г9г9

1 + 0[Х к10

П1 ~Мо1

(А + В)10(г1л 1

ю

210тг10г10

кло

О

1 + 0

+

1 (А + Ву°(т1 т2у° 1

1 + 0

/ 1 Л

+ о =0

Д00 2107г10г10 к9

при этом на гП1гМв 3= 0 можно поделить.

При к° в уравнении (78) имеем гП1гМа 2П1гм° =0. Приравнивая в (78) коэффициенты при + , имеем

«12м»

Н г711 гМя2~м° ел(т

_ 1 (А + ВПш, щ,)»

2тгг 29тт9г9

Используя формулы (73), (11) и (19), находим

Д3=[А,дЫ А^Ы] + [Б9д(тг) Б9,2(ТГ)] =

I

1 ГХ1 1 Г"

(^1 ш2) I 77^(^1 ^г) / 92

Jx1

10а9 1 "Уо 10£>9

Подставляя формулу (80) в (79), выводим

10 х2107г10г10 Используя формулы (6), получаем

1 Г1 1 Г

2тгг ттг г _7гг 7гг, тгг , . , / 7Г *

ги2 = 1 е ю = е ю [е ю е ю ] = е ю ( 2г) зш ( — );

43

(-1 = 1) 2 1 ш - = ( 1) 2 г 8ш -

ю

10

Подставляя (82) в формулу (81), находим

-V* = (- (Й) )10 [Ь Г +Ь £

10

, к / N.

+

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

Формула (83) показывает, что коэффициенты (¿э,к,1 асимптотического разложения (75) находятся единственным образом, и приведена явная формула для их вычисления.

Приравнивая в (78) коэффициенты при -фо , находим

(A + В )10(w! W2)10

d10,k,1 \10Л„ Л10

2пг210п10г10

[R2 R4]

дЬ(A + Bw [H2'Z-M>^Ik.,.» H.2Z-«.e*(--»2)"|M„J. (84)

R2 R4 = га» вв»] +

H11 H22

д

(85)

00

Из формул (20)-(22) имеем В^Лп) = B'tUn) = B^(П = (9-2ni)q0W-9q2(n) (не

зависит от k, k = 1, 2,... , 10 ), поэтому

ВГо'дМ ВПО'» = 0. Из формул (39), (40) и (43), (44)

(86)

10

10

10

H1k = ^^ H1km ^^ H2km = [H1k1 H2k2] + [H1k2 H2k1] + ^^ [H1km H2km], (87) m=1 m=1 m=3

k = 1, 2,..., 10.

Определители H1km и H2km (m = 3, 4,..., 10) находятся по следующим формулам

1 1 1 .. .1 B00,m(x1) 1 . . 1 ||

H1km = Wk Wfc CM CM CM WW W3 . . W2 .. . Wm-1 . Wm2 - 1 WmB!0,m(x1) Wm B20,m(x1) Wm+1 . Wm+1 . . W10 . w20

9 Wfc 9 W9 w9 •• . W9 . Wm-1 W<m B90,m(x1) W9 . . Wm+1 . 9| . w90

1 1 1 .. .1 B00,m(x1) 1 . . 1 ||

H2km = W1 W12 Wk Wi W3 . . w2 .. . Wm-1 . wm -1 WmBl0,m(x1) Wm B20,m(x1) Wm+1 . wm+1 . . W10 . w20

9 W19 9 Wfc 9 w9 .. . W9 . Wm-1 Wm B90,m(x1) W9 . . Wm+1 . 9| . w90

(88)

(89)

Формулы (88), (89) показывают, что

Hum = H22m при m = 3, 4, .

Поэтому из формул (87) и (90) имеем

H11 H22 = [Hm 11 ... 1

H

111

А?0дЫ

W1 A101(x1) W2 W3 .. w2A210a(X1) w2 w2 ..

W9A?0,1(X1) w| W9

W10

W

10

9

W10

10.

H222] + [H112 H221], | 1 B0

H

112

B00,1(x1)

W1 W2 B^0 1(X1) W3 ..

W2

WiBl20,1(x1) W

w9 w9B90,1(x1) w9

W10

W

10

9

WH)

(90)

(91)

(92)

1

1

2

2

Н-221 —

1 1 .. 1

ио2 ю3 . . - ™10

■2 2 2

ш2 Щ ■ ■ ■ <0

д 9 д

ш2 Щ ■ ■ ■ ™1о

Н222 —

1 1 . . 1

ъи3 . ■ Ыю

■ ™10

д «Мод 0е!) 9 Щ - д ■ Що

■ (93)

Раскладывая определитель Яш из (92) по первому столбцу, воспользуемся формулами (35), получаем

Ни 1 —

мю г а о

10

00 90

«М од(х1)( V)] = 1Ы (15) л

Ю ю 20а10'

п=0

(94)

Раскладывая определитель Н222 из (93) по второму столбцу, находим, используя формулу (35) теоремы 3

Н222 —

100 I

10

00 90

п=О

10 20а10

//

111-

(95)

Аналогичным образом выводим

Ян, (32И35) 4? ¿( цр-1-мь<«о< ч-Ч- = ^ £ ® (86)

10

п=1 9

л=1

10 20£>10:

10

П = 1

П = 1

(98)

Из формул (91)-(97) следует, что

Нц Н22 = 0, поэтому из формул (85) и (86) имеем

Я2 Д4 = 0, (99)

значит, формула (84) с применением формул (98), (99) принимает следующий вид:

2л^Лоо-210тг10( 1)«-[Яи* 6 Нг22 С ]У'осн'

(100)

к /м.

Из формул (39), (40) и (43), (44) имеем

10

10

#12 — #12,1 + #12,2 + #12,™; #21 — #21,1 + #22,2 + ^^ #21,га)

(101)

га=3

™=з

при этом определители #12,«, #21,п (п = 1; п = 2) находятся по следующим формулам:

#12,1 =

¿10,2 1 1 Ю2А{02(Х1) Ы2 гиг

™2А10,2(^1) ™2

#21,1 =

В?0,2 Ы 1 1 ^2^10,2(^1) ^2 ™3

ии

10

ии

10

™10

IV

10

10

1 В°102(Х1) 1 .

т2 Ю2В{02(Х1) к;3 .

; #12,2 = 1) .

™2 ™2В10,2(Х1) ■

1 1 .

т2 т2А\^2{х1) тз .

#21,2 = Ю%А2102(Х1) .

Шп

2 ™2^10,а(®0 Щ ■

™10

10

10

ЫПо

(102)

ю

ю

(103)

.., 10) равны нулю, так как у них первый и второй

определители Н12 т (т. = 3,4, столбцы совпадают и равны (1; т2] ..., и>2)* .

Таким образом, формула (101) принимает следующий вид:

#12 = #12,1 + #12,2; #21 = #21,1 + #21,2-

(104)

Определители #12,п, #21,« (п = 1; п = 2) находятся по формулам (102) и (103). Из формул (102)—(104) и (35), раскладывая определители #12,1, #21,1 п° первому столбцу, а определители #12,2 и #21,2 по второму столбцу, находим

#12,1 = ^Ко^Ж!) х1 ш2А\02(х1)( т^+ш^А^х^ш^) >00^ +«ф4*02(х1)(ги1-8) ш92А102(хг)( V)! = +91^0,2(^1) +91^10,2(^1) +

. 8 „8 / ч . 9 Л9 ( 41 (6) (6) а™

+91^10,2(^1) +91^10,2(^1)]; 91 = — = ^2 = е ш ; #21,2 = А°10>2(Х1)( 1)+Ш1Л]0Д(Ж1)«;21 ^^0>1(Х1)( и]22) + ххх

(105)

+92Ло1(11) + 92Ао 1(^1)]; 92 =— = ц}10 = и}2 — е ю = т2 =

и}2

#^^=^¿^#^,2(^1); 42 = ™2 =СОБ | гвтГ^);

т=0 ^ ' ^ '

^^¿«Г^йдЫ; 91 =^2 =со5 С^) +г8ш

171=0 ^ ' ^ '

(6) _1 2 т I

«МадЫС V) +^?одЫК~9)] = -^№,1^1)+ ^0,1^1)+ ^10,1(^1) +

(106)

(107)

(108)

Применяя формулы (12), из (105) получаем

#12,2 = ^¿Л^Ы 9^(0)] Л + w2[7qi(Xl) 9^(0)] 9qi(0)] + >оо<+

W2[ öq^Xi) 9^(0)]7gi(x!) 991(0)]+Ш|[ 9^) 9^(0)]} =

100

1

10 20a10

(6)

(109)

W2 = 1 + w2 + wf + >oo<+ + w2 + w2 = 1 + W2 + W3 + W4 + >00<+ W8 + tfg + ww = 0; (110)

ф2 = [10 (2m 1)]™™ = e^m[10 (2m + 1)]

m=D

m=0

[10 (2m+ 1)] cosi^m) + i sin f^m) m=0 L \ / \ /

= B2 + iV2-

(Hl)

9 /2 \ 9 /2 \

й2 = Y^ [i° (2m +1)]cos (—m); = 110 (2m + sin (~m) ■

m=0 ^ ' m=0 ^ '

Аналогичным образом из формул (106)—(108) и (109)—(111) выводятся следующие формулы:

(106) Доо gi(xi) (109) —(111) D

Яз1'2 - ~lÖ2Öä^[R2 ibJ " Hl2X> „ (108) Aoo 92(3:1) rp л/ь

21,1 = 1П on,,0 [R2 + l\2l

10 20i>10 (107) Д00 52(xi)

H =

12,2 10 20b10

Введем следующие обозначения:

R2 ,

R2 + iV2 =

+

л/щ + vi л/щ+w

r2

(fio = arccos

[r2 iV2] = h21 д.

i = cos(^io) + isin(<pw) =

(112) (113)

= arcsm

VW+W

(114)

.у/Щ+Щ.

Тогда в формуле (100) с учетом (112)—(114) имеем

\H2iz~M°eA(Wl~W2^s Н i2z~ni eB<>Wl~W2^s]\

' Siü,ltOCH

= 1(Н21Д + H2h2)z-M°eÄ(-Wl-w^s (H12,1 + H12,2)^nieB{wi-W2)s] __

2тг ik

~ (A+B)(W1-W2)

Д00 1

10 20

92(11)^ , gi(^i) ,

iio

¿10

+

¿v 10 +

■IV10

,10

z~Mg eA(wi-W2)sklt0

¿10

1 ,OCH l

J 1

(115)

Перегруппируем в (115) слагаемые, учтем, что 1>осн (= (Л+В2^_ша) , получим

! I

>■■■ I 1 -

92(^1) ¿10

^П^т) -ММв -"и, А+в -ягк

а

10

92(^1) -^тм -Мм. AtB_.it

Ь10

"" (75)

Учтем, что к = + щ, А / N, преобразуем формулу (116) к следующему

виду:

}. . . I ! = 2»( 1)*

аю + ¿10

8Ш

А В

А + В

т к <р10 — М9 + —П1

Используя формулу (117), имеем из (115)

10

10

(117)

[Н21г

-Мд А{'Ш1—'Ш2)В

Н12*П1е

-П\ В('и)\-'и]2)й-\

^00

8 х25

}---|1 =

100

8 х25

(2г)( 1)*

аю + ¿10

8Ш

А В ~ 7Г 7Г

—тгА; Я1

Подставляя формулу (118) в формулу (100), выводим

=

87Г25тг10

10

91(^1) , Ч2{х\)

до

+

¿10

нш 9

(118)

А В ~ 7Г 7Г

Л + В** 10 + То711

& / М; А = ах\\ В = Ь(п ад); Лíg = ^ т*.; к = к +

к=1

Мд + П1 10

(119)

Формула (119) показывает, что коэффициенты ¿ю,к,1 асимптотического разложения (75) находятся единственным образом, тем самым теорема 6 доказана. Аналогичным образом доказывается следующее утверждение.

Теорема 7.1) Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)—(5) в секторах индикаторной диаграммы (70) имеет следующий вид:

(75) 2эг г 2тгг 4тгг

■4,2 = ^де 10 5 $к,з = 10 = зк1е

2ж I 2пг(т— 1)

Зк,т = %,т-1е 10 = зме ю , т = 1, 2, 3,..., 10.

2) При этом Хк,т = , к / N, т = 1,2,3,..., 10.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лидский В.В., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функциональный анализ и его приложения. 1967. Т. 1. № 2. С. 52-59.

2. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Математический сборник. 1968. Т. 65. № 4. С. 558-566.

3. Чернятин В.А. Асимптотики высшего порядка спектра оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 2. С. 206-215.

4. Садовничий В.А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Математический сборник. 1967. Т. 72. № 2. С. 293-310.

5. Ильин В.А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Математические заметки. 1977. Т. 22. № 5. С. 698-723.

6. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 22. № 12. С. 2059-2071.

7. Будаев В.Д. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций оператора второго порядка с разрывными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 6. С. 941-952.

8. Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 530-532.

9. Gottlieb H.P.W. Iso-spectral Operators: Some Model Examples with Discontinuous Coefficients // Journal of Math. Anal. and Appl. 1988. Vol. 132. P. 123-137.

10. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия математическая. 2000. Т. 64. № 4. С. 47-108.

11. Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского университета. Серия 1: математика, механика. 2009. № 3. С. 14-17.

12. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Математические заметки. 1999. Т. 66. № 6. С. 897-912.

13. Савчук А.М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с S -потенциалом // УМН. 2000. Т. 55. № 6 (336). С. 155-156.

14. Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 12. С. 1808-1811.

15. Митрохин С.И. Об асимптотике спектра краевой задачи для дифференциального оператора высокого порядка с суммируемым потенциалом // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2128-2137. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2128-2137.

16. Гуревич А.П., Хромов А.П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией // Математические заметки. 1994. Т. 56. № 1. С. 3-15.

17. Митрохин С.И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Доклады РАН. 1997. Т. 356. № 1. С. 13-15.

18. Мухтаров О.Ш., Кадакал М. Спектральные свойства одной задачи типа Штурма-Лиувилля с разрывным весом // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46. № 4.

С. 860-875.

19. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

20. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

21. Садовничий В.А., Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории регуляризо-ванных следов дифференциальных операторов // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 1. С. 109-116.

Поступила в редакцию 10 января 2018 г. Прошла рецензирование 12 февраля 2018 г. Принята в печать 20 февраля 2018 г.

Митрохин Сергей Иванович, Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник научно-исследовательского вычислительного центра, e-mail: [email protected]

Для цитирования: Митрохин С.И. Об изучении спектральных свойств дифференциальных операторов четного порядка с разрывной весовой функцией // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 121. С. 74-99. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-121-74-99

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-121-74-99

ABOUT THE STUDY OF SPECTRAL PROPERTIES OF DIFFERENTIAL OPERATORS OF EVEN ORDER WITH DISCONTINUOUS WEIGHT FUNCTION

S. I. Mitrokhin

Lomonosov Moscow State University 1 Leninskie Gory, Moscow 119991, Russian Federation E-mail: [email protected]

Abstract. The boundary value problem for a differential operator of high even order, whose coefficients are discontinuous functions at some interior point of the segment on which the operator is considered, is studied. At the point of discontinuity of the coefficients, certain conditions of «conjugation» that follow from the physical conditions are required. The boundary conditions of the considered boundary value problem are separated and depend on several parameters. Thus simultaneously the spectral properties of a family of differential operators are studied. The weight function of the operator is piecewise constant on the interval of the definition of the differential operator. For large values of the spectral parameter, the asymptotics of the solutions of the differential equations determining the operator under investigation is derived. Using this asymptotics, the conditions of «conjugation» are studied. The obtained formulas allow to investigate the boundary conditions of the considered boundary value problem. As a result, we have derived an equation for the eigenvalues of the studied operator. It is proved that the eigenvalues of the operator are the roots of some entire function. The indicator diagram of the equation for the eigenvalues of the operator is studied. It is proved that the spectrum of the operator is discrete. In different sectors of the indicator diagram, the asymptotics of the eigenvalues of the studied operator is found, depending on the parameters of the boundary conditions. The found formulas allow us to find the asymptotics of the eigenfunctions of the operator and to calculate the regularized traces of this operator. Keywords: differential operator; boundary value problem; spectral parameter; weight function; asymptotics of the eigenvalues; eigenfunctions

REFERENCES

1. Lidskiy V.V., Sadovnichiy V.A. Regulyarizovannye summy korney odnogo klassa tselykh funktsiy [Regularized sums of the roots of one class of entire functions]. Funktsional'nyy analiz i ego prilozheniya - Functional Analysis and Its Applications, 1967, vol. 1, no. 2, pp. 52-59. (In Russian).

2. Lidskiy V.B., Sadovnichiy V.A. Asimptoticheskie formuly dlya korney odnogo klassa tselykh funktsiy [Asymptotic formulas for the roots of one class of entire functions]. Matematicheskiy sbornik - Sbornik: Mathematics, 1968, vol. 65, no. 4, pp. 558-566. (In Russian).

3. Chernyatin V.A. Asimptotiki vysshego poryadka spektra operatora Shturma-Liuvillya [The asymptotics of the higher order of the spectrum of Sturm-Liouville operator]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2002, vol. 38, no. 2, pp. 206-215. (In Russian).

4. Sadovnichiy V.A. O sledakh obyknovennykh differentsial'nykh operatorov vysshikh poryadkov [About traces of ordinary differential operators of higher orders]. Matematicheskiy sbornik - Sbornik: Mathematics, 1967, vol. 72, no. 2, pp. 293-310. (In Russian).

5. Ilin V.A. O skhodimosti razlozheniy po sobstvennym funktsiyam v tochkakh razryva koeffitsientov differentsial'nogo operatora [About the convergence of expansions for eigenfunction at points of discontinuity of coefficients of the differential operator]. Matematicheskie zametki -Mathematical Notes, 1977, vol. 22, no. 5, pp. 698-723. (In Russian).

6. Ilin V.A. Neobkhodimye i dostatochnye usloviya bazisnosti Rissa kornevykh vektorov razryvnykh operatorov vtorogo poryadka [Necessary and sufficient conditions for the Riesz basis property of the eigenvectors for discontinuous operators of the second order]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 1980, vol. 22, no. 12, pp. 2059-2071. (In Russian).

7. Budaev V.D. O bezuslovnoy bazisnosti na zamknutom intervale sistem sobstvennykh i prisoedinennykh funktsiy operatora vtorogo poryadka s razryvnymi koeffitsientami [About an unconditional basis property on the closed interval systems of eigen and adjoint functions for second order operator with discontinuous coefficients]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 1987, vol. 23, no. 6, pp. 941-952. (In Russian).

8. Mitrokhin S.I. O spektral'nykh svoystvakh differentsial'nykh operatorov s razryvnymi koeffitsientami [Spectral properties of differential operators with discontinuous coefficients]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 1992, vol. 28, no. 3, pp. 530-532. (In Russian).

9. Gottlieb H.P.W. Iso-spectral Operators: Some Model Examples with Discontinuous Coefficients. Journal of Math. Anal. and Appl., 1988, vol. 132, pp. 123-137.

10. Vinokurov V.A., Sadovnichiy V.A. Asimptotika lyubogo poryadka sobstvennykh znacheniy i sobstvennykh funktsiy kraevoy zadachi Shturma-Liuvillya na otrezke s summiruemym potentsialom [Asymptotics of any order for the eigenvalues and eigenfunctions of the Sturm-Liouville boundary value problem on a segment with a summable potential]. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Seriya matematicheskaya - Izvestiya: Mathematics, 2000, vol. 64, no. 4, pp. 47-108. (In Russian).

11. Mitrokhin S.I. Asimptotika sobstvennykh znacheniy differentsial'nogo operatora chetvertogo poryadka s summiruemymi koeffitsientami [The asymptotics of the eigenvalues of a fourth order differential operator with summable coefficients]. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1: matematika, mekhanika - Moscow State University Bulletin. Series 1. Mathematics. Mechanics, 2009, no. 3, pp. 14-17. (In Russian).

12. Savchuk A.M., Shkalikov A.A. Operatory Shturma-Liuvillya s singulyarnymi potentsialami [Sturm-Liouville operators with singular potentials]. Matematicheskie zametki - Mathematical Notes, 1999, vol. 66, no. 6, pp. 897-912. (In Russian).

13. Savchuk A.M. Regulyarizovannyy sled pervogo poryadka operatora Shturma-Liuvillya s ó -potentsialom [Regularized trace of the first order for Sturm-Liouville operator with deltapotential]. Uspekhi matematicheskikh nauk - Russian Mathematical Surveys, 2000, vol. 55, no. 6 (336), pp. 155-156. (In Russian).

14. Mitrokhin S.I. O spektral'nykh svoystvakh differentsial'nykh operatorov nechetnogo poryadka s summiruemym potentsialom [On the spectral properties of odd-order differential operators with integrable potential]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2011, vol. 47, no. 12, pp. 1808-1811. (In Russian).

15. Mitrokhin S.I. Ob asimptotike spektra kraevoy zadachi dlya differentsial'nogo operatora vysokogo poryadka s summiruemym potentsialom [About research of the asymptotic behavior of the spectrum of a boundary value problem for the differential operator of a high order with a summable potential]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki

- Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, vol. 21, no. 6, pp. 2128-2137. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2128-2137. (In Russian).

16. Gurevich A.P., Khromov A.P. Operatory differentsirovaniya pervogo i vtorogo poryadkov so znakoperemennoy vesovoy funktsiey [Operators of differentiation of the first and second orders with sign-variable weight function]. Matematicheskie zametki - Mathematical Notes, 1994, vol. 56, no. 1, pp. 3-15. (In Russian).

17. Mitrokhin S.I. O nekotorykh spektral'nykh svoystvakh differentsial'nykh operatorov vtorogo poryadka s razryvnoy vesovoy funktsiey [About some spectral properties of differential operators of the second order with discontinuous weight function]. Doklady Akademii nauk - Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 1997, vol. 356, no. 1, pp. 13-15. (In Russian).

18. Mukhtarov O.Sh., Kadakal M. Spektral'nye svoystva odnoy zadachi tipa Shturma-Liuvillya s razryvnym vesom [Spectral properties of one problem of Sturm-Liouville type with discontinuous weight]. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal - Siberian Mathematical Journal, 2005, vol. 46, no. 4, pp. 860-875. (In Russian).

19. Naymark M.A. Lineynye differentsial'nye operatory [Linear Differential Operators]. Moscow, Nauka Publ., 1969, 528 p. (In Russian).

20. Bellman R., Kuk K.L. Differentsial'no-raznostnye uravneniya [Differential-Difference Equations]. Moscow, Mir Publ., 1967, 548 p. (In Russian).

21. Sadovnichiy V.A., Lyubishkin V.A. O nekotorykh novykh rezul'tatakh teorii regulyarizo-vannykh sledov differentsial'nykh operatorov [About some new results in the theory of regularized traces of differential operators]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 1982, vol. 18, no. 1, pp. 109-116. (In Russian).

Received 10 January 2018 Reviewed 12 February 2018 Accepted for press 20 February 2018

Mitrokhin Sergey Ivanovich, Lomonosov Moscow State University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher of the Research Computing Center, e-mail: [email protected]

For citation: Mitrokhin S.I. Ob izuchenii spektral'nyh svoystv differentsial'nyh operatorov chetnogo poryadka s razryvnoy vesovoy funktsiey [About the study of spectral properties of differential operators of even order with discontinuous weight function]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 121, pp. 74-99. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-121-74-99 (In Russian, Abstr. in Engl.).