Периодическая краевая задача для дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 4, С. 35-49

УДК 517.9

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

С. И. Митрохин

Работа посвящена изучению дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым потенциалом и периодическими граничными условиями. Метод изучения операторов с суммируемым потенциалом является развитием метода изучения операторов с кусочно-гладкими коэффициентами. Краевые задачи такого рода возникают при изучении колебаний балок и мостов, склеенных из материалов различной плотности. Решение дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор, сведено к решению интегрального уравнения Вольтерры. Интегральное уравнение решается методом последовательных приближений Пикара.

Целью исследования интегрального уравнения является получение асимптотических формул и оценок для решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. Вопросы геофизики, квантовой механики, кинетики, газодинамики и теории колебаний стержней, балок и мембран требуют развития асимптотических методов на случай негладких коэффициентов дифференциальных уравнений. Асимптотические методы продолжают развиваться, несмотря на бурное развитие численных методов, связанное с появлением мощных суперкомпьютеров, в настоящее время асимптотические и численные методы дополняют друг друга.

В статье при больших значениях спектрального параметра получена асимптотика решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. Асимптотические оценки решений устанавливаются аналогично асимптотическим оценкам решений дифференциального оператора второго порядка с гладкими коэффициентами. Изучение периодических граничных условий приводит к изучению корней функции, представленной в виде определителя четвёртого порядка. Для получения корней этой функции изучена индикаторная диаграмма. Корни этого уравнения находятся в четырех секторах бесконечно малого раствора, определяемых индикаторной диаграммой. В статье исследовано поведение корней этого уравнения в каждом из секторов индикаторной диаграммы. Найдена асимптотика собственных значений изучаемого дифференциального оператора. Полученные формулы для асимптотики собственных значений позволяют изучить спектральные свойства собственных функций исследуемого дифференциального оператора. Если потенциал оператора будет не суммируемой функцией, а только кусочно гладкой, то полученных формул для асимптотики собственных значений достаточно для вывода формулы первого регуляризованного следа изучаемого дифференциального оператора.

Ключевые слова: дифференциальный оператор четвертого порядка, суммируемый потенциал, периодические граничные условия, спектральный параметр, асимптотика решений, асимптотика соб-

Лгптэ A IT IT |_ Г V ОТТОТЮХЛЛЧЛ"

1. Постановка задачи. Изучим спектральные свойства краевой задачи для дифференциального оператора четвертого порядка, задаваемого дифференциальным уравнением вида

y(4)(x) + q(x)y(x) = Aa4y(x), 0 ^ x ^ п, a > 0, (1)

с периодическими граничными условиями

2/(0) = у{ тг), 2/(0) = гДтг), у"(0) = 2Дтг), г/<3> (0) = j/3)(тг). (2)

© 2017 Митрохин С. И.

В дифференциальном уравнении (1) число А £ С — спектральный параметр, функция р(х) = а4 > 0 — весовая функция, функция д(х) — потенциал. Мы предполагаем, что потенциал д(х) является суммируемой функцией на отрезке [0; п]:

почти для всех х из отрезка [0; п].

2. Исторический обзор. Сначала спектральные свойства обыкновенных дифференциальных операторов изучались в том случае, когда коэффициенты дифференциальных уравнений, задающих эти операторы, были достаточно гладкими функциями. В работе [1] были получены асимптотические формулы для корней квазиполиномов, которые получаются при изучении операторов высших порядков с регулярными граничными условиями с гладкими коэффициентами. В работе [2] вычислены регуляризованные следы такого рода операторов. В работе [6] вычислены следы обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков с достаточно гладкими коэффициентами.

В работах [3] и [4] автор успешно понизил гладкость коэффициентов дифференциальных операторов и изучил операторы с кусочно-гладкими коэффициентами. В работе [5] изучен дифференциальный оператор, у которого не только потенциал является кусочно-непрерывной функцией, но и весовая функция также была кусочно-гладкой.

Резкий прогресс в изучении дифференциальных операторов был сделан совсем недавно, когда в работах [7] и [8] был изучен оператор второго порядка с суммируемым потенциалом, были вычислены асимптотики произвольного порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма — Лиувилля на отрезке. Методика работ [7, 8] для изучения спектральных свойств операторов с суммируемыми коэффициентами не переносится на операторы более высоких порядков.

В работах [9, 10] автором разработана новая методика для изучения дифференциальных операторов с суммируемыми коэффициентами. В работе [9] был изучен оператор четвертого порядка, у которого не только потенциал, но и коэффициент при первой производной были интегрируемыми на отрезке функциями. В работе [10] рассматривался оператор шестого порядка с запаздывающим аргументом, потенциал оператора являлся суммируемой функцией на отрезке, граничные условия разделенные, была вычислена асимптотика собственных значений и собственных функций. Необходимо отметить, что с возрастанием порядка дифференциальных уравнений, задающих операторы, сложность выкладок возрастает многократно.

В работе [11] удалось изучить дифференциальный оператор произвольного нечетного порядка со стандартными фиксированными разделенными граничными условиями. В работе [12] изучены спектральные свойства целого семейства дифференциальных операторов высокого четного порядка с разделенными граничными условиями.

Периодические граничные условия, которые мы будем изучать в настоящей работе, являются неразделенными. Для дифференциальных операторов порядка выше второго неразделенные граничные условия (с целью отыскания асимптотики собственных значений) ранее фактически не изучались.

3. Асимптотика решений дифференциального уравнения (1) при больших значениях спектрального параметра А. Введем следующие обозначения: А л'. 5= л/А, при этом для корректности дальнейших выкладок зафиксируем ту ветвь арифметического корня, для которой \[\ = +1. Пусть Юк (к = 1,2,3,4) — различные корни

(3)

четвертой степени из единицы:

ь4 = 1, шк = (к = 1,2,3,4); «л = 1, ш2 = е^ = г = г ф О,

4-7гг 4

юз = е 4 = г2 = —1, г«4 = г3 = —г.

(4)

Числа (к = 1, 2, 3,4) из (4) делят единичную окружность на четыре равные части, при этом справедливы следующие соотношения:

44

= 0, Р = 1,2,3; =4, Р = 0, Р = 4. (5)

к=1 к=1

Методом вариации постоянных устанавливается следующее утверждение.

Теорема 1. Решение у(х,в) дифференциального уравнения (1) является решением

интегрального уравнения Вольтерры

4 1 4

у(х,з) = - ^з ^кеа™кЗХук(х,з), (6)

к=1 к=1

х

Ук(х,з) = ! д(1)е-аШкsíу(1,з) (И, к = 1,2,3,4. (7)

о

< Проверить справедливость формул (6), (7) можно непосредственным дифферен-

(3)

отрезке [0; п] справедлива следующая формула:

(х ч /

I з)сИ) = д(х)е~а^аху(х, з).

ох

Поэтому из формул (6), (7) имеем

14

у^т\х,з) = ^2ск(аюк8)теа^х - ^ юк(аюк8)теа^х<рк(х, з)

к=1 а в к=1 (8)

фт(х, в), т = 1,2,3,

4а3

,3

фт(х, в) = ^ шк(а™кв)т-1ваШкзхд(х)е-а'шк8ху(х, в) = 0, т = 1,2,3,

к=1

в силу соотношений (5) и свойства суммируемости (3).

Продифференцируем у(3) (х, в) го (8) еще раз по переменной х, подставим получившееся выражение и (6), (7) в дифференциальное уравнение (1), увидим, что у(4)(х,в) + д(х)у(х,з) — А а4 у(х,в) = 0 почти для в сех х го отрез ка [0; п], т. е. убедимся в том, что у(х, в) го (6), (7) действительно является решением уравнения (1). >

Асимптотику решений интегрального уравнения (6) найдем методом последовательных приближений Пикара: найдем у(Ь, в) го уравнения (6), подставим у(Ь,в) в уравнение (6), получим

y(x,s) = ¿Cfce™ - ^з f q(t)e

k=l k=l n

э —awk st

4 1 4 t 1

E c^aWkSt - E w^aWkSt / ^y~awksxy{^ s) ^ dt. (9) k=l k=l n J

Произведя в (9) необходимые преобразования, находим

у(х, s) = Е Cfee°«*sa: - ^ Е Cfe^fe^, s) + Яб(Ж' k=l k=l

16a6s6

(10)

4 x

^3k(x,s) = E Wneawnsx f q(t)ea(wk-Wn)stdtakn, к = 1,2,3,4,

n=l n

(11)

4 х /4 Ь \

Я6(ж,в) = Е шреаШр8х I д(Ь)е-ашР3Ч^2 [ д(Ое-аш"^у(£,в) & (12)

р=1 0 \п=1 0 /

Подставим в формулу (12) выражение для у(£, в) из (6), (7), получим:

4 x /4 t

H6(x,s) = Е Wpeawpsx i q(t)e-awPst^Yl WneaWnSt f q(£)e p=l 0 Vn=l 0

—awns£

E Cr e^

awr s£

1

r=l

4a3 s3 ' r

r=l

E^r eawrsi (f,s)

d£ dt. (13)

Поменяв в (13) порядок суммирования и сделав необходимые выкладки и упрощения, находим

H6(x,s) = Е Ck H6k(x,s),

(14)

k=l

H6k (x,s) = E

s) = > Wne

n=l

E wp q(t)

— wn )st

p=l 0

q(Oea(wk —wp)si d£) dtap nkp

+ Щk = 1,2,3,4. (15) 4a3 s3

Проанализировав формулы (9)^(15), приходим к выводу, что справедлива следующая теорема.

x

х

х

x

п

t

х

Теорема 2. Общее решение дифференциального уравнения (1) при условии суммируемости потенциала (3) имеет следующий вид:

у(х,в) = ^ Скук(х,в); у(з)(х,в) =Ск{х,з), т = 1,2,3, (16)

к=1 к=1

причем фундаментальная система решений {ук (х, в)}|=1 подчиняется следующей асимптотике при в ^ ж:

= * = 1,„.4. (17)

Г (-> = - Ш1 + ^ }• (18)

к = 1, 2, 3,4; т = 1, 2, 3,

функции ф3к (к = 1, 2, 3,4) определены формулой (11), функции Н6к(х, в) (к = 1, 2,3,4) определены формулой (15),

4 х

(х, в) = ^ Юпи^е™"зх д(4)еа(ш*-Ш")зь <Цакп, к = 1,2,3,4; т = 1,2,3, (19)

П=1 п

Нбк(х,в) = ]Т.

п=1

4 х

р=1 0

9(С)еа("к<С )^арпкр

к = 1, 2, 3,4; т = 1, 2, 3. (20)

Асимптотические оценки (17), (18) устанавливаются аналогично асимптотическим оценкам для дифференциального оператора второго порядка (см. [13, гл. 2], [14, гл. 2]).

При этом при выводе формул (16)—(20) мы требовали выполнения следующих начальных условий:

к (0, в) = 0; Нбк (0, в) = 0; ^зк (0,в)=0; (0,в)=0;

Ук(0, в) = 1; у(з) (0, в) = (ав)3ю 3, к = 1, 2, 3,4; т = 1, 2, 3. (21)

4. Изучение граничных условий (2). Подставляя формулы (16) для общего решения дифференциального уравнения (1) в граничные условия (2), получаем

(2)

4 4 4

у(п,в) = у(0, в) ^ Е СкУк (п,в) = £ СкУк (0,в) Ск [Ук (п,в) - Ук (0, в)] =0; =1 =1 =1

?/т) (?Г,з) С2) (О,Я)

(аз)т ~~ (аз)т

^ £ Ск =1

(т) 1 \ (т) 1г\ \

ук 0"^) уКк '(о,в)

(аэУ

(азу

(22)

= 0, т = 1,2,3.

Система (22) представляет собой линейную однородную систему из четырех уравне-

С1 С2 С3 С4

пп

ь

х

система имеет ненулевые решения (С4 + С| + С4 + С| =0) только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(2) с условием суммируемости потенциала (3) имеет следующий вид:

/ (в) —

У1 (п,в) -У1(0,з) У2(п,в) — 2/2(0, в) У3(п,в) -Уз (0,5) У4(п,в) - У4(0,в)

2/1 (т,«) у'Ао ,з) У2^,3) УзО".5) УП71"'5) ^(0,5)

а.з аз аз аз аз аз аз аз

1^(0,я) »2(0,*) У'1{ъ,з) у'1(°

(аз)'2 (а«)2 {аз)'2 (а«)2 (а«)2 (а«)2 (аз)2 (а«)2

¿гЧ*,*) ?43)(о,*) УТ\тг,З) ?43)(см)

(аз)'Л (а«)3 (,аз)3 (а«)3 (а«)3 (а«)3 (аз)3 (а«)3

0.

(23)

Подставляя формулы (17), (18) в уравнение (23) и учитывая начальные условия (21), приведем уравнение (23) к следующему виду:

(24)

Ы*) — (е^ - 1) -

м3

м6

+ 0

Ьтп(в) = - 1) - Щ^Д + Щ?Л + о( 1

м3

м6

п — 1, 2, 3,4; т — 2, 3,4; п — 1, 2, 3,4,

где введены следующие обозначения: ёШк — аа'ШкМ3 — 4а3в3, М6 — 16а656.

Раскладывая определитель /(в) из (24) по столбцам на сумму определителей, получаем

4а3в3 16а6в6 /о(в)—0,

0,

основное приближение имеет вид

/о(в) —

— ^0(еа№1 - 1)(еа™2- 1)(еаадз- 1)(еа™4- 1), где — определитель Вандермонда чисел од, од, од:

— Wandermound/s(w1, од,од,од)

1(е№1 - 1) 1(е™2 - 1) 1(еадз - 1) 1(е™4 - 1)

од(е№1 -1) од(е™2 -1) од(еадз -1) од(е™4 -1)

т2(еад1 -1) -1) -1) -1)

т3(еад1 -1) ■ш^е™2 -1) -1) т1(еШ4 -1)

(25)

(26)

(27)

1 1 1 1

т 1 од од од

т2 т2 т2 т2

т3 т3 33

4 4

11 1 г

11

1 -1 1г1

-1 -г 1 -1

г

10

/3(в) — ^ /3к(в), /6(в) — Е /6к(в) + ^ /6к(в),

— -16г — 0, (28)

(29)

к=1

к=1

к=5

1

9

определители /зк(в) (к = 1,2,3,4) получаются го определителя /о (в) из (27) заменой к-го столбца на столбец (п,«), ^к(п,в), ^2к(п,«), ^к(п, «))*, например,

/зз(в) =

(п СО в) 1(еШ2 " 1) 1(еШ3 — 1) 1(еШ4 — 1)

^31 (п, в) ^2(еШ2 — 1) ■юз (еШ3 — 1) ■4 (еШ4 — 1)

^31(п в) ■2 (еШ2 — 1) ■2(еШ3 — 1) ■2 (еШ4 — 1)

(п со 0-3 в) ^з (еШ2 — 1) ■з (еШ3 — 1) ■з (еШ4 — 1)

(30)

определители /бк(в) (к = 1, 2, 3,4) получаются го определителя /о (в) из (27) заменой к-го столбца на столбец (Нбк(п,в), Н3к(п,в), Н|к(п,в), Нк(п,в))*, например,

/б2(в) =

1(еШ1 — 1) Нб2 (п, в) 1(еШ3 — 1) 1(еШ4 — 1)

юз(еШ1 — 1) Н612(п, в) ■з(еШ3 — 1) ■4 (еШ4 — 1)

■2 (еШ1 — 1) Н622(п, в) ■2(еШ3 — 1) ■2 (еШ4 — 1)

■з(еШ1 — 1) Н|2(п, в) ■2(еШ3 — 1) ■з (еШ4 — 1)

(31)

определители /бк(в) (к = 5, 6,..., 10) получатся из определителя /о(в) из (27) заменой двух столбцов (под номерами к3 и к2) та столбцы (^з^ (п,в); ^^ (п, в); (п,в); (п,в))* и (^зк2(п,в); ^ (п,в); ^зк2 (п,в); ^к2 (п,в))*. например,

/б5(в) =

(п со в) ^з2 (п, в) 1(еШ3 — 1) 1(еШ4 — 1)

в) в) ■ (еШ3 — 1) ■4 (еШ4 — 1)

^з21 (п, в) в) ■2 (еШ3 — 1) ■2(еШ4 — 1)

(п СО о-з в) ^з2 (П, в) ■2 (еШ3 — 1) ■з(еШ4 — 1)

(32)

в определителе /бб (в) меняются 1-й и 3-й столбцы, в определителе /б7(в) — 1-й и 4-й столбцы, в /бв(в) — 2-й и 3-й столбцы, в /бд(в) — 2-й и 4-й столбцы, в определителе /б,ю (в) — 3-й и 4-й столбцы.

Учитывая, что в силу формул (4) адз = —адз, ■4 = — определит ель /о (в) из (27) преобразуется к следующему виду:

/0(в) = еШ1+Ш2 + еШ1-Ш2 + е-Ш1+Ш2 + е-™1 -Ш2 — 2еШ1 — 2е-Ш1 — 2еШ2 — 2е-Ш2 + 4}. (33)

Индикаторная диаграмма 1 уравнения (25)-(32) (см. [15, гл. 12]), т. е. выпуклая оболочка показателей экспонент, входящих в это уравнение, в силу (33) имеет следующий вид:

2)

3)

У

1)

4)

Индикаторная диаграмма 1.

Поэтому из общей теории (см. [15, гл. 12]) следует, что для нахождения асимптотики корней уравнений (25)-(29) и /о(з) = 0 из (33), в секторе 1) индикаторной диаграммы 1 надо оставить экспоненты с показателями т1 — т2, т1 и т1 + т2, в секторе 2) необходимо оставить экспоненты с показателями т1 + т2, т2 и т1 — т2, в секторе 3) — экспоненты с показателями —т1 + т2, — т1 и —т1 — т2, в секторе 4) — экспоненты с показателями т1 — т2, — т2 и т1 — т2.

5. Изучение определителей /3&(з) и (в) из (25)—(32). Подставляя функции ^31 (п, 5) из (11) и (п,в) (т = 1, 2, 3) из (19) в определитель /31(в) из (30), вынесем множители (в™2 — 1), (е™3 — 1) и (в™4 — 1) из 2-го, 3-го и 4-го столбцов, получим

/З1(в) =

^31 (п,в) 1 1

(п,в) т2 т3

^31 (п,в) т22 т2

^21 (п,в) т3 т3 т3

1

т4 т2

(е™2 — 1)(е™3 — 1)(е™4 — 1),

(34)

Р=1 \ о / «1р

р=1

3'п,я) = > т^е^

т = 1,2,3.

0 / «1р

Раскладывая определитель /31(5) из (34) по столбцам на сумму определителей, используя свойства определителей, находим

/31(5) = т1^о|

е™1 (е™2 — 1)(е™3 — 1)(е™4 — 1),

«11

где определитель определен формулой (28). Аналогичным образом выводим

(35)

/32(5)= т2^о /... е™2 (е™1 — 1)(е™3 — 1)(е™4 — 1),

V 0 ) «22

(36)

/33(5)= J ... I е™2(е™1 — 1)(е™2 — 1)(е™4 — 1),

V о ' «33

(37)

/34(5) = т^о / ... е™4 (е™1 — 1)(е™2 — 1)(е™3 — 1),

V о / «44

при этом отметим, что в силу формулы (11) имеем

(38)

о / «11 \ о ' «22 \ о ' «33 \ о ' «44 о

п

= у ^¿«ц.

(39)

п

п

п

п

п

п

п

п

п

/62(в) —

Используя формулы (15) и (20), для определителя /62 (в) из (31) имеем

4 /4 / П \

1 Е^е^ Е шр !■■■) 1 1 1

п=1 \р=1 \0 / арп2р

4 /4 / 7Г \

т Е №п»пеш" ( Е тЛ / ... I ) ОД т

п=1 V р=1 V 0 / арп2р

4 /4 / 7Г \

т Е тп^пЕ т/ .. . 1 )

п=1 V р=1 V 0 / арп2р

4 /4 / 7Г \

т3 Е тп^пЕ т/... )

п=1 \р=1 \0 / арп2р

х (е™1 - 1)(е™3 - 1)(е™4 - 1), (40)

откуда, используя свойства определителей, находим

/62 (в) — ^2^0^ ЕЕ тп ^ j . . . ^

е™2(е™1 - 1)(е™3 - 1)(е™4 - 1). (41)

ап22п^

Аналогично выводу формул (40) и (41) получаем

/61 (в) — од^о^ Е j ••

/63 (в) — т3^о ^ ЕЕ J .. /64 (в) — ОД^о ^ ЕЕ J ..

е™1 (е™2 - 1)(е™3 - 1)(е™4 - 1),

(42)

ап11п<'

ап33п^

ап44п^

е™3(е™1 - 1)(е™2 - 1)(е™4 - 1), (43)

е™4 (е™1 - 1)(е™2 - 1)(е™3 - 1).

(44)

Используя свойства, примененные нами при выводе формул (34)-(44), для определителя /65(в) из (32) имеем:

У6>5(в) —

4 4 /пХ

Е ^еМ /... Е ^еМ / ... 1 1

п=1 V 0 / а1п п=1 \ 0 / а2п

4 \ 4

Е ШпШпе^Ч / ... Е ШпШпе^М / ... т т

п=1 V 0 / а1п п=1 V 0 / а2п

Е еМ / ... Е тп^2 еМ /...

п=1 V 0 / а1п п=1 V 0 / а2п

4 \ 4

Е тп^3е™п / ... Е тпгоЦе™п / .. Л тЦ

п=1 V 0 / а1п п=1 \ 0 / а2п

х (е™3 - 1)(е™4 - 1) — одод^ое™1 е™2(е™3 - 1)(е™4 - 1)

а11

а22

а12

а21

7Г

7Г

7Г

7Г

Аналогичным образом находим:

/66(5) = т^^ое™1 е™3 (е™2 — 1)(е™4 — 1)

«11

«33

«13

«31.

(46)

/67(5) = т^^е™1 е™4 (е™2 — 1)(е™3 — 1)

о / «И V о

«44 \ о ' «14 \ о

«41J

(47)

/бв(й) = т2т3^ое™2 е™3 (е™1 — 1)(е™4 — 1)

«22

«33

«23

«32.

(48)

/69(5) = т2т4^ое™2 е™4 (е™1 — 1)(е™3 — 1)

«22

«44

«24

«42 J

(49)

/6,1о(5) = т3 т4^о е™3 е™4 (е™1 — 1)(е™2 — 1)

«33

«44

«34

«43.

(50)

(1)

(2) (3) 1) 1

нами после формулы (33), в формулах (35)—(39), (41)-(44) и (45)-(50) необходимо сделать нужные перемножения и в секторе 1) индикаторной диаграммы оставить экспоненты с показателями т1 — т2,т^ и т1 + т2- Поэтому справедливо следующее утверждение.

(1)

(2) (с условием (3) суммируемости потенциала д(ж)) в секторе 1) индикаторной диаграм-1

/ ч / ч 51,3(5) , 51,6(» . 1

0,

51 о (5) = е«(™1 +ад2)5п — 2е«™1 ^п + е«(™1 -^2)«п

(51)

(52)

51,3(5) = {т1 [еад1+ад2 — 2е№1 + е™1-™2] + т2 [е™1 +™2 — е™1]

+ т4 [е™1-™2 — е™1 ]} ^ д(£) , = е«™к5п, к = 1,2,3,4, (53)

п

п

п

п

х

п

п

п

п

х

п

п

п

п

X

п

п

п

п

X

п

п

п

X

п

51,6(в) — #1,6,1(в) + #1,6,2(в);

+ т [■

#1,6,1 (в) — Ш1 [еад1+™2 - 2е^ + е™1 -™2] ^ |... ^

Е / .. ^ + (-^2) [е™1-™2 - е™1 ] Е*

ап22п

ап11п

»1+^2 _ е™1

п=1

п=1

(54)

ап44п

#1,6,2 (в) — Ш1Ш2 [е'

«1+^2 _ еад1]

-Ш1Ш2 [е™1-™2 - е™1]

+ №2 ^е'

№1

а11

а22

а12

а21

а11 0

а44

0 а14 0 а41

/ П \

а22 0

а44

а24

а42

(55)

При этом заметим, что в формулах (51)-(55) мы можем поделить на е™1 — еа™1пп — 0.

Основное приближение уравнения (51)—(55) имеет вид #1,0(5) — 0 ^ еа™2пп - 2 + е-(ш>2этг = о е««)257г _ ^ (корень кратности 2) «^досн = к € индекс 1 у «^досн означает, что мы изучаем сектор 1), «осп» означает «основное» приближение.

(1)

(3) 1) 1

^ _ 2к | 2ё3к,1 | 2ё6к,1 0 ( 1 а ак3, ак6 — V А;9

к £ Ж.

(56)

< Для доказательства теоремы 5 необходимо показать, что коэффициенты ¿3^,1 в формуле (56) находятся единственным образом и привести формулы для их вычисления в явном виде.

Используя формулы Маклорена и формулу (56), имеем

е

±а-Ш2 пп

_ 2тйзкЛ 2тй6к,1

Пк,1

к3

к6

(1

к6 -и9

(57)

«к,1

«к,1

а3 8&3

1

а

6

64к6

п

1

3

в

1

6

в

Подставляя формулы (56)-(58) в уравнение (51)—(54), получаем

2Шзкл 2Ш6к>1 _ ,п(}_

к3 к6 к6 -и9

— 2 + 1 —

2пг^д 2п2^3к,1

к3

1 а3 4а3 8Р"

1

3^3к

к6

к6

< т1

о

1+

2 ъ%(1ък, к3

т2

1

к3 +-1к6

1

+

+ т2

1 а6

16а6 64кб

1+

1

6^3к.

51,6,1 (5) + 51,6,2(5)

«М

«м

+ 21 Э

(59)

1

X

Приравнивая в уравнении (59) последовательно коэффициенты при ко, к 3 к 6, выводим формулу

п

= / л е N. (60)

о

Получение формулы (60) завершает доказательство теоремы 5. >

Изучая аналогичным образом сектора 2), 3), 4) индикаторной диаграммы 1, убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

(1) (3) 2) 4)

1

1)

7гг

•^,2 = 5ме 2 >

7тг 27тг

«М = ^,2е 2 = зкле 2 ,

7тг 37тг V /

«М = 2 = 5Ме 2 >

«к,т = вМ^(т"1). т = 1,2,3,4,

где числа в к,1 определены формулами (56), (60); 2)

Ак,т = вк,т, т = 1, 2, 3,4; к £ N. (62)

Для нахождения асимптотики собственных значений функций можно доказать следующее утверждение.

Теорема 7. Собственные функции yk(x,s) дифференциального оператора (1)-(3) удовлетворяют следующим асимптотикам:

yk,m(x,s) =

yi(n,s) - yi(0,s)

yi(^,s) _ y[{0,s)

as

,8)

(as)2 y[3'(x,s) (as)

T~

as

y'((0,s)

(as)2 (as)

У2 (п, s) - y2 (0, s) Уз (п, s) - Уз(0, s)

У^'8) _ y'2(°>s) у'з^^) _ y'3(0,s) as

(M

(as)2 yif'(x,s) (as)3

as (as)2

¿M

(as)3

as

(as)2 yj (x,s) (as)

as

зЩ

(as)2

^3)(0 ,s)

(as)

y4(n,s) - y4(0,s)

y'4(K,s) _ y'4(0,s)

as y'i(7T,s) (as)2 У4 (x,s) (as)3

as

y'l(V ,s)

(as)2

yl3)(0,8)

(as)

S = Sfc.

где числа определены формулами (56) (60)-(62), функции yip)(x,s) удовлетворяют асимптотикам (17) (18) (21) n = 1, 2, 3,4, Р = 0,1, 2, 3.

Литература

1. Лидский В. В., Садовничий В. А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Мат. сб.—1968.—Т. 65, № 4.—С. 558-566.

2. Лидский В. В., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функц. анализ и его приложения.—1967.—Т. 1, № 2.—С. 52-59.

3. Митрохин С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами // Вестн. МГУ. Серия: математика, механика.— 1986.—№ 6.-С. 3-6.

4. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Диф. уравнения.—1992.—Т. 28, № 3.—С. 530-532.

5. Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Докл. РАН.—1997.—Т. 356, № 1.—С. 13-15.

6. Садовничий В. А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Мат. сб.—1967.—Т. 72, № 2.-С. 293-310.

7. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма — Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Диф. уравнения.—1998.—Т. 34, № 10.—С. 1423-1426.

8. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма — Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. Математика.—2000.—Т. 64, № 4.-С. 47-108.

9. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Тр. МИАН.—2010.—Т. 270.—С. 188-197.

10. Митрохин С. И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфимский мат. журн.—2011.—Т. 3, № 4.— С. 95-115.

11. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом // Диф. уравнения.—2011.—Т. 47, № 2.—С. 1808-1811.

12. Митрохин С. И. О спектральных свойствах семейства дифференциальных операторов высокого четного порядка с суммируемым потенциалом // Вестник ВГУ. Сер. Физика. Математика.—2016.— № 4.-С. 121-135.

13. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.—М.: Наука, 1969.—528 с.

14. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач.—М.: Физматлит, 2007.—384 с.

15. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения.—М.: Мир, 1967.—548 с.

Статья поступила 2 февраля 2017 г.

Митрохин Сергей Иванович НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова, старший научный сотрудник РОССИЯ, г. Москва, Воробьевы Горы, д. 1 E-mail: [email protected]

A PERIODIC BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A FOURTH ORDER DIFFERENTIAL OPERATOR WITH A SUMMABLE POTENTIAL

Mitrokhin S. I.

The paper is devoted to the study of a fourth-order differential operator with a summable potential and periodic boundary conditions. The method of studying of operators with a summable potential is an extension of the method of studying operators with piecewise smooth coefficients. Boundary value problems of this kind arise when studying the oscillations of beams and bridges composed from materials of different density. The solution of the differential equation is reduced to the solution of the Volterra integral equation. The integral equation is solved by Picard's method of successive approximations. The aim of the, investigation of the integral equation is to obtain asymptotic formulas and estimates for the solutions of the differential equation that defines the differential operator. Questions of geophysics, quantum mechanics, kinetics, gas dynamics and the theory of oscillations of rods, beams and membranes require the development of asymptotic methods for the case of differential equations with nonsmooth coefficients. Asymptotic methods continue to evolve, despite the rapid progress in numerical methods associated with the advent of supercomputers; at present asymptotic and numerical methods complement each other. In the paper, for large values of the spectral parameter, the asymptotics of the solutions of the differential equation that defines the differential operator is obtained. Asymptotic estimates for solutions are established similarly to the asymptotic estimates of solutions of a second-order differential operator with smooth coefficients. The study of periodic boundary conditions leads to the study of the roots of a function represented in the form of a fourth order determinant. To obtain the roots of this function, an indicator diagram has been examined. The roots are in four sectors of an infinitesimal angle, determined by the indicator diagram. The behavior of the roots of this equation in each of the sectors of the indicator diagram is investigated. The asymptotics of eigenvalues of the differential operator under consideration is found. The formulas obtained for the asymptotics of the eigenvalues make it possible to study the spectral properties of the eigenfunctions. If the potential of the operator is not a summable function, but only piecewise smooth, then the obtained formulas for the asymptotics of the eigenvalues are sufficient to derive the formula for the first regularized trace of the differential operator under study.

Key words: differential operator of fourth order, summable potential, periodic boundary conditions, spectral parameter, asymptotics of solutions, asymptotics of eigenvalues.

References

1. Lidskyi V. B., Sadovnichiy V. A. Asymptotic formulas for the roots of a class of entire functions. Matematicheskij sbornik [Mathematical CollectionJ, 1968, vol. 65, no. 4, pp. 558-566 (in Russian).

2. Lidskyi V. B., Sadovnichiy V. A. Regularized sums of the roots of a class of entire functions. Funkcional'nyj analiz i ego prilozhenija [Functional Analysis and its Applications], 1967, vol. 1, no. 2, pp. 52-59 (in Russian).

3. Mitrokhin S. I. About formulas of regularized traces for second order differential operators with discontinuous coefficients. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. Matematika, mehanika. [Vestnik MGU. Series: Mathematics, Mechanics], 1986, no. 6, pp. 3-6 (in Russian).

4. Mitrokhin S. I. About spectral properties of differential operators with discontinuous coefficients. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 1992, vol. 28, no. 3, pp. 530-532 (in Russian).

5. Mitrokhin S. I. About some spectral properties of differential operators of the second order with discontinuous weight function. Doklady RAN [Reports of the Russian Academy of Sciences], 1997, vol. 356, no. 1, pp. 13-15 (in Russian).

6. Sadovnichiy V. A. About traces of ordinary differential operators of the highest orders. Matematicheskij sbornik [Mathematical Collection], 1967, vol. 72, no. 2, pp. 293-310 (in Russian).

7. Vinokurov V. A., Sadovnichii V. A. Asymptotics of any order for eigenvalues and eigenfunctions of the boundary value Sturm-Liouville problem on a segment with a summable potential. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 1998, vol. 34, no. 10, pp. 1423-1426 (in Russian).

8. Vinokurov V. A., Sadovnichii V. A. Asymptotics of any order for eigenvalues and eigenfunctions of the boundary value Sturm-Liouville problem on a segment with a summable potential. Izvestija RAN. Seriya: matematika [News of the Russian Academy of Sciences], 2000, vol. 64, no. 4, pp. 47-108 (in Russian).

9. Mitrokhin S. I. About spectral properties of a fourth-order differential operator with integrable coefficients. Trudy MIAN [Works MIANJ, 2010, vol. 270, pp. 188-197 (in Russian).

10. Mitrokhin S. I. About spectral properties of a delay differential operator with summable coefficients. Ufimskiy matematichkiy zhurnal [Ufa Mathematical JournalJ, 2011, vol. 3, no. 4, pp. 95-115 (in Russian).

11. Mitrokhin S. I. About spectral properties of differential operators of odd order with a summable potential. Differencial'nye uravneniya [Differential EquationsJ, 2011, vol. 47, no. 2, pp. 1808-1811 (in Russian).

12. Mitrokhin S. I. Spectral properties of a family of differential operators of high even order with summable potential. Vestnik VGU. Serija: Fizika. Matematika [Vestnik VSU. Series: Physics. MathematicsJ, 2016, no. 4, pp. 121-135 (in Russian).

13. Naimark M. A. Lineynye differencial'nye operatory [Linear Differential OperatorsJ, Moscow, Nauka, 1969, 528 p. (in Russian).

14. Yurko V. A. Vvedenie v teoriju obratnyh spektral'nyh zadach [Introduction to the Theory of Inverse Spectral ProblemsJ, Moscow, Fizmatlit, 2007, 384 p. (in Russian).

15. Bellman R., Cooke K. L. Differentsial'no-raznostnye uravneniya [Differential-Difference EquationsJ, Moscow, Mir, 1967, 548 p. (in Russian).

Received February 2, 2017

Mitrokhin Sergei Ivanovich Lomonosov Moscow State University, Research Computer Center 1 Vorobyevy Gory, Moscow, 119991 Russia E-mail: [email protected]