Об исследовании спектра функционально-дифференциального оператора с суммируемым потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2019, Том 21, Выпуск 2, С."38-57

УДК 517.927

DOI 10.23671/VNC.2019.2.32116

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ СПЕКТРА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

С. И. Митрохин1

1 НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова, Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, 1 E-mail: mitrokhin-sergeyflyandex. ru

Аннотация. В работе изучается функционально-дифференциальный оператор восьмого порядка с суммируемым потенциалом. Граничные условия являются разделенными. Функционально-дифференциальные операторы такого рода возникают при изучении колебаний балок и мостов, составленных из материалов различной плотности. Чтобы решить функционально-дифференциальное уравнение, задающее дифференциальный оператор, применяется метод вариации постоянных. Решение исходного функционально-дифференциального уравнения сведено к решению интегрального уравнения Вольтерры. Получившееся интегральное уравнение Вольтерры решается методом последовательных приближений Пикара. В результате исследования интегрального уравнения получены асимптотические формулы и оценки для решений функционально-дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. При больших значениях спектрального параметра выведена асимптотика решений дифференциального уравнения, определяющего дифференциальный оператор. Аналогично асимптотическим оценкам решений дифференциального оператора второго порядка с гладкими и кусочно-гладкими коэффициентами устанавливаются асимптотические оценки решений исходного функционально-дифференциального уравнения. Полученные асимптотические формулы применяются для изучения граничных условий. В результате приходим к изучению корней функции, представленной в виде определителя восьмого порядка. Чтобы найти корни этой функции, необходимо изучить индикаторную диаграмму. Корни уравнения на собственные значения находятся в восьми секторах бесконечно малого раствора, определяемых индикаторной диаграммой. Изучены поведение корней этого уравнения в каждом из секторов индикаторной диаграммы и асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора.

Ключевые слова: функционально-дифференциальный оператор, краевая задача, суммируемый потенциал, граничные условия, спектральный параметр, индикаторная диаграмма, асимптотика собственных значений.

Mathematical Subject Classification (2010): 34К08.

Образец цитирования: Митрохин С. И. Об исследовании спектра функционально-дифференциального оператора с суммируемым потенциалом // Владикавк. мат. журн.—2019.—Т. 21, вып. 2.— С. 38-57. DOI: 10.23671/VNC.2019.2.32116.

1. Постановка задачи

Исследуем функционально-дифференциальный оператор (ФДО), задаваемый уравнением

y(8)(x) + q(x)y(x) = \a8y(x) + ar(x)y(b), 0 ^ x ^ n, 0 < b < n, a > 0, (1) © 2019 Митрохин С. И.

где Л € С — спектральный параметр, а € С, с разделенными граничными условиями

у(т1) (о) = (0) = ... = у(тб) (0) = у(п1) (п) = у(газ) (п) = 0, (2)

т1 < т2 < ■ ■ ■ < тъ, п1 < п2; тк,п1,и2 € {0,1,2,..., 7}.

В уравнении (1) д(х) — потенциал, р(х) = а8 > 0 — весовая функция. Мы предполагаем, что д(х) и г(х) — суммируемые функции на отрезке [0; п]:

X '

д(х) € ^[0; п] ^ ^ У q(t)d~^ = д(х) почти для всех значений х та [0; п];

х '

г(х) € Ь1[0; п] ^ ^ У = г(х) почти для всех значений х та [0; п].

(3)

2. Исторический обзор

Спектральные свойства обыкновенных дифференциальных операторов в случае достаточно гладких коэффициентов изучаются уже достаточно давно. В монографии [1, гл. 2] изучено асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов с гладкими, несколько раз дифференцируемыми коэффициентами. Там же описана методика нахождения асимптотики решений дифференциальных уравнений, задающих дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, при больших значениях спектрального параметра. Пользуясь такой асимптотикой решений, в работе [2] были найдены асимптотические формулы для корней одного класса целых функций, которые возникают в случае изучения обыкновенных дифференциальных операторов с регулярными граничными условиями с достаточно гладкими коэффициентами.

С помощью асимптотических формул, найденных в работе [2], в работах [3] и [4] были найдены формулы для вычисления регуляризованных следов дифференциальных операторов высших порядков с достаточно гладкими коэффициентами.

В работе [5] автор продемонстрировал методику нахождения формул регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами. Спектральные свойства дифференциальных операторов с кусочно-гладкими коэффициентами изучались автором в работе [6], а в работе [7] был изучен дифференциальный оператор с кусочно-гладкой весовой функцией.

В работах [8, 9] была изучена краевая задача для функционально-дифференциального оператора второго порядка с гладким потенциалом, были вычислены формулы регуляризованных следов такого оператора. В работе [10] автором были вычислены формулы регуляризованных следов для функционально-дифференциальных операторов второго порядка с кусочно-гладким потенциалом.

В работе [11] был совершен большой прогресс в изучении дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами, был изучен оператор второго порядка с суммируемым потенциалом, найдены асимптотики собственных значений и собственных функций оператора Штурма — Лиувилля на отрезке. В работах [12, 13] были изучены операторы второго порядка, у которых потенциал является ¿-функцией.

В работах [14-17] автор продемонстрировал новую методику изучения дифференциальных операторов порядка выше второго с суммируемыми коэффициентами. Заметим,

что методика работы [11] не переносится на операторы, у которых порядок равен четырем или выше. Отметим также, что сложность изучения дифференциальных операторов возрастает с увеличением порядка дифференциальных уравнений, задающих дифференциальный оператор.

Граничные условия (2) показывают, что мы изучаем сразу целое семейство функционально-дифференциальных операторов восьмого порядка с суммируемыми коэффициентами. Функционально-дифференциальные операторы (так называемые нагруженные операторы) порядка выше второго ранее фактически не изучались (даже в случае гладких коэффициентов).

3. Асимптотика решений вспомогательного уравнения при Л — оо

Рассмотрим вспомогательное дифференциальное уравнение, получающееся из (1) при а = 0 (или при г(х) = 0):

у(8)(х) + ^(х)у(х) = Ла8у(х), 0 ^ х ^ п, а > 0. (4)

Обозначим Л = в', в причем для корректности дальнейших выкладок

выберем основную ветвь арифметического корня, для которой = +1- Пусть гуд. (к = 1, 2,..., 8) — различные корни восьмой степени из единицы:

w

8 k

2 ni

= 1, wk = e-^(fc_1), к = 1, 2,..., 8; wx = 1;

^ /2тЛ /2тЛ лД лД , ,rs

w2 = es = cos I — J + г sin I — J = — = z ф 0, (5)

4хг r\ _i

ws = e $ = i = z ;... ;wm = z , m = 1,2,..., 8.

Числа Wk (k = 1,2,..., 8) из (5) делят единичную окружность на восемь равных частей. Для них справедливы следующие соотношения:

= 0, т = 1,2,..., 7; ^ ад^ = 8, т = 0, т = 8. (6)

к=1 к=1

Методами работ [14-16] устанавливается следующая теорема.

Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет следующий

вид:

8

k=1 k=1

y(x,s) = J] Ck yk(x, s); y(m)(x,s) = J] C^W), m = 1,2,..., 7, (7)

где С к (к = 1, 2,..., 8) — произвольные постоянные, при этом при больших значениях спектрального параметра Л для фундаментальной системы {ук(х, в)}к=1 справедливы

следующие асимптотические формулы и оценки: у„ (х,«) = е™'"

^ = 1,2,...,в,

8 а7в7 -V 514

У{™\х,8) = (аз)т<\ и}Теа'ШкЗХ - +0

Атк (х,«) ~ / е11т з1ах

8а7в7 \ в

к = 1, 2,..., 8; т = 1, 2,..., 7;

14

(8) (9)

А7к(ж, в) = ш™1™ I д(г)еа(™к-^Мак1 + Ш2еа^х I ^(¿)еа(ад'-w2)sídíаk2

0 0

х

+ ■ ■ ■ + ■8еа^х I д(*)еа^'-^сИак8, к = 1,2,..., 8, 0

А^к(ж, в) = ^ / д(*)еа^'-^1<Иакп, т = 1,2,..., 7.

П=1 п

(10)

(11)

При выводе формул (8)—(11) мы требовали выполнения следующих начальных усло-

вии:

А7к (0,в)=0; Атк (0,в)=0; ук(0,в) = 1; укт)(0,в) = (ав)^,

к = 1, 2,..., 8; т = 1, 2,..., 7.

4. Решение функционально-дифференциального уравнения (1)

(12)

Обозначим через До (ж, в) определитель Вронского фундаментальной системы решений {ук(ж, в)}к=1 вспомогательного дифференциального уравнения (4):

До(ж,в) = ёе! ^"г[у1(ж, в), у2(ж, в),... ,у8(ж,в)]

(13)

У1(ж,в) у2(ж,в) . . у7(ж,в) у8(ж,в)

у'(ж,в) у2(ж,в) . . у7(ж,в) у8(ж,в)

у(6)(ж,8) у26)(ж,в) . . у76)(ж,в) у86)(ж,в)

у(7)(ж,«) у27)(ж,в) . . у77)(ж,в) у87)(ж,в)

Из общей теории дифференциальных уравнений следует, что определитель Вронского Д0(ж, 8) те зависит от параметра ж:

До(ж,в) = До(в) = До(0; 5).

Используя формулы (8)—(12), находим

До(ж,в) = До(0,в) = До(в)

(14)

1 (ав)ш1 1 .. .1 1

(ав)^! . (аз)7Ш2 . . (аз)6ш6 (ав)6ш|

= Доо(ав)

28

(15)

х

х

где Доо — определитель Вандермонда чисел -Ш1, -ш2, • • •, Доо = det Wandermond/s(w1, -ш2, • • •, ^8) =

1 1 • • • 1 1

■Ш2 • • • -ш7

Ц • • • ^2

7 • 7 • • ^7

= П к>т (^к —

к,т = 1,2,...,8

Разложив определитель До (ж, 8) из (13) по последней строке, получим До (ж, «) = -У1(х, 5)^81 (ж, 8) + У2(х, 8)Д?2-----Ут(ж, «)Д8т(ж, 8) + у8(ж, «)Дз8 (ж, 8), (17)

где (ж, 8) (к = 1, 2, • • •, 8) — алгебраические миноры к элементам восьмой строки и к-го столбца определителя До(ж,з) из (13):

у2(ж,в) ••• у7(ж,в) у8(ж,в)

^81 (ж, 8) = у2 (ж,8) ••• у7(ж,8) у8(ж,8)

у26)(ж,8) ••• у76)(ж,8) у86)(ж,8)

у1(ж,в) у2(ж,в) ••• у7(ж,в)

Д38(ж, 8) = у'(ж,8) у2(ж,8) ••• у7(ж,8)

у(6)(ж,8) у26)(ж,8) ••• у76)(ж,8)

(18)

Перепишем уравнение (1) в виде у(8)(ж) + ^(ж)у(ж) — Аа8 у (ж) = аг(ж)у(Ь) и решим его методом вариации постоянных: будем искать решение в виде у = ^к=1 Ск(ж,з), где Ск(ж, 8) — неизвестные функции, ук(ж, 8) (к = 1, 2, • • •, 8) —линейно-независимые решения вспомогательного уравнения (4). В результате докажем следующее утверждение.

Теорема 2. Решение у(ж, 8) функционально-дифференциального уравнения (1) представляется в виде

у(х,8) = ^Скук(х,8) + (19)

к=1 До(^ где С к (к = 1, 2, • • •, 8) — произвольные постоянные, {у к (ж, з)}к=1 — фундаментальная система решений уравнения (4), определяемая формулами (7)—(12),

Я8(ж,в) = — 1)к ук (ж, ем ^(¿)^8к (¿,8) ЛЬгк •

к=1 п

(20)

При этом в силу свойств суммируемости (3), свойств определителей и формул (6) получаем

УМ{Х,8) = ^СкУ^(х,8) + к=1

До(8)

х

т = 1,2, • • •, 7,

Я(т)(ж,з) = ^(—1)кукт)(ж,з) / г(£)Ак(М)^гк,

к=1 п

т = 1,2,

7,

(21) (22)

величина До(в) определена формулами (14)-(16).

Справедливость формул (19)—(22) можно перепроверить непосредственной подстановкой этих формул в уравнение (1).

Подставляя ж = Ь в уравнение (19), (20), находим

у(Ь, 8) = £ СкУк(Ь, з) + 5), Ао(8) Ф 0,

к=1

откуда получаем

У(Ь, *) = МЬ, 8) = 1 - -г^Я8)6,5) Ф 0. (23)

Поставим у(Ь, в) из (23) в (19), сделаем необходимые преобразования, придем к выводу о справедливости следующего утверждения.

Теорема 3. Общее решение функционально-дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:

у(ж,в) = ^Сфк(ж, в); у(т)(ж,в) = ^Ск4т)(ж,в), т = 1,2,..., 7, (24)

4т)'

к=1 к=1

Ск (к = 1, 2, . . . , 8)

¡1к{х, 8) = ук(х, 8) + 01 Ук%$\н8(х, 8), к = 1,2,...,8, (25)

до(«) в)

к = 1,2,..., 8, т = 1,2,..., 7,

функции у к (ж,«), укт) (ж, в) определены формулами (7)—(12), Н8(ж,з), Н"8т)(ж, в) определены в (20)-(22), ^8(Ь, в) определена в (23).

При этом справедливы следующие начальные условия:

Н8(0,«)=0; Я8т)(0,в)=0; ^(0, в) = (0,в) = 1;

/ Ч / Ч

(0,в) = укт) (0,в) = (ав)^, к = 1,2,..., 8; т = 1,2,..., 7.

Формулы (24)-(27) позволяют изучать граничные условия (2).

5. Изучение граничных условий (2)

Подставляя формулы (24)-(27) в граничные условия (2), имеем

У

(тр)/

(0, в) = 0 ^ СкЬ^)(0, й) = 0 ^ Скуктр)(0,5) = 0

(тр)/

¿С*. (ав)г

" ад,.

к=1

У

= 0, р = 1, 2,..., 6;

(п, в) = 0 ^ Ск)(п, в) =0, ; = 1, ; = 2.

(28) (29)

к=1

Система (28), (29) — система из восьми уравнений с восемью неизвестными С1, С2,..., Се. Эта система имеет ненулевые решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Поэтому верно следующее утверждение.

Теорема 4. Уравнение на собственные значения ФДО (1)-(3) имеет вид

У1т1 )(0,5) У1т2 )(0,5) У2т1 )(0,в) . У2т2 )(0,в) . .. У7т1)(0,в) .. У7т2)(0,5) У8т1)(0,в) у8™ 2)( 0,5)

/ (5) = у1т6 )(0,5) Ь(1П1)(П,5) Ь(1П2)(П,5) у2т6 )(0,5) . Ь2п1)(п,в) . Ь2П2)(п,5) . .. У7тб)(0,в) .. Ь7П1 )(п,5) .. Ь7П2 )(п,5) У8тб)(0,5) Ь8п1)(п,5) Ь8П2)(п,5)

(30)

Учитывая начальные условия (27), перепишем уравнение (30) в следующем виде:

/ (8) = (ав)81 (ав)82 (... )(ав)т6

<2 ^т1 . <2 . .. ад8 .. ад8 «С2

ад85 Ь((П2)(п,8) Ь2п1)(п,в) . Ь2П2)(п,5) . .. ад8 .. Ь7П1)(п,8) .. Ь7П2)(п,8) ь8п1)(п,в) Ь8П2)(п,5)

0.

(31)

ж.

Разложив определитель /(5) из формулы (31) по последним двум строчкам, получим

/ (в) = Н12Ж345678 + Н23Ж145678 — Н34Ж125678 + ' ' ' + Н78Ж123456 +Н18Ж234567 — Н13Ж245678 + Н14Ж235678 = ' ' ' = °

ьтп1)(п,8) 4п1)(п,*) ЬтП2)(п,8) ЬкП2)(п,8)

О'к = 1, 2,... , 8 к = 1, 2,..., 6) — алгебраические миноры к элементу

тк —

т, к = 1,2,..., 8;

(32)

(33)

.1.2 .3.4.5.6

в определителе /(в) из (31), ^ = т, = к, знак «+» в формуле (32) ставится в том случае, если перестановка (т, к,,четная, знак «—» — если перестановка нечетная.

Алгебраические мииоры Ж^^^з^^Б^б благодаря удобным обозначениям легко вычисляются:

■т1 . . ■т1 1^-1 "т1 . "5т,1

■г . . 1^2 "т2 . "5т,2

Ж123456 = =

■г . 1^6 "5тб

= П ("^ - ) = Ж = 0, (34)

к>п; к,п=1,2,.

так как определитель ^123456 представляет собой определитель Вандермонда чисел Далее имеем

Ж234567 = ■т1 ■т1 . ■т2 . . _ "т1 "т2 "2т,1 "2т,2 "6т1 "6т,2

"2тб "6тб

= "т2 (... )"т6 ^123456 = "Мб Жз, Мб = ^ тк. (35)

к=1

Аналогичным образом выводим

^345678 = "2М6 Жз; ^145678 = (-1)"3Мб Жз; ^125678 = "4Мб Жз; ^123678 = (-1)"5М6 Жз; ^123478 = "6Мб Жз; ^123458 = (-1)"7М6 ^з; ^123456 = "8Мб Ж = Жб .

Подставим формулы (34)-(36) в уравнение (33), поделим на "2Мб Жб = 0, получим

(36)

/ (в) =

Л^а) ^2п1)(п,в) ^п2)(п,в) ^2п2)(п,в)

4п2)(п,в) Л3п2)(п,в)

(пО,

"Мб + "2Мб

= {012 - Ф23"Мб + ф34"2Мб - ... }(о«)п1 Мп2 = 0, (37)

Л3п1)(п,в) Л4п1)(п,в) Л3п2)(п,в) Л4п2)(п,в)

у2Мб

при этом каждый из определителей можно выписать более подробно с помощью формул (25), (26):

012 =

(а«)п1

(а.в)п 1

(а«)п2

(а.в)п 1 "Т" Д0(» (ав)п1

(а«)п2

("1)

«11 «12 «21 «22

(а«)п1 "Т" Д0(» ч/>8(М (а«)п1

(а.в)п2 "Т" Д0(» ч/>8(М (а«)п2 (а«)п2 "г Д0(» т/>8(М (а«)п2

2

Ф23 =

(тг,*) /»^'(тг.а)

(ав)"2

«12 «13

«22 «23

(п1)/ \ У2 С71"'8)

+

А0(«) '¡ЫМ (а«)"1

(п1)/ \ Уз С71"'8)

+

А0(«) ^(М (а«)"1

"Г л„/\,\ „/,„//. /V

А0(в) ф8(Ь,в) (ав)"2

"Г Д„/ „/,„/1. „\ (

(аз)п2

д0(в) '(/>8(м (а«)"2

(39)

Подставляя формулы (8)—(11) и (17)—(22) в (38), (39), видим, что определители Ф12, Ф13 представляют собой квазиполиномы. Таким обр азом, функция / (з) из (37) также представляет собой квазиполином.

Для нахождения корней уравнения (37) необходимо изучить так называемую индикаторную диаграмму этого уравнения (см. [18, гл. 12]), т. с. выпуклую оболочку показателей экспонент, входящих в это уравнение. Раскладывая определители Ф12, Ф13, - - -по столбцам, применяя формулы (8)-(11), видим, что в определитель Ф12 входят экспоненты в определитель Ф23 входят экспоненты ,..., в определитель фт — экспоненты Значит, индикаторная диаграмма уравнения (37) (39) имеет следующий вид:

Рис. 1.

На рис. 1 внутренняя единичная окружность делится числами « (к = 1, 2,---, 8) из (5) на восемь равных частей, для второй окружности введены обозначения = —й + шт (к, т = 1, 2, - - -, 8). На наружнюю окружность (индикаторную диаграмму) попадают ТОЛЬКО ТОЧКИ ш1 + ш2, ш2 + ш3, ш3 + - - - , + Ш8, «8 + «9 = «8 + —1) ТОЧКИ —й + —т5 (т — к) ^ 2 попадают внутрь индикаторной диаграммы и па асимптотику корней уравнения (37) (39) не влияют. Корни уравнения (37) (39) могут находиться только в восьми заштрихованных секторах рис. 1, бесконечно малого раствора, биссектрисы которых являются серединными перпендикулярами к сторонам правильного восьмиугольника «12—23—34 - - - —78—81 — 12 •

6. Уравнение на собственные значения ФДО (1)-(3) в секторе 1)

индикаторной диаграммы

Для того, чтобы изучить корни уравнения (37)-(39) в секторе 1) индикаторной диаграммы на рис. 1, надо оставить только экспоненты с показателями "81 = "12 = "1 + "2 и "78 = -"23 = "2 + "3) т. е. экспоненты еа(ад1 и Поэтому справедливо

утверждение.

Теорема 5. Уравнение на собственные значения ФДО (1)-(3) в секторе 1) индикаторной диаграммы на рис. 1 имеет следующий вид:

«11 «12 «12 «13

«21 «22 «22 «23

Мб _

0,

(40)

причем во всех асимптотических формулах необходимо оставить только экспоненты с показателями ш1 + "2, ш2 + Шз, величины «т определены в (38), (39).

Изучим сначала асимптотическое поведение функций (ж, а) (к = 1,2,..., 8) из (17), (18).

Применяя формулы (8)—(12) и свойства определителей, из (18) имеем

^81 (ж, а) =

"2«2 -

Лт

П7

+...

«7--тЬ^ + • • •

—

Лт

А.17 (ж ,

Ж

+...

"8«8 —

Лт

П7

+ ...

"6«2

П7

+ ...

"6«7

^^бт (ж , 5)

ж

+ ... гу|г;8 -

В.7

+ ...

(41)

х (аз)(аз)2(... )(аа)6 = (аа)

21

' , \ ^81,7(ж,в) / 1

где введены обозначения г^ = еа'Шк&х (к = 1,2,... ,8), Л7 = 8а 8 , «+...» =«+0(-т^)»,

«2 . . «7 «8

Дз1,о(ж,5) = "2«2 . "8«8

"6«2 . . "6«7 "6«8

П

й=2

... "7«7 «8

при этом в силу формул (5), (6) имеем 88

П^ = Ц = ехр(а("2 + "з +-----+ "8)аж) = е

&=2 &=2

(42)

(43)

¿81 — алгебраический минор к элементу восьмой строки и первого столбца определителя Доо из (16):

1 . .1 1

= "2 . . ."7 "8

"26 . . . "6 "6

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Матрица ¿&га (к, п = 1, 2,..., 8) алгебраических миноров к элементам (к, п = 1, 2,... , 8) определителя Доо из (16) имеет следующий вид:

=

/¿11 ¿12 ¿13 ¿21 ¿22 ¿23 ¿31 ¿32 ¿33

¿71 ¿72 ¿73 N^¿81 ¿82 ¿83

Д

оо

/ 1 -1 1 .. .1 -1

1 «—1 1 .. . -1 1

«—2 2 «—2 .. . 2 2

6 -«1—6 «—6 .. . 6

V 7 «—7 7 .. . -7 7 /

¿17 ¿18 ¿27 ¿28 ¿37 ¿38

¿77 ¿78

(45)

Доо

по строчкам или по столбцам, используя формулы (45).

Строгое доказательство леммы приведено автором в работе [19]. С учетом (43)—(45), формула (42) примет вид

Дз1,о(ж,5) = Л

1 = е

—одахзж /

(--1 7) = (-1)-1е

—одахзж

(46)

&=2

так как «8 = —8 (к = 1, 2,..., 8), при этом в формуле (41) имеем

^81,7(ж,8) = ^(ж,«) ^3 . «3^3 . . ^8 . «8^8 + ■ ■ + ^2 . «2^2 . . ^7 . «2^7 (ж, (ж, 88

А62(ж,«) «6^3 . «6^2 . А68(ж,«)

(47)

Аналогично формулам (41)-(47) можно вычислить определители (ж,«) (к = 1, 2, . . . , 8)

А?*;(ж, 8) = (а«)

21

' , ч ^,7(ж,з) 1 --^^- +0( —

, к = 1, 2,..., 8,

(48)

А$м(ж,в) = (-1)* « е-к = 1,2,..., 8, (49)

при этом величины ^^(ж, 8) выписываются в виде суммы определителей аналогично величине ^^(ж, з) из (47).

Используя формулы (7)—(12), (42)—(50), (23)—(27), (37), (39), векторы-столбцы («!£; )* (к = 1, 2, 3) из формулы (40) приведем к следующему виду:

«11 «21

Ч1^ - +

«тг (7Г^) | «еато1

п2 ^71 _

~~8аТ

(50)

Д(п; 8; п,к) = ^ е°Штвл /" г(£)е—к = 1, 2;

т=1 п

X

«12 «22

«13 «23

+ аеап,2аЬ

8 а7 в7 8 а7 в7

+ аеаи,2вЬ

8а7 в7 8а7 в7

А;'1(П,З) + аеат я"ь

8 а7 в7 8 а7 в7

+ аеат3.,ь

8 а7 в7 8 а7 в7

(52)

(53)

причем для сектора 1) в величинах Ат(п, а) из (10), (11) и Я(п; а; ) (к = 1, 2; т = 1, 2, 3) из (51) необходимо оставлять только экспоненты еаад1«п, еаад2«п и еаадз«п.

Применяя формулы (50)—(53), уравнение (40) можно переписать в следующем виде:

/л /л £1,7,1(з) . £1,7,2(з) . 1 ■ п

51(5) = 51>0(в) - 0';7^7 + 0';7„7 + о () = о,

8а7а7

шп1 шп1 е«ад2 «п

8а7а7

1

ШП2 е«™^

2

шп2 еа^2

шп1 е«™2«п шп1

2

шп2

3

П2 еаадз«п

Ш3 е

уМб

(54)

(55)

А"1 (п,в) ш?1 еа™2« А?? (п,в) ш?2 еа™2«

+

шп1 (п,в)

■П2 (п,в)

Аи (п,в) ш?1 еа™з« Аи (п,в) ш?2 еа™3«

ШП1 еа»2«п (п,в)

■П2 А3 (п,в)

уМб

(56)

^1,7,2(5) =

аеаад1«ьЯ(п; а; щ) ш?1 еаад2«п аеаад1«ьЯ(п; а; П2) ш?2 еаад2«п аеаад2«ьЯ(п; а; щ) ш?1 еаадз«п аеаад2«ьЯ(п; а; П2) ш?2 еаадз«п

+

■ш?1 еаад1«п аеа™2 «ьЯ(п; а; щ) ■ш?2 еаад1«п аеа™2 «ьЯ(п; а; П2)

■ш?1 еа™2«п аеаадз«ьЯ(п; а; щ)

п 2

■ш?2 еа™2«п аеаадз«ьЯ(п; а; П2)

6

Мб

ш

ш

Применяя свойства определителей, функцию #1,о(а) из (55) приведем к виду

^1>0(в) = Ши2 ^

при этом благодаря формулам (5) имеем

ш

?2

ш

?2

е«(^2 +адз)«п ^Мб

■и1 Ш

■и2 Ш

и1 ■и1 2и1

?2 2 ■и2 2и2

«и1 «и2

1?2

у2и1 у2и2

2и2 - 2и1 = Е2;

= 2й1 2и2 Е2 = г^2 Е2, N2 = щ + П2.

(57)

(58)

(59)

1

2

3

4

Вычислим определитель |

|1 из (56), применяя формулы (10), (11), (59) и свойства

определителей

Ш!«?1 VI ( / ... ) + ^Щ"1 /... } + «з^?1 «з( / ...

I ... |!=

0 /а!! V 0 / а!2 V 0

7Г \ / 7Г \ / 7Г

■!Ш™2М / •• О + Ш2<2«Л / ..Л + Ш3ШП2У3 /...

0 а!! 0 а!2 0

= е^2^ <

а!!

Ш?1 Ш?1 Ш?2 Ш?2

+ Ш2«2

а!2

а!з ■П1

а!з ■П2

П1

П2 2 ■П2

+ Шз«з

шП1 шП1

Ш?2 Ш?2

0

ж

- шз£2^2еа(ад2+адз)5^у..

а!!

|2 = е

■П1 Ш1ШП1 «Л / ... ) + Ш2ШП1 «Л /... + ШзшП1 «Л /.

V 0 / а2! V 0 / а22 V 0

■П2 Ш!«?2 «Ц / + Ш2ШП2 «Л 1 "О + Ш3ШП2 «Л / .

а2!

а22

П

= Ш2Я2еа(ад1 ^)^а22;

(60)

где были введены обозначения = еаадк(к = 1, 2,..., 8).

Аналогичным образом выводятся формулы для определителей | ... 12, | ... |з и | ... из (56):

а2з

а2з

(61)

... |з = Ш2£2^ 2е'

N2 еа(ад2+адз)«п

ж

I ... |4 = -ш^е^1^2^ ( I . . Л + ШзЕ2

аз!

а22

^N2 еа(ад2+^з)«п

Далее вычисляем определители | ... |т (т = 5, 6, 7, 8) из (57): |... 15 = а

Ш!«?1 /... + ^Ш?1 «Ц /... ) + ШзШ?1 «Л /...

0 /г! V 0 / г2 V 0 / гз

азз

■!Ш™2 «Л .Г" ) + Ш2Ш?2 «Л /... ) + ШзШ?2 «з / ...

0 /г! \0 / г2 \0 / гз

Ш

Ш

П1

X ^^ = /

- ашзЕ2^ еа-1Ь-еа(»2+-з)-^/ ...

г!

(62)

ж

ж

2

|... |б = а

■П1 Ш!«?1 М / ..0 + Ш2ШП1 «2 /... + ШзШ?1 «Л / .■

0 /г! V 0 /г2 V 0 / гз

7Г \ / 7Г \ / Ж

Ш

П2 !

0 г!

Ш!Ш?2«! / . . О + Ш2«П2«Л I . . . + ШзШ?2«з /

0 г2

0 / гз

(64)

17 = ^^ аеаад2«0е'

N2 араад2 «Ь „а(ад2

г2

(65)

^N2 еа^з «&еа(ад2 +^з) «п

гз

|... |з = (-а)ш!Е2еаадз«Ьеа(ад1+ад2)«п ^ .. ^ + ашз^

0 г! 0

Подставляя формулы (60)^(65) в уравнение (54)-(59) и поделив на Е2еа(ад2+адз)«п = 0, приведем его к следующему виду:

£!(в) =

еа(ад1-адз)«п _ ^Мб^N2

+ (66)

0!(в) = Ш!еа(ад1-адз)«^ У .. ^ + Ш2еа(ад1-адз)«^ У ... ^

а22

- Ш2^Мб

(10)

- Шз^Мб ^N^2

0

а22

азз

агата V ^ /а!!

0 0 0

(/...) = I 9(^а!!, к = 1, 2,..., 8;

0а11

02 (в) = Ш!^Мб еа(ад1

00 ж ж

= У ^)еа(ад1-адз)«^а!з; 0

0

0з(в) = Ш!еаад1«Ьеа(ад1-адз)«^ У .. ^ - шз^

0 г!

ж

+ ш2еаад2«Ьеа(ад1-ад2)«^ У ...^ -

а1з

00

аз1

00

^N2 еаад1«Ь

+ Ш!^Мб еаадз«Ьеа(ад1-адз)«п

уМб ^N2

- шз^Мбеаадз«Ь

т 1

(67)

(68)

гз

7Г

7Г

7Г

7Г

7Г

(/•••) к (=2) / г(£)е-аадк^, к = 1,2,..., 8.

(69)

7. Асимптотика собственных значений ФДО (1)-(3) в секторе 1) индикаторной диаграммы

Основное приближение уравнения (66)^(69) имеет следующий вид: = ,мб/2 = е2ткр^м6р^м2 ^ 8к 1 осн _ -

а(ш1 — ш3) '

к = к + ^ + М6 = ^2тк, N2 = 71! +п2, кеП.

(70)

к=1

Формула для з^д^сн из (70) помогает выписать формулу для нахождения корней квазиполинома вида (66)^(69) (см. [20, 21]).

Теорема 6. Асимптотика собственных значений ФДО (1)-(3) в секторе 1) индика-

1

2г

к7 ~\ки

, к € М,

(71)

а(ъи 1 — -шз)

где величина к определена формулой (70).

< Для доказательства теоремы 6 необходимо доказать, что величины ^^д из (71) находятся единственным образом, попутно мы приведем явные формулы для их вычисления.

По формулам Маклорена имеем

2г

еа(ад1-адзН (= ехр I «к,1

1

а(ш1 — ш3)п

а(и)1-и)3)\ к7 \ки

= 2Мб ^

2пг^7к -I ^ /1 к7 ~\ки

«к,1

(72) а7(гУ1 — юз)7 1 / ,п(2_

2Ч7 к7\ -\к*

Подставляя формулы (71)^(73) в уравнения (66)^(69), получаем

а7 {из 1 -и)3)71 1 / / 1 к7 '~\к1Ч " " I 27г7г

х {ад Цд + ад 1,м - «ад Цд} + о {£) = о,

(72)

(73)

(74)

вХ (в) I = Ш12Мб 2М2

+ Ш22Мб

Ш22Мб

а11

Ш32Мб

а22

а22

0

«33 ~и14

(75)

= (Ш1 — Ш3)2МбгМ2 I ;

7

«м

= (-1) А^еТ

= ¿Мб ^N2

Мб

- Мб

аз!

а!з

«м

2хг _2хг т\/г .

е 8 е & I <?(£)ехр

2Ш / 1

а(гУ1 — IV з)—-^ + —

0,(101 — юз) \к7

2пг 2пг д,г

—е 8~е~8~ 6

е-2%Ы + 0

к7

¿¿аз!

а!з

(76)

= (-21)гМвгМ2е^ I д(Ь) вт

г 2п

- —М6 + — 88

;

- шзг-Мб еаад1«6

г!

...

0

+ Ш2е'

■2е

г2

+ ■!гМб еаадз«6

г2

гз

г!

- Шз

г!

(77)

«к ,1

М«) = Ш!^Мбеаадз«^ г(Д)е-аад1^г! - шз^-Мбг(^е-аадз^гз,

(78)

М«) = Ш!еаад1«^ гСОе-аад1«^г! - Шзеаадз«^ г(;Д)е-аадз^гз.

(79)

При этом из формул (78) и (70) получаем

\ I

031Ы = е в

з 11осн

е 8 е в ™6 ехр

■ ! + Шз -

Ш! - Шз

ехр -

Ш! - Шз

Ш! - Шз

Ш! + Шз .г Л I ■! - Шз .г.\,.

-гЫ \dtri

х / г(£)ехр(--г/с^ ) ехр ( —

Ш! - Шз

Ш! - Шз

Мб

— е в е 8 0 ехр

Ш! + Шз -

Ш! - Шз

ехр

Ш! - Шз

Ш! - Шз

х I г(£)ехр( — ————Ш ) ехр ( —-——гЫ)(Игз

Ш! - Шз

Ш! - Шз

(80)

Из формул (5) получаем

4хг 2хг . _2хг 2хг . , ч

гу1+гу3 1 + е в . е« (е 8 + е 8 ) . / 2-л" \

= 7Г7?г = е¥(е-¥-е¥)г =

(81)

1

7Г

7Г

7Г

2пг 2пг

Подставляя (81) в формулу (80), выводим

ехр ( ikt + —---+ гко

8 8

- 2п 2п _ • — ехр ( — ikt —— + —М6 — гко 88

dt

(82)

= (—2i)e~e~ J r(t)e sin 0

ikt + ikb + -т — 7Г"^6

4 4

Аналогичным образом из формул (5), (79) и (70) выводим

Ms)Lfcl0Ce = (-2i)e-e~kb / r(t)e sin

kt - kb + -4

dtb3-

(83)

сокращаются, а приравнивая коэффициенты при i, находим

Подставляя формулы (75)-(83) в уравнение (74), видим, что коэффициенты при -0 :я, а приравнивая i

(Wl -w2)8i f

- w3 Wl — w3

а г . . "i I

A: € N. (84)

d7k,1 =

я^досн ' издоен

27гг8 • 27г8 | щ-щ w\— w3

а

w1 — w3

031(s)| + 032(s)|

3 '^досн v ' издоен

Из формулы (5) получаем

47Гг 2хг / _2хг 2хг

wi — гу3 = 1 — ее =es е s —ее

2тг1 / 27Г = (—2г)е s sin ( — 8

(85)

С помощью формул (75)-(83) и (85) из (84) находим

d7k,1 =

(wi - w3f 8тг28

х J r(t)e 0

Применяя формулы

+

. 2тгг К

(-2 i)e~

ш W1 — w3

0

а

b1 W1 — W3

¿тгг

(-2i)e s e

-fcb

ii г, п\ /r ~ п nM6

sin /ci — kb + — — sin /ci + kb + —---—

4 / V 4 4

dt >. (86)

• о О ■ i а — P\ fa + e sin a - sm p = 2 sin ( —-— I cos

из (86) выводим

2ттг

2ie s

2ттг

2ie s

' w1-w3 (_2г)е¥ sin(^) sin(f)

d7k,1 =

(sin(f))8

8п

q(t)dta11 +

0

sin(f)

q(t) sin

0

+ T--

44

dtb1

-i^-e-^sinfjfeb-^ /гфе^сов

sm(f) V 8 / J

0

r п пМб

dtb4 Л

(87)

1

П

П

1

Формула (87) показывает, что коэффициенты формулы (71) находятся един-

ственным образом, тем самым теорема 6 доказана. >

1

Теорема 7. Асимптотика собственных значений ФДО (1)-(3) в секторах 2)-8) индикаторной диаграммы представляется в следующем виде:

27гг 27тг 47тг 27тг 27тг / _1 \

«)с,2 = ^де 8 ; «м = 8 =»уе8 ; •■•; = 8 = «¿де 8 1

= (вй,т)8) т = 1 2 . . . I 8

при этом в^д определены формулами (70), (71), (87).

Литература

1. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.—М.: Наука.—1969.—528 с.

2. Лидский В. В., Садовничий В. А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Мат. c6.-1968.-T. 75(117), № 4.-С. 558-566.

3. Садовничий В. А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Мат. c6.-1967.-T. 72(114), № 2.-С. 293-317.

4. Лидский В. В., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функцион. анализ и его прил.—1967.—Т. 1, № 2.—С. 52-59.

5. Митрохин С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами // Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика.—1986.— № 6—С. 3-6.

6. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Диф. уравнения.—1992.—Т. 28, № 3.—С. 530-532.

7. Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Докл. РАН.—1997.—Т. 356, № 1.—С. 13-15.

8. Мартинович М. Об одной краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения // Диф. уравнения.—1982.—Т. 18, № 2.-С. 239-245.

9. Мартинович М. Дзета-функция и формулы следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением // Диф. уравнения.—1982.—Т. 18, № 3.—С. 537-540.

10. Митрохин С. И. О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом // Диф. уравнения.—1986.—Т. 22, № 6.—С. 927-931.

11. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма — Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. Математика—2000.—Т. 64, № 4.-С. 47-106. Б01: 10.4213/т295.

12. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма — Лиувилля с сингулярными потенциалами // Мат. заметки.—1999—Т. 66, № 6.-С. 897-912. Б01: 10.1213 ш/ш1231.

13. Савчук А. М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма — Лиувилля с ¿-потенциалом // Успехи мат. наук.-2000.-Т. 55, № 6(336).-С. 155-156. Б01: 10.4213/гт352.

14. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четверного порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика.—2009.— № З.-С. 102-104.

15. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом // Диф. уравнения.—2011.—Т. 47, № 12.—С. 1808-1811.

16. Митрохин С. И. Об исследовании дифференциального оператора с суммируемым потенциалом с разрывной весовой функцией // Уфимский мат. журн.—2017.—Т. 9, № 4.—С. 74-86.

17. Митрохин С. И. Периодическая краевая задача для дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым потенциалом // Владикавк. мат. журн.—2017.—Т. 19, № 4.—С. 35-49. Б01: 10.23671/УМС.2018.4.9166.

18. Веллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения.—М.: Мир.—1967.—548 с.

19. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией // Изв. вузов. Математика.—2018.—№ 6.—С. 31-47.

20. Садовничий В. А., Любишкин В. А., Велабасси Ю. О регуляризованных суммах корней целой функции одного класса // Докл. АН СССР.-1980.-Т. 254, № 6.-С. 1346-1348.

21. Садовничий В. А., Любишкин В. А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов // Диф. уравнения.—1982.—Т. 18, № 1.—С. 109-116.

Статья поступила 30 мая 2018 г.

Митрохин Сергей Иванович НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова, старший научный сотрудник

РОССИЯ, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, 1 E-mail: mitrokhin-sergeyflyandex. ru

Vladikavkaz Mathematical Journal 2019, Volume 21, Issue 2, P. 38 57

ON THE STUDY OF THE SPECTRUM OF A FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL OPERATOR WITH A SUMMABLE POTENTIAL

Mitrokhin, S. I.1

1 Lomonosov Moscow State University, 1 Leninskie Gory, Moscow 119991, Russia E-mail: mitrokhin-sergeyflyandex. ru

Abstract. The paper deals with a functional-differential operator of the eighth order with a summable potential. The boundary conditions are separated. Functional-differential operators of this kind arise in the study of vibrations of beams and bridges made up of materials of different density. To solve the functional-differential equation that defines a differential operator, the method of variation of constants is applied. The solution of the initial functional-differential equation is reduced to the solution of the Volterra integral equation. The resulting Volterra integral equation is solved by Picard's method of successive approximations. As a result of the investigation of the integral equation, asymptotic formulas and estimates for the solutions of the functional-differential equation that defines the differential operator are obtained. For large values of the spectral parameter, the asymptotics of the solutions of the differential equation defining the differential operator is derived. Similar to the asymptotic estimates of solutions of the differential operator of the second order with smooth and piecewise smooth coefficients, asymptotic estimates of solutions of the initial functional differential equation are established. The obtained asymptotic formulas are used to study the boundary conditions. As a result, we come to the study of the roots of a function represented as a determinant of the eighth order. To find the roots of this function, it is necessary to study the indicator diagram. The roots of the eigenvalue equation are in eight sectors of an infinitesimal solution, defined by the indicator diagram. The behavior of the roots of this equation in each of the sectors of the indicator diagram and the asymptotics of the eigenvalues of the differential operator under study are studied.

Key words: functional-differential operator, boundary value problem, summable potential, boundary conditions, spectral parameter, indicator diagram, asymptotics of the eigenvalues.

Mathematical Subject Classification (2010): 34K08.

For citation: Mitrokhin, S. I. On the Study of the Spectrum of a Functional-Differential Operator with a Summable Potential, Vladikavkaz Math. J., 2019, vol. 21, no. 2, pp. 38-57 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2019.2.32116.

References

1. Naimark, M. A. Lineynye differencial'nye operatory [Linear Differential Operators], Moscow, Nauka, 1969, 528 p. (in Russian).

2. Lidskyi, V. B. and Sadovnichiy, V. A. Asymptotic Formulas for the Zeros of a Class of Entire Functions, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1968, vol. 4, no. 4, pp. 519-527. DOI: 10.1070/SM1968v004n04 ABEH002812.

3. Sadovnichiy, V. A. About Traces of Ordinary Differential Operators of the Highest Orders, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1967, vol. 1, no. 2, pp. 263-288. DOI: 10.1070/SM1967v001n02ABEH001979.

4. Lidskyi, V. B. and Sadovnichiy, V. A. The Trace of Ordinary Differential Operators of High Order, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1967, vol. 1, no. 2, pp. 263-288. DOI: 10.1070/SM1967v001n02 ABEH001979.

5. Mitrokhin, S. I. About Formulas of Regularized Traces for Differential Operators of the Second Order with Discontinuous Coefficients, Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya: matematika, mehanika [Vestnik MGIJ. Ser. Mathematics, Mechanics], 1986, no. 6, pp. 3-6 (in Russian).

6. Mitrokhin, S. I. About Spectral Properties of Differential Operators with Discontinuous Coefficients, Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 1992, vol. 28, no. 3, pp. 530-532 (in Russian).

7. Mitrokhin, S. I. About Some Spectral Properties of Differential Operators of the Second Order with Discontinuous Weight Function, Doklady RAN [Reports of the Russian Academy of Sciences], 1997, vol. 356, no. 1, pp. 13-15 (in Russian).

8. Martinovich, M. On a Boundary Value Problem for a Functional-Differential Equation, Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 1982, vol. 18, no. 2, pp. 239-245 (in Russian).

9. Martinovich, M. The Zeta-Function and Trace Formulas for one Boundary-Value Problem with a Functional-Differential Equation, Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 1982, vol. 18, no. 3, pp. 537-540 (in Russian).

10. Mitrokhin, S. I. On the Trace Formulas for a Boundary Value Problem with a Functional-Differential Equation with a Discontinuous Coefficient, Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 1986, vol. 22, no. 6, pp. 927-931 (in Russian).

11. Vinokurov, V. A. and Sadovnichii, V. A. Asymptotics of any Order for the Eigenvalues and Eigenfunctions of the Sturm-Liouville Boundary-Value Problem on a Segment with a Summable Potential, Izvestiya: Mathematics, 2000, vol. 64, no. 4, pp. 695-754. DOI: 10.1070/IM2000v064n04 ABEH000295.

12. Sachuk, A. M. and Shkalikov, A. A. Sturm-Liouville Operators with Singular Potentials, Mathematical Notes, 1999, vol. 66, no. 6, pp. 741-753. DOI: 10.1007/BF02674332.

13. Sachuk, A. M. First-Order Regularised Trace of the Sturm-Liouville Operator with ¿-Potential, Russian Mathematical Surveys, 2000, vol. 55, no. 6, pp. 1168-1169.

14. Mitrokhin, S. I. The Asymptotics of the Eigenvalues of a Fourth Order Differential Operator with Summable Coefficients, Moscov) University Mathematics Bulletin, 2009, vol. 64, no. 3, pp. 102-104. DOI: 10.3103/S0027132209030024.

15. Mitrokhin, S. I. On the Spectral Properties of Odd-Order Differential Operators with Integrable Potential, Differential Equations, 2011, vol. 47, no. 12, pp. 1833-1836. DOI: 10.1134/S00122 66111120123.

16. Mitrokhin, S. I. Study of Differential Operator with Summable Potential with Discontinuous Weight Function, Ufa Mathematical J., 2017, vol. 9, no. 4, pp. 72-84. DOI: 10.13108/2017-9-4-72.

17. Mitrokhin, S. I. A Periodic Boundary Value Problem for a Fourth Order Differential Operator with a Summable Potential, Vladikavkaz Math. J., 2017, vol. 19, no. 1, pp. 35-49. DOI: 10.23671/ VNC.2018.4.9166.

18. Bellman, R. and Cooke, K. L. Differential-Difference Equations, New York, Academic Press, 1963, 482 p.

19. Mitrokhin, S. I. Asymptotics of Eigenvalues of Differential Operator With Alternating Weight Function, Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2018, vol. 62, no. 6, pp. 27-42. DOI: 10.3103/S1066369X1806004X.

20. Sadovnichii, V. A., Lubishkin, V. A. and Belabassi Yu. On Regularized Sums of Roots of an Entire Function of a Certain Class, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1980, vol. 254, no. 6, pp. 1346-1348 (in Russian).

21. Sadovnichii, V. A. and Lubishkin, V. A. Some New Results of the Theory of Regularized Traces of Differential Operators, Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 1982, vol. 18, no. 1, pp. 109-116 (in Russian).

Received May 30, 2018

Sergei I. Mitrokhin Lomonosov Moscow State University, 1 Leninskie Gory, Moscow 119991, Russia, Senior Researcher

E-mail: mitrokhin-sergeyflyandex. ru