Определение стартовой функции в задаче наблюдения параболической системы с распределенными параметрами на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.56 +519.17

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАРТОВОЙ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ НАБЛЮДЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ГРАФЕ

С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов

Рассматривается задача для случая, когда воздействие на дифференциальную систему осуществляется в начальный момент времени, т.е. является стартовым условием, при этом наблюдение за состоянием системы осуществляется в конечный момент времени, являясь финальным наблюдением. Получены условия существования и единственности оптимума функционала наблюдения при управлении по стартовым условиям

Ключевые слова: начально-краевая задача на графе, корректность, оптимизация по стартовым условиям, финальное наблюдение, сопряженная система

1. Введение. Рассматривается задача наблюдения дифференциальной системы с распределенными параметрами на графе для случая, когда состояние системы определяется как обобщенное (слабое) решение начально-краевой задачи на графе, воздействие на систему осуществляется в начальный момент времени, т.е. является стартовым условием, при этом наблюдение за состоянием системы осуществляется в конечный момент времени, являясь финальным наблюдением. При этом рассматривается след функции, описывающей состояние системы на множестве точек графа и при фиксированной временной переменной. Сопряженное состояние системы описывается также обобщенным (слабым) решением начально-краевой задачи на графе с финальным условием. Получены условия существования единственного оптимума функционала наблюдения для задачи оптимизации по стартовым условиям дифференциальной системы. Рассмотрены задачи прикладного характера. Работа продолжает исследования авторов, приведенные в [1].

2. Постановка задачи определения стартовой функции. Все рассмотрения используют произвольный связный ограниченный ориентированный граф, допускающий наличие циклов (петель), при этом сохраняются обозначения, принятые в [2-4]. Обозначим через сГ множество граничных С , через 3 (Г) - множество внутренних Е узлов графа Г и пусть Г - объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, сШ -множество всех граничных ребер (ребер, содержащих граничные узлы С еСГ). Обозначим

далее через Г = Гх (0,Т) (Г = Г х (0,0) и сГг = 5Гх (0,Т). Каждое ребро у графа Г параметризуется отрезком [0,1] и параметром х е [0,1], ориентация ребер установлена в [2, с. 88].

Подвальный Семен Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 243-77-18

Провоторов Вячеслав Васильевич - ВГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: [email protected]

Рассмотрим начально-краевую отыскания решения y(х, t) в области Г г :

дУ й(х) &) + тУ = f (x,t)

y It=0 = v(x), x еГ

У 1хедГ =0, 0< t < T .

задачу

(1)

(2) (3)

Выбор функций у(х) в начальном условии (2) определяет стартовые условия задачи (1)-(3), во всех внутренних узлах графа Г функция у( х, /) удовлетворяет условиям вида

_ Зи(1А. Е а(1)у

rjeR(S)

= X «(0),

r.er (Е)

дх

аи(0, t),

дх

(4)

Здесь а(1)у , а(0)у - значения в точках

уу уу

сужений функций а(х), Ь(х) на ребро у. ; Л(Е) -множество ребер, ориентированных «к узлу Е», г (Е) - множество ребер ориентированных «от узла

Е».

Ниже рассматривается ситуация, когда состояние дифференциальной системы (1) с распределенными параметрами на графе Г определяется как обобщенное (слабое) решение начально-краевой задачи (1)-(4), воздействие на систему (1) осуществляется в начальный момент времени, т.е. является стартовым условием у(х),

при этом наблюдение за состоянием системы осуществляется в конечный момент времени, являясь финальным наблюдением у(х, t).

Введем необходимые пространства [1, 3]: Ц (Г) - пространство функций, суммируемых с квадратом на Г (аналогично определяется пространство Ц (Гг)); ^(Г) - пространство функций из Ц (Г), имеющих обобщенную производную 1-го порядка также из Ц (Г); Цл (Гг) - пространство функций из Ц (Гг) с нормой

Т

РиР (Г л= \(\и2(х,t)dx)1/2Ж; ^,0(Гг) -

^2,1 Т ) ^ г

пространство функций и(х, /) е Х2 (Гг), имеющих обобщенную производную 1 -го порядка по х, принадлежащую ¿2 (Гг), норма в ^,0(Гг)

определяется соотношением

Р и Р21,°(Г )= Ли( х,t )2 +

ди( х, t) дх

2\

dxdt .

Пусть далее У2 (Гг) - множество всех функций

и(х, () е №2'0(Гг), имеющих конечную норму

Ри Р2Г = тах и(х,t)

Г)

(5)

и непрерывных по t в норме Х2 (Г), т. е. таких, что ||и(х, t + At) - и(х, ^ 0 при Дt ^ О

равномерно на [0,Т].

Рассмотрим билинейную форму относительно функций и(х) иу(х)

г( dи dv |

£(/и,у)= II а(х)---+ Ъ(х)цу \dx

dx dx )

коэффициенты а( х), Ъ( х) (см. (4)) -фиксированные измеримые ограниченные на Г функции, суммируемые с квадратом: О < а < а(х) < а*, Ъ < Ъ(х) < Ъ , х еГ0

(а, а*, Ъ, Ъ* - фиксированные постоянные). Из леммы 2 [2, с. 92] следует, что в пространстве ^(Г) есть множество П функций и(х) е С(Г) (С(Г) - пространство непрерывных на Г функций), удовлетворяющих аналогичным (4) соотношениям du(1)r du(0)r

I а (1),—I а (0Х.—1

Г]еЯ(£) 1 ^ ,ег(%) 1 Лх во всех узлах % е J(Г), замыкание в норме (Г) множества функций из П , равных нулю во всех узлах % е дГ, обозначим через №2 0 (а, Г). Пусть далее П0 (а, Гг) - множество функций и(х, 0 е V (Гг), чьи следы определены на сечениях области Гг плоскостью t = ^ (/0 е[0,Т]) как функции класса ^0(а, Г), т.е. для каждого элемента и еЦ, (а, Г) при фиксированном / е[0,Т ] существует последовательность {ип} функций и(х,0еП, сходящаяся в норме ^(Г) к следу V, при этом ия (х, t) равны нулю во всех узлах % е дГ, непрерывны на Г и удовлетворяют соотношениям (4) для всех узлов % е J(Г). Замыкание множества П0 (а, Гг) по норме (5), обозначим через У^ (а, Гт): У^ (а, Гт) с Ж1/ (Гг). Другим подпространством пространства Ж2'0(ГТ)

является пространство ^„(а, Гг) - замыкание в норме №2'°(Гг) множества гладких функций, удовлетворяющих соотношениям (4) для всех узлов %е J(Г) и для любого / е[0,Т], а также равных нулю вблизи дГх[0,Т]. Отличием элементов пространства У1'0(а, Г) от элементов №2 0(а, Гг) является отсутствие у последних непрерывности по переменной t, соотношение (4) имеет место почти всюду на (0,Т). Далее исходим из свойства следов элементов (Гг), а именно они определены на каждом сечении Гг плоскостью t = ^ (/0 е[0,Т]) как элементы Х2 (Г) и непрерывны по ; в норме Х2 (Г) [5, с. 70]. Замыкание по норме №2(Гг) множества функций и(х, t) е (Гг),

принадлежащих при фиксированном /0 е [0,Т] классу №10(а, Г), обозначим через , Гг).

Ясно, что элемент этого пространства при фиксированном /0 е [0,Т] удовлетворяет

соотношениям вида (4) для всех узлов % е J(Г). На протяжении всего изложения рассматриваются измеримые функции и используется интеграл Лебега.

Ниже для уравнения (1) рассматривается задача определения стартовой функции v(x) в

пространствах У2'0 (а, Гг), Гг) и ^„(а, Гг).

3. Задача наблюдения в пространстве У2,° (а, Г) • Рассмотрим уравнение (1) в

пространстве У2'0 (а, Гг) и соответствующую ему задачу определения стартовой функции v(х). При этом в качестве пространства и допустимых функций (пространство стартовых условий) используется Х2 (Г), пространством наблюдений также является Х2 (Г). Предположения относительно функций а(х), Ъ(х) остаются теми же, что и в разделе 2; /(х, Г) е ¿2 ^ (Гг), v(x) е Х2 (Г).

Определение 1. Обобщенным решением начально-краевой задачи (2)-(4) называется функция у(х, ^ е У2,0 (а, Гг), удовлетворяющая

интегральному тождеству

|у(х, tх, t)йх + 11 -у(х, t) д^(X, t) | dxdt +

Г Г( V дt /

+1, (у(х, 0,7(х, t)) = IV (х)^( х,0^х +

Г

+| / (х, t )ц( х, t )dxdt

(6)

для любых t е[0,Т] и при любой т](х,t) е №\й(а,Гг); £((у, Г]) - билинейная форма, определенная соотношением

Т

Г

I, C",v) = = j ( a(x)

8ß(x,t) dv(x,t)

dx

8x

+ b(x)/u(x, t)v(x, t) dxdt

Теорема 1 [2, с. 131]. Задача (1)-(4) однозначно разрешима в пространстве V(а, Г), обобщенное решение непрерывно зависит от исходных данных

f (х, t), у(х).

Замечание 1. Краевое условие (3) может быть неоднородным: у(х, t) = ф(х, 0, х едГ, 0< t < Т (тогда ф(х, ^ = ф (t) для каждого узла С е дГ) и

доказательство теоремы почти дословно повторяет рассуждения [6]. При этом предварительно вводится новая неизвестная функция и (х, Г),

удовлетворяющая однородному краевому условию и(х, 0 = и(х, 0 - Ф(х, 0 , здесь Ф(х, 0 -произвольная функция из Ц (Гг), имеющая

дФ

обобщенную производную —е Ц (Гг) и

дх

удовлетворяющая (почти всюду) лишь неоднородному краевому условию. Правая часть f (х, t) уравнения (1) принимает вид

F (x, t) = f (x, t) - ЬФ —

8аФ„

8x

в правой части

соотношения (6) определения 1 добавляется слагаемое

- jb (х)Ф(х, 07(х, t)dхdt - |а(х)ф (х, (х, t)dхdt.

Г Г

11 11

Состояние у(х, ^ е V},0(a, Гг) системы (1)-(4), определяемое как обобщенное решение задачи (1)-(4) с начальным условием у(х), очевидно, зависит от функции у( х) е и, являющейся стартовым состоянием системы (1)-(4), при этом И -пространство стартовых состояний у(х) системы (1)-(4). Поэтому всюду ниже обозначение у(х, Г) будет заменено на у(у)(х, t).

Пусть С : V},'0 (а,Гг) ^ Ц (Г) - линейный

непрерывный оператор (оператор наблюдения), для определенности будем считать, что наблюдением является у(у)(х,Т) (у(у)(х,Т) = Су(у)(х,t)), т.е. в финальных наблюдениях, очевидно, могут использоваться и иные типы наблюдений; 3 (у) -функционал, требующий минимизации на выпуклом замкнутом множестве И с И (функционал стоимости), имеет вид

3 (у) =Р у(у)( х, Т) - 2,{х) РЦ2(Г) + (Ыу, у)и,

где N: И ^ И - линейный непрерывный эрмитов оператор, причем (Ы,у)и >дРVр (д >0 -фиксированная постоянная); ^ (х) е Ц (Г) -заданное наблюдение.

Замечание 2. Присутствие слагаемого (Nv, v)ö в представлении функционала J (v) гарантирует коэрцитивность квадратичной компоненты функционала J (v) [2, с. 158].

Пусть Ua - выпуклое замкнутое ограниченное в U множество.

Задача наблюдения. Задача наблюдения системы (1)-(4) по стартовым условиям v(x) е Ua

состоит в определении min J(v).

veU8

Элемент v* е Ua назовем оптимумом системы (1)-(4), если он доставляет минимум функционалу J(v) на множестве Ua.

Теорема 2. Задача наблюдения системы (1)-(4) по стартовым условиям v( x) е U имеет

единственный оптимум v* е Ua, т.е.

J (v*) =min J (v).

veU8

Доказательство. В силу утверждения теоремы 1 линейное отображение v ^ y(v) пространства стартовых состояний U в пространство состояний Vl0(a, Гг) системы (1)-(4) непрерывно. Функционал

J(v) определяется с помощью двух операторов: 1) оператора v ^ y(v) перехода от стартового состояния v к состоянию y(v) системы (1)-(4), 2) оператора y(v) ^ Cy(v) перехода от состояния y(v)(x, t) к наблюдению y(v)( x,T).

Преобразуем функционал J(v) к следующему

виду:

J(v) =PС(y(v) -y(0)) + Cy(0)- z0 F^(r) + +(Nv, v)u = n(y, v) - 2^(v)+ PCy(0) - Zo P^(r),

где

ж(и, v) = (C(y(u) - y(0)), С(y(v) - y(0)))^(r) + +(Nu, v)u,

£(v) = (Z0 - Cy(0), С(y(v) - y{0)))h(r).

Доказательство завершается применением утверждения теоремы 1 [2, с. 158], при этом учитывается очевидное неравенство

P Cy (0) - Z0 P^2(r) > 0.

4. Конечномерный случай. Во многих прикладных задачах выбор множества Ua с U ограничивается множеством кусочно-постоянных функций v(x) с фиксированными числом N

скачков и известными значениями vt (i = 1, N) скачков. Обозначим таковое через UN, элементом множества UN является функция, равная наперед заданной постоянной на каждой ячейке каждого ребра графа Г, порожденной точками скачков и узлами Г . В силу утверждения теоремы 1 имеет место непрерывность функции v ^ J (v) по

Г

переменной V = (у¡. Учитывая изменения переменной V на ограниченном компакте евклидова

т-« N

пространства К , открывается возможность использования конечномерных методов

оптимизации функции V ^ J(V) [6]. Если при этом установлена гладкость функции V ^ J(V), тогда очевидна применимость градиентных методов оптимизации [7-9].

Отдельно остановимся на возможности сведения оптимизационной задачи (2)-(4) к конечномерной оптимизационной задаче в случае произвольного множества Иа с И, основанной на свойстве сепарабельности пространства И = Ц (Г). В пространстве Г) рассмотрим

множество собственных значений для краевой задачи

-—I а( х) ^^ 1 + Ъ( х)5( х) = в(х), dx ^ —х )

х)|дГ =0, в(х) е ¿2(Г),

т.е. множество таких чисел (Лп}иа1 (собственные числа занумерованы в порядке убывания их модулей и учетом кратностей), каждому из которых соответствует по крайней мере одно нетривиальное решение Зп (х) е (а, Г), удовлетворяющее тождеству £г (5,^) = Х(3,г) при любом г(х) е №"2 0 (а, Г). Последнее выражает тот факт, что (5 (х)}иа1 - множество обобщенных собственных функций класса (Г) указанной выше задачи.

Теорема 3 [Ш]. Множество обобщенных собственных функций (5и (х)}иа1 образует ортонормальный базис в Ц (Г).

Утверждение теоремы не изменяется и для случая гладких функций системы (5И(х)}иа1 [П, 22].

Из утверждения теоремы следует сепарабельность пространства Ц (Г) и любой элемент Ц (Г) может быть представлен в виде обобщенного ряда Фурье по системе (5и (х)}и^ .

Представим далее функцию v(х), определяющую стартовое условие (4), в виде ряда

да

v( х) = 1уп Зп (х) с коэффициентами Фурье

п=2

Vn = (Чх) (Г) ((v(х),5п (х))Ц (Г) - скалярное

произведение функций v(х), Зп (х) в пространстве Ц (Г)) и возьмем первые N членов ряда. Как и выше, утверждение теоремы 1 устанавливает непрерывность функции V ^ J(V) по переменной

V = (V, ^ . Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущим.

5. Бесконечномерный случай. Соотношения, определяющие оптимум. Возвратимся к случаю произвольного выпуклого замкнутого множества V = (V, ^ . Предварительно докажем следующее вспомогательное утверждение:

Лемма. Для любых V, и е И имеет место соотношение

у'(и)^ - и) = у^) - у(и), (7)

здесь у' (и) - производная по стартовому состоянию и функции состояния у (и) .

Доказательство. Из соотношения (6) для произвольных фиксированных V, и е И вытекает

| (у^)( х, t) - у(и)(х, t)) г—х +

Г

+1 (-(у^)(х, t) - у(и)(х, t)dxdt + (8)

тt

+£1 (у^)(х,t)-у(и)(х,t),г) = 0

для любых t е[0,Т] и при любой г = г(х, ^ е №2 0 (а, Гг ). С другой стороны, соотношение (6) дает

| (у(и +в^ - и)) - у^)) г—х +

Г

+| (у(и +в^ - и)) - у(^) ) dxdt + +£t((у(и +в(v - и)) - у^)),г) = 0

для любых t е[0,Т] и при любой

г = г(х, t) е Гг). Деля обе части полученного

соотношения на в и вычисляя предел при в ^ 0, приходим к соотношению

¡у (и) (V - и)г—х +

Г

+ !^-у' (и) (V - и dxdt + (9)

тt

+£ t (у ' (и) (V - и ) ,г) = 0

для любых t е[0,Т] и при любой г = г(х, 0 е №2 0 (а, Гг). Сравнивая левые части соотношений (8) и (9), учитывая принадлежность у'(и)(х, t) пространству , Гг), плотность

№20(а, Гг) в пространстве Ц (Г) (лемма 1), а также произвольность t е[0,Т] и

г(х, t) е IV2 0 (а, Гг), получаем соотношение (7). Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть множество И ограничено. Для того чтобы элемент и(х, ^ е И был оптимальным управлением, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения

|y(u)гdх + 11 - у (и)1 dхdt -

(10)

дt

+1, (у(и), ]) = |и]( х, 0)dх +| f r]dхdt Г Гt (Vt е [0,Т]Уг = г(х,0 е ^0(а,Гт)),

|(у(и)(хТ) - ^(х))((у(у)(хТ) -у(и)(х-Т))dх -

Г

+(Ыи, V - и)и > 0 (Vv е И),

где у (и) е ^;00(а, Г Т ) .

Доказательство. В соответствии с

утверждением замечания 2 к теореме 2 [2, с. 159]

требуется показать, что неравенство (11)

равнозначно неравенству 3 '(и XV- и) > 0 для

(11)

любого V е И

Исходя

из

представления

функционала 3 (у) и учитывая Су(у)(х, () = = у(у)(х,Т) = у (у), получим 3(и + д(у - и)) - 3(и) =

(ут (и +в(у - и)) - Zo, ут (и +в(у - и)) - ¿0)^ (г) +

+(N (и +д(у - и)), и + в(у - и))и -

-(ут (и) - zo, ут (и) - (Г) - (Nu, и)И .

Откуда вытекает соотношение для вариации 3(и):

3(и + 0(у - и)) - 3(и) =

= (ут (и + в(у - и)) + ут (и), ут (и + в(у - и)) - ут (и))^ (Г)

-2(^0, С(у(и + в(у - и)) - у(и)))Ц (Г) - 2(Ыи, у - и) и .

Деля последнее соотношение на в, переходя к пределу при в ^ 0 и учитывая соотношение (7) утверждения леммы, получаем

3'(и)(у - и) = 2(Су(и) - ¿0, С(у(и) - у(у)))^ (г) -

-2(Ыи,у - и)и, что и доказывает (Су(у)(х, ^ = у(у)(х,т)) неравенство (11); соотношение (10) очевидно. Теорема доказана.

Введем сопряженное состояние ®(у)( х, О системы (1)-(4), удовлетворяющее условиям (4) во всех внутренних узлах графа Г, как обобщенное решение начально-краевой задачи

_^ + АГа(х) ^1 + Ь(х)® = 0, (12)

дt дх ^ дх) у lt=т = у(у)(х, т) - ¿0 (х), х е Г, (13)

ЧедГ =0, 0< t < т. (14)

Определение 2. Обобщенным решением краевой задачи (12)-(14) называется функция со(у)(х,^ е ^0(а, Гг) , ®(у)(х,т) = у(у)(х,т) - ^(х) , удовлетворяющая интегральному тождеству

д®(у)( х, t)

С( х, t )dхdt +

(15)

(®(у)( х, t ),С(х, t)) = 0

для любых функций С(х,0 е ^„(а,Гг) .

Неравенство (11) можно преобразовать с помощью сопряженного состояния ®(у) системы (1)-(4), используя симметричность формы 1Т (и,г) (/ е[0,т]) и свойство пространства ^0(а, Гг) сопряженных состояний: на любом сечении Гг плоскостью t = ^ (/ е[0,т ]) существует след функции ю(у) е ^„(а,Гг), непрерывно зависящий от t е [0,т] в норме пространства Ц (Г). Обозначим 1Т (^,v) через билинейную форму 11 (^,v) при

t = т.

Пусть у(у)(х, t) - решение (6), у(и)(х, ^ -решение (6) при у = и, тогда при ^ = т и г(х, t) = ®(у)(х, t) получаем

|[у(у) - у(и)]х + 11 [у(и) - у(у)]I dхdt

дt

(16)

при что

t ([у(у) - у(и)],г) = |[у( х) - и( х)]г( х,0^х.

Г

Учитывая вытекающее из (15)

С(х, t) = у(у)(х, 0 - у(и)( х, t) (заметим,

^'°(а, Г) с ^ „(а, Гг)) равенство нулю выражения

I (-[ у (у) - у(и)] д]^ dхdt +11 ([ у (у) - у(и)],г)

в (1 6), получаем соотношение |[ у(у)( х, т) - у(и)( х, т)]ю(у)( х, т) dх =

Г

= |[у( х) - и( х)]®(у)( х, 0)ах,

Г

приводящее неравенство (11) к виду |[у(х) - и (х)]® (у)(х, 0)dх +

Г

+(Ыи, у - и)и > 0 Vv е Иэ или в эквивалентной форме (И = Ц (Г)) к виду

(®(у)(х, 0) + Ыи(х), у(х) - и(х))^(Г) > 0

для любых у(х) е И. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть множество И ограничено. Для того чтобы элемент и(х, ^ е И был оптимумом задачи (1)-(4), необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения:

Г

т

Jy(x, tx, t)dx -y(x, t)| dxdt +

Г Tt V dt )

+l, (y(x, t),^(x, t)) = Jv(x)^(x,0)dx +

Г

+J f (x, t)^( x, t )dxdt

rt

для любых t e[0,T] и ij(x, t) e W\0(a, Гг), da(v)( x, t)

(17)

J

dt

-£( x, t )dxdt +

+lr (a(v)( x, t ),C(x, t)) = 0, для любых ^(x, t) e W1'0 (a, Гг ) ,

(a(v)(x,0) + Nu(x), v(x) -u(x))z (r} > 0

(18)

(19)

для любых V е И. Здесь у (и) е У^а, Гг ), а^) е Ж\0(а,Гт) и а^х!) = 0 .

6. Задача наблюдения в пространствах

№20(а, Гг) и №2'0(а, Гг). Бесконечномерный случай. Далее рассмотрим уравнение (1) в пространствах Ж^(а, Гг), Ж^а, Гг) и ему соответствующие задачи определения стартовой функции v(х). В качестве пространства И допустимых функций используется Ц (Г), пространством наблюдений также является Ц (Г). Предположения относительно функций а(х), Ъ(х) остаются теми же, что и в разделе 2; Дх, 0 е ^(Гт ), v(х) е 4(Г).

Задача наблюдения системы (2)-(4) в пространстве Ж\0 (а, Гг), учитывая непрерывность

по / е[0,Т] в норме пространства Ц (Г) следов

элементов (а, Гг), мало чем отличается от

предыдущей задачи в пространстве У2'° (а, Гг).

Определение 3. Обобщенным решением краевой задачи (2)-(4) называется функция у(х, t) = у х, t) е (а, Гг), удовлетворяющая интегральному тождеству

Jy(x, Tx, T)dx - J y(x, t) dxdt -J J dt

+lr (y(x, t),^(x, t)) = Jv(x)^(x,0)dx +

Г

+ J f (x, t)^( x, t)dxdt

(20)

при любой г(х,t) е Ж^(а, Гг).

Сопряженное состояние а^) системы (2)-(4) в

пространстве Ж\й(а, Гг) определяется обобщенным

решением (15) определения 2 начально-краевой задачи (22)-(14). Все остальные рассуждения дословно повторяют рассуждения раздела 3, имеет место утверждение теоремы 4, где пространство

У20(а,Г) заменяется на Ж\й(а,ГГ), соотношение

(П) - на (20), соотношения (18), (19) остаются без изменений.

Задача наблюдения системы (1)-(4) в пространстве Ж20(а, ГГ) претерпевает более

существенные изменения. Таковые изменения обусловлены, прежде всего, отсутствием непрерывности элементов пространства Ж20 (а, ГГ) по временной переменной t, в то время как элементы пространств У2'0(а,Г) и Ж\й(а,Гг) являются непрерывными по t.

Определение 4. Обобщенным решением класса №2'0(ГГ) начально-краевой задачи (2)-(4)

называется функция у(х, t) е Ж2 0 (а, ГГ),

удовлетворяющая интегральному тождеству

J f-y(x, t)| dxdt + lr (y(x, t),^) =

Г V dt )

T

= Jv( x)^( x,0)dx + J f (x, t )^dxdt

(21)

для любых функций ?](x, t) e W2„(a, ГГ), равных

нулю при t = T .

Утверждение теоремы 4 не имеет места, утверждение теоремы 3 полностью сохраняется (соотношение (10) заменяется на (21).

7. Заключение. Представленный в работе анализ задачи наблюдения является, по сути, своей оптимизационной задачей (см. работы одного из авторов [18-21]). При этом больший эффект при решении такой задачи привносит возможность применения минимизирующих алгоритмов, базирующихся на градиентных методах [7-9]. Это тем более заметно при решении задач прикладного характера [13-16] и родственных им задач теории оптимального управления [17-19].

Литература

1. Подвальный, С.Л. Оптимизационные задачи для эволюционных систем с распределенными параметрами на графе [Текст] / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014): VII Междунар. конф., - Пермь, 2014. - С. 282-286.

2. Провоторов, В.В. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе [Текст] / В.В. Провоторов, А.С. Волкова. - Воронеж. - 2014.

3. Провоторов, В.В. Оптимальное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе [Текст] / В.В. Провоторов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2014. - № 3. - С. 154-163.

4. Volkova, A.S. On the Solvability of Boundary-Value Problems for Parabolic and Hyperbolic Equations on Geometrical Graphs [Text] / A.S. Volkova, Yu.A. Gnilitskaya, V.V. Provotorov // Automation and Remote Control. - 2014. -Т. 75, № 2. - C. 405-412.

Г

T

Г

T

5. Ладыженская, О. А. Краевые задачи математической физики [Текст] / О. А. Ладыженская. - М.: Наука, 1973.

6. Подвальный, С.Л. Многоальтернативные системы: обзор и классификация [Текст] / С.Л. Подвальный // Системы управления и информационные технологии. - 2012. - Т.48, № 2. - С. 4-13.

7. Подвальный, С.Л. Сопряженные системы и градиент при оптимизации динамических систем [Текст] / С.Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. -Т.8, № 12-1. - С. 57-62.

8. Подвальный, С.Л. Решение задач градиентной оптимизации каскадно-реакторных схем с использованием сопряженных систем [Текст] / С.Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т.9, № 2. - С. 27-32.

9. Подвальный, С.Л. Особенности поисковой градиентной оптимизации сложных объектов с использованием сопряженных систем [Текст] / С.Л. Подвальный // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т.56, № 2. - С. 18-22.

10. Волкова, А.С. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе [Текст] / А.С. Волкова, В.В. Провоторов // Известия высших учебных заведений. Сер. Математика. - 2014. - № 3. - С. 3-18.

11. Провоторов, В.В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде [Текст] / В.В. Провоторов // Математический сборник. - 2008. - Т. 199., № 10. - С. 105-126.

12. Провоторов, В.В. Спектральная задача на графе с циклом [Текст] / В.В. Провоторов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 11. - С. 1665.

13. Провоторов, В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы «мачта-растяжки» [Текст] / В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. -2008. - № 2.2 (32). - С. 293-297.

14. Веремей, Е.И. Спектральное представление оптимальных решений задач среднеквадратичного синтеза [Текст] / Е.И. Веремей // Системы управления и информационные технологии. - 2012. - Т. 49, №3. - С. 124128.

15. Веремей, Е.И. Стабилизация плазмы на базе прогноза с устойчивым линейным приближением [Текст] / Е.И. Веремей, М.В. Сотникова // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2011. -№ 1. - С. 117-134.

16. Александров, А.Ю. Об асимптотической устойчивости решений нелинейных систем с запаздыванием [Текст] / А.Ю. Александров, А.П. Жабко // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т. 53, № 3. — С. 495-508.

17. Александров, А. Ю. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием [Текст] / А.Ю. Александров, А.П. Жабко // Известия вузов. Сер. Математика. - 2012. - № 5. - С. 3-12.

18. Подвальный, С.Л. Концепция многоальтернативного управления открытыми системами: истоки, состояние и перспективы [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Вестник Воронежского государственного технического университета. -2013. -Т. 9, № 2. -С. 4-20.

19. Подвальный, С.Л. Эволюционные принципы построения интеллектуальных систем многоальтернативного управления [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Системы управления и информационные технологии. -2014. -Т. 57, № 3. -С. 4-8.

20. Подвальный, С.Л. Модели многоальтернативного управления и принятия решений в сложных системах [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Системы управления и информационные технологии. -2014. -Т. 56, № 2.1. - С. 169-173.

21. Подвальный, С.Л. Информационно-управляющие системы мониторинга сложных объектов [Текст] / С.Л. Подвальный. - Воронеж, 2010.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

DETERMINING THE STARTING FUNCTION IN THE PROBLEM OF OBSERVATION OF PARABOLIC SYSTEM WITH DISTRIBUTED PARAMETERS ON THE GRAPH

S.L. Podvalny, V.V. Provotorov

It is considered the problem for the case when the impact on the differential system is carried out at the initial time, i.e., it is the starting conditions, and the monitoring of the system is carried out at the final time, as a final observation. It is obtained the conditions for the existence and uniqueness of the functional optimum of observation for control by starting conditions

Key words: the initial-boundary value problem on a graph, correctness, optimization by the starting conditions, final observation, adjoint system