Управляемость дифференциальной системы параболического типа с распределенными параметрами на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.56

УПРАВЛЯЕМОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ГРАФЕ

С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов

Для дифференциальной системы, состояние которой описывается параболической начально-краевой задачей с распределенными параметрами на графе, рассматривается задача распределенного управления в классе слабых решений. При этом управление и наблюдение одновременно являются распределенными на графе, получены условия существования единственного управления, соотношения, характеризующие оптимальное управление, показана управляемость дифференциальной системы

Ключевые слова: дифференциальная система с распределенными параметрами на графе, слабые решения, граничные управление и наблюдение

1. Введение. Настоящая работа продолжает исследования, результаты которых приведены в [1, 2], где основополагающим явился спектральный подход, использующий анализ спектральных характеристик соответствующих краевых задач [3, 4]. Ниже представлен другой подход, основанный на априорных оценках обобщенных решений начально-краевой задачи для уравнений параболического типа с распределенными параметрами на графе [5, 6]. Для задачи оптимального управления параболической системой получены условия существования единственного управляющего воздействия, распределенного на графе. Все рассмотрения используют произвольный связный ограниченный ориентированный граф, допускающий наличие циклов, при этом сохраняются обозначения, принятые в [5, 7].

2. Основные понятия и предложения. Обозначим через ЭГ множество граничных, через 3(Г) — множество внутренних узлов графа Г и пусть г — объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, ЭЭТ — множество всех граничных ребер (ребер, содержащих граничные узлы ^еЭГ); Г = Г0Х (0,Т) (Г = Г0Х (0, Г)), ЭГГ = ЭГх (0,Г) . Каждое ребро у графа Г параметризуется отрезком [0,1] и параметром х е[0,1], ориентация ребер установлена в [7, стр. 67].

Введем необходимые пространства: £ (Г) —

пространство функций, суммируемых с квадратом на Г (аналогично определяется пространство £ (Г)); ^!(Г) --- пространство функций из £ (Г),

имеющих обобщенную производную 1 -го порядка

также из L2 (Г), норма в скалярным произведением

W\ (Г) определяется

(u, у)„л(Г) = jl и(x)v(х)

du(х) dv(х) dx dx

dx;

Z21 (Гг) — пространство функций из Ц (Гг) с

нормой

1

Pf P2i(r)= j(j/2(x,t)dx)1/2dt; W21,0(ri

)

- пространство функций /(х, /) е £ (Гг), имеющих обобщенную производную 1 -го порядка по х , принадлежащую 12 (Гг), норма в Ж210(Г) определяется

Р 7 Р?2,0(Г )= /( 7 ( х, ')

соотношением

2 du( x, t)

Л

dx

dxdt.

Пусть далее V2 (Г) — множество всех

функций u(x, t) е W210(^), норму

Pu р2,гг - max| Иx, 0|| ^ (Г)

имеющих конечную

ды

dx

2(Г)

(1)

и непрерывных по t в норме ¿2 (Г), т. е. таких, что

||и(х,t + Д0 -и(х,(Г) ^ 0 при At ^ 0

равномерно на [0,Т].

Рассмотрим билинейную форму

Ки,у) =

х) dv(х)

jl a(x)-

dx

-b(x)^(x)v(x) Idx,

dх

коэффициенты а(х), Ъ(х) — фиксированные

измеримые ограниченные на Г функции,

суммируемые с квадратом: 0 < а < а(х) < а*,

Ъ,< Ъ(х) < Ъ", х еГ0 (а,, а*, Ь„, Ь --фиксированные постоянные). Из леммы 2 [7, стр. 72] следует, что в пространстве ^(Г) есть

множество О функций и(х) е С(Г) (С (Г) —

пространство непрерывных на Г функций), удовлетворяющие соотношениям

Г

T

L

Подвальный Семён Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 243-77-18

Провоторов Вячеслав Васильевич - ВГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: [email protected]

X а(1)

,еЯ(£)

= X а(0)

_

ёи(0)г

ёх

у—ег(£)

во всех узлах £ е ./(Г) (здесь Л(£) — множество ребер, ориентированных <<к узлу £ >>, г(£) — множество ребер ориентированных <<от узла £ >>). Замыкание в норме Ж1(Г) множества функций из О , равных нулю во всех узлах £ е ЗГ, обозначим через РТ10(а, Г). Пусть далее О0 (а, Гг) --множество функций и(х, ?) еК2 (Гг), чьи следы определены на сечениях области Гг плоскостью ( = t0 (t0 е[0,Т]) как функции класса Wl20(a,Г), т.е. для каждого элемента и е О0 (а, Г) при фиксированном t е [0, Т] существует

последовательность {ип} функций ии(х,t) еО, сходящаяся в норме W21(Г) к следу V, при этом

и (х, t) равны нулю во всех узлах £ е ЗГ, непрерывны на Г и удовлетворяют соотношениям ^ Зи(1,

X а(1) - — =

- • - '' Зх

(2)

,еЛ(£)

Зи (0, t у

= X а(0)г —

уег (£)

г— Зх

для всех узлов £ е /(Г). Замыкание множества О (а, Гг) по норме (1), обозначим через ^,0°(а,Гт) : ^(а,Гг) с Wl20(Гг). Другим подпространством пространства W2'0(ГT) является пространство Wl'°l(a, Гг), являющееся замыканием в норме W2'0(ГT) множества гладких функций,

удовлетворяющих соотношениям (2) для всех узлов £ е /(Г) и для любого t е [0, Т], а также равных нулю вблизи ЗГ х [0, Т]. Отличием элементов пространства ^(а, Г) от элементов W2,°(a, Г)

является отсутствие у последних непрерывности по переменной t, соотношение (2) имеет место почти всюду на (0, Т). По мере необходимости будут введены другие пространства и их подпространства с интересующими нас свойствами.

Обозначения этого раздела дополним следующими: сужение функции /(х, 0 на ребро у

будем обозначать через /(х, () ; интеграл от

функции /(х, t) по области Гг понимается как сумма интегралов по областям у х (0, Т) и имеет место представление

| / (х, t )dxdt = X | / (х, t )7к ёхЖ;

Гт У ух(0,Т)

на протяжении всего раздела рассматриваются измеримые функции и используется интеграл Лебега.

Приведем два простых утверждения, связывающие пространства W20(a, Г ), " (Г-) е и

"2,1 (ГТ ) .

Лемма 1. Пространство W20(a, Г) плотно в

4(Гт )•

Доказательство вытекает из самого определения пространства W20(a, Г).

Лемма 2. Имеет место включение 12 (Гу ) с 12,1 (Гг ) •

Доказательство. Пусть / является элементом

пространства " ^ГТ). Оценим норму р / р

"2,1(ГТ )

используя неравенство Коши-Буняковского:

Л1'2

dt <

0 Чг )

р / ^ (Г )= ^ 2(х,t )ёх

^Л!/2(х,t)dxdt = уГР/Р (Г

V 0 Г 2 '

Из

полученного неравенства

вытекает утверждение

р / р, 2Д(Гг ) ^ р / р,2(Гг ) леммы.

Таким образом, имеют место включения W1X0(a, Г) с " (Г) с Ь2Л (Г), по аналогии с [7, стр. 75] можно показать, что пространство W210(a, Гг) плотно в " (Гг).

Далее рассматривается эволюционная задача с распределенными параметрами на графе и ей соответствующие задачи оптимального управления в пространствах ^(а, Г) и W210(a, Гт). При этом в

качестве пространства управлений и используется 4(Гг ).

3. Задача оптимального управления параболической системой в пространстве

^2 о(а, Г) • Рассмотрим начально-краевую задачу

отыскания решения у (х, Г) в области Гт, удовлетворяющего условиям (2) во всех внутренних узлах графа Г:

МхО __Ё_[ а( х) МхО | +

Зt Зх Ч Зх

(3)

+Ь( х) у( х, t ) = / (х, 0,

У\,=0= х), х еГ, (4)

У 1зг =0, 0 < t < Т. (5)

Предположения относительно функций а(х),

Ь(х) остаются теми же, что и в разделе 1; /(х, t) е "21 (Гт), <Кх) е "2 (Г).

У

Определение 1. Обобщенным решением класса ^210(Г) краевой задачи (3)--(5) называется

функция у (х, 0 е У1'0(а, Гг ), удовлетворяющая интегральному тождеству

|у(х, х, t)dх -у(х, t) X, ) 1 dхdt +

г г V Эt )

1 11

+£ХУ(ХЛФ,0)= (6)

= х, 0)dх +| 7 (х, t х, t )dхdt

г Гt для любых t е [0, Т] и при любой

г) (х, £) е 1¥\ 0 (а, Гг ) ; £,(у,г}) — билинейная форма,

определенная соотношением

£ ,(/и(х^),у(х, ?)) =

дц(х, t) ду(х, t)

|( а(х) -

дх дх

- + Ъ(х)^и(х, t)г(х, t) dхdt.

Теорема 1 [5]. Задача (3)--(5) однозначно разрешима в пространстве У^а Гг), обобщенное

решение непрерывно зависит от исходных данных 7 (х, 0, р(х).

Задача оптимального управления. Пусть В: и ^ (Гг) — линейный непрерывный оператор

(в силу леммы 2 Ву е 1 (Г ), У у е И) и пусть / и

р — заданные элементы пространств £ ^^) и

Х2(Г), соответственно; у(у)(х,¿) е У^о(а,Гг)

(состояние системы) — обобщенное решение задачи (3)--(5) с правой частью в уравнении (3), равной / + Ву (у(х, t) е И). Соотношение (6) трансформируется к виду:

|у(х, tх, t)dх + |( -у (х, t)

.д^О дt

dхdt -

+

|р( х)^( х, 0^х +| 7 (х, t х, t )dхdt +

Г

| Ву( х, t х, t )dхdt

(7)

для любых t е[0,Т] и при любой 1](хх, t) е ^2,0 (а, Гт).

Пусть С: У^о (а, Г) ^ £ (Г) --- линейный непрерывный оператор (оператор наблюдения); N: И ^ И — линейный непрерывный эрмитов оператор, ^у,у)и >дРур (д>0 --фиксированная постоянная); 3(у) — функционал, требующий минимизации на выпуклом замкнутом множестве И с И (функция стоимости):

3(у)=р Су - г0 р2(Г) + (т, у)и ; где ^ (х, t) — заданное наблюдение.

Заменим в правой части (3) 7 на 7 + Ву (у е И), прямым следствием теоремы 1 является следующее утверждение:

Теорема 2. Задача (3)--(5) (для 7 + Ву, у е И)

однозначно разрешима в У2'о(a, Г ) и имеет место

непрерывность линейного отображения у ^ у(у)

пространства И в У1о(а, Г ).

Задача оптимального управления системой (3)--(5) (для 7 + Ву, у е И) состоит в том, чтобы

отыскать ^ 3(у).

уеИд

Теорема 3. Задача оптимального управления системой (3)--(5) (для 7 + Ву, у(х,е И) имеет

единственное решение у* еИ, т.е.

3(у* )= М 3(у).

уеИд

Доказательство. В силу утверждения теоремы 2 линейное отображение у ^ у(у) пространства управлений И в пространство состояний У1о (а, Г) непрерывно. Функционал 3(у) определяется с помощью двух операторов: 1) оператора у ^ у (у) перехода от управления у к состоянию у(у), 2) оператора у(у) ^ Су(у) перехода от состояния к наблюдению.

Преобразуем функционал 3(у) к следующему

виду:

3(у) =Р С(у(у) - у(0)) + Су(0) - г Р2

£2(ГТ )

где

+(М>,у)ц = ж(у,у)-2£(у) +

+ Р СУ(0) - г Р2(Г),

7г(и, у) =

= (С( у(и) - у(0)), С( у(у) - у(0)))£ +(№/,у)и,

т=(г-су(р),с(у(у)-утг

:( Гт )

+

Доказательство завершается применением утверждения теоремы 1.1 [8, стр. 13], при этом учитывается очевидное неравенство

Р СУ(0) - г Р2(Г) >0.

Соотношения, определяющие оптимальное управление. Предварительно докажем следующее вспомогательное утверждение:

Лемма 3. Для любых у, и е И имеет место соотношение

у'(и)(у - и) = у(у) - у(и) (8)

(здесь у'(и) — производная по управлению и функции состояния у (и )).

Доказательство. Из соотношения (7) для произвольных фиксированных у, и е И вытекает

г

Г

Г

,Зу( х, t)

!(_( У(v)( х, t) _ y(u)( х, t)) ^ !(_( У(v)( х, t) _ y(u)( х, t) )У x, t)

Г

Зt

+

+

(9)

+С-, ({уШх, 0 - у(и)(х, 0), ф, 0) =

= ! B (v( х, t) _ u( х, t) )у( х, t)dxdt

Гt

для любых г е[0,Т] и при любой у (х, t) е W20 (а, Гг). С другой стороны, соотношение (7) дает

! ( У^ + _ u))( х, t) _ y(v)( х, t)) у ( х, t )dx

Г

!_ [ У^ + 0^ _ u))( х, t) _

+

Г

_ У(v)( х, t)]

Зу, (х, t) ЗГ

(((>>(м + в(у - и))(х, О - у(у)(х,0),у (х,0) = = 0! В (v(x, г) _ Цх, г) )у(х, г )dxdt

гг

для любых г е[0,Г ] и при любой у(х, Г) е W20(а, Гг). Деля обе части полученного

соотношения на 0 и вычисляя предел при 0 ^ 0,

приходим к соотношению

^у'^Х х, Г) х, Г) _ ^ х, Г) ) у (х, Г^х +

г

+! (-у'^^х,Г) (v(х,Г) _^х,Г)) t) jdxdГ + (до)

ГГ

, (у'(и)(х, 0 (у(х, О - и(х, /) ), у (х, 0) = = ! В (v( х, Г) _ Цх, Г) )у(х, Г)dxdГ,

ГГ

для любых г е[0,Г] и при любой у(х, Г) е Жг0(а, Гг). Сравнивая левые части соотношений (9) и (10), учитывая принадлежность у'^Хх, Г) пространству W20(a, Г), плотность Г) в пространстве " (Гг) (лемма 1), а также произвольность Г е [0, Г] и у(х, Г) е ^10(а, Гг),

получаем соотношение (8). Лемма доказана.

Теорема 4. Пусть множество и ограничено.

Для того чтобы элемент u(х, Г) е И0 был

оптимальным управлением, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения

!у^)( х, Г )у ( х, Г )dx +

г

!(_ у{п){ х, Г) 1 <Ш -

+£,(у(и)(хЛФ,{)) =

= х)у(х, 0)ох + !/(х, Г)у(х, Г)dxdt -

Г ГГ

+ ! ВЦ х, Г )у (х, Г )dxdt

ГГ

(V, е [0,Г],Уу(х,Г) е W2)0(a,Гг)), ! (Cy(u) _ 20)С (y(v) _ y(u))dxdt +

ГГ

+(v _ u)v > 0 (Vv е И),

(12)

где У(u) е ^(а, Г г ) .

Доказательство. В соответствии с утверждением теоремы 1.3 [7, стр. 18] требуется показать, что неравенство (12) равнозначно неравенству /' (ы){у_ ы) > 0 для любого Уе и. Исходя из представления функционала / , получим

/ ^ + в^ _ u)) _ / (^ =

= (С0У_С0У_ГТ) +

+(N^ + в(v _ u + в(v _ ^^ _

_(CУ(u) _ 2, СУ(и) _ 2 ) (Г ) _(^ u)и,

откуда вытекает

/ ^ + в(v _ _ / (u) =

= (С0У + Cy(u), _ уШ) Г ) _ _2(2й,С0У _УМ)) (г) _ 2(Nu, v _u)и

(здесь СУ = С(у^ + 0(v _ u))). Деля последнее соотношение на 0, переходя к пределу при 0 ^ 0 и учитывая соотношение (8) утверждения леммы, получаем

/' (^(у _ ч) =

= ад^ _ ^0, С( У(u) _ у ой^ (г ) _

_2( Ш, v _ u)и, что и доказывает неравенство (12); соотношение (11) очевидно. Теорема доказана.

Неравенство (12) можно преобразовать с помощью сопряженного состояния системы (3)--(5), учитывая симметричность формы У)

(Г е[0,Г ]). Сделаем это для случая С:" (Г) ^ А (Г), тогда неравенство (12) можно переписать в виде

(С (Су(ы) _ 20), у (у) _ у(ы)) +(Ш, v _ ы)1] > 0 Vv е Иа

ГГ \ ' "2(ГТ )

(здесь С*: (Г) ^ (Г) — сопряженный к С оператор).

Обозначим через 1т(/и,у) билинейную форму Р.^рУ) при / = '/'. Для управления V сопряженное состояние о)^) е W\ 0 (а, Гг), ю^Хх, Г) = 0 (сопряженное состояние со^) определено в пространстве, отличном от ^'„(а, Г), где определяется состояние y(v)), определим соотношением

Зю^Х х, Г)

ЗГ

х, Г )dxdt +

= ! ^(Сю^Х х, Г) _ (х, Г ))^( х, t)dxdt

(14)

х, Г) еW2l;(a, Гт)). Пусть у^)(х, Г) --- решение (7), у(ы)(х, г) --решение (7) при v = u . Положим в (14) v = u и х, Г) = у^)(х, Г) _ у^)(х, Г) (последнее возможно,

т.к. КЦ (а, Г) с W2,° (а, Г)), получим, учитывая

С( х, 0) = 0,

Зю(u)( х, Г)

ЗГ

(у^)( х, Г) _ у^)( х, Г ))dxdt +

(со(и)(х, 0, уОХХ 0 - >-(м)(х, 0) = = ! ^(Сю^Х х, Г) _ 2 (х, Г)) х

(15)

х( y(v)( х, Г) _ у^)( х, Г ))dxdt.

С другой стороны из соотношения (11) при Г = Т и у( х, Г) = ю^Хх, Г) (а^^хТ ) = 0)

вытекает соотношение

! д^^Хx, Г) (у^)(х, Г) _ у^)(х, Г)) dxdt +

г т

(7(у)(х, 0 - 7(м)(х, 0, ® (м)(х, 0) = (16)

= ! В ^(х, Г) _ u(x, Г^ю^Хх, t)dxdt.

Гт

Пусть В*:" (Гг) ^ И' --- оператор, сопряженный к В, причем И' =" (Г) в силу сделанного выше предположения И = (Г ). Т.к. ю(u)(х, Г) еW^ (а, Г ) с " (Г ) , B*ю(u)( х, Г) е " (Гг ), то

! В (v( х, Г) _ u(x, t))ю(u)( х, t)dxdt =

ГГ

= ! В'ю^Х х, Г) (v( х, Г) _ Цх, Г)) dxdt.

Гт

Отсюда, сравнивая в (15), (16) стоящие справа выражения и учитывая симметричность формы £т(у,г]), приходим к равенству

(17)

! С* (Сю^Х х, Г) _ 20 (х, Г)) х

ГГ

х( y(v)( х, Г) _ у^)( х, t))dxdt =

= ! B*ю(u)(x, Г) ^(х, Г) _ u(x, Г)) dxdt,

Гт

из которого вместе с (13) вытекает неравенство

! (В'ю^Хх,Г) + Ш(х,Г)) х

ГГ

х(v(х, Г) _ u(х, Г)) dxdГ > 0 Vv е И,

эквивалентное неравенству (13). Остаются справедливыми утверждения теоремы 4, где соотношение (12) заменено на соотношение (14) при ю^) е Ж10 (а, Гг), ю^Хх, Г) = 0 и неравенство (17).

4. Задача оптимального управления параболической системой в пространстве

W2,°(a,Г) • Рассмотрим начально-краевую задачу

(3)--(5) в пространстве W2,°(a,Г). Предположения относительно функций а(х), Ь(х) и /(х, Г), <р(х) остаются теми же, что и в разделе 3.

Определение 2. Обобщенным решением класса ) краевой задачи (3)--(5) называется

функция у(х, Г) е W2,0° (а, Гг), удовлетворяющая интегральному тождеству

Зу( х, Г )ч

!(_ у( х, Г )-

З,

dxdt

+ет{у(х,Г),17(х,0)= (18)

= х)у( х, 0)^х + ! / ( х, Г )у( х, Г ~)йхйГ

Г Гг

для любых функций у(х, Г) е W20(a, Гг ), равных

нулю при г = Т. Используя обозначения пункта 3.1, приходим к соотношению

Зу( х, Г)

!(_УМ(х,Г)^^ |dxdt +

+£т(у(у)(хЛФ,0) =

(19)

= х)у (х, 0)йх + ! / (х, Г )у( х, Г )dxdt -

г гг

+ ! Bv( х, Г)у( х, t)dxdt

Гт

для любых функций у(х,Г) е W\0(a,Гг), равных нулю при Г = Г, получаемому из (18) заменой / на /+Bv, v е И.

Все утверждения раздела 3 остаются справедливыми и для задачи оптимального управления в пространстве W2,°(a, Г) с той лишь

разницей, что соотношения (6) и (7) заменяются на соответствующие им (18) и (19), а пространство ^(а,Г) — на W2,°(a,Гт). При этом в случае

г

Г

г

Г

Г

Г

Г

Г

Г

Г

С: £ (Г) ^ £ (Г), рассмотренном в пункте 3.2, для управления у сопряженное состояние а(у) является элементом пространства Ж20(а, Г), удовлетворяет условию со(у)(х,Т ) = 0 и определяется соотношением (14). Имеет место

Теорема 5. Пусть множество и ограничено.

Для того чтобы элемент и( х, t) е И был

оптимальным управлением, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие

соотношения:

Д- у(у)( х, t) ^^ ^ dхdt +

+£Т (у(у)(х, /), г/{х, /)) = |^(х)?7(х, 0 )(Ьс +

г

+17 (х, t х, t )dхdt + | Ву( х, t х, t )dхdt

для любых т](х, 0 е Ж\й (а, Гг) , да(у)( х, t)

Г

дt

-£( х, t )dхdt +

+£т(а)(у)(рс,(),С(х,()) =

= | С* (С а (у)( х, t) - (х, t ))^( х, t) dхdt

Гт

для любых £(х, 0 е ^ (а, Гг),

| (В*а(и)(х, t) + Nu(х, t))х

Гт

х(у(х, t) -и(х, t)) dхdt > 0(Уу е И)

для любых у е И. Здесь у(и) е У2;.0 (а, Гт),

а (у) е ^„(а, Гт ) и а(у)(х,Т) = 0.

5. Управляемость дифференциальной системы (3). Приведем определение управляемости системы (3) в редакции, принятой в монографии [8, с. 214].

Определение 3. Система (3), состояние которой определяется как решение начально-краевой задачи (3)--(5), называется управляемой (в момент времени Т), если наблюдение Су(у) заметает подпространство, плотное в пространстве наблюдений Ь2 (Г), когда управление

у пробегает все пространство управлений И .

Покажем, что рассматриваемая система (3) управляема. Пусть функция \у(х, t) из пространства наблюдений £ (ГТ) ортогональна к подпространству, заметаемому наблюдением Су(у): х, t) у(у)( х, t )dхdt = 0 для любых у е И.

ГТ

Рассмотрим функцию р(х, Г) е ^>0(а, Гг) как обобщенное решение начально-краевой задачи

-^рСхО-_5Г а( х) ЫххЛ | +

дt дх v Эх

+Ъ( х) р( х, t) = у/( х, t),

(20)

р(х,Т) = 0, х еГ, р |хедГ =0, t е (0,Т), (21) т. е. функция р( х, t) (р(х,Т ) = р(х), х еГ) удовлетворяет интегральному тождеству ф(х,?)

■I

дt

- £(х, + £ т (р, £) =

| у/( х, t )£( х, t)dхdt

(22)

для любой £(х, I) е Ж2' (а, Гг) .

Доказательство однозначной разрешимости задачи (20), (21) почти дословно повторяет рассуждения аналогичной теоремы работы [5].

Положим в соотношении (22) С(х,о = у(у)(х,0-у(и)(х,t) е У2,„°(а,Г) с ^(а,Гг) , получИм, учитываЯ |Р(х, t)у(у)(X, t)dхdt =0 для

Гт

всех уе и

-I

др( х, t)

[ У(у)( х, t) - у(и)( х, t )]dхdt +

+£т(р,у(у)-у(и)) = = х, t )[у(у)(х, t) - у(и)( х, t )]dхdt = 0.

ГТ

С другой стороны, из соотношения (7) для у(у)(х, ^) и у(и)(X, t) при t = Т и Т](х, t) = р(X, t)

(последнее возможно, т. к. г](х,t) еЖ12°(а,Гг) и

7(х,Т) = 0), получаем

- i [У(у)(х, t) - у(и)(х, /)] dхdt +

+£т{у{у)-у{и),р) =

= |В[ у(у)( х, - у(и)( х, ?)] р( х, t)dхdt

для любых у и и из ^ В силу В[у(у)(х, ^ - у(и)(х, ?)] е £2 (Г ) для любых у и и из И = Х2 (Г) получаем р(х, t) = 0, а значит, и х, t) = 0 на £ (Г). Следовательно, справедлива

Теорема 6. Система (3), состояние которой определяется как обобщенное решение начально-краевой задачи (3)--(5) в пространстве У10^,Г),

управляема.

Замечание 1. Все представленные выше результаты остаются справедливыми и для пространства ^„(а Г) состояний

дифференциальной системы (3).

Замечание 2. Задача распределенного управления системой (3) в пространстве У210(а, Г)

(пространство состояний дифференмальной системы (3) со смешанными краевыми условиями) мало чем отличается от таковой в У10^, Г). Все

утверждения теорем 4-- 6 сохраняются: пространство У2100(а, Г) заменяется на У2'0(а, Гг), краевое условие

г

Т

г

Т

г

Т

г

Т

г

Т

г

(5) в задаче (3)--(5), определяющей сопряженное состояние системы (2), --- на краевое условие вида

ЗУ( х, Г)

Зх

" + аУ( x, Г) 1зг =0

(постоянная а своя для каждого граничного ребра у : а = аг, усЗЯ). Обобщенное решение у(х, Г)

такой начально-краевой задачи определяется в пространстве W21•0(a, Г) и удовлетворяет тождеству

! (_У(х,Г)

Зу( х, Г) д

с1хЖ + £т(у, г/) +

+ X'а у !У( х, Г )у( х, Г) 1х=1еу dt =

уеЗЗЯ 0

= !v( х)у( x,0)dx + ! / (х, Г )у( х, Г )dxdГ

г гг

для любой у(х, Г) е W20(a, Гг), равной нулю при

, = т.

Соотношение для сопряженного состояния ю^Хх, Г) системы (3)--(5) (условие теоремы 5) принимает вид

ЗГ

- ^(х, ()<Ы11 + £т +

¿Г =

+ XaуJю( х, Г)С( х, Г) |х=1Еу

уез^ 0

= ! С* (Сю (v)( х, Г) _ 2 (х, Г ))^( х, Г )dxdt,

ГГ

для любых функций ^(х, Г) е W2,°(a, Гг).

6. Заключение. В работе рассмотрен достаточно распространенный в приложениях случай распределенного управления v е И = £2 (Г) и

произвольного наблюдения Су^) для дифференциальной системы (3), состояние у^)(х, Г) которой описывается решением начально-краевой задачей (3)--(5). Хотя применение методов демонстрируется для указанных управления и наблюдения, используемые приемы обладают большой общностью и применимы к другим видам управлений и наблюдений, например граничным [9, 10]. В последнем случае И = " (ЗГГ), а состояние системы (3) определяется как обобщенное решение задачи (3)--(5) с краевым условием у |эг= v вместо (5). При этом необходимо рассматривать след

функции У^)

на

ЗГг (или части ЗГг);

Г у'""1 """" т ■

сопряженное состояние системы описывается уравнениями, задаваемыми как на Гг, так и на ЗГг . Следует отметить, что в работах [11--22] рассмотрены другие подходы при анализе прикладных задач управления и родственных им задач оптимизации, имеющие, однако, аналогичную трактовку (в терминах сопряженного состояния) условий существования оптимального управления. Отметим также, что изучаемая задача допускает в представлении уравнения (5) особенности в виде

стохастической компоненты [23] и разрывной нелинейности [24--26].

Литература

1. Подвальный, С.Л. Оптимизация по стартовым условиям параболической системы с распределенными параметрами на графе [Текст] / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 58, - № 4. - С. 70-74.

2. Подвальный, С.Л. Определение стартовой функции в задаче наблюдения параболической системы с распределенными параметрами на графе [Текст] / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2014. -Т. 10. - № 6. - С. 29-35.

3. Провоторов. В.В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде [Текст] / В.В. Провоторов // Математический сборник. - 2008. - Т. 199. -№ 10. - С. 105-126.

4. Провоторов, В.В. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке [Текст] / В.В. Провоторов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2008. - № 3. - С. 50-62.

5. Волкова, А. С. О разрешимости краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов на геометрическом графе [Текст] / А.С. Волкова, Ю.А. Гнилицкая, В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2013. -№ 1 (51). - С. 11-15.

6. Провоторов, В.В. Оптимальное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе [Текст] / В.В. Провоторов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2014. - Вып. 3. - С. 154-163.

7. Провоторов, В.В. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе. [Текст] / В.В. Провоторов, А.С. Волкова // Воронеж: Изд-во "Научная книга". - 2014. - 188 с.

8. Лионс, Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными [Текст] / Ж.Л. Лионс // пер. с фр. Н. Х. Розова; под ред. Р.

B. Гамкрелидзе. М.: Мир. - 1972. - 414 с.

9. Провоторов, В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы "мачта-растяжки". [Текст] / В.В. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. -2008. - Т. 32. - № 2.2. - С. 293-297.

10. Провоторов, В.В. Граничное управление волновой системой в пространстве обобщенных решений на графе [Текст] / В.В. Провоторов, Ю.А. Гнилицкая // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2013. - Вып. 3. - С. 112-120.

11. Волкова, А.С. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе [Текст] / А.С. Волкова, В.В. Провоторов// Известия высших учебных заведений. Математика. - 2014. - № 3. - С. 3-18.

12. Подвальный, С.Л. Особенности поисковой градиентной оптимизации сложных объектов с использованием сопряженных систем [Текст] / С.Л. Подвальный // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 56. - № 2. - С. 18-22

13. Подвальный, С.Л. Многоальтернативные системы: концепция, состояние и перспективы [Текст] /

C.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Управление большими системами: сб. трудов. Москва: Изд-во ИПУ РАН. - 2014. - № 48. - С. 6-58.

Г

г

т

14. Подвальный, С.Л. Эволюционные принципы построения интеллектуальных систем многоальтернативного управления [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 57, - № 3.-С. 4-8.

15. Podval'ny, S.L. Intelligent Modeling Systems: Design Principles [Text] / S.L. Podval'ny, T.M. Ledeneva // Automation and Remote Control. - 2013. - Vol. 74, - N 7. - P. 1201-1210.

16. Подвальный, С.Л. Решение задач градиентной оптимизации каскадно-реакторных схем с использованием сопряженных систем [Текст] / С.Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9, - № 2. - С. 27-32.

17. Александров, А.Ю. Об асимптотической устойчивости решений нелинейных систем с запаздыванием [Текст] / А.Ю. Александров, А.П. Жабко // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т. 53, - № 3. - С. 495-508.

18. Александров, А.Ю. Об устойчивости решений одного класса нелинейных систем с запаздыванием. [Текст] / А.Ю. Александров, А.П. Жабко //Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 9. - С. 3-14.

19. Александров, А.Ю. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием [Текст] / А.Ю. Александров, А.П. Жабко// Известия вузов. Математика. - 2012. - № 5. - С. 3-12.

20. Волкова, А.С. Модели и численные методы исследования диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах[Текст] : автореф. дис. ... канд.

техн. наук : 05.13.18 / А.С. Волкова - Воронеж, 2014. -18 с

21. Веремей, Е.И. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса [Текст] / Е.И. Веремей, В.М. Корчанов // Автоматика и телемеханика. -1988. - № 9. - С. 126-137.

22. Веремей, Е.И. Стабилизация плазмы на базе прогноза с устойчивым линейным приближением [Текст] / Е.И. Веремей, М.В. Сотникова // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2011. -Вып. 1. - С. 116-133.

23. Карелин, В.В. Штрафные функции в задаче управления процессом наблюдения [Текст] / В.В. Карелин // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2010. - Вып. 4. - С. 109-114.

24. Потапов, Д.К. Оптимальное управление распределенными системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью [Текст] / Д.К. Потапов // Изв. РАН. ТиСУ. - 2013. - № 2. - С. 19-24.

25. Volkova, A.S. On the Solvability of Boundary-Value Problems for Parabolic and Hyperbolic Equations on Geometrical Graphs. [Text] / A.S. Volkova, Yu.A. Gnilitskaya, V.V. Provotorov // Automation and Remote Control. - 2014. - Vol. 75, - N 2. - P. 405-412.

26. Provotorov, V.V. Boundary control of a parabolic system with distributed parameters on a graph in the class of summable functions [Text] / V.V. Provotorov // Automation and Remote Control. Automation and Remote Control. - 2015. - Т. 76. - № 2. - C. 318-322.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

CONTROLLABILITY OF A DIFFERENTIAL SYSTEM OF PARABOLIC TYPE WITH DISTRIBUTED PARAMETERS ON THE GRAPH

S.L. Podvalny, V.V. Provotorov

For differential system which state is described by a parabolic initial and regional task with the distributed parameters on the column, the problem of the distributed management in a class of weak decisions is considered. Thus management and supervision at the same time are distributed on the column, the living conditions of the only management, ratios characterizing optimum control are received, controllability of differential system is shown

Key words: differential system with distributed parameters on the graph, weak solutions of boundary control and observation