Оптимальное управление эволюционной системой параболического типа с распределенными параметрами на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.56

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЭВОЛЮЦИОННОЙ СИСТЕМОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ГРАФЕ

© В.В. Провоторов

Ключевые слова: начально-краевая задача на графе; корректность; оптимизация по стартовым условиям; финальное наблюдение; сопряженная система.

В работе рассматривается задача оптимального управления дифференциальной системой, состояние которой определяется как обобщенное (слабое) решение начально-краевой задачи с распределенными параметрами на графе в пространстве соболевского типа. Воздействие на систему осуществляется в начальный момент времени и является стартовым, наблюдение за состоянием системы осуществляется в конечный момент времени, являясь финальным. Сопряженное состояние системы определяется также обобщенным (слабым) решением начально-краевой задачи с распределенными параметрами на графе с финальным условием. Получены необходимые и достаточные условия существования единственного стартового управления и управляемости дифференциальной системой. Представленные утверждения и результаты носят конструктивный характер и применимы для численного решения рассматриваемых задач оптимального управления.

ВВЕДЕНИЕ

В работе рассматривается случай, когда состояние дифференциальной системы с распределенными параметрами на графе определяется как обобщенное (слабое) решение начально-краевой задачи на графе, воздействие на систему осуществляется в начальный момент времени и является стартовым, наблюдение за состоянием системы осуществляется в конечный момент времени, являясь финальным. При этом рассматривается след функции, описывающий состояние системы на графе при фиксированной временной переменной. Сопряженное состояние системы определяется обобщенным (слабым) решением начально-краевой задачи на графе с финальным условием. Получены условия существования единственного стартового управления и управляемости дифференциальной системой. Работа продолжает исследования, приведенные в [1-3].

1. Основные понятия и утверждения. Все рассмотрения используют произвольный связный ограниченный ориентированный граф, допускающий наличие циклов (петель), при этом сохраняются обозначения, принятые в [4; 5, с. 114]. Обозначим через ЭГ множество граничных ( , через J(Г) - множество внутренних ^ узлов графа Г и

пусть Гд - объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, ЭЭТ - множество всех граничных ребер (ребер,

содержащих граничные узлы ( е ЭГ ); Г^ = Гр х (0, Т) (Г = Гр х (0, г) ), ЭГу^ = ЭГ х (0, Т) (ЭГ = ЭГ х (0, г) ). Каждое ребро у графа Г ориентировано, параметризуется отрезком [0,1] и параметром х е [0,1], граничные узлы параметризованы числом 1. Введем необходимые пространства: Ьр (Г) (р = 1,2 ) - банахово пространство

измеримых на Гп функций с конечной нормой Р и Рг /Гч=( |ир (х)аХ)1/р (аналогично определяются

0 Ьр(Г ) г

пространства Ьр (Г^) , р = 1,2 ); Ш^Г) - пространство функций из ^ (Г), имеющих обобщенную производную 1 -го порядка также из ^ (Г), норма в (Г) определяется скалярным произведением

. du (х) dv(х) |

(и, V) 1 = |1 и(х)у(х) н---dx; Ь9 ,(Гт) - пространство функций из Ь (Гг) с нормой

Ш2(Г) Г^ dx dx ) 2,1 Т 1 Т

Т 2 1/2 1 0

Р и р (Г )= ^ ( ^и (х, г)ях) dt; (Гу) - пространство функций и(х, г) е ^ (Гу^ ) , имеющих обобщенную

производную 1-го порядка по х , принадлежащую ^ (Г^) , норма в Ш^0 (Г у) определяется соотношением

Р и Р2, 0 = /

Ш*'и( ГГ) гт

(

2 ди(х, t)

и(х^) Н--

дх

V У

dxdt.

Пусть далее У^ (Гу) - множество всех функций и(х, t) е Ш ,0 (Г^ ) , имеющих конечную норму

Р и Р т- = уга1 тах и (х ^) г , „ + 2,ГТ 0<t <Т 11 "¿2( Г)

(1)

Ь( ГГ )

и сильно непрерывных по t в норме ^ (Г), т. е. таких, что ||и(х, t + Дt) - и(х, t^^ ^ 0 при Д ^ 0

равномерно на [0, Т].

Рассмотрим билинейную форму

[ dJu(х) dv(х)

1(ц,у)= N а(х)---НЬ(х)ц(х)у(х) \dx, (2)

Г^ dx dx

коэффициенты а(х), Ь(х) - фиксированные измеримые ограниченные на Гд функции, суммируемые с квадратом: а* < а(х) < а , | Ь(х) |< р , х е Гд (а*, а , р - фиксированные положительные постоянные). Из леммы 2 [5, с. 72] следует, что в пространстве Г) есть множество О функций и( х) е С (Г) (С( Г) - пространство непрерывных

du(1)у du(0)v

' - ' -

на Г функций), удовлетворяющих соотношениям 2 а(1)у -= 2 а(0)у - во всех узлах

Г-еД(£) У- dx Г-ег(Е) у - dx

е е У (Г) (здесь Я(Е) - множество ребер, ориентированных «к узлу Е », г (Е) - множество ребер ориентированных «от узла Е »; через и(•) у обозначено сужение функции и(-) на ребро у ). Замыкание в норме множества

функций из О обозначим через (а, Г). Если при этом элементы и еО равны нулю во всех узлах £ е дГ , то

получим пространство , Г).

Пусть далее Од (а, Г^ ) - множество функций и(х, t) е ^ (Г^ ) , чьи следы определены на сечениях области Г^

плоскостью t = ^ (е [0, Т]) как функции класса , Г) и удовлетворяют соотношениям

5и(1,t)у , 9и(0,t)у ,

1 а(1) у -- = 1 а(0)у -- (3)

У- — Я (Е) Ч дх У--г(Е) г- &

для всех узлов е е У (Г) . Замыкание множества Од (а, Г^ ) по норме (1), обозначим через ^^(а, Г^ ). Если в приведенном определении класс ,Г) заменить на ,Г), то получим пространство ,Г^ ):

^2 0 (а, Гт ) с ^,0(а, Гу,) с ) . Другим подпространством пространства Ш,,0(Г^) является

^2 0 (а, Гу ) - зам^1кание в норме Ш,,0(Г^) множества гладких функций, удовлетворяющих соотношениям (3) для всех узлов е е У (Г) и для любого / е [0, Т ], а также равных нулю вблизи дГу . Отличием элементов пространства У10 (а, Г^) (У^0 (а, Г^)) от элементов ^^(а, Г^) является отсутствие у последних

непрерывности по переменной г, соотношение (3) имеет место почти всюду на (0, Т). По мере необходимости будут введены другие пространства и их подпространства с интересующими нас свойствами.

1 3 ( йи(х) |

В пространстве ^ а,Г) рассмотрим спектральную задачу--1 а(х)- + Ь(х)и(х) = 1и(х), т. е.

' у )

множество таких чисел 1, каждому из которых соответствует по крайней мере одно нетривиальное решение и(х) е Г) , удовлетворяющее тождеству 1(и,п) = 1(и,п) при любом п(х) е а,Г) (здесь и всюду

ниже через (•, обозначено скалярное произведение в ¿2 (Г)). Последнее соотношение выражает тот факт, что и(х) есть обобщенная собственная функция класса ^(Г) задачи

3 ( йи(х)

--1 а(х)- 1 + Ь(х)и(х) = 1и(х), и(х) 0, (4)

у

а 1 - соответствующее ей собственное значение [6-7]. При этом собственные значения вещественные и имеют конечную кратность, их можно занумеровать в порядке возрастания модулей с учетом кратностей: {1п} ^ ;

соответственно нумеруется и множество собственных функций: {ип (х )}п>1.

Теорема 1 [6]. Система обобщенных собственных функций {ип(х)}п>1 образует ортогональный базис в

пространстве , Г) (и в пространстве ¿2 (Г) в силу плотности , Г) в ¿2 (Г) )■

Замечание. Утверждение теоремы остается справедливым и для спектральной задачи (4), где краевое условие 3и( х)

заменено на--+ си(х)|^р= 0 (постоянная С своя для каждого граничного узла графа Г - см. ниже замечание

2 к теореме 2); обобщенная собственная функция в этом случае принадлежит пространству Ц^Г) и удовлетворяет тождеству

1(и,п) + сип = 1(и,п) ¿^едГ

при любом п(х) е Ц"2 (а, Г) (1 - собственное значение).

Далее рассматривается эволюционная задача с распределенными параметрами на графе и ей соответствующие задачи управления в пространствах У20(а, Г^ ) и У^® (а, Г^ ) (пространства состояний): , Г^)

используется при анализе 1-й краевой задачи, У^ (а, Г^) - 2-й и 3-ей краевых задач. При этом в качестве пространства и допустимых управлений (пространство стартовых условий) используется ^ (Г): и = ^ (Г) . Рассмотрим уравнение в области Г^

ду(х, г) д ( ду(х, г) Л

---1 а(х)- + Ь(х)у(х, г) = /(х, г), (5)

дг дх у дх )

представляющее собой систему дифференциальных уравнений с распределенными параметрами на каждом ребре у

графа Г . Состояние системы (5) в области ГТ определяется решением у(х, г) уравнения (5), удовлетворяющим соотношениям (3), начальным и краевым условиям

У 1г=0= v(хХ х еГ (6)

У 1хедГ =0, 0< г < Т; (7)

выбор функций у(х) в (6) определяет стартовые условия начально-краевой задачи (5) - (7). Предположения относительно функций а(х), Ь(х) остаются теми же, что и выше; /(х, г) е ^ ^ (Г^ ) , х) е ^ (Г) .

Определение 1. Обобщенным (слабым) решением класса , Гу) начально-краевой задачи (5)-(7)

называется функция у(х, г) е У^0 (а, Г^ ), удовлетворяющая интегральному тождеству

. дт( х, г) Л

¡у(х,г)т(х,г)дх + | I -у(х,г)- dxdt + (у,т) = \у(х)т(х,0^х + | /(х,г)т(х,г)дхЛ (8)

ГЛ дг ) г Г Г

для любой г](х, г) е а,Г^) и при любом / е [О,Т]; I^(у,т) - билинейная форма, определенная соотношением

. ду(х, г) дг!(х, г)

¿г (у,Т) = | I а(х)---+ Ь(х)у(х, г)т(х, г) \<ЛхЛ.

Г ^ ^ дх дх

Определение 2. Обобщенным (слабым) решением класса а, Г^) начально-краевой задачи (5)-(7)

называется функция у(х, г) е (а, Г^), удовлетворяющая интегральному тождеству

. дт(х, г) Л

| I -у(х,г)- ЫхЛг + 1Т(у,т) = .Vх)т(х,0^х + | /(х,г)т(х,г(9)

гД дг ) Т Г ГТ

для любой т(х, г) е (а, Г^ ) , равной нулю при г = Т.

Вначале мы покажем разрешимость задачи (5)-(7) в пространстве , Г^) , затем докажем, что каждое

такое решение фактически принадлежит пространству ¥2°(а, Г^). Завершим исследование анализом задачи

стартового управления системой (5) в пространствах V^° (а, Гу ), V(а, Г^ ).

Теорема 2 [5, с. 120]. Начально-краевая задача (5)-(7) имеет по крайней мере одно обобщенное решение в пространстве , Г^). При этом справедлива оценка

*

Р у( х, О Р2,Г^< С I Р V Р^ (г ) +2 Р / Р^ ^^)

(10)

Замечание 1. Краевое условие (7) может быть неоднородным: у( х, г) = ф(х, г) , х едГ , 0< t < Т (ф(х, г)\ХЕ:^= ф (г) для каждого узла £едГ ) и доказательство теоремы дословно повторяет приведенные рассуждения. При этом предварительно вводится новая неизвестная функция и(х,г) = у(х,г) -Ф(х,г) е Ш2°(а, Г^), удовлетворяющая однородному краевому условию, здесь Ф(х, г) -

дФ

произвольная функция из ^ (Г^ ), имеющая обобщенную производную -е ^ (Г^) и удовлетворяющая (почти

дх

всюду) лишь неоднородному краевому условию. Правая часть уравнения (5) для и (х, г) принимает вид

дФ х

Р(х, г) = /(х, г) - ЬФ--, в правой части соотношения (9) определения 2 для обобщенного решения и(х, г)

дх

добавляется слагаемое - | Ь(х)Ф(х, г)т(х, г)дхЛ + | а(х)Фх(х, г)тх(х, г)дхЛ .

Замечание 2. Утверждение теоремы остается справедливым и для начально-краевой задачи со смешанными краевыми условиями: условие (7) заменяется на

ду( х, г)

-+ х, г) |аг =0

дх

(постоянная а своя для каждого граничного ребра у : а = а у , у с дЭТ). Обобщенное решение у(х, г) такой начально-краевой задачи определяется в пространстве (а, Г^ ) и удовлетворяет тождеству

дц(х, г)^ , , л , „ ^ Т

I ^ \ дг J у У о г г ^

| I -у(х, г)- ЛхЛг + 1Т(у,п) + Е ау ¡у(х, г)п(х, г) | =1_,. Л = ¡у(х)п(х,0)Лх + | /(х, г)п(х, г)ЛхЛг

ГЛ дг ) 1 уедЭТ у 0 х 1еу Г Г7

для любой г](х,г) е Ш^(а, Г^) , равной нулю при г = Т; обобщенные собственные функции принадлежат пространству (а, Г) и удовлетворяют тождеству, приведенному в замечании к теореме 1.

Покажем далее, что обобщенное решение задачи (5)-(7) является элементом пространства ^^(а, Гу ), при каждом фиксированном / е [0,Т] принадлежит пространству ,Г) и непрерывно зависит от г в норме

д (а, Г), а, значит, и в норме ^ (Г).

Для анализа используем метод Фурье и систему обобщенных собственных функций задачи (4), плотную в , Г) и ортонормированную в ^ (Г) (теорема 1). Рассмотрим ряд

-V

у(х, г)= Е апе ип (х),ап = |у(х)ип (х)Лх (11)

п=1 Г

({Лп - множество собственных значений задачи (4)). Отметим, что сумма любого из его конечных отрезков есть обобщенное решение системы (5), удовлетворяющее краевому условию (7). Дальнейшее заключается в исследовании характера сходимости ряда (11), которое основано на анализе норм Р у(х, г) Р^ ^, Р уг (х, г) Р^ ^

(* е [0, Т]):

Р у(х, г) Рь2(Г)= ^е'2^'Р у( (х, г) Р^2(Г)= ^а^е'Л . (12)

В силу у(х) е Ьп (Г) имеем Е а2 =Ру(х) Р и ряды, стоящие в правых частях (12), равномерно сходятся 2 п=1 п Ь2(Г >

относительно 1е [0, Т]. Значит, сумма у(х,г) ряда (11) является обобщенным решением задачи (5)-(7) из пространства ^^(а, Г у). Действительно, из указанной сходимости следует, что функция у(х,г) принадлежит

V10(а,Г^) и удовлетворяет интегральному тождеству (8). Последнее вытекает из следующего: сумма уN(х,г)

N

первых N членов ряда (11) удовлетворяет этому тождеству с функцией х) = Е апип (х) и в нем можно перейти к

п=1

пределу при N ^ да .

*

Пусть далее, Л такое, что Л < Л* = шт{-Д Л}. Для скалярного произведения [ц,у] = £(р,у) - ^ (р,у) в

т т

Ь2(Г) получаем [ип,ит] = £(ип,ит) - Л^(ип,ит) = (Лп - Л0)8п (8п - символ Кронекера), значит,

да 2 —2Л г

[у(х,г),у(х,г)] = Е (Л - Л0)а2е п . (13)

-lÀnt -lÀnt

Так как (Àn -Àq )е < a(t ) ( n = 1,l,... ), где a(t) = sup (À-À )e ' является ограниченной

,+x0

функцией на любом отрезке [s, T] ( s > 0 ), то в силу соотношения (13) обобщенное решение y(x, t) есть элемент пространства W^(a,Г) при любом t е (0,T] и непрерывно зависит от t в норме W^(a,Г). Таким образом, справедлива

Теорема 3. Обобщенное решение y(x, t) е V^QCa, Гj,) начально-краевой задачи (5)-(7) при любом t е (0,T]

принадлежит пространству W^(a, Г) и непрерывно зависит от t в норме W^(a, Г).

Задача (5)-(7) не может иметь двух различных решений. Действительно, пусть y, y 2 е V^^a, Гj,) - два

различных решения задачи (5)-(7), тогда в силу линейности этой задачи y = y - y^ е V^^a, Г j ) - решение ее с нулевыми исходными данными: f = 0, v = 0 . Отсюда и из неравенства (10) вытекает следующее утверждение:

Теорема 4. Начально-краевая задача (5)-(7) имеет ед непрерывно зависящее от исходных данных f (x, t) и v(x).

Замечание. Доказательство единственности обобщенного решения в пространстве (a, Г j ) ничем не отличается от приведенного выше. При этом следует учесть замечание 2 к теореме 2, а также заменить в определении 1 пространство V^^a, Гj ) на V^ (a, Гj ) и соотношение (8) на

I x, t ) J y(x, t)n(x, t)dx + J I -y(x, t)- dxdt + lt (y,n) -

Г IJt ^ dt 1 t t

+ X &vJy( x, t )n( x, t ) \ _Л dt = J v( x)n( x,0)dx + J f ( x, t )n( x, t )dxdt

гедШ r П x 1е' Г Г.

Теорема 4. Начально-краевая задача (5)-(7) имеет единственное обобщенное решение y(x, t) е vI/q^, Гj,),

уедЖ у 0 х=1еУ Г Гг

для любой г}(х, Г) е ^2 0 (а, Г^ ) и при любом / е [0, Т].

Далее для дифференциальной системы (5) рассматривается задачи оптимального управления в пространстве состояний, определяемом каждым из пространств У2°(а, Г^ ) и У^0 (а, Г у).

2. Оптимальное управление дифференциальной системой (5). Остановимся на анализе задачи управления в пространстве состояний У20 (а, Г^) (анализ в пространстве У2,^(а, Г^ ) аналогичен). Состояние

у(х,Г) е У2,°(а,Г^) системы (5), определяемое как обобщенное решение задачи (5)-(7) с начальным условием

у(х) е и , очевидно зависит от функции у(х) , являющейся стартовым состоянием системы (5)-(7). Поэтому всюду ниже обозначение у(х, Г) будет заменено на у(у)(х, Г) .

Пусть С : У2,°(а, Г^) ^ ^(Г) - линейный непрерывный оператор (оператор наблюдения, ^ (Г) -

пространство наблюдений), для определенности будем считать, что наблюдением является у(у)(х, Т) (Су(у)(х, Г) = у(у)(х, Т) ), называемое финальным, возможны и иные типы наблюдений; 3(у) - функционал, требующий минимизации на выпуклом замкнутом множестве Ид с И , имеет вид:

3(у)=ру(у)(x,Т) - г0(х) р2

,(Г) + ( Ыу, у)И;

где N : И ^ И - линейный непрерывный эрмитов оператор, (Ыу, у^ Р у ^ (д >0 - фиксированная постоянная); ^ (х) е ^ (Г) - заданное наблюдение. Присутствие слагаемого (Ыу, у^ в представлении функционала 3(у) гарантирует коэрцитивность квадратичной компоненты функционала 3(у) [5, с. 158].

Задача оптимального управления. Задача оптимального управления системой (5) состоит в отыскании *

min J(v). Элемент v е U-, назовем оптимальным управлением системы (5), если он доставляет минимум veUö °

функционалу J(v) на множестве Ug .

Теорема 5. Задача оптимального управления системой (5) по стартовым состояниям v(x) е U имеет единственное решение v е Ug, т. е.

*

J(v ) = min J(v). veUö

Д о к а з а те л ь с т в о. В силу утверждения теоремы 4 линейное отображение v ^ y(v) пространства

стартовых состояний U в пространство состояний ^'^(а, Гу) системы (5) непрерывно. Функционал J(v)

определяется с помощью двух операторов: 1) оператора v ^ y(v) перехода от стартового состояния v к состоянию y(v) системы (5), 2) оператора y(v) ^ Cy(v) перехода от состояния y(v)(x, t) к наблюдению Cy(v) = y(v)(x, T) . Преобразуем функционал J(v) к следующему виду:

J(v) =PC[y(v) - y(0)] + Cy(0) - z0 0 +(Nv,v^ = *(v, v) - 2l(v)+ PCy(0) - zQ 0(Г),

где

ж(п, v) = (C[y(v) - y(0)], C[y(v) - y(0)]) + (Nu, v)U, l(v) = (z0 - Cy(0), C[y(v) - y(0)]). Доказательство завершается применением утверждения теоремы 1.1 [8, с. 13], при этом учитывается очевидное неравенство P Cy(0) - zq P^ ^0 .

Получим соотношения, определяющие управление. Предварительно докажем следующее вспомогательное утверждение для состояний y(v) е ^^(а, Г^ ) .

Лемма. Для любых v, u е Ug имеет место соотношение

y (u)(v - u) = y(v) - y(u), (14)

здесь y'(u) - производная по стартовому состоянию u(x) функции состояния y(u)(x, t) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из соотношения (8) (t = T) для произвольных фиксированных v, u е Ug вытекает

J [y(v)(x, T) - y(u)(x,Tx, T)dx + Г1 J

(15)

, I г 1 x, t) 1 + J I -[y(v)(x, t) - y(u)(x, t)J- dxdt + ij (y(v) - y(u),^) = 0

rT V dt )

тТ

для любой г](х, г) е ^2 0 (а, Г^) . С другой стороны, соотношение (8) (г = Т) дает | [у(и + в(у - и))(х, Т) - уО)(х, Т)]^(х, Т)dx +

+ 1 I -[у(и + в(у - и))(х, г) - у(у)(х, г|dxdt + 1Т (у(и +в(у - и)) - у(у),л) = 0 ГТ ^ 1 J дг )

для любой г](х,г) е ^^(а,Гу,) . Деля обе части полученного соотношения на в и вычисляя предел при в ^ 0 , приходим к соотношению

I Г 1^Г(х, t) | г 1

Jy'(u)(x, T)r(x, T)dx + J I -y' (u)(x, t) |v(x) - u(x')\- \dxdt + lj (y (u) |v(x) - u (x)| ,r) = 0 (16)

Г Гт ^ dt J

для любой r¡(x, t) e W~2q (a, Tj,) .

Сравнивая левые части соотношений (15) и (16), учитывая принадлежность y'(u) пространству ^ (T^), плотность W^q (a, Tj ) в пространстве ^ (Tj ) (лемма 1), а также произвольность r e W^q (a, Tj ), получаем

соотношение (14). Лемма доказана.

Теорема 6. Для того чтобы элемент u(x, t) e Ug был оптимальным управлением системы (5), необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения

J y(u)(x, t )r( x, t )dx + Г

r ( drt (x, t) ^ . (17)

+ J I -y(u)(x,t)- dxdt + £t(y(uXx,t),r(x,t)) = Ju(x)r(x,0)dx + J f (x,t)r(x,t)dxdt

Ttt 3t J t T Tt

(yt e [0, T], Vr(x, t) e w\Q(a, TT)),

J (y(u)(x, T) - zo (x)%y{v)(x, T) - y{u)(x, T))dx + T (18) +(Nu, v - u> 0 (yv e Uq ),

где у (и) е У^'^Са, Г^ ) .

Д о к а з а те л ь с т в о. В соответствии с утверждением теоремы 1.3 [8, с. 18] требуется показать, что неравенство (18) равнозначно неравенству Т(и)(у - и) > 0 для любого V е И^ . Исходя из представления функционала Т(V), получим (Су(у)(х, г) = у(у)(х, Т) )

Т (и + 6(у - и)) - Т (и) = (Су(и + 6(у - и)) - ^, Су(и + 6(у - и)) - ^) + (N (и + 6(у - и)), и + 6(у - и --(СУ(и) - г0, Су(и) - г0) - (^, и)И, откуда вытекает

Т(и +6(V - и)) - Т(и) = (Су(и +6(V - и)) + Су(и), С[у(и +6(у - и)) - у(и)]) - 2(г0, С[у(и +6(у - и)) - у(и)]) + 2(Ш, V - и)^.

Деля последнее соотношение на 6 , переходя к пределу при 6 ^ 0 и учитывая соотношение (14), получаем

Т'(и)(у - и) = 2(Су(и) - г0, С(у(и) - у^))) + 2(N4, V - и)^,

откуда и из (18) следует неравенство Т(и)(у - и) > 0; соотношение (17) очевидно. Теорема доказана.

Введем сопряженное состояние х, г) системы (5) (у(и) е У^^а, Г^ )), удовлетворяющее условиям (3) во всех внутренних узлах графа Г , как обобщенное решение начально-краевой задачи

дт(х, г) д I дт(х, г)

----1 а(х)- | + Ь(х)т(х, г) = 0, (19)

дг дх ^ дх

со = у(у\х, Т) - гд (х), х е Г, (20)

а!хедГ =0, 0< г < Т. (21)

Определение 3. Обобщенным решением задачи (19)-(21) называется функция т(уХ.х, г) е Ш^ д(а, Г^), со(у)(х, Т) = у(уХх, Т) - ^ (х), удовлетворяющая интегральному тождеству

дт(у)( х, г )

- I -С(х, г+ 1Т (ш(у), С) = о, (22)

ГТ дг Т

для любых функций £(х, г) е Ш^^0 (а, Г^ ) .

Преобразуем неравенство (18) с помощью сопряженного состояния т(у) системы (5), используя симметричность формы (^,у) и свойство пространства Ш^(а,Г^) сопряженных состояний т(у): на любом

сечении Г^ плоскостью г = г^ (^ е [0,Т]) существует след функции со(уХх,г) е Ш^(а, Г^), как элемент

(а, Г) с ¿2 (Г) , причем этот след непрерывно зависит от Г е [О, Т], как от параметра, в норме пространства

¿2 (Г) [5, с. 117].

Неравенство (18) можно переписать в виде

{т(уХх, Т), у(у)(х, Т) - у(и)(х, Т)) + (Ми, V - и')^ > 0 Уу е и0. (23)

Пусть у(у)(х, г) - решение (8), у(и)(х, г) - решение (8) при у = и , тогда для т(х, г) = а(и)(х, г)

, ч дф(иХ х, г) I ([у(у)(х, Т) - у(и Xх, Т)]т(и)(х, Т) I dx - | [у(уХх, г) - у(иХх, г)]-dxdt +

Г ГТ дг (24)

(у (у) - у(и),ю(и)) = | [у( х) - и (х)]ф(и X х,0)3х. Т Г

Учитывая вытекающее из (17) при £(х,г) = у(у)(х,г) -у(и)(х,г) е У10^,Г^) с Ш^^,Г^) равенство нулю

дю(и)( х, г )

выражения - | [у(у)(х, г) - у(и)(х, г)]-dxdt + 1Т (у(у) - у(и), со(и)) , получаем из (24) соотношение

ГТ дг Т

1[ у(у\х, Т ) - у(и)( х, Т )]а>(иХ. х, Т х = |[у( х) -и (х)]а>(иХ. х,0^х, Г Г

приводящее неравенство (23) (значит, и (18)) к виду

I [у(х) - и(х)]ю(иХ.х, 0^х + (Ми, V - и> 0 Уу е

или в эквивалентной форме (И = ^ (Г) ) к виду

(а(иХх, 0) + Ми, V - и)^ ^^ > 0 Уу е .

Таким образом, справедлива

Теорема 7. Пусть множество Ид ограничено. Для того чтобы элемент и(х) е был оптимальным управлением системы (5), необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения:

. дт(х, г) Л

1у(и)(х, г)т(х, г^х + | I -у(и)(х, г)- \dxdt + (у(и),т) = |у( х)т(х,0)<Лх + | / (х, г)т(х, t)dxdt (25)

Г ГЛ дг ) Г Гг

для любых r(x, t) e W^q (a, Tj ) и для любых t е [0, T] ;

drn(u)( x, t )

- J -Ç(x, t)dxdt + lT(m(u),Ç) = 0,

TT dt

для любых Ç(x, t) е W^0 (a, Tj, ) ,

J (a(u)(x, 0) + Nu(x)) (v(x) - u(x)) dx > 0

для любых v е Uq . Здесь y(u) е V^^fa, Tj ), m(u) е W^(a, Tj ) и co(u){x, T) = y(u)(x, T) - Zq (x) .

3. Управляемость системы (5). Приведем определение управляемости системы (5) в редакции, принятой в монографии [8, с. 214].

Определение 4. Система (5), состояние которой определяется как решение начально-краевой задачи (5)-(7), называется управляемой (в момент времени T ), если наблюдение Cy(v) = y(v)(x, T) заметает подпространство,

плотное в пространстве наблюдений ^ (Г), когда управление v пробегает все пространство управлений U .

Покажем, что рассматриваемая система (5) управляема. Пусть функция р(x) из пространства наблюдений

(Г) ортогональна к подпространству, заметаемому наблюдением y(v\x, T) : Jр(x)y(v)(x, T)dx = 0 для любых 2 Г

v е U . Рассмотрим функцию p(x, t) е W^q (a, Tj ) как обобщенное решение начально-краевой задачи

dp(x,t) d I dp(x, t)

----1 a(x)- | + b(x)p(x,t)=0 (26)

dt dx ^ dx

p( x, T ) = р( x), x eT, p |xEdT =0, t е (0, T ), (27)

т. е. функция p(x, t) ( p(x, T) = р(x) , x e T ) удовлетворяет интегральному тождеству

. dp(x, t)

-J—-Ç(x, t )dxdt + lT (p,Ç) = 0 (28)

TT dt 1

для любой Ç(x, t) e W^g(a, Tj ) . Доказательство однозначной разрешимости задачи (26), (27) почти дословно повторяет рассуждения при доказательстве теорем 2 и 4. Положим в соотношении (35)

Ç( x, t ) = y(v)( x, t ) - y(u)( x, t ) e V^^fa, Tj, ) с W^(a, Tj, ) ,

тогда, учитывая соотношение (28) для y(v)(x, t) и y(u)(x, t) при t = T и r/(x, t) = p(x, t) , получаем

dp( x, t )

0 = - J [y(v)(x, t) - y(u)(x, t)]-dxdt + lT (y(v) - y(u), p) =

TT dt T

= - J [y(v)(x, T) - y(u)(x, T)]p(x, T)dx + J x) - u(x)]p(x, 0)dx T T

откуда в силу p(x,T) = p(x) вытекает J[v(x) -u(x)]p(x,0)dx = 0 для любых v(x),u(x) e U . Последнее означает,

T

что p(x, 0) = 0 и в силу единственности обобщенного решения уравнения (26) с нулевыми исходными данными -p(x, t) = 0 , значит, как следует из первого соотношения (27), р(x) = 0 (все равенства здесь понимаются почти всюду). Следовательно, справедлива

Теорема 8. Система (5), состояние которой определяется как обобщенное решение начально-краевой задачи (5)-(7) в пространстве V(a, Yj ), управляема.

Задача оптимального управления системой (5) в пространстве , Yj) мало чем отличается от таковой в

V2'o(a, Yj) ■ Все утверждения теорем 5-8 сохраняются: пространство V^0^, Yj) заменяется на V^ (a, Yj),

краевое условие (21) в задаче (19)-(21), определяющей сопряженное состояние системы (5), заменяется на краевое условие, приведенное в замечании 2 к теореме 2, наконец, соотношение (22) в определении 3 принимает вид

г 8®(vXx, t) t

-C(x, t)dxdt + £T (w(v),C) + X crv)y(x, t)n(x, t) L_1=„ dt = 0,

dt T уедЖ r 0 x r

YT

для любых функций x, t) е W^0 (a, Yj ) .

4. Заключение. В работе рассмотрен распространенный в приложениях случай стартового управления v е U = ¿2(Y) и финального наблюдения Cy(v) = y(v)(x, T) для дифференциальной системы (5), состояние y(v)(x, t) которой описывается решением начально-краевой задачей (5)-(7). Хотя применение методов демонстрируется для указанных управления и наблюдения, используемые приемы обладают большой общностью и применимы к другим видам управлений и наблюдений, например, граничным [9-11]. В последнем случае

U = ¿2(dYj ), а состояние системы (5) определяется как обобщенное решение задачи (5)-(7) с краевым условием У \йГ= v вместо (7). При этом необходимо рассматривать след функции y(v) на dYj (или части dYj );

сопряженное состояние системы описывается уравнениями, задаваемыми как на Yj, так и на dYj . Следует

отметить, что в работах [12-14] рассмотрены другие подходы при анализе прикладных задач управления и родственных им задач оптимизации [15, 16], имеющие, однако, аналогичную трактовку (в терминах сопряженного состояния) условий существования оптимального управления. Отметим также, что изучаемая задача допускает в представлении уравнения (5) особенности в виде стохастической компоненты [17] и разрывной нелинейности [1820].

ЛИТЕРАТУРА

1. Подвальный С.Л., Провоторов В.В. Оптимизация по стартовым условиям параболической системы с распределенными параметрами на графе // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 58. № 4 С. 70-74.

2. Подвальный С.Л., Провоторов В.В. Определение стартовой функции в задаче наблюдения параболической системы с распределенными параметрами на графе // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2014. Т. 10. № 6. С. 29-35.

3. Провоторов В.В., Гнилицкая Ю.А. Граничное управление волновой системой в пространстве обобщенных решений на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. № 3. С. 112-120.

4. Волкова А.С., Гнилицкая Ю.А., Провоторов В.В. О разрешимости краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов на геометрическом графе // Системы управления и информационные технологии. 2013. Т. 51. № 1. С. 11-15.

5. Провоторов В.В., Волкова А.С. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе. Воронеж, 2014. 188 с.

6. Волкова А.С., Провоторов В.В. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. № 3. С. 3-18.

7. Провоторов В.В. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке // Известия высших учебных заведений. Математика. 2008. № 3. С. 50-62.

8. ЛионсЖ.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / пер. с фр. Н. Х. Розова; под ред. Р.В. Гамкрелидзе. М.: Мир, 1972. 414 с.

9. Провоторов В.В. Оптимальное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. № 3. С. 154-163.

10. Volkova A.S., Gnilitskaya Yu.A., Provotorov V.V. On the Solvability of Boundary-Value Problems for Parabolic and Hyperbolic Equations on Geometrical Graphs // Automation and Remote Control. 2014. Т. 75. № 2. C. 405-412.

11. Provotorov V. V. Boundary control of a parabolic system with distributed parameters on a graph in the class of summable functions // Automation and Remote Control. 2015. Т. 76. № 2. C. 318-322.

12. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об асимптотической устойчивости решений нелинейных систем с запаздыванием // Сибирский математический журнал. 2012. Т. 53. № 3. С. 495-508.

13. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия высших учебных заведений. Математика. 2012. № 5. С. 3-12.

14. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об устойчивости решений одного класса нелинейных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2006. № 9. С. 3-14.

15. Веремей Е.И., Корчанов В.М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // Автоматика и телемеханика. 1988. № 9. С. 126137.

16. Бокова Я.М., Веремей Е.И. Вычислительные аспекты спектрального метода H-оптимального синтеза // Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. №4. С. 88-96.

17. Карелин В.В. Штрафные функции в задаче управления процессом наблюдения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010. № 4. С. 109-114.

18. Потапов Д.К. Оптимальное управление распределенными системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Известия РАН. ТиСУ. 2013. № 2. С. 19-24.

19. Провоторов В.В. Метод моментов в задаче гашения колебаний дифференциальной системы на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010. № 2. С. 60-69.

20. Kamachkin A.M., Yevstafyeva V.V. Oscillations in a relay control system at an external disturbance // Control Applications of Optimization 2000: Proceedings of the 11th IFAC Workshop. 2000. V. 2. P. 459-462.

Поступила в редакцию 20 января 2015 г.

Provotorov V.V. OPTIMUM CONTROL OF EVOLUTION SYSTEM OF PARABOLIC TYPE WITH DISTRIBUTED PARAMETERS ON THE GRAPH

The problem of optimal control of a differential system whose state is defined as a generalized (weak) solution of the initial -boundary value problem with distributed parameters on the graph in the space of Sobolev type is considered. The influence on the system is carried out at the initial time and is starting, monitoring of the system status is carried out at the final time, and is final. Adjoint state of the system is also defined as a generalized (weak) solution of the initial-boundary value problem with distributed parameters on the graph with the final condition. Necessary and sufficient conditions for the existence of a unique start control and manageability of differential system are obtained. The adduced allegations and the results are constructive and useful for the numerical solution of optimal control problems under consideration.

Key words: initial-boundary value problem on a graph; correctness; optimization by the starting conditions; final observation; adjoint system.

Провоторов Вячеслав Васильевич, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, e-mail: wwprov@mail.ru

Provotorov Vyacheslav Vasilievich, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Equations in Specific Derivatives and Theory of Probability Department, e-mail: wwprov@mail.ru