CC BY
21
Механические характеристики крови и артерии были взяты в виде pi = = 1050 кг/м3, п = 0.0037 Па-с, р2 = 1378 кг/м3, v = 0.4, E = 6 • 105 H/м2.
Результаты и выводы
По результатам проведенного численного эксперимента были получены численные данные по движению крови и стенок патологически извитых сонных артерий. Анализ результатов и сравнение с клиническими данными показали, что:
а) в изгибе локальное давление крови на поперечном срезе артерии минимально на внутренней стенке изгиба, а по мере приближения к наружной стенке увеличивается и достигает максимума на самой стенке;
б) для скорости потока крови характерна обратная зависимость: максимальные значения скоростей потоков крови достигаются у внутреннего радиуса в районе изгиба артерии;
в) за счет разницы давления (у наружного и внутреннего радиуса) возникают потоки поперечной циркуляции, имеющие характер завихрения.
В дальнейшем планируется использовать модель свехупругого (модель Нео-Гука) ортотропного материала [6] стенок сонной артерии.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100564).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Скобцов Ю.А., Оверко В.С., Родин Ю.В. и др. Исследование потоков крови при патологической S-образной извитости сонных артерий // Тр. ИПММ НАН Украины. 2006. Вып. 12. C. 164-171.
2. Bathe K. J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1996. P. 1037.
3. Http://www.bakulev.ru (официальный сайт НЦССХ им. А. Н. Бакулева РАМН).
4. Http://www.venart-swiss.ru (официальный сайт сосудистой клиники Venart Швейцарского медицинского центра).
5. Holzapfel G.A., Gasser T.C. A new constitutive framework for arterial wall mechanics and a comparative study of material models // J. of Elasticity. 2000. № 61. P. 1-48.
6. Harington I., Botton G. de, Gasser T.C., Holzapfel G.A. How to incorporate collagen Fibers Orientations in an arterial bifurcation // Proc of the 3rd IASTED Int Conference on Biomechanics. Benidorm, September 7-9, 2005. Benidorm, Spain, 2005.
УДК 533
В.С. Кожанов, И.А. Чернов
ЗАДАЧА О СХЛОПЫВАНИИ ПУСТОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
Данная статья представляет результаты численного решения автомодельной задачи о схлопывании пустой полости, обладающей цилиндрической симметрией, когда показатель адиабаты y £ (2.9776,16.8693). Результаты решения этой задачи для потока со сферической симметрией содержаться в [1,2].
В предположении, что движение среды изэнтропично, основная система уравнений газовой динамики для цилиндрической симметрии принимает вид (£ - время, г - координата, и - скорость жидкой частицы, С = с2 - квадрат скорости звука)
и + ииг + Сг/ (7 - 1) = 0, С + иСг + (7 - 1) С (иг + и/г). (1)
Рассматриваемая задача допускает автомодельное решение, которое представляется в форме
и = -пот1-1^ (£), С = п2а2г2-2/пС (£), £ = а(£/г1/п). (2)
Подстановка (2) в (1) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (5 = (1 + £Е)2 - £2С)
Е' (£) = {а£ЕС - Ь (1 + £Е) [2С + (7 - 1) Е2] } / [(7 - 1) 5],
С (£) = {Ь [2С + (7 - 1) Е2] £Е - а (1 + £Е) ЕС} /5, а = 2(1 - п) + (7 - 1) [1 - (1 - 2п)] , Ь = 1 - п.
Чтобы получить аналитическое решение задачи, функции Е и С должны быть аналитическими в точке £, соответствующей предельной характеристике. Этого можно достичь подбором показателя автомодельности п, к определению которого сводиться первый этап решение.
Исследование удобно вести на фазовой плоскости переменных У = -£Е, Z = £2С, изучая поведение интегральных кривых одного нелинейного ОДУ. Это ОДУ имеет шесть особых точек, две из которых с координатами
У = В2 - / (2В2) ,Z = (1 - У)2 , (3)
/ = 7 - 3 - 2 (7 - 2) п, /2 = (7 - 1) п, Во = 2(1 - п)
являются образами предельной характеристики. Обозначим буквой Е ту, которой отвечает знак плюс в (3).
Установлено, что существует несколько диапазонов значений показателя 7. В каждом из них решение имеет свои особенности. Интервал (2.9776,16.8693) характеризуется тем, что для него существует решение задачи, когда интегральная кривая уравнения в переменных У, Z при искомом п, выходящая из особой точки С (У = = 0) вдоль сепаратрисы седла, проходит аналитическим образом через узловую точку Е вдоль уса отдельного направления. Реализация такого прохода означает требуемую аналитичность функций Е и С на предельной характеристике.
В основе применяемого метода решения лежит разложение функций Г и О в ряды Тейлора в окрестности предельной характеристики £ = £е
Г = Ге + р»Д\ О = ОЕ + д = £е + 6. (4)
В таблице приведены значения искомого показателя автомодельности п, а также коэффициенты р^, в разложениях (4) для пяти значений 7.
7 2.98 4.00 7.00 11.00 16.86
п 0.8820259 0.8156801 0.7267854 0.6793581 0.6474310
Р1 -0.2800256 -0.3162651 -0.2585958 -0.1879789 -0.1312472
Я1 1.1917696 1.9507785 2.7906250 3.0315767 3.0727472
Р2 -0.0600655 -0.0915253 -0.0978697 -0.0801468 -0.0604255
Я2 0.2053028 0.5093918 1.1372472 1.5482507 1.8279070
Р3 -0.0222969 -0.0447767 -0.0601901 -0.0540745 -0.0431119
Яз 0.0763186 0.2587347 0.7644647 1.1771038 1.5019847
Р4 -0.0100387 -0.0265842 -0.0443841 -0.0433946 -0.0363574
Я4 0.0350029 0.1584276 0.5978700 1.0184839 1.3818505
По результатам численных расчетов построена интерполяционная формула, характеризующая зависимость показателя автомодельности п от показателя адиабатичности 7 в случае цилиндрически симметричного потока
п=
0.58770369687 + 1.424996118 7 + 0.6233577285 '
Максимальная относительная погрешность по сравнению со значением п, получаемым с использованием метода Рунге - Кутта, составляет не более 1.3 • 10-3 на рассматриваемом интервале.
На рис. 1, 2 представлены графики, отражающие поведение функций Г и О на каждой из двух стадий течения: течение до схлопывания и отражение от центра схлопывания с последующим образованием ударной волны.
Рис. 1
Рис. 2
Предельная характеристика отмечена точкой, ударный переход показан пунктиром. Для всех п границе каверны соответствует значение £ = —1 за счет выбора масштабного множителя.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хантер К. О захлопывании пустой полости в воде // Механика: Период. сб. переводов иностр. ст. 1961. № 3 (67). С. 77-100.
2. Брушлинский К.В., Каждан Я.М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики // УМН. 1963. Т. 18, вып. 2 (110). С. 3-23.
УДК 533.6.0116:532.529 А.А. Матутин, Г.П. Шиндяпин
АНАЛИЗ НЕРЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА РЕФРАКЦИИ УДАРНОЙ ВОЛНЫ С ОБРАЗОВАНИЕМ ВОЛНЫ
РАЗРЕЖЕНИЯ
В статье найдена область существования нелинейной рефракции ударной волны (УВ) с волной разрежения, когда интенсивность преломленной волны сравнима с интенсивностью падающей УВ ~ 0(1), = = (Рз — р0)/(р — ро)) и значительная часть энергии передается из газожидкостной среды (ГЖС) в газовую. Установлено, что отмеченный феномен возникает при различных режимах рефракции: КБ — нерегулярном (рис. 1, а), ИЛ, — регулярном (рис. 1, Ь), ИУ — с отраженной ударной волной (рис. 1, с).
Рис. 1
При падении ударной волны АЛ (ВЛ) относительной интенсивности Др/рос0 под углом а к вертикали на свободную поверхность КА, разделяющую газ и ГЖС, с газосодержаниями 7 +, 7— возникают различные режимы рефракции, характеризуемые фронтом преломленной волны АЭ и разрежением АМК или отраженной УВ АС. Параметр характеризующий интенсивность преломленной волны, одновременно характеризует интенсивность волны разрежения или отраженной УВ (£20 = £30).
Анализ задач рефракции УВ при относительно малой интенсивности падающей УВ (£ << 1, £ = Ь0(7)£10, £10 = (р1 — р0)/р0), характерных для ГЖС
