CC BY
20
Mech/Chernov/ChernovlA-pi
c4-JPG.pdf
Рис. 4
Этих данных достаточно для вычисление траекторий УВ и каверны на плоскости ((Я2,Як), а также оценки эволюции течения на малом интервале времени, когда начинает сказываться противодавление.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М, : Наука, 1965. 386 е.
2. Коробейников В. П. Задачи точечного взрыва. М, : Наука, 1985. 400 е.
3. Коробейников В. П., Мельникова Н. С., Рязанов Е. В. Теория точечного взрыва. М, : Физматгиз, 1961. 332 е.
УДК 517.984
Г. П. Шиндяпин, Р. И. Ливеровский
РЕЖИМЫ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СРЕДАХ
Исследованы процессы нелинейной рефракции ударных волн (УВ) на свободной поверхности, разделяющей газожидкостные среды (ГАЗ/ГАЗ; ГАЗ/ ГЖС; ГЖС/ГЖС), методами асимптотической теории коротких волн [1]. Для режимов с возникновением волны разрежения (RR, RRW) и режимов с возникновением отраженной ударной волны (RW) при падении ударной волны со стороны более плотной среды (режим fast-slow ) получены аналитические выражения для основных характеристик (q+ = (Рз — Po)/(pi — Po), в пространстве параметров подобия. Гезуль-таты развивают [2, 3] и представляют практический интерес для многочисленных приложений [4].
1. При падении УВ (AR) (рис. 1, 2) относительно малой интенсивности Pi0 = (pi — p0)/B— , = p— c— 2 под углом а к вертикали па свободную поверхность AE, разделяющую различные газожидкостные среды y y —, возникают различные режимы рефракции: RR (рис. 1),
К\¥ (рис. 2), характеризуемые фронтами УВ (ЛЯ - падающий, ЛБ - преломленный, ЛО - отраженный), волной разрежения В\ЛВк и изломом свободной поверхности ЛЕ. Параметр характеризует интенсивность волны разрежения или отраженной УВ, р3 = р2.
Mech/Shindyapin/RRtex.pdí;
МесЬ/Shindyapin/RWtex.pdf
ЯЯ Рис, 1
ЯШ Рис. 2
Анализ задач рефракции УВ при относительно малой интенсивности падающей УВ (ЛЯ) (ё < - ё = РюЯо(7-) = еюДт-); ею = (р1 -Ро)/ро), характерных для ГЖС пузырькового типа, может быть проведен на трех различных уровнях точности: точных соотношений на фронтах У В и решений для волн разрежения (модель Эйлера); адиабатических потенциальных течений (обобщенная на ГЖС модель Лайтхилла) с точностью Р1о включительно; асимптотической теории коротких волн (ТКВ) доР10 включительно (см. [1-3]).
При асимптотическом анализе задач рефракции относительно слабых У В с помощью ТКВ в окрестности точки взаимодействия Л (£а,Па = 0) в автомодельных переменных £ = с^? П = ВВ°ДЯТ разложение
Я 1
£ = 1 + ёХ, п = ё1/2У, — = 1 + ёб, 0 = ё1/2У, б = X + - У2,
с0Ь 2
и и(1)
— = Р10-
со со
и
+ ...,
V -3/2 „1/2 V(1)
_= р3/2 Я
= р10 Яо
со
со
+ ...,
— = РюД + ..., со
К = р 3/2Я1/2^ + = р10 Я0 и + . . . ,
со
р - р о
(1) , р - ро
В
= Р10Р(1) + ...,
о
Ро
= РюЯ(1) + ..., ё = Я0Р10 = Ьб10. (1)
получим, что течение в области возмущения (за фронтом УВ) описывается системой уравнений коротких волн (см. [1]
[м(м - 26)]6 + Vу + 3м = 0, му = уь, м = Р(1) = Н(1) (2)
с условиями на фронтах У В (X = X *(У), м' ■> V' - значения перед фронтом)
1 dX
X-Фг = + м+м'), = Н^, (м-м')(Ф + У) = V'-V, Р(1) = м
2 НУ
(3)
Решение (2) для волны разрежения Б1ЛБк имеет вид
м = -1 г2 + V = 3г3 - мУ + Н, г = (X - ХА)/У. (4)
2. При использовании модели гомогенной локально-равновесной пузырьковой среды, с газосодержанием 7 = т///т/, было установлено в [2], что для процессов рефракции па свободной поверхности £ = £ (п), разделяющей ГЖС с газосодержаниями 7 + 7имеют место в точке Л (£а,Па = 0) инварианты (1 и И)
£+ = со£А, - С±П±)/(и± - с0±£±) = 1/£',
которые для относительно слабых УВ принимают вид
с+£+ = с-С- = = сс£А ^ ^ (5)
При использовании решения (4) и условий на прямолинейных фронтах УВ (3) для расчета течений в верхней и нижней областях (а+ = (р3 -Ро)/(р - р0), р3 = р2) получим инвариант для случая Ш1 (с волной разрежения)
а+
I : ^ = 2с7 + а"2 - аг + 1, ^ = tgы/ё1/2, а" = tgа/ё1/2;
11 : а+2(рс)2(2с7 + а^2 - 0+ + 1) = [3(2XA - 2а+)3/2 + Н]2. (6)
В случае К\¥ (с отраженной УВ) в правой части (6) для 11 (в скобках) имеем выражение: ^ = а^ - (а+ - 1)\/а^2 - а+. Исключая из 1, 11, получим для ГШ
а+2(рс)2(2с7 + а^2 - 0+ + 1) = [3(2XA - 2а+)3/2 + Н]2, (7)
154
Ха = (а"' + 1)/2, б = а" - \(а"2 - 1)3/2,
3
для К\¥
7 +
д+2 (рс)2 (2с7 + а^2 - ^ + 1) = [а* - (д+ - 1)у>2 - д+]
Ь
Выражение (7) устанавливает зависимость от параметров подобия
-о
(р = р /р+ с = с°/с+)
_ с _ С+
Ь = Ь-/Ь+, с7 = Со __0 , а", рс. (8)
С- £
3. Остановимся на анализе зависимости (7) от параметров подобия (8). Ранее рассматривалась эта зависимость для случая рефракции на поверхностях, разделяющих ГАЗ/ГАЗ (см. [2]), когда параметр подобия рс = 1.0. Отмечалось, что линия раздела К поверхностей Ш1 и К\¥, где = 1.0, совпадает при различных а^ и дается уравнением
1
2с7 = ь - 1. (9)
На рис. 3 построены поверхности для д+/Ь,с7 для режимов Ш1 и RW при а^ = 1.0 (переход к N Я) и а^ = 2.1 (переход к RRW). Отмечены минимальные значения при предельных Ь.
Mech/Shindyapin/picltex.pdf
ГАЗ/ГЖС (рс= 1.0) Рис. 3
Для случаев рефракции на поверхности, разделяющей ГАЗ/ГЖС (поверхность океана и др.), характерны большие значения параметра
pe (90 < pe < 3500 при 10-4 > 7 > 0). В этих условиях правые части (7) для RR и RW могут быть отброшены и решение для q+ дается выражением
q + = L (2c7 + av 2 + 1). (10)
При значительных cY (10 < cY < 1.5 • 105, 10-7 >7 > 0) линия раздела K (q+ = 1.0 поверхностей RR и RWne зависит от av и дается выражением
2c7 L = 1, (11)
а поверхность q+/L, cY дается уравнепнем q+ = 2cYL. На рис. 4 построены поверхности RR и RW q+/L, cY при av = 1.0 согласно (7). Следует отметить, что предельные значения q + на поверхности RW соответствуют передельным значениям L. Эти значения q+ возрастают с увеличенивем cY (пунктирная линия), т.е. с уменьшением 7.
Mech/Shindyapin/pic2tex.pdf
ГАЗ/ГЖС (рс= 3500) Рис. 4
Зависимость решения от а^ становится существенной при возрастании газосодержания 7 (т.е. уменьшении с7), когда значения на поверхности и линия К достигают предельных значений Ь (при 7 > 10-6). Это обстоятельство может служить причиной исчезновения режима К\¥ при относительно больших (предельных 7*) газосодержаниях (7 > 7*).
Ьс
соответственно при больших с7 малыми значениями д +. Это обстоятельство известно в литературе (см. [4]) как вырождение фронта преломленной У В. Подробные исследования такого случая с помощью более общей модели адиабатических потенциальных течений ГЖС (с точностью до Р-^) проведены авторами в [3]. Показано, что д+ имеет значения 10-5 < д+ < 10-3 при 10-8 < 7 < 10-4 в широком диапазоне изменения а
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Шипдяпип Г. П. Нелинейное взаимодействие ударных волн в газах и газожид-коетных средах, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1997, 104 с,
2, Шиндяпин Г. П., Матутин А. А. О законах подобия рефракции ударных волн в газовых и газожидкостных средах // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат ун-та, 2008, Вып. 10, С, 146-150,
3, Шиндяпин Г. П., Маркушин А. Г. Рефракция ударной волны на свободной поверхности в газожидкостной среде с образованием волны разрежения // Аэродинамика : межвуз, сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1991, Вып. 12(15), С, 24-39.
4, Henderson L. F., Ma J., Sakurai A., Takayama K. Refraction of a shock wave at an air-water interface // Fluid Dynamics Research, 1990, Vol 5, P. 337-350,
УДК 539.3
Д. А. Шишков, Ю. В. Лысункина
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТАТИЧЕСКОГО ИЗГИБА
ТОЛСТОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНКИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ЗАКРЕПЛЕНИИ КОНТУРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В работе [1] рассмотрена задача вибрационного изгиба толстой прямоугольной пластинки из изотропного материала, два противоположных края которой свободно оперты при произвольном закреплении остальной части боковой поверхности.
Напряженно-деформированное состояние (НДС) пластинки при статическом изгибе описывается системой уравнений, состоящей из уравнений равновесия сплошной среды и уравнений закона Гука в форме [2]:
(Цуа = 0, (1)
а = + м (Уи + (Ум)*). (2)
1 — 2v
Здесь а — симметричный тензор напряжений, и — вектор перемещения? I _ едИНИЧНЫй тензор, м, V — параметры материала.
Предполагается, что края пластинки закреплены произвольно, а на верхней лицевой плоскости приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивности а = а(х,у) (рис. 1).
