CC BY
28
УДК 533.6.011:532.529
Г.П. Шиндяпин, А.А. Матутин
ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕФРАКЦИИ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
В задачах рефракции ударных волн на свободной поверхности, разделяющей газовую и газожидкостную среды, при падении ударной волны со стороны более плотной среды обычно лишь малая часть энергии передается в область газа, что соответствует относительно малой интенсивности преломленной волны по сравнению с интенсивностью падающей ударной волны. Определена область существования нелинейной рефракции ударной волны с волной разрежения, когда интенсивность преломленной волны сравнима с интенсивностью падающей ударной волны и значительная часть энергии передается из газожидкостной среды в газовую, возникающей в случае близких значений для скоростей звука в газовой и газожидкостной средах.
A SHOCK WAVE NONLINEAR REFRACTION FEATURES
In problems of a refraction of shock waves on the free surface sharing gas and gas-liquids environments, at falling a shock wave from the side of denser environment usually only small part of energy is passed in area of gas that corresponds concerning small intensity of the refracted wave in comparison with intensity of a falling shock wave. The area of existence of a nonlinear refraction of a shock wave with a wave of under pressure when intensity of the refracted wave is comparable to intensity of a falling shock wave is determined and the significant part of energy is passed from gas-liquids environments in gas, arising in case of close values for speeds of a sound in gas and gas-liquids environments is determined here.
1. Теоретический интерес к задачам рефракции ударных волн (УВ) обусловлен необходимостью исследования широкого класса актуальных задач, возникающих в приложениях, к которым относятся взаимодействия УВ с поверхностью океана, гидравлический удар, подводный взрыв, возникновение цунами и др.; а также сложностью
G.P. Shindyapin, A.A. Matutin
и
противоречивостью
исследуемых явлений [1, 2].
При падении УВ AR (BR)
относительной интенсивности А p / р^ (Ар - перепад давления,
Ро, со - плотность и скорость ударной волны в покоящейся газожидкостной среде), под углом а к вертикали на свободную
а
б
в
Рис. 1. Режимы нелинейной рефракции
поверхность КА, разделяющую газовую и газожидкостную пузырьковую смеси с относительным массовым газосодержанием (у=т11/т1) у+, у- со стороны более плотной среды, возникают картины нерегулярной, регулярной и регулярной с ударной волной (замыкающей зону разрежения) рефракции (рис. 1, а, б, в) характеризуемые фронтами падающей АЯ, отраженной АС, преломленной АБ УВ и областью разрежения АМК
Используется локально равновесная термодинамическая модель газожидкостной среды (ГЖС) [1], позволяющая для общего случая уравнений состояния жидкой и газообразной фаз (индекс I соответствует жидкости, II - газу) р1=/р), р=ЯрцТ записать уравнения термодинамического и калорического состояния смеси, а также формулы для адиабатической скорости звука с в виде
a b
Р f (p).
a +1 p cv
a - bp
= cvT , c2 =----------------------------a = (1 + Y)b , b = -R. (1)
d p p yR
dp f (p)
2. При исследовании рефракции УВ на свободной поверхности (рис. 1, б), разделяющей газожидкостные среды с различными газосодержаниями у+, у-, при падении УВ со стороны более плотной среды, кроме локальных условий, в точке взаимодействия
А, на фронтах падающей АЯ, преломленной АБ и отраженной АС волн, а также на свободной поверхности АК, используется пространственное решение для волны разрежения АМК [1,3]. При падении УВ относительно малой интенсивности ( Р10 = (Р1 - Р0)/Р0с02 << 1), характерных для ГЖС пузырькового типа (с относительно малым газосодержанием 0 < у- < 10-4, абсолютная интенсивность (р1-р0) при этом может быть велика), течение во всей области возмущения с точностью до Р±0 можно считать безвихревым, а следовательно, потенциальным. Вводя потенциал скорости Ж = V Ф и переходя к безразмерным переменным
Ф(x,y,t) = c02 tf (5, n), i;=—, n = —; c = С= P
*
с0^ с0^ с0 В0 (2)
Р-Р0 = Н и = V = в = с 2Р
= Н , = Д , = /п , В0 = С0Р,
Р0 С0 С0
можно свести [1,3] систему уравнений динамики газожидкостной среды с уравнением состояния (1) к уравнению для потенциала /(,, п)
сп / + П) = (/ X/х + 2(/-Шп -п/ + (1п-П)2П ,
«л 1 т 1 п (3)
С = 1 + 2(1 -R)G, G = f-£f{-nfn+ -f¡ + -n
Решения для центрированной волны разрежения AMN, возникающей при рефракции УВ на свободной поверхности в т. А (а, па) в переменных 5~5а=г cos 9, n-nA=r sin 9, имеют вид (F0, c-const)
— = ав sin 9 sin a (9 + c) + в cos 9 cos a (9 + c) + 5 A,
co
v
— = -ав cos 9 sin a (9 + c) + в sin 9 cos a (9 + c) + n A, (4)
co
a = V(Ro -1)/R ■ в = ±л/D/(( -1) ; D = 1 + (1 -Ro)[2Fo -(5A +nA)]
Условия динамической совместности для участка фронта УВ 5=5(п),
)j = (p} - pr )/(Poc
характеризуемого интенсивностью PtJ = (pJ - p¿ )/(poc¡^) и углом наклона 5' = d¡5 / dn
(индекс I - характеризует параметры перед фронтом, , - за фронтом), можно представить [1,3] в виде (коэффициенты п1, п2, п3 - зависят от газосодержания среды у)
Р_ [(£ -П£ О - (и,/с0 - £ У,./с0)] Ро 1 + Г2
= М(Г},),^-^ _ Г
и, и
Л
V со со 0
р р р Р N(Р.,) - Р./ 1 Ро
и-£У'
(£-пГ) -
Vсо со ) V со со )
, £,, _(Р, - Р,V Ро , Р = Ро^; /(Росо2)
Г, _Г,, N(Р,, ) =
П1Р,,(Р,,+ п2)
Р,, - П3 [Р, / /(Р, ) - Р, / /(Р, )]
Условия на свободной поверхности Б(£,,п)=0 (£,=£,(п)), разделяющей ГЖС с различными газосодержаниями у , у-, но совпадающими давлениями и нормальными к поверхности составляющими скорости, равными скорости ип движения элемента поверхности ( и+ = и- = ип ) в переменных (2) примет вид ( с0 = с- )
+ -Р _ Р
V± - со п _ дР / дР 1
К±-со£ д£/ дп V
(6)
Для случая рефракции, в средах с существенно различающимися значениями скоростей звука с0(у+), с0(у-) расчеты с помощью (4)-(6) параметров регулярной (рис. 2) рефракции в20, ш,р1, вк, 8 при известных Р10 или 810=(р1-р0)/р0, а, у+, у_; р0,Т0 выявили ряд закономерностей процесса [1,3]:
• границу области существования регулярной рефракции типа А (перехода к нерегулярной рефракции);
• границу типа В,
соответствующую условию ш=0;
• границу типа С,
соответствующую верхнему
предельному значению у-, при котором отсутствует область разрежения.
Расчеты [1,3] показывают, что относительная интенсивность
преломленной волны в30 весьма мала (в30=820=10-5^10-3) и возрастает с ростом газосодержания у до некоторого предельного значения, соответствующего границе С.
3. Для сред с близкими значениями с0(у+), с0(у-), соответствующих, например, случаю рефракции УВ на поверхности
океана, разделяющей воздушную среду с со(у)и водовоздушную ГЖС с со(у-) при газосодержаниях у^Ю-6, для
относительно слабых УВ,
характеризуемых малым параметром
є_ Ро(У)єіо (о ^ А)(У) ^ ^°; ё<<1), асимптотический анализ соотношений (4)-(6) приводит к неожиданным результатам
Рис. 2. Зависимость интенсивности преломленной волны от а, упри фиксированном в10
относительной
интенсивности
Ч
преломленной УВ. Эта интенсивность может быть сравнима с интенсивностью падающей УВ.
Вводя асимптотическое разложение для области больших градиентов (области коротких волн) [1]
£ = 1 + вХ, п = В1/2У; Яо/с^ = 1+ в8, 0 = в1/2У ; 8 = X +1/272,
u _ — М v 3/2 v . Р Ро _ P P (1) р р0 _ P H (1) . — _ R P _ L р (7)
_ 1 W1 > _i10JJ 3 & _ 1Ю110 _ ^0&10 3
_—
_—
Ро
получим решение (4) для волны разрежения в виде
р = -1/2г2 +8^, у = 1/3г3-рУ + ё, г = (X-Х^)/7 ,
а условие на свободной поверхности, характеризующее скорость движения т. А вдоль оси ОХ (Ы - скорость фронта ударной волны; в+ = (р3 - р0)/ р0 , в- = (р1 - р0)/ р0) - в виде
(8)
N /cosа = N+ /cosш , N± = 1 + —Z±s_ .
2 0
Записывая решение (8) на переднем и заднем ABh ABk фронтах разрежения
м _ 1 ß _(tgß)/—1/2; ^2 _ q+, ß _ tgß/—l'\ v _ q+®v. ш _ tgш/—
1/2
-1/2
(9)
получим при XA _ (av~ +1)/2, av _ (tga)/s1/2, d _avl - 1/3(av2 -1)3 2 условия
, V 2
v 2 1x3/2
a>vlq+2 _
j(2(Xt -q*))3/2 + d
Условие (9), в принятых обозначениях, примет вид
( v 2 v 2 ) , L* +
^ш -a J+ —0
2c1_\&v -av j+ -0q -1 .
Ln
(10)
(11)
1,0
Исключая из (10) и (11) шv , получим окончательно
2cy_-т{3[(xa-q+)F2+dj-av2 + L°q+-1 . (12)
q+ 13 J L0
Расчеты согласно (10)-(12) параметров рефракции q+,ш (рис. 3) при известных a, у-, s10 выявили ряд закономерностей:
• границу области существования q+ регулярной рефракции, типа А;
• границу типа В, соответствующую условию ш=0;
• границу типа D (cY=0), на которой исчезает волна разрежения.
Расчеты показывают, что интенсивность 05 преломленной волны q=s30/s20 сравнима с интенсивностью падающей волны и возрастает как при уменьшении газосодержания среды у-, так и при увеличении угла наклона падающей волны a.
В этом случае (рис. 3) близких значений скоростей звука c0(y+), c0(y-) (cy~O(1)) в отличие Рис. 3. Зависимость интенсивности
10 20 30 40 50 60 a
от случая с существенно различающимися скоростями звука (рис. 2) интенсивность возмущения в области, занятой газом, сравнима с интенсивностью возмущений в области ГЖС
преломленнои волны q от a, у при фиксированном s10
0
и в процессе рефракции значительная часть энергии передается из газожидкостной среды в газовую.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шиндяпин Г.П. Нелинейное взаимодействие ударных волн в газах и газожидкостных средах / Г.П. Шиндяпин. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. 104 с.
2. Кедринский В.К. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели /
В.К. Кедринский. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 435 с.
3. Шиндяпин Г.П. Рефракция ударной волны на свободной поверхности в газожидкостной среде с образованием волны разрежения / Г.П. Шиндяпин, А.Г. Маркушин // Аэродинамика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 12 (15). С. 2432.
Шиндяпин Георгий Петрович -
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой «Вычислительный эксперимент в механике» Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского
Матутин Александр Александрович -
аспирант кафедры «Вычислительный эксперимент в механике»
Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского
