CC BY
30
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Федоров Д.Л. Нефть и газ как продукт взаимодействия геосфер // Недра Поволжья и Прикаспия: Региональный науч.-техн. журн. 2001. Вып. 27. С. 3-7.
2. Фрейденталь А., Гейрингер Х. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 432с.
3. Райс Дж. Механика очага землетрясения. М.: Мир, 1982. 202 с.
4. Гурьянов В.В., Гурьянов В.М., Левянт В.Б. Особенности распространения сейсмических волн в коллекторах, влияющие на их выявление и дифференциацию // Математические методы в геофизике: Тр. Междунар. конф. Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2003. С. 93.
5. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. 326с.
6. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббсон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694с.
УДК 539.3
Д.В. Иванов, Е.Л. Коссович
КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ АРТЕРИЙ ЧЕЛОВЕКА С ПАТОЛОГИЧЕСКИМИ ИЗВИТОСТЯМИ
Данная статья посвящена исследованию патологических извитостей сонных артерий [1] и включает медицинскую и математическую постановку, численное моделирование и решение смешанной задачи теории упругости и гидродинамики о потоке крови через патологически извитые сонные и позвоночные артерии методом конечных элементов [2], а также анализ результатов.
Постановка задачи
Одним из наиболее малоизученных и загадочных заболеваний сонных и позвоночных артерий является патологическая извитость (кинкинг). У каждого третьего умершего от инсульта находили патологические изгибы сонных или позвоночных артерий. У 16-26 % взрослого населения выявляются различные варианты удлинения и извитости сонных или позвоночных артерий на шее [3].
Причина извитостей чаще всего врожденная, но нередко удлинение артерии развивается при гипертонической болезни. Долгое время извитость может не давать никакой симптоматики, но в какой-то момент у пациента начинаются приходящие нарушения мозгового кровообращения.
Различают три вида извитостей: изгиб, перегиб и петля.
Наиболее опасными видами являются перегиб и петля. В области максимального изгиба возникает хаотичный характер кровотока, что приводит к снижению давления крови ниже перегиба и соответственно к снижению кровотока по мозговым артериям [4].
Перейдем к математической постановке задачи.
Кровь предполагается однородной, несжимаемой и ньютоновской жидкостью. Ее движение описывается следующей системой уравнений:
Pi^ - V • [—Р7 + П (VUi + (VUi)T)] + pi(ui • V)u = 0,
dt2
-Vui = 0,
где pi - плотность жидкости, ui - вектор скорости крови, p - давление крови, 7 - единичная матрица, п - динамический коэффициент вязкости жидкости.
Материал стенок предполагается однородным, изотропным и идеально-упругим. Движение стенки в нестационарном случае описано вторым законом Ньютона в виде [5]:
д 2и _ F
р2 - cV • Vu = F,
где F - вектор внешних сил, c - константа, р2 - плотность стенки. Учитывая, что деформации стенки вследствие действия на нее крови могут быть большими, используется тензор Грина для записи деформаций стенки, которые имеет вид
Yj = £ш =1 í dUi + dUj + dUk диЛ
2 ij 2 \ dxj дхi дхi dxj)
Для моделирования совместной задачи теории упругости и гидромеханики использовался совместный подход Лагранжа - Эйлера (ALE) для описания движения сплошной среды.
Граничные условия на стенке Ft = —n {—pl + п (Vui + (VUi)T)) , где n - вектор внешней нормали к границе. Сила представляет собой суммарное воздействие давления и сил вязкости на стенку. Торцы стенки жестко закреплены.
Значения давления на входе и скоростей на выходах сонной артерии сначала возрастают от нулевых значений до диастолических, затем до систолических значений и падают до диастолических значений.
Значения давления на входе общей сонной артерии и скоростей на выходах наружной и внутренней сонной артерии сначала возрастают от нулевых значений до диастолических, затем до систолических значений и падают до диастолических значений.
На стенке артерии ставится условие равенства скоростей частиц жидкости, прилегающих к стенке, и соответсвующих частиц стенки, что математически записывается следующим образом:
ди ду ди
ui = — ,vi = — ,wi =
дГ i дГ i д^
Механические характеристики крови и артерии были взяты в виде pi = = 1050 кг/м3, n = 0.0037 Па^с, p2 = 1378 кг/м3, v = 0.4, E = б • 1G5 H/м2.
Результаты и выводы
По результатам проведенного численного эксперимента были получены численные данные по движению крови и стенок патологически извитых сонных артерий. Анализ результатов и сравнение с клиническими данными показали, что:
а) в изгибе локальное давление крови на поперечном срезе артерии минимально на внутренней стенке изгиба, а по мере приближения к наружной стенке увеличивается и достигает максимума на самой стенке;
б) для скорости потока крови характерна обратная зависимость: максимальные значения скоростей потоков крови достигаются у внутреннего радиуса в районе изгиба артерии;
в) за счет разницы давления (у наружного и внутреннего радиуса) возникают потоки поперечной циркуляции, имеющие характер завихрения.
В дальнейшем планируется использовать модель свехупругого (модель Нео-Гука) ортотропного материала [6] стенок сонной артерии.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0Ï-00564).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Скобцов Ю.А., Оверко В.С., Родин Ю.В. и др. Исследование потоков крови при патологической S-образной извитости сонных артерий // Тр. ИПММ НАН Украины. 2006. Вып. 12. C. 164-171.
2. Bathe K. J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1996. P. 1037.
3. Http://www.bakulev.ru (официальный сайт НЦССХ им. А. Н. Бакулева РАМН).
4. Http://www.venart-swiss.ru (официальный сайт сосудистой клиники Venart Швейцарского медицинского центра).
5. Holzapfel O.A., Gasser T.C. A new constitutive framework for arterial wall mechanics and a comparative study of material models // J. of Elasticity. 2000. № 61. P. 1-48.
6. Harington I., Botton G. de, Gasser T.C., Holzapfel G.A. How to incorporate collagen Fibers Orientations in an arterial bifurcation // Proc of the 3rd IASTED Int Conference on Biomechanics. Benidorm, September 7-9, 2005. Benidorm, Spain, 2005.
УДК 533
В.С. Кожанов, И.А. Чернов
ЗАДАЧА О СХЛОПЫВАНИИ ПУСТОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
Данная статья представляет результаты численного решения автомодельной задачи о схлопывании пустой полости, обладающей цилиндрической симметрией, когда показатель адиабаты 7 G (2.977б, 1б.8б93). Результаты решения этой задачи для потока со сферической симметрией содержаться в [1,2].
