Солитоны в флюидно-насыщенных резервуарах Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

и температуры саморазогрева подобна зависимостям, представленным на графиках кривой 2. Влияние длины оболочки на амплитуду интенсивности внешней нагрузки, при которой осуществляется скачкообразный характер поведения значений температурно-механических параметров, представлена на рис. 3.

Рис. 3

Как видно из рис. 3, зависимость q0 от L близка к линейной.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барышев А.А., Брюшко М.И., Мыльцина О.А. Вибрационный изгиб вязкоупругой цилиндрической оболочки с учетом связности теплового и механического полей // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 171-174.

УДК 550.34.13

В.В. Гурьянов, В.М. Гурьянов СОЛИТОНЫ В ФЛЮИДНО-НАСЫЩЕННЫХ РЕЗЕРВУАРАХ

Тектонические процессы в земной коре приводят к землетрясениям, в результате которых происходят разломы земной коры и ее постоянное, очень медленное движение, при этом образуются зоны дилатансии горных пород и глубинные зоны деструкции за счет флюидо-электро-геохимических преобразований минералов с постоянным движением жидкости и газа. В таких зонах могут накапливаться углеводороды, и они становятся флюидо-насыщенными резервуарами (коллекторами).

Существенную роль при этом играют изменения давления жидкости в образующихся порах (трещинах, кавернах) и температура [1]. Эти изменения вызывают неупругость среды, обусловленную релаксацией давления [2].

Основополагающая теория Био (М.Л. Бю^ взаимодействия деформационно-диффузионных процессов в насыщенных жидкостью упругих телах с ее обзором, обобщением и применением теории к моделям разрушения горных пород описана в работе [3].

Процессы образования флюидо-насыщенного резервуара во времени очень медленные и для математического моделирования механики этих процессов используется шаровой тензор напряжений (давление).

При изучении образующихся в результате кратковременного волнового воздействия на флюидо-насыщенный резервуар волновых явлений можно считать процесс формирования резервуара стационарным по отношению к волновому процессу в силу их различных временных масштабов.

При сделанных допущениях резервуар представляется неупругой диссипативно-дисперсной сплошной средой и при изучении сейсмических волн методом математического моделирования используются только деви-аторы тензоров напряжений и деформаций. Это связано с тем, что квадраты интенсивностей касательных напряжений и деформаций сдвига пропорциональны вторым инвариантам соответствующих девиаторов, что и отражает доминирование касательных напряжений и деформаций сдвига. Диссипативно-дисперсные среды принято называть вязкоупругими [2].

Простейшая математическая модель процесса распространения плоских сейсмических волн в вязкоупругой среде в дисперсном состоянии, представляющем собой флюидо-насыщенные резервуары, описывается дифференциальным уравнением [4]:

- = 3 «iw*+r^). (i)

В уравнении (1) и = u(x,t) - смещение, x - длина, t - время, vp, vs -скорости продольных и поперечных волн в упругом скелете среды, т\, т2 -параметры степени вязкости и дисперсности среды, нижние индексы x, t у функции и обозначают ее дифференцирование по x и t.

Для введения в уравнение (1) степенной нелинейности добавим в его правую часть член 9Uxuxx, в котором 9 - реологическая константа, n - параметр нелинейности. Для более компактного описания введем обозначения:

4 2 S-.0 4 2 а = 3 vsVbe2 = 3 v°T2. (2)

Получаем нелинейное дифференциальное уравнение с совместным действием нелинейных, диссипативных и дисперсионных членов в правой части уравнения, т.е.

Utt - vpUxx = 9и>хх + aUxxt + ß2Uxxtt. (3)

Коэффициенты 9, а, ß2 независимы и могут принимать нулевые значения, определяя тем самым различные среды.

Для получения низкочастотной (длинноволновой) асимптотики волн, описываемых уравнением (3), введем безразмерный малый параметр е и параметры а, b, c2 такие, чтобы

9 = еа, а = eb,ß2 = ее2. (4)

При таком определении малого параметра е независимо от него, за счет возможной малости (вплоть до нуля) величин а, Ь, с могут быть малыми реологические константы 0, а, в.

Дифференциальное уравнение (3) принимает удобный для его исследования известным методом возмущений (методом малого параметра е) [5] вид:

Пьь - у1пхх = е(аппх + Ьпххг + с2пххи). (5)

Начальный профиль волн распадается на компоненты, бегущие вдоль оси Ох вправо и влево, каждая из которых распространялась бы без возмущений (е = 0), если бы не совместное действие нелинейного, диссипативного и дисперсионного членов в порядке их следования в правой части (5). Для изучения их эволюции ищется решение в виде [2]:

п(х, г) = /(£, Т) + еп(1) (х, г) + ..., (6)

где £ = х — УрЬ, Т = ег. Функция ](£,Т) описывает эволюцию начального профиля на больших расстояниях и временах порядка 1. Уравнение (5) для приближения п(1) в соответствие с (6) принимает вид

пы — ^пХХ = + а/еп/ее— Ч/ке + ^р/ке • (7)

Решение п(1) будет линейно расти по переменной £—1 = х + ург, и асимптотический ряд (6) станет неоднородным на больших временах, если только зависимость / от Т не выбрана так, чтобы обратить правую часть уравнения (7) в нуль. Полагая /д = д, получаем уравнение Бюргерса-Кортевега де Фриза для д.

V]дт + адпд^ — ЬУрд^ + с2ур д^ = 0. (8)

При а = 0 уравнение (3) становится линейным уравнением (1), на основе которого были изучены волны в окрестности контакта упругих и флюидо-насыщенных сред [4].

В зависимости от значений параметров п, с, Ь получаются дифференциальные уравнения: п = 1, с = 0 - Бюргерса для диссипативных сред, с = 1, Ь = 0 - Кортевега де Фриза (КдФ) порядка п для сред в дисперсном состоянии, а при п = 1 - классическое уравнение КдФ.

Теория таких нелинейных дифференциальных уравнений настолько хорошо развита, что есть монография учебного типа с примерами и методами аналитических и численных решений [6], поэтому в данной статье не имеет смысла останавливаться на каких-либо иллюстрациях.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Федоров Д.Л. Нефть и газ как продукт взаимодействия геосфер // Недра Поволжья и Прикаспия: Региональный науч.-техн. журн. 2001. Вып. 27. С. 3-7.

2. Фрейденталь А., Гейрингер Х. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 432с.

3. Райс Дж. Механика очага землетрясения. М.: Мир, 1982. 202 с.

4. Гурьянов В.В., Гурьянов В.М., Левянт В.Б. Особенности распространения сейсмических волн в коллекторах, влияющие на их выявление и дифференциацию // Математические методы в геофизике: Тр. Междунар. конф. Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2003. С. 93.

5. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. 326с.

6. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббсон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694с.

УДК 539.3

Д.В. Иванов, Е.Л. Коссович

КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ АРТЕРИЙ ЧЕЛОВЕКА С ПАТОЛОГИЧЕСКИМИ ИЗВИТОСТЯМИ

Данная статья посвящена исследованию патологических извитостей сонных артерий [1] и включает медицинскую и математическую постановку, численное моделирование и решение смешанной задачи теории упругости и гидродинамики о потоке крови через патологически извитые сонные и позвоночные артерии методом конечных элементов [2], а также анализ результатов.

Постановка задачи

Одним из наиболее малоизученных и загадочных заболеваний сонных и позвоночных артерий является патологическая извитость (кинкинг). У каждого третьего умершего от инсульта находили патологические изгибы сонных или позвоночных артерий. У 16-26 % взрослого населения выявляются различные варианты удлинения и извитости сонных или позвоночных артерий на шее [3].

Причина извитостей чаще всего врожденная, но нередко удлинение артерии развивается при гипертонической болезни. Долгое время извитость может не давать никакой симптоматики, но в какой-то момент у пациента начинаются приходящие нарушения мозгового кровообращения.

Различают три вида извитостей: изгиб, перегиб и петля.

Наиболее опасными видами являются перегиб и петля. В области максимального изгиба возникает хаотичный характер кровотока, что приводит к снижению давления крови ниже перегиба и соответственно к снижению кровотока по мозговым артериям [4].

Перейдем к математической постановке задачи.