ЗАДАЧА О НАИМЕНЬШЕМ ТИПЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ПОРЯДКА ρ ∈ (0,1) С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ НУЛЯМИ ЗАДАННЫХ ПЛОТНОСТЕЙ И ШАГА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 4 (2015). С. 146-154.

УДК 517.547.22

ЗАДАЧА О НАИМЕНЬШЕМ ТИПЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ПОРЯДКА р е (0, 1) С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ НУЛЯМИ ЗАДАННЫХ ПЛОТНОСТЕЙ И ШАГА

О.В. ШЕРСТЮКОВА

Посвящается памяти профессора Игоря Федоровича Красичкова-Терновского

Аннотация. Рассматривается задача о наименьшем возможном значении, которое может принимать тип при порядке р е (0, 1) целых функций, все нули которых лежат на одном луче и имеют заданные плотности и шаг. Доказана точность полученной ранее автором оценки для типа указанных функций. Дано подробное обоснование конструкции экстремальной целой функции в этой задаче.

Ключевые слова: тип целой функции, верхняя, нижняя плотности и шаг последовательности нулей, экстремальная задача.

Mathematics Subject Classification: 30D15

1. Введение

В работе автора [1] поставлена следующая задача. Рассматриваются все целые функции, нули которых расположены на одном луче и имеют заданные верхнюю, нижнюю плотности и шаг при показателе р е (0, 1). Требуется указать наименьшую возможную величину для типа при порядке р таких функций. В статье [1] приводится доказательство точной оценки снизу для типа и коротко обсуждается идея построения экстремальной функции. Работа служит продолжением статьи [1] и содержит подробное описание конструкции нулевого множества целой функции, обладающей наименьшим возможным типом. Проверка того, что построенный пример является экстремальным, сопряжена с весьма громоздкими выкладками и потребовала серьезных усилий и времени. Именно поэтому такое построение излагается нами отдельно. В результате исследование поставленной в [1] задачи приобретает должную законченность.

Приведем необходимые определения. Для целой функции f (z) тип при порядке р > 0 задается формулой

ap(f )= lim r-plnmax |f (z)|

и часто называется коротко р-типом. Предполагаем, что функция f(z) имеет бесконечно много нулей; нули выписаны с учетом кратностей в порядке возрастания модулей и образуют последовательность Лf = Л = (An)^=1. Пусть n\(r) = 1 обозначает считающую

|A„|^r

функцию последовательности Л. Верхней р-плотностью Л называется величина

-А- / А Ч т";- Пл(г) — n

Др(Л) = lim = lim

fp |An|

P

O.V. SHERSTYÜKOVA, THE PROBLEM ON THE MINIMAL TYPE OF ENTIRE FUNCTIONS OF ORDER p G (0, 1) WITH POSITIVE ZEROES OF PRESCRIBED DENSITIES AND STEP. © ШЕРСТЮКОВА О.В. 2015. Поступила 1 октября 2015 г.

Соответствующий нижний предел называется нижней р-плотностью Л и обозначается Ар(Л). Введем еще характеристику

^(Л) = lim (|Ага+1|р -|Л„|Р),

называемую р-шагом последовательности Л. Для любой последовательности Л конечной верхней р-плотности справедливо соотношение Ар(Л) hp(K) ^ 1.

Далее изучаем только целые функции f (z) с нулями на луче, считая для определенности все нули положительными. Зададим обе плотности и шаг последовательности нулей Лf = Л при некотором показателе р Е (0,1). Точнее говоря, зафиксируем числа р, ß, а, h, удовлетворяющие условиям

р е (0, 1), ß> 0, а е [0, ß], h Е [0, 1/ß],

и рассмотрим экстремальную величину

s(a,ß,h; р) = inf {аp(f) : Л7 С R+, А„(Л,) = ß, А,(Л,) > а, ^(Л,) > h} . (1)

Для р-типов целых функций из определения (1) доказана оценка (см. [1])

па

^р(/) > -- + SuP

Sin пр а>0

где обозначено

а av1/p

[ ßa-p - ат-р s [ vT-р - а-р , <Аа) = ^a,ß,h,p(a) = -1+T- dT + h -1+T-

а

(a/ß)1/p

8 =1 - вк Е [0, 1], V = Е [1,

1 — р к

При к = 0 и к = 1/в формулу (3) нужно понимать в предельном смысле. Так при к = 0 второе слагаемое в (3) приобретает значение, равное

аи1/р аи1/р

1 [ ит-р — а-р [ т-р

Иш — -йт = (в — а) Иш -йт = 0.

Ь^0 к } 1 + т У 1 + т

аа

Мы применили правило Лопиталя, формулу Лейбница дифференцирования интеграла по параметру и учли, что V1/р ^ 1 при к ^ 0. Таким образом, второе слагаемое в формуле (3) пропадает, и оценка (2) дает точный результат В. Б. Шерстюкова из работы [2]:

па [ [3a p — атр

Vp(j ) > ---+ max ---йт.

р sin пр a>0 J 1 + T

a(a/fí)l/p

В случае h = 1/в, учитывая, что vl/p ^ при h ^ 1/в, и раскрывая неопределенность, получаем, что значение второго слагаемого в (3) равно

av1/p

s [ vt-p — a-p

iim — -йт =

h^l/в h J 1 + T

,1/p

т

-p í T-p

ß lim (1 - ßh) -dT = (ß - а) -dT.

ß h- 1/ß( ßW1 + T (ß W 1 + T

Теперь формула (3) принимает вид

а

[ - г \ fr-р ,

^(а) = / -1+--dr + (ß - a) / ^

n(ß — a)

a(a/ß)1/P

откуда

sup <^(a) > lim <^(a)

a>0 a^+0 Sin np

Здесь оценка (2) дает неравенство

) > --.

Sin np

Поскольку всегда справедливо противоположное неравенство, это приводит к точной формуле

*,(/) = (4)

Sin np

Тот факт, что формула (4) справедлива при любом значении a Е [0, ß], лишь бы h = 1/ß, по-видимому, является новым. (Ранее считалось, что по правилу (4) вычисляется тип при порядке p Е (0, 1) только целой функции с измеримой последовательностью положительных нулей, т.е. такой, что Лf С R+ и существует предел lim r-p Пд(г) = ß.)

Отметим, что наш интерес к задаче (1) вызван работой А. Ю. Попова [3], где вопрос о наименьшем типе изучался без учета нижней плотности и шага последовательностей нулей. Подробное обсуждение экстремальной проблемы (1) и обзор предшествующих результатов см. в [1].

В частном случае a = 0 оценка (2) получена автором в [4], а соответствующий пример, подтверждающий ее точность, построен в [5]. Результаты [4], [5] показывают, что

as

-1 /Р

Í1 + a [ т-р

а-Р -TT^s + -т-—dr

(1 + as-1/P) J 1 + т

со значением s = 1 —

Покажем, что и в общем случае а Е [0, в] оценка (2) достигается. При этом значения параметров а = 0, а = в, h = 0, h = 1/в можно исключить из рассмотрения. Тем самым, будет обосновано равенство

па

s(a,e,h; р) = - + sup <^(а)

sin пр а>0

с функцией <^(а), определенной в (3), и задача (1) получит полное решение.

2. Доказательство точности оценки (2) Итак, зафиксируем числа

р Е (0, 1), в> 0, а Е (0, в), h Е (0, 1/в). Построим последовательность Л0 = (An)^=1 С R+ так, чтобы

Др(Ло) = в, а р(Ло) = а, ^(Ло) = h, а р-тип соответствующего канонического произведения

fo(z) = f (1 — f) , z Е C, (5)

1 \ n=1 4

вычислялся по формуле

па

0>(/о) = ---+ max <р(а). (6)

sin пр а>0

Функция <^(а), определенная по правилу (3) с параметрами

s =1 - ßh Е (0, 1), V = Е (1,

1 — ßh

положительна и непрерывна при а > 0, причем

lim <^(а) = lim <^(а) = 0.

Поэтому в формуле (6) по сравнению с (2) фигурирует max вместо sup. Обозначим через а0 = а0(а, ß, h, р) точку максимума <^(а) на луче а > 0 и введем функцию

^ü(t) =

а, t е [0, v-1/p/ao] U [fc-1/p/ßü, ;

"-1 (1 - (aü^) ■ 'Е К*/*. 1/aü]

ß t Е (1/ао, k-1/7ao)

(a0t)p'

Положим еще для удобства

KЮ = Ш, t > 0. (7)

Тогда оценка (2) может быть переписана в более компактном виде

°>(/) > J Mt) K(t) dt, (8)

0

а формула (6) — соответственно в виде

tfp(/o) = J ^0(t) K(t) dt. (9)

0

Переход от (2) к (8) и от (6) к (9) основан на том, что после замены переменной т = 1/t в (3) получим

i/a k-1/P/a

^(a) = / [h-i (1——а ^' / 'в

v 1/P/a i/a

Подставляя в (10) значение a = a0, находим

^(ao) = ^o(t) K(t) dt — а K(t) dt = tó) K(t) dt--

J J J sin пр

0 0 0

что и дает нужную формулу

/па

^,(t) K(t) dt = -- + ^(ac). (11)

sin пр

0

Наша задача — предъявить целую функцию (5) со свойством (9).

K(t) dt + I ( -фур - а ) K(t) dt. (10)

Следуя [2], [3], зададим вначале последовательность удовлетворяющую усло-

вию тп+1 = тП, п € N и положим к = а/в € (0, 1). Сразу отметим, что при любом р > 0 выполнены соотношения

3-1 ~ , , л ч

Е тП = о^ £ ^ = о ^ , з ^ (I2)

п=1 п=3+2 п ^ 3+1'

Экстремальную последовательность положительных чисел Ло строим следующим образом. На промежутках вида [тп, ^-1/ртП] и [к-1/ртП, тп+1] точки Л3- выбираем так, чтобы Ар образовывали арифметическую прогрессию с разностью 1/а. На полуинтервалы (^-1/ртП, тП] точки Лз- помещаем так, чтобы Ар давали арифметическую прогрессию с разностью Л. Интервалы (тП, к-1/ртП) оставляем свободными от точек Лз-. Вводя вспомогательную последовательность П := (ЛП)^=1, для каждого п € N запишем

П П [тП, V-1тПР] = {тП + з'/а : з € Н, з ^ а (V-1тПР - тП)} ; П П (V-1тПР, тПР] = {V-1тП + з'Л : з € Н, з ^ Л-1(1 - V-1) тПР} ;

П П (тПР, к-1тПР) = 0; П П [к-1тПР, тП+1 ] = {к-1тПР + з/а : з € Н, з ^ а К+ - к-1тПР)} . По построению имеем

Лр(Ло) = Иш (ЛП+1 - ЛП) = Л

п^<х>

так как Л < 1/в < 1/а.

При подсчете р-плотностей последовательности Л0 понадобятся выражения для считающей функции пп (г) на различных промежутках положительной полуоси. Прежде всего отметим, что

п- 1 п

пП(тП) = ^ (а (V-1т2р - тр) + Л-1(1 - V-1) т2р) + £ а (тр - к-1т2-1) + 3=1 3=2

п- 1

+ 0(п) = а(тП - тр) + £ [а (V-1 - к-1) + Л-1(1 - V-1)] т2р + 0(п).

3=1

Выражение в квадратных скобках обращается в нуль. Действительно,

а (V-1 - к-1) + Л-1(1 - V-1) = V-1 (а - Л-1) + Л-1 - в =

1 - вЛ аЛ - 1 1 - вЛ

= -----1--— = 0.

1 - аЛ Л Л

Поэтому справедливо соотношение

пп(тП) = атП + 0(п), п ^ го. Если теперь г € [тП, V-1 тПр], то

пп(г) = пп(тП) + а (г - трп) + 0(1) = аг + 0(п). Если г € (V-1тПР, тПР], то

пп(г) = nп(v-1тПР) + Л-1(г - V-1тПР) + 0(1) = = «V-1 тП + 0(п) + Л-1 (г - V-1тПР) = Л-1г + V-1(а - Л-1) т2пр + 0(п) = = Л-1г - Л-1втПР + 0(п) = Л-1(г - втПР) + 0(п). Если г € (тПР, к-1тПР), то

пп(г) = пп(тПР) = Л-1(тПР - втПР) + 0(п) = = Л-1(1 - в) тПР + 0(п) = втПР + 0(п).

Если г Е [к 1тПр, тП+1], то

гсп (г) = гсп(к-1тПР) + а(г — к-1тПР) + 0(1) =

= втПР + 0(п) + а(г — к-1тПР) = аг + 0(п).

В результате при каждом п Е N имеем представление (с остаточными членами 0(п) при п ^ то):

г Е [т£, V-1тПР] и [к-1тПР, тП+1];

аг + 0(п),

пп(г) = ^ к-1 (г — зт;;р) + 0(п), г Е (и-1т;;р, тПр];

втПР + 0(п), г Е (тПР, 1п-1т2пр).

Отсюда, учитывая связь пд0(г) = пп(гр), находим, что

Ар(Ло)= ИШ = р, Др(Ло)= ЙШ = а.

г^+те г Р г^+те г

При фиксированном г > 0 рассмотрим функцию (г), заданную по правилу

/ .ч пЛо (гг) пп ((гг)р) , ^ п

^Г Щ := —;—:— = -;—:-, г > 0.

(гг)р (гг)р

На основании предыдущего запишем при каждом п Е N представление

^г (¿) = <

а + 0 ( —^ ) , гЕ

(г*) V

2^ т»+0

т2п

т

г

п и-1/р тп

к-1/ртп тп+1

г

к-1

Я ^) + о

п

(гг)р

и

г € ( V

г

2 2 -1/р тп тп

г*

(гг)

г е ( т, к-1/р^. гг

Вводим далее функцию ФГ (г) (с параметром г > 0), заданную при г > 0 так, что

ФГ(г) = а, г Е [0, т1/г], а ее сужения на отрезки [тп/г, тп+1/г], п Е N, имеют вид

Фг (г)

а,

г

т

г

п V-!/0 тп

к

1

1 — м тп

гг

я тчр

гг

2 \ р

и

к-1/ртп тп+1

т 2 л^о 2

ьп

г Е ( V-1/р тп, тп \ г ' г /2 2 г Е ( тп к-1/рт

С учетом (7) значение р-типа целой функции (5) можно найти по формуле

+те +те

ар(/о) = ЙШ I ^г (г) к (г) йг = йШ Фг (г) к (г) йг,

:13)

г^+те

г^+те

так как остаточные члены в представлении (г) на величину 0"р(/о) не влияют (см. [2]) Ввиду общей оценки (8) для доказательства равенства (9) достаточно установить, что

+те

*р(/о) ^ / ^о(г) к (г) йг,

г

г

а это (см. (13)) будет следовать из соотношения

+те

Иш (Фг(¿) - ^оСО) к(¿) ^ 0.

г^+те /

о

Все свелось к проверке (14). Заметим вначале, что справедлива формула

+те

У (Фг(*) - ^(¿)) к(*) = Е - ^(°о), г > 0,

'15)

где гп = а0тП, п € N. В самом деле, используя определение функции Фг(¿) и представление (10) для функции <^(а), запишем

+те +те

[ Фг (О к (¿) = а [ к (¿) +

те г

+ Е 1

п=1 Ч,

2 "-п

^-м 1 - 8(тг

а

тп

к (г) (г +

^У -

к(¿) (И

па

вт пр

+ Е ^

п=1

т2

Таким образом,

+те

Фг (¿) к (¿) а

па

вт пр

+ Е ^

п=1

I , г > 0.

т2

Вычитая отсюда равенство (11), приходим к формуле (15).

Применим (15) для доказательства (14). Для этого зафиксируем номер з > 2, разобъем выражение в правой части (15) на три суммы

3-1 (аоЛ ^ (аоЛ (аог\ / аог \

£ ЧтгУ ,|+2 ЧтгУ Чтг;+Чзт)- ^(ао)

и оценим их отдельно для г € [г3-, г3+1].

Займемся первой суммой. Полагая в представлении (10) а = аог/гп и применяя очевидное неравенство к(¿) ^ ¿р-1, получим

аог . . Р I - I ^

гп

Гп а0 г

Л-1 ( 1 - в

а0Г

]г-1/о гп а0Г

аог£

а

¿р-1 а +

+

в

аог£

а

¿р-1 а =

Л 1 - а Р

(1 - V-1) (-М' - Л-1 в 1п V-М' +

п

^аог У

р

+ в 1п к-1/'(- а (к-1 - 1)1 — I

г

VаоГ У

п

^аог У

р

г

г

р

г

п

р

г

п

а0г

р \аог) с константой

1 — ак ^ — — 81п V — в 1п к — (в — а)

к

1 — ак / к

1

— I тп ^

г

А =--- [81п V + в к 1п к] > 0.

рк

Поэтому для г > г3 = аот2 имеем

3-1 0 < £ р

3 3

3-1 / \ Л 3-1

аом < —

гЛ < гр

п=1

3-1

т

2р

< И V т2Р < — — V

п=1 ао тз п=1

Применяя первую из формул (12) с р = 2р, приходим к соотношению

3-1

аог

^Р £ Р ( ~ ) ^ 0, ^

ге[г,'>г^+х] п=1 V г"

:1б)

Займемся второй суммой. Снова полагая в представлении (10) а = аог/гп и применяя другое также очевидное неравенство К (г) < гр-2, получим

аог — 1 <

п

Гп а0 г

У

аог

к-1/рГп а0г

к-1 1 - 5

аогг

— а

гр-2 йг +

+

в

гп

к 1 — а р — 1

аогг р-1

— а

гр-2 йг =

(1 — V1/Р-1 ) ( ) — к-18 (V1/Р — 1) ( )

р-1

\аог/

аог

+

/ \ р-1 / \ р-1 / 2 \ р-1 + в(1 — к1/р)(-М + ^ (к1/р-1 — 1)( -М =

\аог/ 1 — р \аог/ V г

с константой

„ (к-1 — «xV 1/р-1 — 1) — а(1 — к1/р-1)

в = -

1 — р

Поэтому для г < г3+1 = ао т2+1

— к-15 (V1/р — 1)+ в (1 — к1/р) > 0.

имеем

п=3+2

0 < е рюн < вг-р %

1

2(1-р)

п=3+2

тп

< Вао-р т2+1-р) £

1

п=3+2

тп

2(1-р) •

Применяя вторую из формул (12) с р = 2(1 — р), приходим к соотношению

аог

^Р £ Р

г€[г? 'г^'+1] п=3+2

0,

.7 ^ го.

:17)

Займемся, наконец, третьей суммой. В оценках воспользуемся тем, что ао является точкой максимума непрерывной положительной при а > 0 функции р(а), а сама функция исчезает в нуле и бесконечности. Рассмотрим два случая: г Е [г3, ^/г3 г3-+1 ]

и г Е 1Уг3 г3+ь г3+1].

В первом случае имеем г3/г3+1 < г/г3+1 < \/г3/г3+1. Поэтому в оценке

/ аог\ / аог \ /аог

Р - + Р - — Р(ао) < Р

г3+1

г3+1

р

г

п

р

а0г

п

г

п

3

правая часть равномерно по r Е [rj, ^/jrj+i] стремится к нулю при j ^ го. Во втором случае имеем \Jrj+i/rj ^ r/rj ^ rj+i/rj. Поэтому в оценке

(aor\ , / aor \ /aor ^ - + ^ - - ^(ao) ^ Р -

V rj / Vrj+i/ V rj

снова правая часть при j ^ го равномерно по r Е [^r j rj-+1, rj+1] стремится к нулю. В результате

lim sup Lf^) + ) - ^ы) ^ 0. (18)

reír,,rj+i] I V rj / Vrj+i/ J

Сочетая (15)-(18), получаем (14). Таким образом, функция (5) удовлетворяет (9). Пример экстремальной функции построен. Это вместе с результатом работы [1] дает доказательство следующего утверждения.

Теорема. При любых р Е (0,1), в > 0, а Е [0, в], h Е [0, 1/в] экстремальная величина (1) вычисляется по формуле

па

s(a, в, h; р) =- + sup <^(a),

sin пр a>o

где функция <^(a) определена правилом

a av1/p

[ ва-р - ат-р , s Г VT-р - а-р , <^(a)= У 1 + т dT + h J 1 + т dT,

a(a/ß)1/P a

1 OL 1+ah

s = 1 — eh, v

1 - вй

Ни^юняя грань з(а,в,й; р) достигается на некоторой целой функции с последовательностью положительных простых нулей, имеющих р-плотности Др(Л) = в, Др(Л) = а и р-шаг йр(Л) = й.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шерстюкова О.В. Об экстремальном типе целой функции порядка меньше единицы с нулями фиксированных плотностей и шага // Уфимск. матем. журн. Т. 4. № 1. 2012. С. 161-165.

2. Брайчев Г.Г., Шерстюков В.Б. О наименьшем возможном типе целых функций порядка р е (0,1) с положительными нулями // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 75. № 1. 2011. С. 3-28.

3. Попов А.Ю. Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней р -плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. № 1. 2005. С. 31-36.

4. Шерстюкова О.В. О влиянии шага последовательности нулей целой функции порядка меньше единицы на величину ее типа // Наука в вузах: математика, информатика, физика, образование. М.: МПГУ, 2010. С. 192-195.

5. Шерстюкова О.В. О наименьшем типе целых функций порядка р е (0,1) с нулями на луче // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015 (принята к печати).

Ольга Владимировна Шерстюкова,

Московский педагогический государственный университет, ул. М. Пироговская, 1, 199296, г. Москва, Россия E-mail: sherov73@mail.ru