О НАИМЕНЬШЕМ ТИПЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ПОРЯДКА р ∈ (0, 1) С НУЛЯМИ НА ЛУЧЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

О. В. Шерстюкова. О наименьшем тппе целых функций порядка ре (0,1) с нулями на луче

УДК 517.547.2

О НАИМЕНЬШЕМ ТИПЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ПОРЯДКА р е (0,1)

С НУЛЯМИ НА ЛУЧЕ

О. В. Шерстюкова

Шерстюкова Ольга Владимировна, аспирантка кафедры математического анализа, Московский педагогический государственный университет, [email protected]

Статья посвящена теории экстремальных задач в классах целых функций с ограничениями на рост и расположение нулей и связана с проблемами полноты систем экспонент в комплексной области. Рассматривается вопрос о нахождении точной нижней грани типов при порядке р е (0,1) всевозможных целых функций, все нули которых лежат на одном луче и имеют заданные верхнюю р-плотность и р-шаг. Показано, что точная нижняя грань в этой задаче достигается, и приведено подробное построение экстремальной функции. Полученное в статье утверждение дает полное решение поставленной экстремальной задачи и обобщает в направлении учета шага последовательностей нулей предшествующий результат А. Ю. Попова.

Ключевые слова: тип целой функции, верхняя плотность и шаг последовательности нулей, экстремальная задача.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-4-433-441

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Статья выполнена в рамках исследования экстремальных задач для целых функций с нулями на луче, начатого в работах [1,2] и продолженного в [3-8]. В работе изучаются целые функции, все нули которых расположены на фиксированном луче и имеют заданные верхнюю плотность и шаг при показателе р е (0,1). Для точной формулировки задачи дадим необходимые определения.

Типом при порядке р (или p-типом) целой функции f (z) называют величину

Op(f) = lim r р In max |f (z)|.

r^ + ro |z|^r

Верхней p-плотностью и р-шагом последовательности Л = (An)ГО=1 называются соответственно характеристики

Ар (Л)

lim

r^ + ro

ПЛ (r) rp

lim

n^-ro

n

|лПй ’

hp(Л) = lim (|An+i|p - |An|p).

n^-ro

Здесь пл(г) = E 1 _ считающая функция последовательности нулей Л = Л/, выписанной с

|Л„|<r

учетом кратностей в порядке возрастания модулей. Сразу отметим легко проверяемое соотношение hp (Л) ^ 1/Ар (Л).

В дальнейшем без ограничения общности можно считать, что нули целой функции f (z) расположены на положительной полуоси, т. е. Л/ = Л с R+. Зафиксируем три числа р, в, h, удовлетворяющие условиям

p е (0, 1), в> 0, h е [0, 1/в],

и поставим следующую экстремальную задачу: найти величину

s(p h; р) = mf {op(f) : Л/ = Л с R+, Ар(Л) = р hp(Л) ^ h) .

(1)

Укажем, что при h = 0, т. е. в отсутствии ограничения на шаг последовательностей нулей, задача отыскания точной нижней грани

s(p 0; Р) =: s(p Р) = inf {op(f) : Л/ = Л с R+, Ар(Л) = р}

© Шерстюкова О. В., 2015

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

была ранее решена А. Ю. Поповым в работе [1]:

s{Р, р) = PC(р) := ^ пшх ln(1 + а).

а>0 ар

Эта задача послужила отправной точкой для наших исследований [4,6]. Целью статьи является доказательство следующего результата.

Теорема. Пусть р е (0, 1), в > 0, h е [0, 1/в]. Тогда экстремальная величина (1) вычисляется по формуле

в(в, h; р) = h 1 sup <

а> 0

s-l/p

_р. 1 + а

а р ln ---------_ , ч s +

(1 + as - 1/рУ

1 + т

dr

,

(2)

р

где s = 1 — eh. Точная нижняя грань достигается на некоторой целой функции порядка р е (0, 1) с простыми положительными нулями Л верхней р-плотности Др (Л) = в и шага hp(A) = h.

Дальнейшее содержание таково. В параграфе 2 для произвольной целой функции f (z) с нулями, подчиненными условиям задачи (1), дается оценка

tf>(f) ^ h 1 sup

а> 0

-1/р

а-р ln

1 + а

(1 + as-1/p)‘

+

1 + т

dr

as

р

(3)

При h = 0 оценку (3) следует понимать в предельном смысле (h ^ +0) и в этом случае она дает точное неравенство

ap(f) ^ вс(р),

установленное в [1]. Интересен и другой крайний случай: h = 1/в. Тогда оценка (3), снова понимаемая в предельном смысле (s ^ +0), приводит к формуле

°P(f)

пв

sin пр’

известной ранее при условии существования предела

г пк(г) п

lim --Т~ = lim Тр = в-

r——rp n—ДП

(4)

Последовательности со свойством (4) называются измеримыми. По-видимому, только они считались экстремальными в хорошо известном для р е (0, 1), Af с R+ неравенстве [9]:

°р (f) ^

пв

sin пр

В параграфе 3 завершается доказательство теоремы построением экстремальной целой функции. Детальное обоснование конструкции соответствующего примера потребовало значительных усилий и времени, тогда как оценка (3) уже была нами получена и опубликована в [4]. Подробный вывод этой оценки дается здесь для обеспечения цельности и полноты изложения. Кроме того, мы исправляем несущественную неточность, допущенную в [4].

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ОЦЕНКИ

Пусть f(z) — целая функция, нули которой удовлетворяют условиям задачи (1). Докажем, что для типа ар(f) выполнена оценка (3). По факторизационной теореме Адамара функция f(z) с точностью до постоянного множителя раскладывается в бесконечное произведение нулевого рода

f (z) = П 1 — дт),

n=1

с

n

ze C.

434

Научный отдел

О. В. Шерстюкова. О наименьшем типе целых функций порядна ре (0,1) с нулями на луче

Введем функцию <^r (t) с параметром r > 0 по правилу

nA(rt)

ifr (t) : =

(rt)p

t > 0,

(5)

и воспользуемся формулой (см., например, [3])

tp

-1

r p lnmax If (z)| = шг(t)

|z|^^ Wl J ^rV ’ 1 + t

0

dt.

(6)

Как отмечалось выше, при h = 0 неравенство (3) известно и поэтому в доказательстве не нуждается. Считаем далее, что h е (0, в]. Рассмотрим вспомогательную последовательность О = (Лр)С=1, шаг которой совпадает с p-шагом последовательности Л, т. е.

h(O) := lim (ЛР+1 - Лр) = ЛДЛ) > h.

р—— ^С

Выберем произвольно числа a > 0 и h1 е (0, h). По определению шага последовательности О найдем число d > 0 так, чтобы при всех r ^ ad и t е [d/r, a-1 ] для считающей функции nn (r) выполнялось неравенство

nn ((r/a)p) - nn ((rt)p) ^ h-1 ((r/a)p - (rt)p) + 1.

С учетом очевидного соотношения nA(t) = nn (tp) перепишем последнее неравенство в виде

пл(Р) ^ пл(r/a) — rph-1 (a-p — tp) — 1.

Обозначив

П := n(r) = ^r(1/a) = (r/a)-p пл(r/a), по определению верхней плотности последовательности Л имеем:

lim n(r) = в.

r — + С

Далее, согласно (5), (7) при всех t е [d/r, a-1] можем записать оценку

пл(Р) пл (r/a) a-p - tp 1

^r (t) = ——;— ^

(7)

(rt)p (rt)p h1 tp (rt)p

пл (r/a)

( / (at) p + h j_ 1 - h j_ 1(at) p - (rt) p = h x 1 + (at) p(n - h x 1) - (rt) p.

Таким образом, для любых a > 0 и h1 е (0, h) найдется d > 0 такое, что при всех значениях r ^ ad,

t е [d/r, a -1 ] справедливо неравенство

^r (t) ^ h j_ 1 + (at) p (n - h j_ 1) - (rt) p. Заметим еще, что при всех t > a -1 имеет место тривиальная оценка:

(t) = nл(rt) ^ пл(r/a) = пл(r/a) (at)-p

^r(t) = s,\n ^ (,\n = / / (at) ,

(8)

(rt)p (rt)p (r/a)p

которая дает

^r (t) ^ n (at) p, t>a 1. (9)

Объединяя оценки (8), (9), можем считать, что при всех r ^ ad и t > 0 выполняется неравенство

^r (t) ^ ^r (t), (10)

Математика

435

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

в котором

Фт(t) := <

0,

t e (0, U),

h11 + (at) p(n - h-1) - (rt) p, t e [tr, a ^ ,

П (at) p, t e (a 1, +ж) ,

tT := (h1 r -p + a —p(1 — nh1 ))1/p e (0, a —1). Из (10) заключаем, что

+ж +ж

^т (t) J—t dt ^ Фт (t) J—t dt, r ^ ad.

0 tr

Вычислим последний интеграл. После замены переменной t = т—1 получим:

+ж

tp-1

фт(t) J—t dt = hl 1

p - a—p

т p — a 1 + т

dT + na p

dT

1 + т

r

dт

1 + т

(11)

= (a p (n — h : 1) — r p) ln(1 + tr 1) + (a ph x 1 + r p) ln(1 + a) + h

1 1

1 — т

dт.

и

t

t

t

p

t

p

Подставим найденное выражение в (11) и осуществим в полученном неравенстве предельный переход по последовательности r3- ^ +ж, на которой n(r3) ^ в. Учитывая, что tTj1 ^ a (1 — eh1)- 1/p при j ^ ж, будем иметь

lim

З^ж

+ж

^Tj (t)

0

tp -1 1 + t

dt ^ a p (в — h j_ 1) ln ^1 + a(1 — eh1)

1/p

—

a(1 — (3hi)

+ a ph j_ 1 ln(1 + a) + h

1

1

1/P

т—p 1 + т

dт.

Отсюда, воспользовавшись обозначением s = 1 — eh, а также свободой выбора чисел a > 0 и h1 e (0, h), получим неравенство

+ж

lim

tp 1 1

^т. (t) ----dt ^ h 1 sup <

j 1 + t a>0

s-l/p

a p ln

1 — a

(1 + as—1/p)‘

—

1 — т

dт

p

Из представления (6) и определения типа ap(/) теперь легко следует нужная оценка (3).

3. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Случаи h = 0 и h = 1/в обсуждены в параграфе 1. Здесь мы построим для любых Р e (0, 1), в > 0, h e (0, 1/в), пример последовательности Л = (An)Ж=1 С R+ с характеристиками Ap(A) = в, hp(Л) = h, являющейся нулевым множеством целой функции:

f (z) = П (1 — А/ ’ z e C’

с наименьшим возможным типом

n=1

^p(/) = m>oc ^(a).

Здесь через ^(a) = h,p(a) обозначена функция из правой части формулы (2), т. е.

^(a) = h 1 <

s-i/p

p 1 — a

a p ln ----------_ , 4 s +

(1 + as—1/p)'

1 — т

dт

, a > 0.

n

p

(12)

(13)

(14)

436

Научный отдел

О. В. Шерстюкова. О наименьшем типе целых функций порядка ре (0,1) с нулями на луче

Отметим, что для значений h е (0, 1/в) правомочна замена в (2) sup на max, поскольку теперь функция р(а) определена, положительна и непрерывна при а > 0, причем

lim ^(а) = lim ^(а) = 0. (15)

а^+0 а^+те

Итак, пусть

р е (0, 1), в> о, h е (0, 1/в).

Определяем функцию ^(а) формулой (14), где 0 < s = 1 — j3h < 1. Построим последовательность A = (An)^=1 С R+ так, чтобы Ар(Л) = в, hp(A) = h, а р-тип соответствующего канонического

произведения (12) вычислялся по формуле (13).

Зададим вначале вспомогательную последовательность mn = 24, n е N. Отметим, что mn+1 = тП, n е N, и для любого p > 0 выполнены соотношения

n—1 те 1

J2mk = °(mn), m =o(m—+1)’ n ^

k=1 k=n+2 k

(16)

Экстремальная последовательность положительных чисел A строится так: точки Aj помещаются только на отрезки вида [s1/pmn, mn], n е N, с условием, что для Aj, находящихся на каждом из указанных отрезков, Ар образуют арифметическую прогрессию с разностью h. Вводя последовательность О = (An)^=1 = (Mn)те=1, можем для каждого n е N с учетом равенства h—1 (1 — s) = в записать

О П [smn, mn] = {smn + jh : j е N, j ^ emPn} .

По построению имеем:

hp(A) = lim (An+1 — AQ = lim (pn+1 — Mn) = h.

n^-те n^-те

Запишем выражения для считающей функции пп(г) на различных промежутках изменения переменной г. Вначале заметим, что

n— 1

n^(smn) = ^ emk + O(n) = o(mn), n ^ го,

k=1

согласно (16). Далее, если г е [smn, mn], то

nn(г) = n^(smn) + h—1(г — smn) + O(1) = h—1 (г — smn) + o(mn), n ^ го.

Если же г е (mn, smn+1), то

nn(r) = nn(mn) = h—1(1 — s)mn + o(mn) = emn + o(mn), n ^ го.

Отсюда с учетом связи nA(t) = nn(tp) получаем, что

Ар(A)= пш плй= urn nn«

t^ + те tp r^+те г

= в.

Составим по предъявленной последовательности Л каноническое произведение (12) и покажем, что его тип вычисляется по формуле (13). Для этого рассмотрим функцию

(t) =

nA(7t) = Пп (И)р) (гt)р (гt)р

и воспользуемся формулой

+ те

tp

—1

(f )= lim ^r (t) ----dt.

r^ + те

1 + t

O"

Математика

437

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

На основании предыдущих выкладок запишем представление

Vr (t) = <

h-1 d_ .pm^n + „GmGP

V rt ) ) W rt mn\P (( mn \P'

+ чи

t

t

s1/p mn mn

mn s1/p mn+i

справедливое при каждом n G N. Далее, зададим при t ^ 0 семейство функций Фг(t) так, что

Фг (t) =0, t G [0, s1/pm1 /r],

а сужения Фг(t) на отрезки [s1/pmn/r, s1/pmn+1/r], n G N, имеют вид

Фг (t) = <

h-1 a- sfmGP

n

rt

mn p

rt

t

t

s1 /p mn mn

mn s1 /p mn+1

Тогда значение ap(f) можно находить по формуле

+ж

tp

-1

(f )= Н+1 / фг (t)1+1 dt,

гн + ж / I + t

(17)

поскольку остаточные члены в представлении ^r(t) не влияют на величину типа. Прямым подсчетом проверяется, что

+ж

/ фг(t) 1+t= Е ^ (m^) + rP Nmp ln (I

n k=1 4 7 k=1 4

+

s1/pmp+1

(18)

Поскольку справедлива оценка

rp

J2 mkln (1 +

<

k=1 4 s1/pmfc+1 J ^ Vsrp/2 «>0 ap/2 k=1 V VTOfe+1 / ^fsrp/1

ln(l + g) ^ ^ mk ^

np/<2 / j \ /mTTT I

p f3C (р/2) ^ l

/ У ^P ’

m

k=1 k

то из (18) получаем:

^m. {/ Фг(t)r+Pdt - £ Ki)} = 0

(19)

С учетом оценки (3) обоснование равенства (13) сводится теперь к проверке неравенства

aP(f) ^ V(go),

где через а0 = g0(в, h, р) обозначена точка максимума на луче а > 0 функции (14). Последнее неравенство будет следовать из оценки

Е v

[JL\ _

rH+^ | z'' V mk )

k=1

v(ao) > ^ 0,

(20)

так как в силу (17), (19) имеем:

+ж

ap(f) = lim [ Фг(t) ----------dt = lim ^ =

pKJJ гн+ж J rW 1 +1 гн+^^^ ymk /

0 k=1

V(go)+ lim <

-r—^-N-rv^ I f J

(лЗ -

гн+ж 1 k=1 ’ Wk /

V(ao)

в

r

r

a

p

r

r

438

Научный отдел

О. В. Шерстюкова. О наименьшем типе целых функций порядна ре (0,1) с нулями на луче

Осталось доказать неравенство (20). Оценим сумму в (20) для r £ —n, mn+1] при фиксированном n £ N, разбивая ее на три части:

ОО / \ n-1/\ ОО / \

е*(m) -,(«») = е *(m) + Е Am)

k=1

\ I 1 /v Р I ------ +

mk mk

k=1 v k/ k=n+2 v k/

+ (р (—-) + p(—-)-pm )•

\ \mn/ \mn+1 /

Заметим, что интеграл в определении (14) допускает оценку

i-i/p

1 + т

dr ^ a p ln

1 + as 1/p

1 + a ’

a > 0.

Но тогда, применяя соотношения (16) и неравенство

ln(1 + as-1/p)

P(a) ^ e

ap

a > 0,

видим, что

n-1

lim sup р ( ) =0, lim sup У^ р ( )

n^° re[m„,mn + i] k= Vmk/ n^° r€[m„,m„ + i ] k=^+2 V mk /

Действительно, первое равенство в (21) следует из оценки

nr Р Г —) ^ в nr ln l1 + S-1/P(r/mk)) ^

mk

= 0.

k=1

k=1

(r/mk )p

(21)

<

fiC(p/2) p/2 ^ вС (p/2) p/2

TsTP^ 2^ mk ^ ^^mp^ ^ —7

k=1

^ p/2 £—/

Vs mn k=1

k

Второе получается аналогично. Оценим, наконец, выражение

Р ( — ) + Р ( -А— ) - p(a°), r £ [mn, mn+1 ],

mn J \mn +1 /

опирась на определение точки a° и свойство (15) функции p(a). Рассмотрим два возможных случая: r £ [mn, у7—n—п+1] и r £ [у7—n—п+1, mn+p|. в первом случае имеем:

Р1 — - РЫ + Р ( —^ ^ Р ( —

—n) \—п+1 J \ —п+1

r mn

---- ^ ч/------> 0, n ^ ж.

mn+1 V —п+1

Во втором случае получим:

Р 1 ) - p(a°) + <р( — ) ^ Р ( —

—п+1 ) \—nJ \—п

r . /—п+1

--- р А/------> ж, n ^ Ж.

mn mn

Следовательно,

lim sup ( р ( — ) + р ( —r— ) - p(a°) ) ^ 0. n^° rG[m„,m„ + i] V \—nJ V—n+1

(22)

Сочетание соотношений (21), (22) приводит к нужной оценке (20). Построение экстремального примера завершено. Теорема доказана.

p

r р mn.

Математика

439

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

Библиографический список

1. Попов А. Ю. Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней р-плотнос-ти // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2005. № 1. С. 31-36.

2. Попов А. Ю. О наименьшем типе целой функции порядка р с корнями заданной верхней р-плотнос-ти, лежащими на одном луче // Матем. заметки. 2009. Т. 85, № 2. С. 246-260.

3. Брайнев Г. Г., Шерстюков В. Б. О наименьшем возможном типе целых функций порядка р £ (0, 1) с положительными нулями // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. Т. 75, № 1. С. 3-28.

4. Шерстюкова О. В. О влиянии шага последовательности нулей целой функции порядка меньше единицы на величину ее типа // Наука в вузах : математика, информатика, физика, образование. М. : МПГУ, 2010. С. 192-195.

5. Брайнев Г. Г., Шерстюкова О. В. Наибольший возможный нижний тип целой функции порядка

р £ (0, 1) с нулями фиксированных р-плотнос-тей // Матем. заметки. 2011. Т. 90, № 2. С. 199215.

6. Шерстюкова О. В. Об экстремальном типе целой функции порядка меньше единицы с нулями фиксированных плотностей и шага // Уфимск. матем. журн. 2012. Т. 4, № 1. С. 161-165.

7. Брайнев Г. Г. Наименьший тип целой функции порядка р £ (0, 1) с положительными корнями заданных усредненных плотностей // Матем. сб. 2012. Т. 203, № 7. С. 31-56.

8. Брайнев Г. Г., Шерстюков В. Б. О росте целых функций с дискретно измеримыми нулями // Матем. заметки. 2012. Т. 91, № 5. С. 674-690.

9. Valiran G. Sur les fonetions entieres d’ordre nul et d’ordre fini et en partieulier les fonetions a eorrespondanee reguliere // Annales de la faeulte des sciences de Toulouse. Ser. 3. 1913. T. 5. P. 117257.

On the Least Type of Entire Functions of Order p e (0,1) with Positive Zeros

O. V. Sherstyukova

Sherstyukova Olga Vladimirovna, Moscow Pedagogical State University, 1, M. Pirogovskaya st., 199296, Moscow, Russia, [email protected]

The paper is devoted to the theory of extremal problems in classes of entire functions with constraints on the growth and distribution of zeros and is associated with problems of completeness of exponential systems in the complex domain. The question of finding the exact lower bound for types of all entire functions of order р £ (0,1) whose zeros lie on the ray and have prescribed upper р-density and р-step is discussed. It is shown that the infimum is attained in this problem, and a detailed construction of the extremal function is given. This result gives a complete solution of the extremal problem and generalizes preceding result of A. Yu. Popov.

Key words: type of an entire function, upper density and step of sequence of zeros, extremal problem.

References

1. Popov A. Yu. The least possible type under the order р < 1 of canonical produets with positive zeros of a given upper р-density. Moscow Univ. Math. Bull., 2005, vol. 60, iss. 1, pp. 32-36.

2. Popov A. Yu. On the least type of an entire function of order с with roots of a given upper р-density lying on one ray. Math. Nates, 2009, vol. 85, iss. 1-2, pp. 226-239. DOI: 10.4213/mzm4645.

3. Braiehev G. G., Sherstyukov V. B. On the least possible type of entire functions of order р £ (0, 1) with positive zeros. Izv. Math., 2011, vol. 75, iss. 1, pp. 1-27. DOI: 10.4213/im4104.

4. Sherstyukova O. V. O vlijanii shaga posle-dovatel’nosti nulej tseloj funktsii porjadka men’she edinitsy na veliehinu ejo tipa [On the influence

of the step sequence of zeros of entire fune-tions of order less than one on the value of its type]. Nauka v vuzakh : matematika, infarmati-ka, phizika, abrazavanie [Seienee in high schools : mathematies, eomputer seienee, physies, eduea-tion]. Moscow, Moscow Pedagogical State University, 2010, pp. 192-195 (in Russian).

5. Braiehev G. G., Sherstyukova O. V. The greatest possible lower type of entire functions of order р £ (0, 1) with zeros of fixed р-densities. Math. Nates, 2011, vol. 90, iss. 1-2, pp. 189-203. DOI: 10.4213/mzm8766.

6. Sherstyukova O. V. On extremal type of an entire function of order less than unity with zeros of prescribed densities and step. Ufa Mathema-

440

Научный отдел

О. В. Шерстюкова. О наименьшем типе целых функций порядка р Е (0,1) с нулями на луче

tical Journal, 2012, voI. 4, iss, 1, pp. 151-155.

7, Braiehev G, G, The least type of an entire function of order p e (0,1) having positive zeros with prescribed averaged densities. Sbornik: Mathematics, 2012, vol, 203, iss, 7, pp, 950-975. DOI: 10,4213/sm7879.

8, Braiehev G, G,, Sherstyukov V, B, On the growth of entire functions with discretely measurable ze-

ros, Math. Notes, 2012, vol, 91, iss, 5-6, pp, 630644, DOI: 10,4213/mzm9357,

9, Valiron G,, Sur les fonctions entieres d’ordre nul et d’ordre fini et en particulier les fonctions a cor-respondance reguliere, Annales de la faculte des sciences de Toulouse Ser. 3, 1913, vol, 5 , pp, 117— 257, DOI: 10,5802/afst,287,

Математика

441