Об экстремальном типе целой функции порядка меньше единицы с нулями фиксированных плотностей и шага Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.547.22

ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНОМ ТИПЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА МЕНЬШЕ ЕДИНИЦЫ С НУЛЯМИ ФИКСИРОВАННЫХ ПЛОТНОСТЕЙ И ШАГА

О.В. ШЕРСТЮКОВА

Аннотация. Доказана точная оценка снизу типа целой функции порядка меньше единицы с нулями на луче через плотности и шаг последовательности нулей.

Ключевые слова: тип целой функции, нижняя, верхняя плотности и шаг последовательности нулей.

Введем необходимые характеристики и дадим точную постановку задачи. Пусть Л = ( Лп)^=1 — выписанная в порядке неубывания модулей и стремящаяся к бесконечности последовательность комплексных чисел; n^(R) — число элементов из Л, попавших в круг |z| ^ R. Для показателя р > 0 определяются верхняя и нижняя р-плотности Л :

дДЛ):= К n^W , д ДЛ):= Um ПЛ^.,

р( ) Rp , др( ) Rp ,

а также р-шаг этой последовательности: hДЛ) := lim (|Лга+1|р — |Лга|р) . Тип целой функ-

цнп f(z) при порядке р > 0 является одной из основных характеристик ее роста и задается формулой

OpU) := Rlim R-Plnm&x 1 f(z)l.

R^-+<x> |^|=ß

p Є (0; 1) с множеством положительных нулей Л/. Точнее говоря, зафиксируем четыре числа р Є (0; 1), ß > 0, а Є [0; ß], h Є [0; ß-1] и поставим следующую экстремальную задачу. Найти точную нижнюю грань

s(a,3, h; р) := inf {ap(f) : Л = А/ С R+, АДЛ) = 3, АДЛ) > a, hДЛ) > h) . (1)

Отметим, что требование 0 ^ h ^ 3-1 в постановке экстремальной задачи не является искусственным. Оно вызвано тем, что всегда выполняется неравенство Ap(A)hДА) ^ 1, которое легко проверить аналогично тому, как это сделано для Л С R+ и р = 1 в [1].

Задача (1) важна в вопросах комплексного анализа, связанных с полнотой функциональных систем, аналитическим продолжением и др. Начало исследованию таких экстремальных задач положил А.Ю. Попов [2].

Основной результат работы [2] состоит в том, что величина

s(3; р) := inf {<7p(f) : Л = Л/ С R+, А ДЛ) = 3 }

равна 3 С(р), где С(р) = maxa-pln(1 + а). Это дает ответ в задаче (1) при h = 0 и a = 0,

а>0

так как, очевидно, s(0,3,0; р) = s(3; р).

O.V. Sherstyukova, On extremal type of an entire function of order less than unity with

ZEROS OF PRESCRIBED DENSITIES AND STEP.

© Шерстюкова О.В., 2012.

Поступила 24 декабря 2011 г.

Следующим шагом в решении задачи (1) можно считать недавний результат В.Б.Шерстюкова [3], рассмотревшего случай а > 0 и отыскавшего величину

s(a,[ ; р) := inf {ap(f) : Л = Л/ С R+, АДА) = [, АДА) > а} .

Оказалось, что

а

ка i ßa р -атр

s(a, ß ; р) =-------+ max -------------ат.

sin кр а>° J 1 + т

a(a/ß)1/P

Тем самым, задача (1) решена в случае h = 0 при произвольном а Е [0; ß].

Нам предстоит решить задачу (1) в общем случае h Е [0; ß-*] и а Е [0; ß]. В статье мы доказываем оценку снизу для типа целой функции порядка р Е (0; 1) с пулями на луче и обсуждаем схему построения примера, подтверждающего точность этой оценки.

Итак, пусть

Л = ( Л™)Г= 1, 0 < Хп S +^, АДЛ) = 1нп = lim ^ = ß,

ДДЛ) = Um Л = Иш — >a, hР{К) = Иш (\рп+1 - Хрп) > h> 0.

^ -LU П^ОО —п

пА (R) п

— " а,

R—+ж Rг п—ж Лп п—ж

Случай а = 0, h Е [0; ß-1] рассмотрен нами в работе [4], поэтому в дальнейшем считаем, что а > 0.

ж / z \

Пусть f(z) = П ( 1 — “Г” ) _ целая функция порядка р Е (0; 1) с нулевым множе-

п= 1 V Лп)

ством Л f = Л. Как и в работе [3], рассмотрим при фиксированном R > 0 функцию , . nARt)

<pR(t) = (щу , t > 0. -Исно, что в условиях задачи имеем

lim ^R(t) = ß, lim ^R(t) > а.

t— + x t—+x

В частности, фиксируя произвольно а1 Е (0; а) и a > 0, найдем с > 0 так, чтобы при любых R >аси t > c/R выполнялось неравенство

<fR(t) > аь (1)

Для удобства дальнейшего изложения материала вводим вспомогательную последовательность П := ( Лп)Ж= 1 = (рп)Х= 1. Учитывая условие на p-шаг hp^), запишем lim (рп+1 — рп) > h. Отсюда для любого h1 Е (0; h) имеем рп+1 — рп > h1 при

п——<х

п > п0 = n0(h1) (можно считать, что п0 > пл(ср)). Оценивая теперь стандартным образом при с/R ^t^ 1/а количество точек последовательности П на промежутке [( Rt)p ; ( R/а)р ] с учетом ее шага, получаем

пп ((R/a)p) — пп ((Rt)p) ^ -1 ((R/a)p — (Rt)p) .

h1

Поскольку пп (xp) = пл(х), х > 0, то, переходя обрат но от П к Л, находим

пл (R/a) — пл (Rt) ^ R ^1 — tp^ .

Разделив это неравенство на ( Rt)p и обозначив г) = r/(R) := ^R(1/a), приходим к оценке

7] (at )-p — <рr (t) ^ h-1 ((at )-p — 1) .

:= h 1- 1 ,

^r(î) > b + (г] — b) (at) p , t Е [c/R; 1/a] . (2)

Для t > 1/a в силу очевидного неравенства пл (Rt) > пл (R/a) справедлива оценка

^(Rt) ^(R/a) пл(R/a)

^R(t) = ——-— > —-—-— = ———— (at) p = n (at) p , т.е.

^RW (Rt)p > (Rt)p (R/a)p У 1 n J ’

<fR(t) > ïj(at)-p , t> 1/a. (3)

( )

максимума ее модуля (см, [3]):

+x

p- 1

F(R) := R-p ln max W Ш = ^R^)-—^.

\z\=R J 1 + t

0

Для упрощения дальнейших выкладок удобно в последнем интеграле сделать замену переменной t = 1 /т, что дает

+ж

- p

F(R) =J ^r{1/t)Y+^dr. (4)

о

Перепишем оценки (2) — (4), полученные при любом R > ас, в промежутках изменения переменной т :

Vr(1/т) > «1, т е (0; R/с] ; (5)

Vr (1/т) > Ь+('ч — Ь) а~ртр , те [а; R/с]; (6)

<Pr(1/т) > Vа~ртр , т е (0; а]. (7)

Для получения точной оценки снизу интеграла в (5) потребуется разбить промежуток (0; R/ ]

ответетвующих неравенств (6) — (8), Обозначая результат такой процедуры наилучшего выбора через ÿR(г) (предварительно сравнив поочередно оценку (6) с оценками (7) и (8) и найдя точки п = а (а1/г])1/р , т2 = а ((Ь — а1)/(Ь — т/))1/р), получаем неравенство

Vr(1/t ) > ФR (г), г е (0; R/с] , R > ас, (8)

где

( «1, т е Е := (0; n] U (т2; R/с] ,

'0r(t) = < Щ-ртр, т е (п;а), (9)

[ b + (г] — Ь)а-ртр, т е [а; т2].

Промежутки в определении (10) функции ÿR(г) те пусты при достаточно больших R. В самом деле, для таких R справедливо «1 < г] = vR(1/а) < Ь, что следует из (6) при т = а, а также из неравенства h/З ^ 1 и выбора h1. Из (5) и (9) при R > ас находим

R/c R/c

- р - р

F(R) > J Vr(1/t)Y+^dr > J фR(r)Y+-^dr. оо Подставляя в последний интеграл выражение из определения (10), запишем следующие преобразования:

К/с

Фк(т)

--Р

Г2

1 + Т

--Р

Ст = а1

-р

1 + т

Ст +

г] а

- р

(

+ (Ь + (г) — Ь) а ртр) -----Ст = а1

'V > 1 + т

+0 Г2

Г1

+о\

---- I ------------

\0 Г1 К/с У

1 + Т

- р

1 + Т

Ст +

- р

1 + т

Ст

1

Г2

. Ът-р + (п — Ъ)а~р ,

+ —гг—1-Ст

жа1 від жр

- р

Г2

«і

1 + т

сСт — «і

- р

1 + т

Ст + о(1)

1

+

- р

Г2

1 + т

Ст +

Ьт-р + (г) — Ь)а-р 1 + т

Ст, Я —> +оо.

1

Группируя первый интеграл е третьим, а второй е четвертым, приходим к оценке

Г2

^(Я) > +

від жр

4а-р — «1 Т-рСт + ¡(ь — °1)Т-р + (” — Ь)а-р От+ о(1), Я ^ +«,.

1+

1+

1

Перейдем здесь к верхнему пределу по последовательности Яj ^ +го, для которой г] = г/(Яj) ^ ¡3. Устремим затем а1 к а, Н1 к Н и учтем непрерывную зависимость величин т1} т2 и Ь от своих аргументов, В результате получим, что Ь ^ —, т} ^ а (а/3)1/р,

Н

т2 ^ а ((1 — аН)/(1 — 3Н))1/р , и при любом а > 0 выполняется

К у ——+оо

а аи1/р

жа [ 3а-р — ат-р 1 з [ ит-р — а-р 1

-■-------+ -------------------------------¿т + й --------------------------йт

від жр ,/ 1 + г Н J 1 + т

а(а//3)1/Р а

(мы для краткости положили в := 1 — и и := (1 — аК)/(1 — @Ь)). Пользуясь произвольностью параметра а > 0, окончательно получаем

а аь>1/р

Г 3а-р — ат-р 8 Г ит-р — а-р

від жр а>0 | У 1+г Н ] 1+т

а(а/[5)1/Р а

ж а

°р(Л + виР

(10)

Для завершения доказательства необходимо предъявить пример последовательности Л, на которой достигается оценка (11). Общий принцип построения таких примеров подробно изложен в [3]. Точки экстремальной последовательности помещаются на промежутки различных типов, каждый из которых отвечает за определенную характеристику распределения последовательности. Конструирование примера в нашем случае в идейном плане ничем не отличается от рассуждений из работы [3], но технически несколько сложнее из-за включения в конструкцию промежутков, обеспечивающих заданный шаг. Детальное обоснование такой конструкции крайне громоздко и заняло бы гораздо больше места, чем доказательство самого неравенства (11), а потому представляется не вполне целесообразным приводить ее здесь.

а

а

а

а

а

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мандельбройт С. Ряды, Дирихле, принципы, и методы. Мир. М. 1973. 171 с.

2. Попов А.Ю. Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительным,и нулями заданной, верхней р-плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. №1. 2005. С. 31-36.

3. Брайчев Г.Г., Шерстюков В.Б. О наименьшем возможном типе целых функций порядка, р £ (0; 1) с положительным,и нулями // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 75. .№1. 2011. С. 3-28.

4. Шерстюкова О.В. О влиянии шага последователен,ост,и, нулей целой, функции порядка, меньше единицы, на, величину ее типа // Наука в вузах: математика, информатика, физика, образование. МПГУ. М. 2010. С. 192-195.

Ольга Владимировна Шерстюкова,

Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ,

Каширское шоссе, 31,

115409, Москва, Россия E-mail: [email protected]