Научная статья на тему 'Об экстремальном типе целой функции порядка меньше единицы с нулями фиксированных плотностей и шага'

Об экстремальном типе целой функции порядка меньше единицы с нулями фиксированных плотностей и шага Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
93
28
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ / НИЖНЯЯ / ВЕРХНЯЯ ПЛОТНОСТИ / ШАГ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НУЛЕЙ / TYPE OF AN ENTIRE FUNCTION / THE UPPER / LOWER DENSITIES AND STEP OF ZEROS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шерстюкова Ольга Владимировна

Доказана точная оценка снизу типа целой функции порядка меньше единицы с нулями на луче через плотности и шаг последовательности нулей

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On extremal type of an entire function of order less than unity with zeros of prescribed densities and step

Sharp lower estimate for the type of an entire function of the order ${\rho\in (0;1)}$ with respect to densities and step of its zeros located on the ray is proved

Текст научной работы на тему «Об экстремальном типе целой функции порядка меньше единицы с нулями фиксированных плотностей и шага»

УДК 517.547.22

ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНОМ ТИПЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА МЕНЬШЕ ЕДИНИЦЫ С НУЛЯМИ ФИКСИРОВАННЫХ ПЛОТНОСТЕЙ И ШАГА

О.В. ШЕРСТЮКОВА

Аннотация. Доказана точная оценка снизу типа целой функции порядка меньше единицы с нулями на луче через плотности и шаг последовательности нулей.

Ключевые слова: тип целой функции, нижняя, верхняя плотности и шаг последовательности нулей.

Введем необходимые характеристики и дадим точную постановку задачи. Пусть Л = ( Лп)^=1 — выписанная в порядке неубывания модулей и стремящаяся к бесконечности последовательность комплексных чисел; n^(R) — число элементов из Л, попавших в круг |z| ^ R. Для показателя р > 0 определяются верхняя и нижняя р-плотности Л :

дДЛ):= К n^W , д ДЛ):= Um ПЛ^.,

р( ) Rp , др( ) Rp ,

а также р-шаг этой последовательности: hДЛ) := lim (|Лга+1|р — |Лга|р) . Тип целой функ-

цнп f(z) при порядке р > 0 является одной из основных характеристик ее роста и задается формулой

OpU) := Rlim R-Plnm&x 1 f(z)l.

R^-+<x> |^|=ß

p Є (0; 1) с множеством положительных нулей Л/. Точнее говоря, зафиксируем четыре числа р Є (0; 1), ß > 0, а Є [0; ß], h Є [0; ß-1] и поставим следующую экстремальную задачу. Найти точную нижнюю грань

s(a,3, h; р) := inf {ap(f) : Л = А/ С R+, АДЛ) = 3, АДЛ) > a, hДЛ) > h) . (1)

Отметим, что требование 0 ^ h ^ 3-1 в постановке экстремальной задачи не является искусственным. Оно вызвано тем, что всегда выполняется неравенство Ap(A)hДА) ^ 1, которое легко проверить аналогично тому, как это сделано для Л С R+ и р = 1 в [1].

Задача (1) важна в вопросах комплексного анализа, связанных с полнотой функциональных систем, аналитическим продолжением и др. Начало исследованию таких экстремальных задач положил А.Ю. Попов [2].

Основной результат работы [2] состоит в том, что величина

s(3; р) := inf {<7p(f) : Л = Л/ С R+, А ДЛ) = 3 }

равна 3 С(р), где С(р) = maxa-pln(1 + а). Это дает ответ в задаче (1) при h = 0 и a = 0,

а>0

так как, очевидно, s(0,3,0; р) = s(3; р).

O.V. Sherstyukova, On extremal type of an entire function of order less than unity with

ZEROS OF PRESCRIBED DENSITIES AND STEP.

© Шерстюкова О.В., 2012.

Поступила 24 декабря 2011 г.

Следующим шагом в решении задачи (1) можно считать недавний результат В.Б.Шерстюкова [3], рассмотревшего случай а > 0 и отыскавшего величину

s(a,[ ; р) := inf {ap(f) : Л = Л/ С R+, АДА) = [, АДА) > а} .

Оказалось, что

а

ка i ßa р -атр

s(a, ß ; р) =-------+ max -------------ат.

sin кр а>° J 1 + т

a(a/ß)1/P

Тем самым, задача (1) решена в случае h = 0 при произвольном а Е [0; ß].

Нам предстоит решить задачу (1) в общем случае h Е [0; ß-*] и а Е [0; ß]. В статье мы доказываем оценку снизу для типа целой функции порядка р Е (0; 1) с пулями на луче и обсуждаем схему построения примера, подтверждающего точность этой оценки.

Итак, пусть

Л = ( Л™)Г= 1, 0 < Хп S +^, АДЛ) = 1нп = lim ^ = ß,

ДДЛ) = Um Л = Иш — >a, hР{К) = Иш (\рп+1 - Хрп) > h> 0.

^ -LU П^ОО —п

пА (R) п

— " а,

R—+ж Rг п—ж Лп п—ж

Случай а = 0, h Е [0; ß-1] рассмотрен нами в работе [4], поэтому в дальнейшем считаем, что а > 0.

ж / z \

Пусть f(z) = П ( 1 — “Г” ) _ целая функция порядка р Е (0; 1) с нулевым множе-

п= 1 V Лп)

ством Л f = Л. Как и в работе [3], рассмотрим при фиксированном R > 0 функцию , . nARt)

<pR(t) = (щу , t > 0. -Исно, что в условиях задачи имеем

lim ^R(t) = ß, lim ^R(t) > а.

t— + x t—+x

В частности, фиксируя произвольно а1 Е (0; а) и a > 0, найдем с > 0 так, чтобы при любых R >аси t > c/R выполнялось неравенство

<fR(t) > аь (1)

Для удобства дальнейшего изложения материала вводим вспомогательную последовательность П := ( Лп)Ж= 1 = (рп)Х= 1. Учитывая условие на p-шаг hp^), запишем lim (рп+1 — рп) > h. Отсюда для любого h1 Е (0; h) имеем рп+1 — рп > h1 при

п——<х

п > п0 = n0(h1) (можно считать, что п0 > пл(ср)). Оценивая теперь стандартным образом при с/R ^t^ 1/а количество точек последовательности П на промежутке [( Rt)p ; ( R/а)р ] с учетом ее шага, получаем

пп ((R/a)p) — пп ((Rt)p) ^ -1 ((R/a)p — (Rt)p) .

h1

Поскольку пп (xp) = пл(х), х > 0, то, переходя обрат но от П к Л, находим

пл (R/a) — пл (Rt) ^ R ^1 — tp^ .

Разделив это неравенство на ( Rt)p и обозначив г) = r/(R) := ^R(1/a), приходим к оценке

7] (at )-p — <рr (t) ^ h-1 ((at )-p — 1) .

:= h 1- 1 ,

^r(î) > b + (г] — b) (at) p , t Е [c/R; 1/a] . (2)

Для t > 1/a в силу очевидного неравенства пл (Rt) > пл (R/a) справедлива оценка

^(Rt) ^(R/a) пл(R/a)

^R(t) = ——-— > —-—-— = ———— (at) p = n (at) p , т.е.

^RW (Rt)p > (Rt)p (R/a)p У 1 n J ’

<fR(t) > ïj(at)-p , t> 1/a. (3)

( )

максимума ее модуля (см, [3]):

+x

p- 1

F(R) := R-p ln max W Ш = ^R^)-—^.

\z\=R J 1 + t

0

Для упрощения дальнейших выкладок удобно в последнем интеграле сделать замену переменной t = 1 /т, что дает

- p

F(R) =J ^r{1/t)Y+^dr. (4)

о

Перепишем оценки (2) — (4), полученные при любом R > ас, в промежутках изменения переменной т :

Vr(1/т) > «1, т е (0; R/с] ; (5)

Vr (1/т) > Ь+('ч — Ь) а~ртр , те [а; R/с]; (6)

<Pr(1/т) > Vа~ртр , т е (0; а]. (7)

Для получения точной оценки снизу интеграла в (5) потребуется разбить промежуток (0; R/ ]

ответетвующих неравенств (6) — (8), Обозначая результат такой процедуры наилучшего выбора через ÿR(г) (предварительно сравнив поочередно оценку (6) с оценками (7) и (8) и найдя точки п = а (а1/г])1/р , т2 = а ((Ь — а1)/(Ь — т/))1/р), получаем неравенство

Vr(1/t ) > ФR (г), г е (0; R/с] , R > ас, (8)

где

( «1, т е Е := (0; n] U (т2; R/с] ,

'0r(t) = < Щ-ртр, т е (п;а), (9)

[ b + (г] — Ь)а-ртр, т е [а; т2].

Промежутки в определении (10) функции ÿR(г) те пусты при достаточно больших R. В самом деле, для таких R справедливо «1 < г] = vR(1/а) < Ь, что следует из (6) при т = а, а также из неравенства h/З ^ 1 и выбора h1. Из (5) и (9) при R > ас находим

R/c R/c

- р - р

F(R) > J Vr(1/t)Y+^dr > J фR(r)Y+-^dr. оо Подставляя в последний интеграл выражение из определения (10), запишем следующие преобразования:

К/с

Фк(т)

--Р

Г2

1 + Т

--Р

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ст = а1

1 + т

Ст +

г] а

- р

(

+ (Ь + (г) — Ь) а ртр) -----Ст = а1

'V > 1 + т

+0 Г2

Г1

+о\

---- I ------------

\0 Г1 К/с У

1 + Т

- р

1 + Т

Ст +

- р

1 + т

Ст

1

Г2

. Ът-р + (п — Ъ)а~р ,

+ —гг—1-Ст

жа1 від жр

- р

Г2

«і

1 + т

сСт — «і

- р

1 + т

Ст + о(1)

1

+

- р

Г2

1 + т

Ст +

Ьт-р + (г) — Ь)а-р 1 + т

Ст, Я —> +оо.

1

Группируя первый интеграл е третьим, а второй е четвертым, приходим к оценке

Г2

^(Я) > +

від жр

4а-р — «1 Т-рСт + ¡(ь — °1)Т-р + (” — Ь)а-р От+ о(1), Я ^ +«,.

1+

1+

1

Перейдем здесь к верхнему пределу по последовательности Яj ^ +го, для которой г] = г/(Яj) ^ ¡3. Устремим затем а1 к а, Н1 к Н и учтем непрерывную зависимость величин т1} т2 и Ь от своих аргументов, В результате получим, что Ь ^ —, т} ^ а (а/3)1/р,

Н

т2 ^ а ((1 — аН)/(1 — 3Н))1/р , и при любом а > 0 выполняется

К у ——+оо

а аи1/р

жа [ 3а-р — ат-р 1 з [ ит-р — а-р 1

-■-------+ -------------------------------¿т + й --------------------------йт

від жр ,/ 1 + г Н J 1 + т

а(а//3)1/Р а

(мы для краткости положили в := 1 — и и := (1 — аК)/(1 — @Ь)). Пользуясь произвольностью параметра а > 0, окончательно получаем

а аь>1/р

Г 3а-р — ат-р 8 Г ит-р — а-р

від жр а>0 | У 1+г Н ] 1+т

а(а/[5)1/Р а

ж а

°р(Л + виР

(10)

Для завершения доказательства необходимо предъявить пример последовательности Л, на которой достигается оценка (11). Общий принцип построения таких примеров подробно изложен в [3]. Точки экстремальной последовательности помещаются на промежутки различных типов, каждый из которых отвечает за определенную характеристику распределения последовательности. Конструирование примера в нашем случае в идейном плане ничем не отличается от рассуждений из работы [3], но технически несколько сложнее из-за включения в конструкцию промежутков, обеспечивающих заданный шаг. Детальное обоснование такой конструкции крайне громоздко и заняло бы гораздо больше места, чем доказательство самого неравенства (11), а потому представляется не вполне целесообразным приводить ее здесь.

а

а

а

а

а

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мандельбройт С. Ряды, Дирихле, принципы, и методы. Мир. М. 1973. 171 с.

2. Попов А.Ю. Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительным,и нулями заданной, верхней р-плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. №1. 2005. С. 31-36.

3. Брайчев Г.Г., Шерстюков В.Б. О наименьшем возможном типе целых функций порядка, р £ (0; 1) с положительным,и нулями // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 75. .№1. 2011. С. 3-28.

4. Шерстюкова О.В. О влиянии шага последователен,ост,и, нулей целой, функции порядка, меньше единицы, на, величину ее типа // Наука в вузах: математика, информатика, физика, образование. МПГУ. М. 2010. С. 192-195.

Ольга Владимировна Шерстюкова,

Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ,

Каширское шоссе, 31,

115409, Москва, Россия E-mail: sherov73@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.