Задача Коши для одного класса эллиптических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

© В.В. Кибирев

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Доказаны две теоремы о решении задачи Коши в целом и для одного специального класса уравнений за счет того, что уравнение рассматривается в комплексной области.

Ключевые слова: задача Коши, голоморфные функции, полицилиндрическая область, аналитические коэффициенты.

V.V. Kibirev

CAUCHY PROBLEM FOR ONE CLASS ELLIPTIC EQUATIONS

Two theorems have been proved on the solution of Cauchy problem on the whole and for one special class equations due to the fact that the equation is considered in the complex domain.

Keywords: Cauchy problem, holomorphic functions, polycylindrical domain, analytic coefficients.

Введение

Классическая теорема Коши-Ковалевской дает существование и единственность решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных с аналитическими коэффициентами. Однако существование решения гарантируется только в малом. Здесь будет изучаться задача Коши для одного узкого класса уравнений, но решение будет получено и в целом. Решение в целом получается за счет того, что уравнение рассматривается в комплексном пространстве.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

= -L(u) (1)

dz

где L(u) = (х1,...,xm)-, причем при вещественных значе-

i,i=i dXjdXi

ниях переменных x1, x2,... , xm коэффициенты Ajl вещественны и уравнение (1) эллиптично. Все коэффициенты Л}1 аналитичны в некоторой области голоморфности В из пространства Cm m независимых комплексных переменных x1,x2,...,xm . Точку x1,x2,...,xm пространства Cm иногда для краткости обозначаем Х.

Задачу Коши будем изучать в следующей постановке: найти голоморфное решение и уравнения (1), удовлетворяющее условиям

и|,=0 = I (X), £1.=0 = Е (X), (2)

&

где I и е - функции, голоморфные в некоторой области голоморфности А ^ В из пространства Ст : {. = 0}.

Доказательство основных теорем

Пусть область голоморфности начальных данных (2) А является полицилиндром В : {| < г1,..., |хт| < гт }. Будем искать решение задачи Коши в виде степенного ряда по . :

и(., X) = ^ гпеп (X). (3)

п=0

Подставив (3) в (1) и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях 2, получим

сп+2 (X) = - 11 ^ Ь(еп). (4)

(п + 1)(п + 2)

Отсюда следует, что решение задачи Коши формально можно записать следующим образом:

ш .2п г . ^

и(., х) = 2 (-1)п— \Ьп (I) + ——Ьп (Е) I. (5) £0 (2п)! [ 2п +1 ]

Исследуем сходимость рядов, входящих в формулу (5). Для этого оценим Ьп (I) . Непосредственным подсчетом находим, что Ьп (I) является

суммой не более чем [2т(т + 1)]п выражений вида -л

п дА» I

л дх*...дхмтт дх1\..дхутт' М + ... + тт =Л, V + ... + ^т = V, +у = 2п.

г

Возьмем произвольную точку Xa = (х1а,...,хта)полицилиндра Б. Тогда функции А}1 и I голоморфны в полицилиндре

Ва : < Г - |Х1а \хт\ < Гт - |Хта|}. Далее получим в точке Ха ОДен-

кУ:

длГА11

дх'т1...дхтт

< М-тт тах|А \

рМ'Р 1 А

где рг = гг - \хга \. Аналогично оцениваются и производные функции f. Положив

р = тт(р,...,рп), М = тах\/1, М = тах|/|},

Ва } ,1 ,Ва

окончательно найдем

п

дЫ

д"/

дхС1 ...дх^п дх;\..дхП

<

М,М

Р

Л п 1

(6)

так как

И..^п!<И, м! .Мп!<Л!, £Лг +у = 2п, ИИ<(2п).

г

Поскольку Ьп(/) содержит не более [2п(п+1)]п слагаемых такого вида, для Ьп(/) получаем оценку:

V(/) < (2п)!(>/2п(п + 1)М1 )2п.М,

Р

(7)

Из оценки (7) следует, что ряды (5) сходятся абсолютно и равномерно в круге

Ка : 1|А < р[2п(п + 1)]М1-1, х1 = Х1а,..., хп = Хпа

Пусть точка Ха пробегает весь полицилиндр В. Образуем объединение У(В) всех Ка, Ха е В. Ряды из формул (5) сходятся абсолютно и равномерно в У(В). У(В),как и в случае уравнения Лапласа, содержит некото-

СП+1 т-\

окрестность множества В. Всякую голоморфную в полицилиндре В функцию / можно представить следующим образом:

/(X) = Г-/¿п)-С1..Л„

(8)

(2П)п г (^1 - хД..^...Хп) где Г = С1X...Хп, а Ci - окружность |хг| = г . Подставив в (5) представление (8) для функций /и g и поменяв порядок суммирования и интегрирования, получим 1

и(г, х) =

(2П)п

{{ ¿1 - х,,..^„ - хп)/ (1,..4п)+Н(2,1, - - хпШ..,п)С..Сп

(9)

где

2п

О = У (-1) п^ьп (.

^ (2п)!

1

п =0

(2п)! (?1 - х1)..Цп - хп )

п

ад 2"+1 1

Н = у (-1)"—-Ь" (-1-).

; (2" +1)! >1 -хД..^ -хт/

Порядок суммирования и интегрирования здесь можно менять в силу тех же соображений, что и в случае уравнения Лапласа. Функции О и Н относительно переменных г, х1,..., хт являются решениями уравнения (1).

Так как эти функции удовлетворяют соотношению О =-, области их

дг

голоморфности совпадают.

Точно таким же образом получается следующее представление для решения задачи Коши в случае, когда вместо кругового полицилиндра О областью голоморфности начальных данных/и g является произвольная полицилиндрическая область Р:

) ^ (10) {{{ -^..4 -Хт)Ж...О + Н(^ - Х^..^ -Хт^...^.^

В

где В - остов границы Р.

Для решения задачи Коши можно дать формулу другого вида. Пусть А - произвольная, ограниченная область пространства С и функция / е Ь2(А), т.е. интегрируема с квадратом модуля по области А. Всякую голоморфную в А функцию / е Ь (А) можно представить как

/(X) ={К(Х1,...,ХтД,.../т)Ж...,*т, (11)

А

где К(X, Т) - керн-функция области А, а da - элемент объема в

Ст

.

Воспользовавшись формулой (11), точно так же, как выше использовалась интегральная формула Коши, для решения задачи Коши получим следующее представление:

и(г, X) = ||р(г, X, ШТ) + 8Р&£,Т) /(Т)^, (12)

где

(X)=(х1,...,хт ),Т=(*„..., гт ),Т=&..., гп),

ад 2"+1

Р (г, X ,Т ) = у (-1)" __ Ь" (К (X, Т)), "=0 (2" +1)!

т.е. Р (г, X, Т) является решением уравнения (1), удовлетворяющим условиям

Р(0, X, Т)=о, др (^ X ,Т) | ^=о = к (X ,Т).

дг

В частности, для полицилиндра D имеем

_ Г2 Г2 Ш 7 2"+1 1

F ( 7, X, T ) = У (-1)n —-Ln (---)

nm tT (2n +1)! \rx - xltl)...(rm -xmtmУ

а для гипершара -

(13)

m!R2 » _ 72n+1 г - n"m_1

F ( 7, X, T ) = — у (-1)n —- Ln ( nm n=0 (2n +1)!

m

R2 -У xrt,

r r

r=1

). (14)

Таким образом, воспользовавшись формулой (10), получим две теоремы.

Теорема 1. Существует область голоморфности H(D) из пространства Cm+1 такая, что каковы бы ни были начальные данные fug, голоморфные в полицилиндре D и непрерывные в замкнутом полицилиндре D , решение задачи Коши голоморфно в области H(D).

Теорема 2. Если начальные данные аналитически продолжимы из D, то решение задачи Коши аналитически продолжимо из области H(D). Для каждой точки Х границы В области H(D) существует решение уравнения (1), голоморфное в H(D), удовлетворящее начальным данным, голоморфным в D, и имеющее особенность в точке Х.

Заключение

Итак, нами получено решение задачи Коши в целом для некоторого класса эллиптических уравнений за счет того, что уравнение рассматривается в комплексной области.

Литература

1. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. - М.: Наука, 1966. - 204 с.

2. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1950. - 436 с.

3. Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. - М.: Наука, 1962. - 420 с.

4. Янушаускас А. К задаче Коши для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными // Сиб. матем. журнал. - 1975. - Т. 16, №6. - С. 1352-1363.

5. Янушаускас А. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Сиб. матем. журнал. - 1974. - Т. 15, №6. - С. 1394-1405

Кибирев Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета. Тел.(8301-2)219757, е-mail: dekanat_imi@bsu.ru

Kibirev Vladimir Vasilevich, candidate of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics, Buryat State University. Tel. (8301-2) 219757, е-mail: dekanat_imi@bsu.ru