CC BY
25
УДК 517.946
© В.В. Кибирев
ЦЕЛЫЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В данной работе доказаны 2 теоремы о целых решениях задачи Коши для эллиптических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Ключевые слова: задача Коши, гармонические функции, порядок и тип целой функции двух комплексных переменных.
V. V. Kibirev
INTEGER SOLUTIONS FOR ELLIPTIC EQUATIONS OF THE SECOND ORDER WITH CONSTANT COEFFICIENTS
In this article 2 theorems on integer solutions of Cauchy problem for elliptic equations of second order with constant coefficients have been proved.
Keywords: Cauchy problem, harmonic functions, order and type of integer function of two complex variables.
Введение
Классическая теорема Коши-Ковалевской дает существование и единственность решения задачи Коши для дифференциального уравнения о частных производных с аналитическими коэффициентами. Однако существование решения гарантируется только в малом. Здесь будет изучаться задача Коши для одного узкого класса уравнений, но решение будет получено и целом. Решение в целом получается за счет того, что уравнение рассматривается в комплексном пространстве.
Постановка задачи
дТТ
= 0. Пусть
Рассмотрим целую гармоническую функцию U, удовлетворяющую условию -
dz
U\ = 0 = f ((,\), где ( = X + iy, \ = X — iy, f - целая функция двух комплексных переменных. Будем изучать рост функции U в зависимости от переменной z. Фиксируем ( и J], тогда в круге K(R) : |z| < R, ( = (о, J = Jo } радиуса R функцию U можно представить следующим образом:
1 f (t Т) 1 z2
z) =--- J J ( ) )F(U-— -------(1)
4^2 Г Г (t — ()(т—]) 2 (t — ()(T — J) 12
где Г и Г2 - окружности |t| = R, |т| = R , а F( 1,1; —;h) - гипергеометрическая функция Гаусса.
Покажем, что целая гармоническая функция U по переменной z имеет порядок, не превосходящий порядка целой функции U((,\,0), а также, что и тип функции U по z не превосходит типа целой
функции двух комплексных переменных U( \,0) . Доказательства основных теорем
Положим, M(f,R) = sup |f(= R(= R\, z = Rzx .
( < R, \\< R
Тогда из формулы (1) имеем
z=0
U( £ ,m,zt) = MfR) 2j 2I q (9.У)-
4*2 0 J (e'v -£ )(e- щ )
1 Z • F( 1,1; — ;--:-1—:-)dwdm,
' 2 (e' ? - £ )(e' ? - щ
где
e't'P+v)
д1(ф,¥) =-f(Re'ф, Rew).
^^ M (f, R)
Очевидно, имеем max\q1()\ < 1. Функция
2n2n / ч
z. . . 4i(v,w)
, z) = --
1 2n2n
^(£,щ, Z1) = - —2 JJ
4я2Ц(е'ю --щ)
1 г2 • F (1,1;—;—:-—-^Мю
является целой гармонической функцией, поэтому для нее можно написать интегральное представление (1), в котором интегрирование ведется по множеству Ш = R + Е, Ы = R + Е, где Е —
произвольное положительное число. Положим,
W(f) = max\v( £ ,щ ,zx|,
Kß)
где K( 1) - круг |zj < 1,1 , а £ и Щ фиксированы. Из интегрального представления (1) для функции U следует, что имеет место оценка
W(f) < V(г)M(f,R + g), (2)
' W M (f, R)
где V(г) - константа, зависящая только от г . Из (1) и (2) следует оценка
M(U, R) < V(г)M( f, R + г) (3)
для
M(U,R) = max\U(£,4,z\,
K(R) '
Порядком и типом целой функции f называются следующие числа соответственно
——ln ln M (f, R) — lnM( f, R)
p = lim -——-, а = lim-——-
R^-x ln R R^x Rp
Ниже мы выразим порядок и тип функции U по переменному z через числа p и а . Из неравенства (3) имеем:
— lnlnM(U,R) < Iimln(ln V(г) + lnM(f,R)} = R^X ln R R^X ln R
ln[1 + lnV(g) ] = ц-lnlnM(f,R + г) ln(R + г) + 1 lnM(f,R + г)1} =
Rm ln( R + г) ln R ln R }
— lnln M ( f, R + г)
= lim-—-- = p
R ln( R + г)
Таким образом, целая гармоническая функция U по переменной z имеет порядок, не превосходящий порядка целой функции U(£ Щ,0) . Аналогично можно показать, что и тип функции U по z не
превосходит типа целой функции двух комплексных переменных U((,\,0) . Следовательно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Для всякой целой функции f(существует целая гармоническая функция U,
I dU удовлетворяющая условиям Щ = f ((,\), - = 0.
dz z=0
Порядок и тип функции U по переменной z не превосходят порядка и типа функции
f( = U ( (\,0 ).
Рассмотрим целое решение W уравнения
Aw + Xw = 0, X = const. (4)
Для всякой целой функции f(существует целое решение W этого уравнения, удовлетворяющее условиям
dW
W
z=0
f(
dZ
0.
z=0
Причем это решение дается формулой
W ((,], z) = U z) — J J/ zf1')U ((,], zJT—t )dt
2 ij t (1 — t)
где U - гармоническая функция, а Jj - функция Бесселя. Из (6) имеем
z
max\w((,\,z)\ < max\u((,\,z)\{ 1 + max ■ ,-
K(R) ' K(R) 1 K(R) 2 0 Vt(1 — t)
411 j^zjxt)
dt}
Так как
Jx(zJXt) = ^ £ (—1)
m
2
m=0
I i2m I , im
Г | ' IX ' t m!(m +1 )!'4 n
то имеем
z
41
2
jx( z^jXX
<
I т I I |2 I |2m I т im m
X ' z » z ' X ' t
У
2 m=0 m!'(m +1 )!'41
Поскольку
J t 2 (1 — t) 2 dt
—1 Г(1 )T(m +1) 2 ^ _ 2 2
m!
то из (7) получим
полагая
M(W, R) < M(U, R)' K(\X\, R)
M(W,R) = max\w((,\,z)\,
K(R) '
k(| x,R)=1+№2 (X R 2A
(5)
(6)
(7)
(8)
4 т=0 (т!)2(т +1)! 4
Из (8) следует, что порядок функции W не превосходит наибольшего из порядков функции и и к(\Х\Я) . Порядок функции К(\Х\Я) равен — , поэтому имеем следующую теорему:
1
дЖ
Теорема 2. Пусть Ж - целое решение уравнения (4), удовлетворяющее условию
= 0. Если
z=0
&
порядок функции W(£,Ц,0) равен р, то порядок W(£,Ц,z) по z не превосходит числа
р1 = max( р,1)
Замечание. Более общее уравнение с постоянными коэффициентами
Au + aux + buy + cuz + yu = 0
подстановкой
u = vexp[-1 (ax + by + cz)]
сводится к уравнению
Av + [y -1 (a2 + b2 + c2 )]v = 0.
В этом случае в теореме число р^ заменяется на число Р2 = max(р,1) .
Порядок по z целых решений уравнения с постоянными коэффициентами не зависит от абсолютных величин коэффициентов си y и не превосходит Р2, если С Ф 0, а если С = 0, но
1 2 2
y —(a + b ) Ф 0, то он не превосходит Pi. Величины коэффициентов а, в, с и y влияют
только на тип решения. Заключение
Итак, в данной работе показано, что для всякой целой функции f (£ существует некоторая
гармоническая функция U, порядок и тип которой не превосходит порядка и типа функции двух комплексных переменных.
Литература
1. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. - 204 с.
2. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1950. 436 с.
3. Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1962. 420 с.
4. Янушаускас А. К задаче Коши для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными // Сиб. ма-тем. Журнал. 1975. Т.16, №6. С.1352-1363.
5. Янушаускас А. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Сиб. матем. журнал. 974. Т. 15, №6. С. 1394-1405.
Кибирев Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, тел. (8301-2)217573, e-mail: dekanat_imi@bsu.ru
Kibirev Vladimir Vasilevich, candidate of physical and mathematical sciences, professor, applied mathematics department, Buryat State University.
