CC BY
24
УДК 517.96
© В. К Кибирев
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ НАКЛОННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ С ЛИНЕЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В данной статье доказана разрешимость одной ю задач о наклонной производной для регулярных в единичном шаре гармонических функций
Ключевые слова: гармоническая функция, оператор Лапласа, однородные полиномы.
V. V. К/Ыге I
ON ONE PROBLEM OF THE OBLIQUE DERIVATIVE WITH LINEAR COEFFICIENTS
In this article the solvability of one of the problems of the oblique derivative for regular harmonic functions in the single sphere has been proved.
Keywords: harmonic functions, Laplace operator, homogeneous polynomials.
Введение
Задача о наклонной производной заключается в определении гармонической в области D функции U(x,y,z), непрерывной вместе со своими производными первого порядка вплоть до границы S и удовлетворяющая условию (grad и P)s =f. где/- заданная на S непрерывная функция
1. Постановка задачи
В данной работе ставится такая задача: найти регулярную в шаре S : {х2 + у2 + z2 < 1}, непрерывно дифференцируемую в замкнутом шаре Е, гармоническую функцию и, удовлетворяющую на сфере S : {х2 + у2 + z2 = 1} условию
?.zu + (л + ау)их + (-ах + у)и = / , (1)
где коэффициенты и функция/- непрерывно дифференцируемые на S функции.
2. Теорема
Задача (1) при Л < 0 имеет единственное решение, принимающее наперед заданные значения на многообразии точек выхода векторного поля (х + ау,-ах + у, Лг)в касательную к сфере плоскость.
Доказательство: Условие (1) перепишем так:
/.zu + хих + ауих - ахиу + уиу = /
или хих +уиу +Àzuz +а(уих -хиу) - / (1*)
Как известно, что если функция и гармоническая, то функция W = хих + уиу + Àzuz + а(уих — хиу) является бигармонической и имеет место представление
W = g + (1 -х2 —у2 —z2)h, где g и h - регулярные в шаре 17 гармонические функции [1].
Функции и, g, h связаны соотношениями:
хих + уиу + /.zu + а(уих - хиу ) = g + (\-r2)h
dh
(Л-\ )uzz = -2r —— 3/г
or
(2)
2 2 2 2 / где г = х + у + 2 . Второе уравнение последней системы получается, если к уравнению (1 )
применить оператор Лапласа На сфере Л' функция g¿/ совпадает с/
Можно показать, что для любой наперед заданной гармонической функции g всегда найдется гармоническая функция 1г такая, что система (2) будет справедлива для некоторой гармонической функции и [4].
Всякую регулярную в шаре гармоническую функцию Н(х, у, г) можно представить абсолютно сходящимся в шаре рядом по шаровым функциям. Перегруппировав в этом ряде члены для Н получим представление
Н(х, y,z) = ^H¡(x2 + у2, z)P¡ (х, у) (3)
1 = 0
где Р/ - есть однородные гармонические полиномы степени / от двух переменных, а функция Hi (s, z) удовлетворяет уравнению
д2Н2 д2Н, дН,
------- + 4^------ + 4(7 + 1)--- = 0 (4)
Sz2 ds2 ds
Для регулярной в шаре Е гармонической функции Н все функции Hi определяются однозначно
аналитической в круге |z| < 1 функцией Ht (0, z) одного комплексного переменного z.
СО СО 00
Пусть U = Yum, g = Л = 2Х’ГДе
т=0 т=0 т=О
ит =vm(x2 + у2 ,z)pm cos та + Wm(x2 + у2 ,z)pm únma Sm =Pm(x2 + y2, z)pm cos та+ Qm(x2 + y2, z)pm sin та hm =Фт(х2 + y2 ,z)pm cos та+ X¥m(x2 + y2, z)pm sin та Тогда для осесимметричных функций, аналогично тому, как и в [3] имеем:
=g + (l-z2)h
(Л-I)и22 =-2z^--3h oz
(5)
(6)
где и - u(0,0,z), g - g(0,0,z), h = /г(0,0, z)
Решая систему (6), получим, что в этом случае по известной функции g всегда можно найти
функцию h.
Аналогично в общем случае можно получить и функцию и, в итоге получаем следующую теорему:
Задача (1) при Л < 0 имеет единственное решение, принимающее наперед заданные значения на многообразии точек выхода векторного поля (х + ау,—ах + у, Az) в касательную к сфере плоскость.
Эта задача может применяться в моделировании природных процессов, в частности, в теории приливов.
Заключение
Таким образом, в данной работе доказана безусловная разрешимость задачи о наклонной производной для регулярных в единичном шаре гармонических функций с граничным условием (1).
Литература
1. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М, Наука, 1966.
2. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд-во иностранной литературы, М., 1958.
3. Кибирев В.В. К задаче о наклонной производной с линейными коэффициентами для гармоничных функций// Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №1. С. 80-85
4. Янушаускас А. Применение вырождающихся уравнений к изучению задачи о наклонной производной// Дифференц. уравнения. 1969. Т.5,№1. С. 80-91.
Кибирев Владимир Васильевич, канд. физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной математики Бурятского государственного университета, тел. (8301-2) 217573, dekanat imi@bsu.ru
Kibirev Vladimir Vasilievich, candidate of physical and mathematical sciences, the professor of the applied mathematics department of the Buryat State University.
