CC BY
35
УДК 517.9 ББК 22.161.62
© В. В. Кибирев
Россия, Улан-Удэ, Бурятский государственный университет.
ЗАДАЧА О НАКЛОННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В работе предложен метод редукции задачи о наклонной производной к исследованию некоторой динамической системы. Доказана теорема о том, что задача с наклонной производной для гармонических функций при определенных условиях имеет единственное решение.
Ключевые слова: наклонная производная, гармонические функции.
© V.V. Kibirev
Russia, Ulan-Ude, Buryat State University
THE TASK OF SLOPING DERIVATIVE FOR GARMONIC FUNCTIONS
In this article the reduction method of sloping derivative task for research some dynamic system is proposed. The theorem of unique solution is proved.
Key words: sloping derivative, harmonic functions.
Для исследования задачи о наклонной производной для гармонических функций в [1] предложен метод редукции этой задачи к исследованию некоторой динамической системы. В [2] этот метод получил дальнейшее развитие. Задачу о наклонной производной будем
рассматривать в следующей постановке: найти регулярную в шаре Z: I*’ + у2 + z2 < 1} непрерывно-дифференцируемую в замкнутом шаре ^ гармоническую функцию u, удовлетворяющую на сфере S : |x2 + у2 + z2 = 1} условию
au + bu + cu = f, (1)
x у z J 5 \ ’
где a, b, c и f - непрерывно дифференцируемые на S функции. Здесь будет рассмотрена задача (1) при a = x, b = у, c = —(z — Ь) при помощи дальнейшего усовершенствования метода работы [2].
Если функция u гармоническая, то функция w = xux + yuy — (z — b)uz является бигармо-нической и имеет место представление w = q0 + (1 — x2 — y2 — z2)q1, где q0 и q1 - регулярные в шаре ^ гармонические функции [3]. Функции u, q0 и q1 связаны соотношениями
[2].
xux+yuy— (z—b)uz = q0+(1—x2 — y2 — z 2)^
dq, (2)
2uzz+2r+3q1.
I or
Причем на сфере функция q0 совпадает с f.
Покажем, что для любой наперед заданной гармонической функции q0 всегда найдется гармоническая функция q1 такая, что система (2) справедлива для некоторой гармонической функции u .
Как известно [4], всякую регулярную в шаре гармоническую функцию h(x, y, z) можно представить абсолютно сходящимся в шаре рядом по шаровым функциям. Перегруппировав в этом ряде члены для h, можно получить представление
Кх y, г) = 2 Ь(*2 + у2, г )р (х у )> (3)
/=0
где Р - однородные гармонические полиномы степени I от двух переменных, а функция {(, г) удовлетворяет уравнению:
Э 2Ъ1 Э 2Ие ■,\ЭИ/
—± + 4і—— + 4(/ +1)—1 Эг2 ді2 ді
+ 4і—- + 4(/ +1)—^ = 0 (4)
Для регулярной в шаре ^ гармонической функции И все функции И определяются однозначно аналитической в круге |г| функцией И1 (0, г) одного комплексного переменного
[5].
Пусть и = и,(X2 + у2, г)Р (x, у\ до = д0') (х2 + у2, г)р (x, у\ д = д[1) (х2 + у2, г)р (x, у). Тогда для I =0, т.е. для осесимметричных функций из (2) имеем
-(г - Р)иг (0, г) = й + (1 - г2)g!,
2иг(0, г)=2 г ^+зд!,
^ дг
где д0 = д0 (0,0, г), ^ = д! (0,0, г). Из первого уравнения последней системы найдем
и (0, г) = А - .
А г-Ь г-Ь
Продифференцируем это выражение по Z, подставим во второе и после элементарных преобразований получим уравнение
= й- д0(г-Ь) г-Ь 2(!- 1р)у1 (г-Ь)(!- 1р)'
Решая это линейное уравнение первого порядка, находим д!.
Замечание. При |Ь| >! с должно быть равно 0, т.к. в противном случае порождается
слагаемое, которое дает особенность. Т.о., по известной функции й мы нашли функцию
! , функция р всегда существует, если нет особенности в подынтегральном выражении. Решим уравнение
хих+уиу- (г-^К = д0+(! - х2 - у2 - г 2)д!. (5)
Соответствующее однородное уравнение будет:
хих + уиу - (г -Ь)иг = °.
Решив его, найдем общее решение однородного уравнения в виде
и =ф[х(г -b), у(г -Ь)].
Равенство (5) в цилиндрических координатах перепишется так:
р^р- - (г-Ь) =^( х y, (6)
др дг
где через ^ (х, у, г) обозначили правую часть уравнения (5).
Чтобы решить неоднородное уравнение, сделаем следующую замену переменных X = р(г - Ь), С = г, Т = Т, тогда уравнение (6) примет вид
За =-^ (р,|, С)
дС С-Ь ■
Проинтегрировав это выражение по S, получим
и = х(т#) - С “* • (7)
Векторное поле, по направлению которого берется производная, выходит в касательную к сфере плоскость вдоль двух окружностей:
р = >/1 - г2, г!,2 = ~4(Ь + у1Ь2 + 8).
Причем г! = ! (Ь + + 8, г2 = ! (Ь -/Ь" + 8. Тогда, подставляя в выражение (2)
вместо z1 , получим:
u
= x(j,X)—f F jb ‘) dt. (8)
Jz1 t—b
Аналогичное равенство имеем и для z2. Таким образом, мы получили решение искомого неоднородного уравнения.
Из характера того произвола, с которым определяется функция q1 через функцию q0,
вытекает справедливость следующего утверждения.
Теорема. Задача (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям
u / L = p( j), u / M = q( j), где p и q - любые наперед заданные непрерывно дифференцируемые функции, а L и M -это окружности выхода векторного поля в касательную к сфере плоскость.
Заключение
Таким образом, доказана теорема о том, что задача (1) о наклонной производной для гармонических функций имеет единственное решение, удовлетворяющее определенным условиям.
Литература
1. Бицадзе А.В. Задача наклонной производной с полиноминальными коэффициентами // Докл. Акад. наук СССР. - 1964. - Т. 157. - № 6. - С. 1273-1276.
2. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. - М.: Наука, 1966. -285 с.
3. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1950. - 630 с.
4. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1965. - 580 с.
5. Янушаускас А.И. Применение вырождающихся уравнений к изучению задачи о наклонной производной // Дифференц. уравнения. - 1969. - Т. 5, № 1. - С. 81-90.
References
1. Bitsadze A.V. The sloping derivative task with polynomial coefficients // Rep. AS USSR. - 1964. - Vol. 157. - No. 6. - P. 1273-1276.
2. Bitsadze A.V. Boundary value problems for second order elliptic equations. - M.: Nauka, 1966.
3. Golubev V.V. Lectures about analytical theory of differential equations. - M.: Gostehizdat, 1950.
4. Kurant R. Partial differential equations. - M.: Mir, 1965.
5. Yanushkauskas A.I. Using of equations for learning slopping derivative task // Diff. uravnenia. - 1969. -Vol. 5. - No. 1. - P. 81-90.
