Задача Коши для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.946 © В.В. Кибирев

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА С ТРЕМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Применение комплексно-аналитических методов делает естественным рассмотрение уравнений с частными производными в комплексном пространстве. Класс эллиптических уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами является наиболее подходящим для исследования этим методом.

Ключевые слова: задача Коши, уравнение Лапласа, голоморфные функции, сходимость рядов.

V.V. Kibirev

CAUCHY PROBLEM FOR THE LAPLACE'S EQUATION WITH THREE INDEPENDENT VARIABLES

The application of complex-analytical methods does natural consideration of the equations with partial derivatives in complex space. The class of the elliptic equations in private derivatives with analytical factors is the most suitable method for this research.

Keywords: Cauchy problem, Laplace's equation, polomorphic functions, convergence of sets.

Введение

Классическая теорема Коши-Ковалевской дает существование и единственность решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных с аналитическими коэффициентами. Однако существование решения гарантируется только в малом. Здесь будет изучаться задачи Коши для одного узкого класса уравнений, но решение будет получено в целом. Решение в целом получается за счет того, что уравнение рассматривается в комплексном пространстве.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение Лапласа

... Э2 / Э2 / Э2 / _ /1Ч

д/ 'аГз^+з?-=° (|)

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

где х, у и г - независимые комплексные переменные. В (1) произведем следующую замену переменных:

X = х + ¡у, % = х - ¡У, Х = г (2)

Уравнение (1) примет вид

, З2/ З2/ п 4—— +—4т = 0.

Будем искать решение / уравнения (1), удовлетворяющее условиям

/ х=о = и^Х /

= v(X,h),

(1*)

(3)

Х=о

где и и V - функции, голоморфные в некоторой области голоморфности В с С2.

Функцию / можно представить в виде / = к + к, где к и к - решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям.

g| х=о = и,

ЗХ

х=0

= 0; к X = о, ^ ' х=0 З|

= V.

Х=о

Легко проверить, что функции к и к представляются следующим обра-

зом:

X

к = I(-1)И 4"Ъ

2п ~\2п„,

З и

к = £ (-1)п 4п

2п! З£пЗ%п '

2п+1 з2пх

X

(2п + 1)! З|пЗ%

(4а)

(4б)

Исследуем область сходимости этих рядов. Будем рассматривать ряд (4а). Ряд (4б) изучается аналогично.

Лемма. Если функция и голоморфна в бицилиндре В:

{X - Х01 < г, % - %0 | £ г}, г > 0 , то ряд (4а) для к сходится абсолютно и равномерно в круге К0: {||< г, Х = Х0, % = %0} .

Доказательство. Воспользовавшись оценкой

(п!)2

З 2пи

зхпз%п

< М-

получим

к

£ (-1)п 4п

X2

-\2п

З и

(2п)! З|пЗ%

< М£ 4>!)!( й)2п.

п=0 (2п)! V

п=0

п=0

г

п=0

Кибирев В.В. Задача Коши для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными

^ 4й(п!)2 \\\

Так как ряд V-:— (—±)2п сходится при |£|<г, то ряд (4а) сходится

(2п)! г

абсолютно и равномерно в круге К0.

Заставим точку (\0,\0) пробегать всю область голоморфности функций и и V. Рассмотрим бицилиндр £>0;. : {|\\ - \ |< г, \л~Ло\ < Г }, г > 0,

содержащийся целиком в области В, но такой, что всякий больший бицилиндр такого вида содержит точки, не принадлежащие области В. Согласно лемме, ряд

/=V (-1)пШ-1

' ПЙ (2п)! 1 Х\п 2п +1 д('д\п I сходится абсолютно и равномерно в круге К01: {\\< г, £ = £а, \ = \}. Образуем объединение К (В) = У К01

(\ )£В

всех кругов К0... К(В) содержит некоторую открытую в трехмерном комплексном пространстве С3 окрестность У(В) области В [2].

Если переменные х, у и г вещественны, то из леммы следует утверждение: если функции и и V вещественно-аналитические и разлагаются по функциям

Яе [(х - *0) + .(у - у,)]' Г(х - х0)2 + (у - У0)2 ]*

\ (*) 1т [(х - Х0) +.(у - У0)]' Г(х - Х0)2 + (У - У0)2 ]

в ряды, сходящиеся абсолютно и равномерно в круге (х - х0)2 + (у - у0)2 < г2, то ряды (4а) и (4б) сходятся абсолютно и равномерно на отрезке /0:{|< г, х = х0, у = у0}.

Теорема 1. Если функции и и V разлагаются в ряды по функциям (*), сходящимся абсолютно и равномерно в круге К:{(х - х0)2 + (у - у0)2 < г2}, то ряд

V (-1)"—— {дпи + | (6)

^ ' (2п)! 1 2п +1' '

сходится абсолютно и равномерно в области

Q :{|г < г ->/(х - х0)2 + (у - у0)2.

Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что для любой точки (х, у), лежащей в круге К, круг с центром в этой точке радиуса

- V(х1 - х0)2 + (у1 - у0)2 лежит целиком в круге К.

г

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2012/1

Пусть М - поверхность, задаваемая аналитическим уравнением г=/(х, у). Пусть В - точка поверхности М, а и(В) - некоторая окрестность точки В и и - регулярная в и(В) гармоническая функция. В силу аналитичности функций и и £ = 2 — /(х,у) существует открытая окрестность V (В) с и (В) точки В, такая, что в У(В) имеет место представление [3]

(х, у, 2) = (х, у) (7)

п=0

+2(п —1)( /х^п—1 + /у-п—-) — АЫп—2.

для функции и, причем функции ип связаны рекуррентным соотношением п(п —1)(1 + /I + /2 К = (п — 1)«п—1 А/ +

Эмп—1 + / Э^п—1 -

Эх у Эу

Из этого соотношения следует, что если ик ° ик+1 ° 0, то ип ° 0 при всех п > к . Следовательно, два соседних коэффициента ряда (7) не могут одновременно обращаться в нуль тождественно без того, чтобы ряд (7) не обрывался. При к=0 это утверждение превращается в теорему единственности решения задачи Коши для уравнения Лапласа.

Теорема 2. Если ряд (7) представляет регулярную гармоническую функцию, то разность между показателями степени £ в двух соседних членах не превосходит двух.

Утверждение этой теоремы остается верным и для более общих рядов

и = ^ [0( х, у, 2)]пип (х, у, г), представляющих регулярные гармонические

п=0

функции. А в случае, когда поверхность М является плоскостью, т.е. рассматриваются ряды вида и = ^ 2пип (х, у), утверждение теоремы остается

п=0

справедливым и при наличии в уравнении младших членов специального вида.

Заключение

В статье доказываются 2 теоремы задачи Коши для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными в комплексной области.

Литература

1. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. - М.: Наука, 1966. - 204 с.

2. Лере Ж., Гординг Л., Котаке Т. Задача Коши. М.: Мир, 1967. - 152 с.

3. Фукс Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. - М.: Наука, 1962. - 420 с.

и

Плаксина И.М. Условия разрешимости одной переопределенной сингулярной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения первого порядка

4. Янушаускас А.И. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Сиб. матем. журн. - 1974. - Т.15. - № 6. - С. 1394-1405.

5. Янушаускас А.И. К теории эллиптических уравнений коэффициенты, которых при младших производных имеют особенности высокого порядка // Сиб. матем. журн. - 1976. - Т.17. - № 5. - С. 1177-1187.

Кибирев Владимир Васильевич - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, тел. (8301-2)217573, dekanat_imi@bsu.ru

Kibirev Vladimir Vasilievich - candidate of physical and mathematical sciences, the professor of the applied mathematics department of the Buryat State University.

УДК 517.929 © И.М. Плаксина

УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ СИНГУЛЯРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В работе рассматриваются линейные функционально-дифференциальные уравнения, определенные на конечном отрезке и являющиеся сингулярными по независимой переменной. Сингулярность сосредоточена на концах отрезка и в конечном числе внутренних точек. Для таких уравнений получены условия нетеровости и фредгольмовости. Также получены эффективные условия разрешимости и однозначной разрешимости.

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, сингулярные уравнения, фредгольмовость, нетеровость, разрешимость.

I.M. Plaksina

CONDITIONS OF SOLVABILITY OF ONE OVERDETERMINED SINGULAR BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR FIRST ORDER FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION

This article discusses some problems for functional-differential equations with singularity of special type. Equation defined on the segment and singularity concentrated at the n+1 points in the segment. There are conditions of Fredholm property and effective conditions of solvability and unique solvability. Keywords: Functional differential equation, singular equation, Fredholm property, solvability.

1. Предварительные определения

Пусть Lp , 1 < p < ¥ - пространство суммируемых с p -й степенью