Задача Коши в целом для бицилиндрической области голоморфности начальных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Функциональный анализ и дифференциальные уравнения

УДК 517.946

О В. В. Кибирев

ЗАДАЧА КОШИ В ЦЕЛОМ ДЛЯ БИЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ГОЛОМОРФНОСТИ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ

В данной работе доказаны две теоремы о решении задачи Коши в целом для одного специального класса уравнений за счет того, что уравнение рассматривается в комплексной области.

Ключевые слова: задача Коши, голоморфные функции, бицилиндри-ческая область, аналитические коэффициенты.

CAUCHY PROBLEM ON THE WHOLE FOR BICYLINDRICAL DOMAIN OF INITIAL DATA HOLOMORPHY

In the article two theorems have been proved, they concern the solution of Cauchy problem on the whole for one special class of equations due to the fact that the equation is considered in the complex domain.

Keywords: Cauchy problem, holomorphic functions, bicylindrical domain, analytic coefficients.

Классическая теорема Коши-Ковалевской дает существование и единственность решения задачи Коши для дифференциального уравнения о частных производных с аналитическими коэффициентами. Однако существование решения гарантируется только в малом. Здесь будет изучаться задача Коши для одного узкого класса уравнений, но решение будет получено в целом. Решение в целом получается за счет того, что уравнение рассматривается в комплексном пространстве.

Постановка задачи

Будем рассматривать задачу Коши в следующей постановке: найти решение уравнения

(где А^ - аналитические функции, принимающие вещественные значения

при вещественных значениях независимых переменных), удовлетворяющее условиям

О V.V. Kibirev

Введение

z=0 ~~ S(Xlr---,Xm)

OZ

(Р)

где/и g - функции, голоморфные в некоторой области голоморфности В, причем при вещественных значениях z,xl,...xm уравнение (а) эллиптично.

Возьмем в качестве области В, области голоморфности функций и и v, бицилиндрическую область D = D1 ■ D2, где D1 - область в ¿¿-плоскости с

гладкой границей i^; D2 - область в ^-плоскости с гладкой границей Г2. Всякую функцию, голоморфную в D и непрерывную в замкнутой области D, можно представить следующим образом: ч Iff u(t,r)dtdr

Г1 г2

(t-Z)(T~ri)

(1)

Поменяв порядок суммирования и интегрирования, получим

u(t,T)

4nz

(n\)24"

Ti Ti(t-4)(r-r])ti, (2«)!

аналогично будем иметь

\2 лп

С2

= J

4л

£v(t,r) 4"

(t-Z)(T-Tj)£i(2n + l)\

(t-Z)(r-Ti)

С2

dtdr

-A (и!)2

Рассмотрим ряды 2_,-4" v"

J ("D2 „„..„

n=o (2«)! t~o (2« + 1!)

шись формулой удвоения для гамма-функции, получим

(t-4)(T-r,)_ 4"v" . Воспользовав-

[Г(п + 1)]2 ^Г(2« + 1!)

I

[T{n + \f

4V=>/^Y 1

-4"v"

п=04"Г(п + 2)Г(п + \)

гД)[Г(« + 1)]2

1

—v"=F( l,l;-;v),

и=0 и!Г(и + -)

где Да, Д у) - гипергеометрическая функция Гаусса. И аналогично:

^ (и О2 3

17^4^=^(1,1 фу).

Таким образом, решение задачи Коши в случае, когда начальные данные голоморфны в бицилиндрической области В и непрерывны в замкнутой области И , запишется следующим образом:

-2

1--Ç-) +

_J_ff 2 {t-Ç){T-rj)'

Fj 1ДД__

(t-Ç)(T-Tj) 2

Основные теоремы Теорема 1. Существует область голоморфности G(D) из пространства С3, такая, что каковы бы ни были начальные данные и и v, голоморфные в бицилиндрической области D и непрерывные в замкнутой области D , решение задачи Коши f голоморфно в области G(D). Если начальные данные аналитически продолжимы из D, то решение задачи Коши аналитически продолжимо из области G(D). Для каждой точки X границы области G(D) существует гармоническая функция, голоморфная в G(D), удовлетворяющая начальным данным, голоморфным в D, и имеющая особенность в точке X.

Доказательство. Из представления (2) решения задачи Коши t], Q следует, что //, Q голоморфна там, где голоморфны функции

1 с2 з с2

2 (t-Ç)(T-r,Y 2 (t-Ç)(T-r,y Особенности этих функций располагаются на поверхности

Р : |--—--1 j .

[ T-TJ) f

Рассмотрим множество О = U Рн ■ Область G(D) является связной

(г,т)еГ1 -Г2

компонентой дополнения CQ множества Q до всего пространства С3. Покажем, что G(D) - область голоморфности. Гипергеометрическая функция fia, Д у, v) голоморфна в плоскости с разрезом по лучу 1 < v < со, следовательно, функции

1 с2 з с2

2 (t-Ç)(T-r,y 2 (t-Oir-rj) голоморфны в пространстве С3 с выброшенной гиперповерхностью l<Ç2(t-ÇT\z-Ti)«x>.

Обозначим эту область R. Область R будет областью голоморфности, так как плоскость с разрезом по лучу является областью голоморфности некоторой функции q(z) одного комплексного переменного z. Таким образом, G(D) - связная компонента пересечения областей голоморфности и содержит некоторое открытое связное множество, содержащееся в V(D). Значит, G(D) будет областью голоморфности.

Граница области G(D) содержится в множестве О. следовательно, для каждой точки X границы области G(D) найдется хотя бы одна поверх-

ность Рн, содержащая эту точку. Функция

(г- 4)-1 (г - г,У ^(1,1А-—^7-г)

является решением задачи Коши с начальными данными, голоморфными в Да сама она голоморфна в (¡(1)) и в точке X имеет особенность. Третье утверждение теоремы доказано.

Второе утверждение доказывается очень просто. Область О(В) пересекается с пространством С2: = 0} по области /). поэтому если начальные данные голоморфны в более широкой области В 13 /). то \ '(В) содержит точки, не принадлежащие У(В), а С (В) содержит точки, не принадлежащие (¡(1)). и т.д.

Далее будем рассматривать пересечение области В) с многообразием г) = ^ , 1т г = 0 , на котором переменные х, у, иг вещественны. Для этого наложим ряд ограничений на область В. Области /)/ и /.)? будем считать симметричными относительно прямых £ = £ и г\ = г\ соответственно. Кроме того, будем предполагать, что при совмещении плоскостей £ и г\ области /)/ и /.)? имеют непустое связное пересечение. Это значит, что пересечение бицилиндрической области В с многообразием £ = г) не

пусто. В переменных х, у, г это означает, что в пересечении /.), , = /), П В2. лежащем в плоскости г=0, заданы условия задачи Коши, причем эти заданные функции аналитически продолжаются в бицилиндрическую область /).

Обозначим через Н(1)) такую область трехмерного вещественного пространства Я3, которая содержит в качестве подмножества плоскую область В0 и является связной компонентой пересечения области (¡(1)) с вещественным пространством Я3: \lrnx = 1ту = 1тг = 0} , вложенным в С3.

Очевидно, что область Н(1)) содержится в прямом произведении области В о и оси Ог. Каждой точке границы области Ва соответствует точка / границы области В1 либо точка т = t границы области Р2, а функция / = (V - с, ) 1 (соответственно / = (т - //) 1) голоморфна в В, удовлетворяет

уравнению Лапласа и на прямой х + ¡у = ^ (соответственно х ¡у т) имеет особенность. Функция /в формуле (2) голоморфна всюду там, где голоморфны гипергеометрические функции, входящие в формулу (2), а особенности этих функций лежат на поверхностях

г2+Ц-4)(т-г,) = 0. (3)

Следовательно, в Н(В) не должна попасть ни одна точка, лежащая на этих поверхностях.

Пусть ^ = а + ¡Ь, т = а + /Д, тогда пересечение соответствующей поверхности (3) с пространством Я3 вещественных переменных х, у, г задается уравнением г2 + [х - а + /'(у - 6)] [х - а - /(у - Д)] = 0, которое эквивалентно двум вещественным уравнениям

(X - + (у - + = +

оЬ + /?)(*- -(а-а)(у- = 0. (4)

Система (4) представляет окружность К, лежащую в плоскости, параллельной оси Ог и проходящую через точки (а, Ь, 0) и (а, -Д 0).

Для каждой точки ^ е Г1 построим поверхность 3(1). заполняемую окружностями (4), следующим образом. Рассмотрим область 1)2. симметричную области /.)? относительно оси Ох. Каждую точку т* границы Г2 области 1)2 соединим отрезком прямой с точкой /. На этом отрезке, как на диаметре в плоскости, перпендикулярной плоскости хОу, построим окружность К(т*).

Множество = I)К(т ) будем называть сопутствующей поверхно-

т еГ2

стью точки Так как Г2 является кусочно-гладкой кривой, 8(0 с выброшенной точкой / - кусочно-гладкая поверхность. Поверхность Л/() замкнута и разбивает пространство Я3 на две части. Ту часть пространства Я3, в которой содержится множество 0*2, обозначим ^ (/) и будем называть

ее присоединенной областью точки /.

Аналогично строится сопутствующая поверхность и присоединенная область для любой точки т е Г2, только теперь вместо области 1)2 рассматривается область Д , симметричная области /)/ относительно оси Ох. Очевидно, что та часть пересечения всех присоединенных областей, в которой содержится множество 1)ц. и является областью Н(1)).

Из структуры области Н(1)) вытекает простой способ ее построения в некоторых специальных случаях. Пусть области /)/ и /.)? совпадают и область /)/ симметрична относительно оси Ох. Рассмотрим точку Р е /), и предположим, что ограничивается простой замкнутой линией /). т.е.

односвязна. Через точку Р проведем хорду 1/1') кривой /'/. На этой хорде, как на диаметре в плоскости, параллельной оси Ог, построим полуокружность в полупространстве г > 0. Эта полуокружность лежит на сопутствующих поверхностях концов хорды, а полукруг, ограничиваемый хордой и этой полуокружностью, принадлежит присоединенным областям концов хорды. Длина содержащегося в построенном выше полукруге отрезка прямой, параллельной оси Ог и проходящей через точку Р, равна произведению длин отрезков хорды кривой Г^ на которые она делится точкой Р. Если рассмотреть всевозможные хорды кривой /). проходящие через точку Р, и построить на каждой из этих хорд, как на диаметре, полукруг, лежащий в плоскости, параллельной оси ()г. в полупространстве г > 0, то пересечение области Н(1)) с полупрямой Т(Р), параллельной оси Ог и выходящей из точки Р, лежащей в полупространстве г > 0, совпадет с

пересечением всех построенных выше полукругов. Отсюда следует простой способ вычисления длины отрезка Т(Р) (~)H(D) • Через точку Р проведем всевозможные хорды кривой и рассмотрим произведение длин отрезков хорды, на которые делит ее точка Р. Минимум этого произведения и есть длина отрезка Т(Р) C\H(D).

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 2. Пусть начальные данные задачи Коши для уравнения Лапласа голоморфны в бицилиндрической области 1) = /.), • D[, где Di - одно-связная с кусочно-гладкой границей I). симметричная относительно оси ImE, = 0 область из плоскости переменного а /.), - та же область /)/, лежащая в плоскости переменного //. Тогда граница области H(D) задается уравнением z2 = Qm (/'). Р eD, где функция Qm определяется следующим образом: плоскости и 17 совмещаются с плоскостью хОу пространства R3, через каждую точку Р е /), проводятся всевозможные хорды кривой /). рассматриваются произведения длин отрезков хорды, на которые ее делит точка Р, а затем берется минимум этого произведения по всем хордам, проходящим через точку Р.

Заключение

Итак, в данной работе получено решение задачи Коши в целом для некоторого класса уравнений за счет того, что уравнение рассматривается в комплексной области.

При выводе формулы (2) использовалось представление начальных данных задачи Коши интегральной формулой Коши. Если вместо интегральной формулы Коши воспользоваться формулой Бохнера-Мартинелли, то полученные результаты можно обобщить.

Литература

1. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. - М.: Наука, 1966. - 204 с.

2. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1950. - 436 с.

3. Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. - М.: Наука, 1962. - 420 с.

4. Янушаускас А. К задаче Коши для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными // Сиб. матем. журнал. - 1975. - Т.16. №6. - С. 1352-1363.

5. Янушаускас А. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // // Сиб. матем. журнал. - 1974. - Т. 15. №6. - С. 1394-1405.

Кибирев Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, тел.: 8(301-2)217573, e-mail: dekanat_imi@bsu.ru

Kibirev Vladimir Vasilievich, candidate of physical and mathematical sciences, professor, applied mathematics department, Buryat State University, e-mail: dekanat_imi@bsu.ru.