CC BY
46
УДК 517.946
В.В. Кибирев
УРАВНЕНИЯ КЛАССА ФУКСА ВТОРОГО И БОЛЕЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ
В данной работе рассматриваются необходимые и достаточные условия для решения линейных дифференциальных уравнений класса Фукса второго и более высоких порядков с рациональными коэффициентами.
Ключевые слова: уравнения класса Фукса, регулярные особые точки, голоморфные функции.
V.V. Kibirev
THE EQUATIONS OF THE CLASS FUCHS OF THE SECOND AND ABOVE ORDER
In the given paper the necessary and sufficient conditions for the solution of the linear differential equations of the class Fuchs of the second and above order with rational factors are considered.
Keywords: the equations of the class Fuchs, regular special points, functions with derivatives.
Введение
При исследовании эллиптических уравнений с высоким порядком вырождения был обнаружен ряд особенностей для уравнений с частными производными, не имеющих аналогов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложению некоторых результатов и посвящена эта работа.
1. Постановка задачи
Профессором А.И. Янушаускасом в [4] и [5] был указан ряд особенностей при исследовании эллиптических уравнений с высоким порядком вырождения и предложен некоторый метод для изучения поведения интегралов с регулярной особой точкой.
В данной работе этим методом изучается поведение интегралов уравнений класса Фукса в бесконечно удаленной точке.
2. Важные теоремы
Теорема 1. Для того чтобы уравнение Ю"+p(z)C+ q(z)c = 0 (1-1) имело
в некоторой точке z = z0, особой для коэффициентов p(z) и q(z), интегралы с регулярной особой точкой необходимы и достаточны, чтобы p(z) в точке z0 имел полюс не выше первого порядка, а q( z) - полюс не выше второго порядка. Уравнение класса Фукса всегда можно привести к виду (1.9), причем показателями pf,pf, K = 1,...,n вполне определяется коэффициент p(z), а q(z) лишь с точностью до некоторого полинома степени n-2.
Доказательство. Как известно, линейные дифференциальные уравнения, интегралы которых имеют только регулярные особые точки, называются уравнениями класса Фукса.
Так как регулярная особая точка является полюсом коэффициентов p(z) и q(z) для линейного дифференциального уравнения второго порядка w11 + p(z) wW + q(z)w = 0 (1.1) с рациональными коэффициентами p(z) и q(z) в случае уравнения класса Фукса p(z) и q(z) являются рациональными функциями. Пусть a1,a2...,an - особые точки функцийp(z) и q(z), тогда имеем:
, ч P(z) , ч Q(z) п p( z)=--, q( z)=-n-, (1.2)
n
П (z - af) n(z - af)2
где P и Q - многочлены. Уравнение (1.1) теперь принимает вид:
^ P(z) Q(z) „ n (Л ал
ЮЛ--ЮЛ--Ю = 0 (1.3)
n
П( z - aK) П (z - aK )2
Для изучения поведения интегралов уравнения (1.3) в бесконечно удаленной точке сделаем замену г = £— . Получим следующие соотношения:
йю _ йю
йг
й 2ю
йС йг2
+ 2^ —,
Р(Г)
п
П (С1 - ак)
е(Г)
1
й 2ю
йс1йС РЮ
ГМ-п п (
П
1
г-
1
Л'
*к
1
п
П(Г - ак )2 *
П
1
С
Лк У
где Р1 и 21 - многочлены от £ , а N - степень Р(г) и М - степень 2(г). Уравнение (1.3) принимает вид
ю +
РЮ
Г п
Ь rN-п+2 П
Г
к у
ю + -
&(Ою
_ 0.
Г
П
1
с-
»к у
Для того чтобы £ _ 0 была регулярной особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы
N < п -1, М < 2п - 2. Таким образом, уравнение класса Фукса имеет вид:
п-1 , , 2п-2 , ,
„ р0г +... + рп-1 • q0г +... + q2n-2 ю"+—-¡-п-1 ю + —-ю _ 0.
(1.4)
П(г - ак)
П(г - ак )2
Как известно, всякую рациональную функцию можно представить в виде суммы простейших дробей,
т.е.
р( г) _
п-1 . .
Ро г +... + р,
п
П(г - ак)
п
-1 _ £ Ак к_1 г - ак
В окрестности г _ ак уравнение (1.4) теперь можно представить так:
(г - ак )2 ю"+ [ Ак (г - ак) + (г - ак )2(...)] ю'+ +М + М"к( г - ак) + (г - ак )2(...)]ю_ 0
(1.5)
кк
Подставив в (1.5) ю_ (г - акУ\а+Р(г - ак) +...], получим определяющее уравнение
р(р-1) + Акр + Мк _ 0. Для корней р1к и р% этого уравнения имеем следующие соотношения:
рк +рк _ 1 - Ак,
рр _Мк,
(1.6)
следовательно,
р( г) _ £
1 -р? -ркс,
к_1 г - ак
71 _ £
(1 -р-р2к )С
Г п
Ь ^-п-2 п
Р(0 _ 2 -1 £ 1 -рк рр
Г
( ^ Г Г 1 - ак£ С
с-
1 - акС
2 - £ (1 - р - р2)+с (а+а£+...)
у
Если £ _ 0 является точкой голоморфности интегралов, то £ (1 - р1к - рк) _ 2. Если же £ _ 0
- регулярная особая точка, то, обозначив корни определяющего уравнения для нее через р1п+1 и рп+1, получим соотношения Фукса:
£ (1 -рк -р) _ 2
(1.7)
Преобразуем далее функцию q(г):
2
Г
\
2
г
\
г
\
1
1
п
г
2
1
к-1
к _1
к _1
"М = "0' Т +- + =^^|]Г_^ + Й|_2(г)}. (1.8)
П(г - ак)2 П(г - ак) 1к=1 г ак
где Qn-2(г) - многочлен степени не выше п-2. Если п - 2 < 0, то (2п-2(г) = 0. Если г = является точкой голоморфности для интегралов, то
"(г) = "0г Г +^-4 = [¿«^+^ г)1
П(г -ак)2 П(г - ак) 1к=1 г ак
Разлагая (1.8) по степеням г - ак, будем иметь:
"(г) = [(ак - а1)...(ак - ак_1)(ак - ак+1)...(ак - ап)] 1 х
М 1
+-[а0 + а1( г - ак) +...].
. [а0 I а!(г ак)
(г - ак) г - ак Сравнивая это разложение с (1.5), найдем
мк = мк [(ак - ах)...(ак - ак^а - ак+1)...(ак - ап)] \ а из второго равенства (1.6)
Мк =РкРр (ак - а!)...(ак - ак- ак+1)...(ак - ап). Окончательно уравнение класса Фукса приводится к следующему виду:
,, [л 1 -рк-р2к | ,
о + \ >———— !> О +
и=1 г - ак
, р1 Рр (ак - а1)...(ак - ак-1)(ак - ак+1)...(ак - ап) + д (г)| О = 0
(1.9)
к=1 г - а
кП (г - ак)
Теорема доказана.
Для уравнений высших порядков интегралы в окрестности регулярной особой точки г = 0 представляются в следующем виде:
^ = гг [щ,( г) + щ( г)1пг +... + Щ (г)( 1пг)т}, (1.10)
где щ(г),г = 1,...,т, - голоморфные в окрестности точки 0 функции.
Теорема 2. Для того чтобы точка г = 0 была регулярной особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы уравнение было представлено в следующем виде:
гпм>(п) + гп-1Рп-1( г)м>(п-1) +... + Р0(г^ = 0 (1.11)
где Р0(г),г = 0,...,п -1, - голоморфные в окрестности точки г=0 функции.
Доказательство. Действительно, уравнение п-го порядка, все особые точки которого являются регулярными особыми точками, имеет вид
^ п) +_P_!f_ ^ п-1) + У1^ ^ + ...
5
2
П(г - ак) П(г - ак)
, Рп(5-1)(2) П
... + ——(—)— ™=0,
п
(1.12)
П(г-ак)
где р (г) - полиномы степени 1. Для уравнения (1.12) справедливо следующее соотношение Фукса:
- — рк + — РГ= (5 -1) ^. (1.13)
к=1 г=1 г=1 2
Рассмотрим функцию w = g(г, г) = — gvгv+г. В результате подстановки этой функции в левую часть уравнения (1.11) получим:
? V
V=0
га п лг
Р( g (г, г)) = — gv — ггр (г )^-гГ+v.
v=o г=0 й-г
Выражение Р(гр), где р - произвольная константа, будем называть характеристической функцией дифференциального оператора, стоящего в левой части уравнения (1.11). Для характеристической функции имеем:
Р( гр) _ гр £ Р (г )р(р - 1)...(р -' +1) _ гр I(г, р).
' _0
Так как I(г,р) голоморфна в окрестности точки г _ 0, то
I(г, р) _ £ Л (р)гк, Р(гр) _ гр/(г, р) _ £ Л (р)гк+р, (1.14)
к_0 к_0
где функция I (г, р) - целая функция от р.
Рассмотрим функцию (1.10). Так как все рЯ(г) являются голоморфными в окрестности 7=0 функциями, имеем рЯ( г) _ £ gЯvгv ,Я_ 0,..., т. Обозначим через Р(м>) оператор, стоящий в левой части
v_0
уравнения (1.11), и подставим (1.11) в левую часть (1.12):
Р(м>) _ Р{гГ£(^ + 8ь 1пг +... + gту (1пг)т)гv| _
_ £^Р( гг) + glvP( гг1п г) +... + 8„„Р( (1п г )т)}.
у_0
й' й' Дифференцируя равенство (1.14) ' раз по р, получим —тР(гр) _ Р(гр)1пг)') _—г(грI(г,р)).
й р' йг'
Таким образом:
Р( гр (1п г)') _ гр£сЦ('-})(г, р)(1п г), (1.15)
¿_0
где С{ - биноминальные коэффициенты, и
т га
Р(^) _ ££gЛvP(гу+ (1пг)л) _
Я_0у_0
га т Я
_ £ £ £ gяvCjгv+Г1Я1) (г, Г+у)(1п г)_
у_0 я_0 '_0 т га т
_ £ (1п г)1 £ £ gяvCЯгv+Г1(я-1) (г, г +
1_0 v_0 я_1
Если w является интегралом уравнения (1.11), то должны выполняться равенства:
гат
£г"+Г£gяvCЯf <Я-Г)(г,Г + ^ _0,] _0,...т. (1.16)
v_0 я_ 1
Но мы имеем I(к)(г,р) _ £ 1^к)(р)г&. Подставив эти ряды в (1.16) и приравнивая нулю
8 _0
коэффициенты при степенях ъ, получим систему уравнений для определения коэффициентов 8ь . В частности, для коэффициентов 8Я0 будем иметь следующую систему:
8001о(Г) + 810/0(Г) +... + gm0f:m)(') _0, 81о10(Г) +... + mgm0f0(m-1)(r) _0,
8„ю1о (г) _
Эта система должна иметь нетривиальное решение, поэтому ее определитель должен обращаться в нуль, но он равен [ 1о (г)]т, поэтому г должно быть корнем определяющего уравнения
п
1о(г) = £Р(0)г(г- 1)...(г-' +1) _0. Теорема доказана.
' _0
Здесь также можно исследовать тот случай, когда все разности между всевозможными парами корней определяющего уравнения не являются целыми числами. В этом случае уравнение (1.11) имеет полную
систему линейно-независимых интегралов вида fk(z) = zpkgk(z),k = 1,...,n, где gk(z) - голоморфные в окрестности z=0 функции, а рк - корни определяющего уравнения. Теорема доказана.
Заключение
Таким образом, доказаны теоремы о существовании интегралов с регулярной особой точкой для дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков.
Литература
1. Абдрахманов А.М. Эллиптические системы, вырождающиеся в точке // Дифференциальные уравнения. 1977. № 1, т. 13. С. 267-284.
2. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений II порядка. М.: Наука, 1966. 204 с.
3. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.
4. Янушаускас А. Применение вырождающихся уравнений к изучению задачи о наклонной производной // Дифференциальные уравнения. 1969. № 1, т. 5, С.81-90.
5. Янушаускас А. Теоремы вырождающихся эллиптических уравнений // Сиб. мат. журнал. 1974. № 6, т. 15. С. 1394-1405.
Кибирев Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, тел. (8301-2) 217573, dekanat imi@bsu.ru
Kibirev Vladimir Vasilievich, candidate of physical and mathematical sciences, the professor of the applied mathematics department of the Buryat State University.
