ЗАДАЧА КЕЛДЫША ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ТРЕМЯ СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 34. №1. C. 29-46. ISSN 2079-6641

УДК 517.956.6 Научная статья

Задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами

К. Т. Каримов

Ферганский государственный университет, 150100, г. Фергана, ул. Мураббийлар, 19 E-mail: karimovk80@mail.ru

В данной статье изучена задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в прямоугольном параллелепипеде. На основании свойства полноты систем собственных функций двух одномерных спектральных задач, доказана теорема единственности. Решение поставленной задачи построено в виде суммы двойного ряда Фурье-Бесселя.

Ключевые слова: задача Келдыша, уравнение смешанного типа, спектральный метод, сингулярный коэффициент, функция Бесселя

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-29-46

Поступила в редакцию: 20.01.2021 В окончательном варианте: 22.02.2021

Для цитирования. Каримов К. Т. Задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 34. № 1. C. 29-46. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-29-46

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Каримов К. Т., 2021

Введение. Постановка задачи

Известно, что на плоскости задача Дирихле для вырождающихся уравнений и уравнений с сингулярными коэффициентами эллиптического типа не всегда будет корректно поставленной. Для таких дифференциальных уравнений наряду с задачей Дирихле можно изучить другие задачи, которые зависят от диапазона изменения параметров уравнения. Например, М. В. Келдыш впервые показал [1], что постановка задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода

ихх + ymUyy + a (x, y) ux + b (x, y) Uy + c (x, y) и = 0 (m > 0) (1)

в области D, ограниченной отрезком AB оси x и простой гладкой кривой Г с концами в точках A и B, лежащей в полуплоскости y > 0, зависит от m и поведения b (x, y) при y ^ 0. В одних случаях граничное условие можно задавать на всей границе области D, в других — на части границы, совпадающей с линией параболического вырождения, и (x,y) освобождается от граничного условия, т.е. и (x,y) надо задавать лишь на Г. Это объясняется тем, что решение и(x,y) уравнения (1) и его производная

Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.

uy могут, вообще говоря, обращаться в бесконечность на линии параболического вырождения. Так, если решения уравнения (1) не все остаются ограниченными при y ^ 0, то задача Дирихле, не имеет решения в области D. В этих случаях оказывается разрешимой следующая задача.

Задача E. Найти в области D регулярное решение уравнения (1), остающееся ограниченным при y ^ 0 и принимающее заданные непрерывные значения ф лишь на кривой Г.

Опираясь на результаты, полученные в работе [1], С.П.Пулькиным [3] исследована задача с неполными граничными данными, т.е. следующая задача типа E :

Задача NE. Найти в области Di, ограниченной кривой Г1, лежащей в первом квадранте, соединяющей точки A (1,0), B (0, b), и отрезками OB, OA регулярное решение уравнения

Р

Uxx + sgny ■ Uyy + Ux = 0, p > 1, (2)

x

удовлетворяющее условиям u|r = ф(s) и uy|OA = v (x), где b = const > 0, O(0,0).

Работа [3] является продолжением работы [3], где изучена задача типа E для уравнения (2) в области D1, в которой на линии сингулярности требуется ограниченность решения уравнения, а в остальной части границы задается третье граничное условие и условие Неймана.

Отметим также, что аналогичные задачи для эллиптического уравнения с двумя сингулярными коэффициентами приведены в монографии [4].

Перечисленные выше задачи в настоящее время получили название «Задача Келдыша». Изучению их в смешанной области плоскости посвящены, например, работы [5] - [7] и др. Для трехмерного уравнения эллиптического и смешанного типа с сингулярными коэффициентами подобные задачи изучены в работах [8] -[13]. В данной работе будет поставлена и исследована задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в прямоугольном параллелепипеде. Пусть Q = {(x,y,z) : 0 < x < 1, —a < y < b, 0 < z < 1}, где a,b e R, причем a > 0, b > 0. В области П рассмотрим трехмерное уравнение с тремя сингулярными коэффициентами

2а 2ß 2у

-Mx + — My +---

^ ¿J Iß ¿J J

Mxx + (sgny) Myy + Mzz +--Mx +77My +--Mz = 0, (3)

где а,в, У е Я, причем 1/2 < а, у < |в | < 1/2.

Уравнение (3) в области П принадлежит смешанному типу, а именно: в области П+ = П П {у > 0}- эллиптическому типу, а в области П- = П П {у < 0}-гиперболическому типу. Плоскости х = 0, у = 0 и г = 0 являются плоскостями сингулярности коэффициентов уравнения, а среди них у = 0— есть плоскость изменения типа.

Задача Келдыша в ограниченных трехмерных областях формулируется следующим образом.

Задача E. Найти ограниченную при х ^ 0, г ^ 0 функцию

и (х,у,г) е С (П\ (хг = 0)) П С2 (П+ и П-), удовлетворяющую в области П+ и П- уравнению (3) и краевым условиям

и (1, у, г) = 0, у е [-а, Ь], г е [0,1]; (4)

и (x, y, 1)= 0, y е [—a, b], x e [0,1]; (5)

и (x, b, z)= fi (x, z), x e [0,1], z E [0,1]; (6)

и (x, -a, z) = f2 (x, z), x e [0,1], z e [0,1], (7)

а также условию склеивания вида

lim (-y)2ß Uy (x,y,z) = lim y2eUy (x,y,z), x e [0,1], z E [0,1]; (8)

y^—0 y^+0

где f1 (x,z), f2 (x,z) — заданные непрерывные функции.

Построение частных решений уравнения (1)

Для получения решения Задачи E, формально применим метод Фурье [14]. Сначала найдем нетривиальные в А\ (xz = 0) решения уравнения (3), ограниченные при x ^ 0, z ^ 0 и удовлетворяющие условиям (4), (5). Исследование этой задачи опирается на ниже доказываемую лемму.

Лемма 1. a) Если а > 1/2, а функция и (x,y, z) E C (А\ (x = 0)) П C2 (А+ U А—) — есть ограниченное при x ^ 0 решение уравнения (3), то lim [(д/dx) и (x,y,z)] = 0.

b) Если у > 1/2, а функция и (x,y, z) E C (Ä\ (z = 0)) П C2 (А+ U А-) — есть ограниченное при z ^ 0 решение уравнения (1), то lim [(д/дz) и (x,y, z)] = 0.

Доказательство. Разделив переменные по формуле и (x,y,z) = W (x,z) Q (y), из уравнения (1), получим

(sgny) Q" (y) + ^Q (y) — XQ (y) = 0, y E (—a, 0) U (0, b); (9)

2а 2у

+ +— + — + АW = 0, х е (0,1), г е (0,1), (10)

х г

где А е ^ — константа разделения.

Путем разделения переменных W (х,г) = X (х) X (г), уравнения (10) также распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения:

2а

X" (х) + — X' (х) + дХ (х) = 0,х е (0,1); (11)

х

Z" (z) + —Z' (z) + (X — д) Z (z) = 0, z E (0,1), (12)

z

где д E R — константа разделения.

В силу условия леммы 1, и (x,y, z) = X (x) Q (y) Z (z) — ограниченная в Ä функция. Из процесса получения уравнения (11) и (12) следует, что для доказательства леммы 1, достаточно показать, что функции X (x) и Z (z) при x ^ 0 и z ^ 0 ограничены и

lim X' (x)= 0, (13)

lim Z' (z) = 0. (14)

Докажем это. Пусть д > 0. Найдем общее решение уравнения (11). Производя замену X (х) = (t/^д)1/2 аp (t), где t = ^Дх, из (11) получим уравнение Бесселя

[15]:

12p'' (t) + tp' (t) + {t2 - [a - (1/2)]2}p (t) = 0. (15)

Принимая во внимание вид общего решения [15] уравнения (15) и введенные обозначения, получим общее решение уравнения (11) в виде

X (х) = diX1/2-aJa-1/2 (^Д*) + d2X1/2-aYa-1/2 (VjÜ*), (16)

здесь ¿1 и ¿2 — произвольные постоянные, J/ (х) и Г/ (х) — функция Бесселя порядка l первого и второго рода [15] соответственно. В силу a > 1/2, из (16) следует, что ограниченное при х ^ 0 решение определяется равенством

X (х) = ¿1х1/2-а Ja-1/2 (ЛДх). (17)

Вычисляя производную от функции (17) по формуле [15]

¿х (х)] = ±х±уJvТ1 (х), (18)

имеем X' (х) = -^Дх1/2 aJa+1/2 (-^Дх) . Отсюда следует, что limX' (х) = 0.

Пусть теперь д = 0. Тогда общее решение уравнения (11) при a > 1/2 и a = 1/2 соответственно имеет вид X (х) = ¿3х1-^ + ¿4 и X (х) = ¿3lnх + ¿4, где ¿3 и ¿4-произвольные постоянные. Из этих формул легко следует, что ограниченным при х ^ 0 решением уравнения (11) является функция X (х) = d4, откуда сразу следует, что lim X' (х) = 0.

Предположим теперь д < 0. В уравнении (11) произведем замену

X (х) = (t/V-Д)1/2-a p (t), где t = ^-Дх. В результате получим уравнение Бесселя вида [15]

12p'' (t) + tp' (t) - [t2 + (a - 1/2)2] p (t) = 0.

Принимая во внимание вид общего решения [15] этого уравнения и введенные обозначения, получим общее решение уравнения (11) в виде

X (х) = ¿5х1/2-aIa-1/2 ( V-Дх) + ¿бх^2^Ka-1/2 ( V-Дх) ,

здесь ¿5 и ¿б — произвольные постоянные, Ii (х) и К/ (х) — функция Бесселя мнимого аргумента и функция Макдональда [15] соответственно. В силу a > 1/2 из последнего равенства следует, что ограниченное при х ^ 0 решение определяется равенством X (х) = ¿5х1/2^Ia-1/2 (V-Дх). Из этого получим X' (х) = ¿5 V-Дх1/2^Ia+1/2 (У=Дх). Отсюда легко следует, что limX' (х) = 0. Часть a) леммы 1 доказана.

Часть Ь) леммы 1 доказывается аналогично. По ходу её доказательства устанавливается, что ограниченные при г ^ 0 решения уравнения (12) имеют вид

X (г) = ¿7г1/2-у/у-1/2 (уА — дг) , при А > д, (19)

X(г) = ¿8, при А = д, X (г)= ¿9г1/2—г/у—1/2 (у/А - дг) , при А < д,

где , ] = 7,9 — произвольные постоянные. Лемма 1 полностью доказана. □ Из однородных условий (4) и (5) для уравнений (11) и (12) вытекают условия

X (1)= 0, (20)

X (1) = 0. (21)

Следовательно, для того, чтобы найти решения задачи (3)-(5), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (9), (11) и (12), причем решения уравнений (11) и (12) должны удовлетворять условиям {IX(+0)| < +<*, (18)} и {IX(+0)| < +<*>, (19)}, где ¥ (+0) = Иш ¥ (х). Из вида найденных выше ограниченных решений уравнений

(11) и (12) легко следует, что при д < 0 и А < д нетривиальные решения уравнений (11) и (12), удовлетворяющие условиям соответственно (20) и (21) не существует. Поэтому воспользуемся решениями (17) и (19). Подставляя (17) и (19) соответственно в (20) и (21), имеем

За-1/2 Ш= 0, (22)

Зу—1/2 (у/А-д) = 0. (23)

3-1/2 ^

Известно, что при I > —1 функция Бесселя // (г) имеет счетное число нулей, причем все они вещественны и с попарно противоположными знаками [15]. Так как а — 1/2 > —1, то уравнения (22) имеет счетное число вещественных корней. Обозначая через оп — п-ый положительный корень уравнения (22), получим те значения параметра д, при которых существуют нетривиальные решения задачи (т.е. собственные значения задачи) {(11), IX (+0)| < +<*>, (20)}: дп = о2, п е N.

Полагая в (17) д = дп и ¿1 = 1, получим нетривиальные решения (собственные функции) задачи {(11), IX(+0)| < (20)}:

Ип (х) = х1/2—а3а—1/2 (опх), п е N. (24)

Для удобства дальнейших вычислений данную систему функций нормируем:

Хп(х) = Xп (х)!Ц^Ц^^др (25)

1/2

где НХи||Г2р(0,1)

L2iP(0,1) = (/Р (x)Xl (x)dx^j = \J1/2+a (°n)\/V2, p (x)= x2a

Согласно работе [15], система функций (25) ортогональна и полна в пространстве Ь2 (0,1) с весом х2а.

Теперь исследуем задачи {(10), IX(+0)| < +<*, (19)} при д = дп. Обозначая через $кт— т-ый положительный корень уравнения (23) при п = к, получим те значения

параметра X, при которых существуют нетривиальные решения задачи {(12), £ (+0)| < (21)}: Хпт = ои2 + 5И2Ш, п,т е N.

Полагая в (19) X = Хпт и ¿7 = 1, находим нетривиальные решения (собственные функции) задачи {(12), |2(+0)| < (21)} в виде

Зпт (г) = г1/2-у/у-1/2 (5птг), п, т е N. (26)

Отсюда, нормируя, получаем ортонормальную и полную в пространстве ¿2 (0,1) с весом г2г систему собственных функций:

^пт (г) = ^пт (г) 111 -2пт 11 ¿¿2 д (0 1), (27)

~ ( 1 ~ \ 1/2 где Н^ят^^) = ( /д(г)^т (г)¿г! = |/1/2+у(5пт)| /л/2, д(г) = г2г.

Отметим, что для собственных значений ои при достаточно больших п справедлива асимптотическая формула [16, с. 317] ои = пп + ^ (а — п — ^п + = пп + ОП — 2 + 0(п—-1). В этой формуле 0(п—-1) [16, С.15] означает такую величину, отношение которой к п—1 при беспредельном возрастании п остается меньше некоторой постоянной. Для вычисления членов более высокого порядка положим оп ~ пп. Для собственных значений 5пт и Хпт (для каждого фиксированного п е N) при достаточно больших т справедливы асимптотические формулы:

5Ит ~ пт, Хпт ~ (пт)2. (28)

Полагая в уравнение (9) X = Х„т, найдем общее решения этого уравнении при у > 0 и у < 0 для каждой пары (п, т) натуральных п и т:

Q (y) = / anmy1/2 ^1/2-0 (V^n^y) + Ьишу1/2 вK^-ß (V^y) , У > 0,

Пт 1 (-у)1/2-в [c„mJ1/2-e (-V^n^y) + ¿nmY1/2-e (-V^y)] , У < 0,

(29)

здесь anm, bnm, cnm и ¿nm — произвольные постоянные.

Теперь в (29) на основании и (х,y,z) е C (Й\ (хг = 0)) и условия склеивания (8) подберем постоянные anm, bnm, cnm и ¿nm так, чтобы выполнялись условия

Qnm (+0) = Qnm (-0), lim (-y)2e Qnm (у) = lim y2eQnm (y) . (30)

y—-0 y—^+0

Из (29) следует, что первое из равенств (30) выполняется, если ¿nm = -nbnm/2 при любых anm и cnm, а второе равенство имеет место при cnm = (nbnm/2) ctg (п/4 - ßn/2) - anm и ¿nm = -nbnm/2. С учетом последных равенств, функции из (29) примут вид

Q (y) I anmy1/2-/3l1/2-e (Vinmy) +bnmy1/2-eK^-ß (V^y), y > 0; (31)

nm (-y)1/2-e [ anmJ1/2-в (-VW) + bnm^l/2-ß (-V^^)] , у < 0,

где ?1/2-0 (-V&) = [п/(2cosвп)] J1/2-e (-V&) + Je-1/2 (-V&)].

Единственность решения

Теорема. Если существует решение u (x,y, z) задачи Е, то оно единственно тогда и только тогда, когда

Апт Ь) = h/2-P (VAnmb^j Yl/2-0 (уKm^J + Kl/2-0 (Vhm^j Л/2-0 ^V= 0

(32)

при всех n, m e N.

Доказательство. Пусть u (x,y,z) — решение задачи Е. Следуя работе [10], рассмотрим следующую функцию:

i i

,(y) = J J u (x, y, z) x2aXn (x) z2yZnm (z) dxdz, m, n e N. (33)

l l

®nm (y) = J J u (x, У, z) x2"Xn (x) z2' Znm (z) dxdz, m, n 0 0

На основании (33), введем функции

1-£l 1-£2

(у)= \ / и (х,У, г) х2аXn (х) z2yXnm (г) йхйг, п, т е N, (34)

£1 62

где 61 и 62 — достаточно малые положительные числа. Очевидно, что Иш ап^2 (у) =

61,62 ^0

Опт (У) .

Дифференцируем равенство (34) по у при у > 0 и у < 0:

1—61 1—62

№62 (у)]' = \ I иух2аXn (х) z2YXnm (г) ¿хёг, 61 62

1 — 61 1 — 62

№62 (у)]'' = | У иуух2аXn (х) z2YXnm (г) ¿хйг, п, т е N. (35)

61 62

Учитывая уравнение (3), из (35), имеем

1—611—62

[апт62 (у)]'' = — (*ёпу) I У (^ихх + их + игг + у Щ + x2аXn (х) z2yXmn (г) ¿хйг

= - (sgny)

1—£2 / 1-ei а \

J I J Uxxx2aXn (x) dx + J Uxx2aXn (x) dx I z2yZnm (z) dz + £2 \ ei ei

1—e1 / 1—e2 1—e2

j I J Uzzz2yZnm (z) dz + j yUzz2yZnm (z) dz 1 x2«Xn (x) dz + ^ [иЩе (y)]'

£1 \ £2 £2

Преобразуем следующие интегралы:

l-£l _ x=l-e f Uxxx2a Xn (x) dx = Uxx2a Xn (x) | x=l-el - u [x2a Xn (x) ]fX= £l +

J x—£l

ei

1-E1

+ их £1 1-61

2a

2a ( )

Xn' (х) + 2—X^ (х) + (4a2 - 2a) x-2Xn (х) х

¿х,

У — uXx2a Xn (х) ¿х = 2ax2a 1Xn (х) и

|х=1-61 1х=£1

£1

1-61

их

2a

£1

2a

—X^ (х) + (4a2 - 2a) x-2Xn (х) х

¿х.

На основании полученных выше равенств, имеем

1-61

1-61

J Uxxx2aXn (х) ¿х + J Uxx2aXn (х) ¿х =

61

61

1-61

{[uxXn (х) - uXn (х)] x2a} |x=1- 61 - a2 J ux2aXn (x) ¿x.

(37)

61

Аналогично находим 1—£2

1-62.

J UzzZ2rZnm (z) ¿Z + J UzZ2YZnm (z) ¿Z =

62

62

1-62

= {[UzZnm (z) - Uznm (z)] z2y} ^ 6' - ^ / Uz^nm (z) ¿z.

(38)

62

Подставляя (37) и (38) в равенство (36), получим

[unm62 (у)]'' = - (sgny)

1-62

62

1-61

[UxXn (х) - UXn (х)] х

2a !х=1-61 7 —

х=61

J Ux2aXn (x) ¿x I x

1-61

xz2YZn m (z) ¿z + I UzZnm (z) - UZnnm (z^ z' 61

2y|z=1-62 _ 82 lz=62 °nm

61 1-62

J Uz2YZnm (z) ¿z I X

62

x x2aXn (x) ¿x + -y- [Unm62 (y)]

(39)

Теперь из (39), переходя к пределу при £1 ^ 0, £2 ^ 0 и учитывая условия (4), (5), IX(+0)| < X(1) = 0, (1) = —^2ои, ^ (+0)| < +-, ^т (1) = 0, ^(1) = — л/25ит и условия леммы 1, получим, что, юпт (у) удовлетворяет дифференциальному уравнению ^пу) ю^п (у) + 2вЮт(у) — ХтстЮтст(у) = 0, у е (—а,0)и(0,Ь), т.е. уравнения (9). Следовательно юИт (у) = бит (у).

Теперь, учитывая условия (6) и (7), из (33) находим

1 1

; (b) = J j /1 (х, z) x2aXn (x) z2YZnm (z) ¿xrfz = /1nm,

(40)

1 1

юиш (-а) = J J /2 (х, г) х2аХи (х) (г) ¿х^г = /2иш. (41)

о о

Учитывая равенство юиш (у) = бит (у) и подставляя (31) в условия (40) и (41), получим

аиш11/2—в ("" ЬишК1/2—в (= /1ишЬв— ^^ (42)

Определителем системы (42) являются выражения Аиш (а,Ь), которое задается формулой (32). Если Аиш (а,Ь) = 0, то система (42) имеет единственное решение

—

Аиш (а, Ь) ,

/1ишЬв —1/2^1/2—в + /2ишав —1/2^1/2—в

Ьиш = Г 7 тт .

Аиш (а, Ь)

Принимая во внимание равенства (32), юиш(у) = биш(у) и последнее равенство, окончательно находим

{Лищ(у/Ь)1/2—вАиш(а,у)+/2«ш(у/а)1/2—вЛиш(у,Ь) ... гп. ы

А„ш(а,Ь) , у 6 [0;Ь] ,

1/2 в 1/2 в (43)

/1вш(—у/Ь) ' вВим(а,—у)+/2иш(—у/а) ' вА„ш(—у,Ь) л, г _ П1 АИЩ(а2) , у 6 [—а, 0] .

где

Аиш (У, Ь) = 11 /2—в в (/&) — К1/2—в (/^ита^ 11/2—в (/&) ,

Виш —у) = Л/2—в (^ЯИш^ ?1/2—в ( — л/^яш^ — /2—в (/&)'1/2—в (— ^.

Пусть /у (х,г) = 0, ] = 1,2. Тогда из (40), (41) и (43) следует, что юиш (у) = 0 при

1 1

всех и,ш 6 N и из 33 имеем //х2аг2ги (х,у,г)Хи (х) 2иш (г) ^х^г = 0, ш,и 6 N. Отсюда,

00

в силу полноты (для каждого и 6 N системы функций (27) в пространстве Ь2 (0,1)

1

с весом г2г, следует /х2аг2ги (х,у,г)Хи (х) ^х = 0, и 6 N. Если учесть полноту системы

0

функций (25) в пространстве Ь2 (0,1) с весом х2а, то из последнего равенства вытекает, что и (х,у,г) = 0 для всех х 6 [0,1] и при любом у 6 [—а, Ь], г 6 [0,1]. Отсюда следует утверждения теоремы 1. Пусть при некоторых а, Ь и и = /, ш = к, где /,к 6 N, нарушено условие (32), т.е. А/к (а,Ь) = 0. Тогда однородная задача E [т.е. при /у (х,г) = 0] имеет нетривиальное решение

Г А/к (а, у) у2вX/ (х) (г), у 6 [0, Ь], и/к (х, у, г) = < (44)

[ А/к (—у, Ь) (—у)2в X/ (х) 2/к (г), у 6 [—а, 0],

где X/ (х) и 2/к (г) находится по формуле (24) и (26) соответственно. □

Построение и обоснование решения задачи Е

Решение задачи E при выполнении условий (30) будем искать формально в виде суммы двойного ряда Фурье-Бесселя:

и (ХУ1)= У У 4Хп (х) 1пт ^ { а+т (у), У - 0 1 (45)

( п=1 т=1 [3Х/2+а (Оп) /1/2+г (8пт)} Н Ю-т (у) , у < 0 /'

ГЖ а+т (у) = РытРПтт (У) + Р2птрт (У) , ®-т (У) = Р2птрт (У) + р1птРпт (У) ,

1 У1/2-в Апт (а,У) р2 (Л У1/2-вАпт (У,Ь) ^

Пт (У = Ь1/2-в Апт (а,Ь) ' ^ (У) = а1/2-в Апт М ' У 6 [0 ' ^

рз р4 (У) (-У)1/2-ввпт(а,-У) г а 0]

Рпт (У)= а1/2-в Апт (а,Ь) ,Рпт (У)= Ь1/2-в Апт (а,Ь) ,У 6 [-а'0] '

а функции Хп (х), 2пт (1) и коэффициенты ¥]пт, ] = 1,2 определяются соответственно формулами (24), (26) и

1 1

Р]пт = ! JI] (х х / + 3а - 1/2 (Опх)г1/2+г3у-1/2 (8пт1)<х<г, ] = 1,2 , п,т 6 N. (46) 0 0

Каждый член ряда (45) удовлетворяет условиям (4)-(8). Для обоснования существования решения Задачи E надо показать существование числа а,Ь > 0, при котором выражение Апт (а, Ь) при достаточно больших т отделено от нуля с соответствующей асимптотикой. Рассмотрим выражение

Апт ^ Ь) = /1 /2-е ( л/~АптЬ1 Апт (а,Ь), (47)

где Апт (a, Ь) = [31/2-в К1/2-е //1 /2-е )^птЬ) + .

Известно [17, с.173], что функция К1/2-^\/ХптЬ) при достаточно больших п

и т строго убывает по закону /^Хпт) 1/2 в-^™, функция /1/2-в /^КтЬ) строго

возрастает по формуле /\/Хпт) 1)2в^™, а функция 31/2-в /^Алта) - ограничена, поэтому величина 31/2-^\/Хпта)К1/2-в (VАптЬ))А/2-в (лАятЬ) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем ?[/2-в (л/\та) при достаточно больших п и т. Поэтому рассмотрим только функцию

[(2 ео8 вп)/п] /2—в ( ) = 31/2-в ( У/Апта) + 3в-1/2 ( у/Апта) .

Эта функция имеет счетное множество нулей [15]. Следовательно, Апт (а, Ь) при некоторых а может иметь счетное множество нулей независимо от Ь > 0. Поскольку а — положительное число, то оно может принимать значения, сколь угодно близкие к нулям Апт (а, Ь). Поэтому, при каждом значении п 6 N и больших т выражение (Хпт)1/4Апт (а,Ь) может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема «малых знаменателей» [20]. Чтобы исключить такую ситуацию, необходимо показать

существование a > 0 и Co = const > 0 таких, что при любом b > 0 и при каждом значении n е N и больших m справедлива оценка

|VmA„m (a, b)|> Co > 0. (48)

При фиксированных n е N и достаточно больших m справедлива (28) и Anm (a,b) ~ Am (a). На основании асимптотической формулы для функции Jv (£) [17]

«) « (|)'/2OOS (« - f - 4) ,« - -, (49)

имеем

VmAm (a) = A cos ^nma — ^ = A sin ^nma + ^ , (50)

где A = 2 ya cos (¿Л — 4

Если, например, a = p е N, то из (50) получаем

~ п A

| \fmKm (p) | = A sin — = > C0 > 0, C0 = const. 4 v2

Пусть теперь a = г'/j — дробное число, где (i, j) = 1, (4, j) = 1. Тогда

i i— "к /• / л1 , • (m' 1 IVrnAm(г/j)| = A sin— + 4

(51)

Разделим тг на j с остатком: тг = sj + r, здесь s, r е N U {0}, 0 < r < j. Выражение (50) примет вид

sin Г + 4) > Со > 0.

I VrnAm (г'/ j) I = A

Таким образом, доказана

Лемма 2. Если выполнено одно из условий: 1) а— любое натуральное число; 2) а = г'/)— любое дробное число, где (г',)) = 1, (4,)) = 1, то при больших т справедлива оценка (48).

Теперь докажем, что ряды из (45) и ряды (мхх + (2а/х) их), (иуу + (2в/у) иу), (и^ + (2у/г) иг), полученные из него дифференцированием, сходятся абсолютно и равномерно в области их рассмотрения, тогда его сумма будет решением задачи E. При этом нам понадобятся ниже доказуемые леммы.

Лемма 3. Для достаточно больших натуральных п и т справедливы следующие оценки:

2 Ci 2 C2

Jl/2+a (ön) — ~' Jl/2+y (önm) — ö , (52)

О« Owm

где С1, С2 — некоторые положительные постоянные.

Доказательство. Так как оп (п е И) есть нули функции /а—1/2 (х), то справедливо 1

равенство /х/^—1/2 (опх) ^х = //2+а (оп) /2. Из этого равенства следует, что

1 2 оп

/2/2+а (оп) = 2 \х/2 —1/2 (оПх) ^х = 0^2 / /а—1/2 (<§ ) ^ . (53)

0 п 0

В силу асимптотической формулы (49), существует некоторые достаточно большое число C3 > 0 такое, что £ > C3 > 0, справедливо равенство

£ Jl-1/2 (S) « (2/п) sin2 - (ап) /2).

Тогда, если предположить, что on — достаточно большое число и on > 2 (C3 + 1), то

§ J2 (§) d§ > / § Jä-1/2 (§) d§ > 2 I sin2 (§ - ^ ) d§ =

1/2'

1/2

C3

Сз

= 1 On - 1 [C3 + cos (on + Сз - ап) sin (on - C3)] > т1 On. п п 2п

Если учесть это, то из (53) следует первая оценка из (52). Аналогично доказывается

вторая оценка из (52). Лемма 3 доказана. □

Лемма 4. Для всех x е [0,1] и при достаточно больших n справедливы

следующие оценки:

\Xn (x) \< C4, (54)

x-2 а [x2 аX (x)] < С4 (On/a) ,

(55)

где С4 — некоторое положительное постоянное.

Доказательство. Очевидно, что Хп (х) е С [0,1] и для достаточно больших п справедлива асимптотическая формула (49). Поэтому справедлива оценка (54).

Используя формулу (18), из (24) найдем х2 аХП (х) = —опх1/2+а/1/2+а(°Пх). Вычислим производную первого порядка этой функции по формуле (16). Затем, умножая её на х-2 а, получим х-2 а [х2 аХП (х)]' = = —а2х1/2— а/а—1/2 (опх) = —о2ХП (х). Отсюда, в силу (54), следует справедливость оценки (55). □ Аналогично доказывается следующая

Лемма 5. Для всех I е [0,1] и натуральных п при достаточно больших т справедливы следующие оценки:

\Znm (z)| < С5,

(56)

Z-2Y [z2^ (z)] < C5¿n2m,

(57)

где С5 — некоторое положительное постоянное.

Лемма 6. Пусть а удовлетворяет условиям леммы 2. Тогда для достаточно больших т (при каждом п е N) справедливы оценки

\P¡m (у)| < Сб,y е [0,b], j = 1,2,

(58)

-2ß d dy

'f d^lm (У)

< XnmC6,y е (0,b), j = 1,2,

\Pjm (y)\ < C7,y е [-a,0], j = 3,4,

-2ß

d_ dy

y2ß ij (y)

< KmC7,y е (-a, 0), j = 3,4,

(59)

(60)

(61)

n

n

n

y

y

где С6, С7 — произвольные постоянные.

Рассмотрим функцию рт (у) и из (32) и (47), получим

IPm Ü0|<

y1/2 ß Ki/2 - ^v^nmy) vmji/2 - ^v^nrn«

b1/2 ßIi/2-ß Vm-W (a, b)

+

+

y1/2 ßIi/2 -ß (VÄÜröy) VmYii/2-ß (V^a)

ь1/2 в 11/2—в (лАПть) ^т^^пт (а, ь) Отсюда при у е [0, Ь] и при каждом значении п е N и достаточно больших т с учетом леммы 2, а также формулам у1/2—в/1/2—в (^пИу) / Ь1/2—в/1/2—в < 1, (49)

и асимптотической формулы [17]

Iv (z)

(2п z)

1/2

, Kv (z) »(I)

1/2

e z, z ^

(62)

будем иметь |р|т (у)| — С Д1^ + §0 - С1, здесь С7-, 7 = 1,2 — положительные постоянные. 0

Непосредственная проверка показывает, что функция рт (у) при у е (0, Ь) удовлетворяет уравнению (9). Тогда можно переписать

2ß

d dy

y2ß (y)

— (y)

Отсюда, в силу (58) при 7 = 1, следует справедливость оценки (59) при 7 = 1. Аналогично, доказываются оценки (58) и (59) при 7 = 2. Теперь рассмотрим функцию рт (у) и с учетом (32) и (47) имеем

|Pm (У)| <

vm (-y)1/2-ß YYi/2-ß (-У))

b1/2-ß VmÄnm (a, b)

+

+

vm(-y)1/2 ß ^1/2-ß (v^nm(-y)) K1/2-ß (v^nmb)

ь1/2 в/1/2—в (v/\йb) ^тАпт (а, Ь) Отсюда при у е [—а, 0] и при каждом значении п е N и достаточно больших т с учетом леммы 2, а также формулам (49) и (62) будем иметь |РпЙ (у)| — С3 + еС4™* — С2, здесь С/, 7 = 3,4 — положительные постоянные.

Здесь, также непосредственной проверкой можно показать, что функция рт(у) при у е (—а,0) удовлетворяет уравнению (9). Тогда, можно переписать

2ß

d_ dy

y2ß АрЗ (y)

y dyPnm (y)

— ^nmPnm (y)

Отсюда, в силу (60) при 7 = 1, следует справедливость оценки (61) при 7 = 1. Аналогично, доказываются оценки (60) и (61) при 7 = 2. Лемма 7. Пусть выполнены следующие условия:

f (0, z) | < fj (1, z) — 0, |fj (x, 0) | < +-, fj (x, 1) — 0, j — 1,2,

(63)

z

e

y

y

д2

д хд z

[x2az2YfjXZ(x,z)] е C([0,1] X [0,1]), j = 1,2,

(64)

\fj (0, z)| < +<, fj (1, z) = 0, \fj (x, 0)| < +<, fj (x, 1) = 0, j = 1,2, (65)

д2

д хд z

[x2az2Yfjxz(x,z)] е C([0,1] x [0,1]), j = 1,2,

1 1

0 0

x-1/2-a z-1/2-r

д2

д xд z

[x2 az2Yf jxz (x, z)]

dxdz < +<, j = 1,2.

(66) (67)

где /(х, г) = х-2 аг-2[х2 а^/м (х, г)].

Тогда для любого фиксированного п при больших т справедлива оценка

\ Fjnm \ ^

Cg

jnm\ - O4+еэ с4+£4 un unm

(68)

где £3, е4, С8 — некоторые положительные постоянные.

Доказательство. На основании формул (16) коэффициенты которые

задаются формулой (46), представимы в виде

Fjnm —

1

1 1

jnm о

OnOn

fj(x,z) Tx

x1/2+aJ1/2+ a ( —

a

00

d_ dz

-1/2+rj

z' J1/2+Y

Onmz

dxdz.

Отсюда, применяя правило интегрирования по частям четыре раза и принимая во внимание условия (63)-(66), получим

Fjnm = O 4O 4 n nm

к/ ¡Ш [х2"г2'/хг(х,ф1/2+»Л,-,/2 (^)-,/2 (^)

0 0 (69)

Известно [18], что если /(х) - абсолютно интегрируемая функция на [0,1], то справедливо равенство

lim / xf (x) Jp (Xkx) dx = 0,

(70)

здесь Хк (к е N — занумерованные в порядке возрастания положительные нули функции Jp (х) (р > -1).

Так как выполнено условие (67), то, в силу (70), имеет место равенство

lim

n, m—t <

])шг [x2az2f z (x, z)] x1/2+aJa-1/2 (Ox) z'/2+YJy-1/2 () dxdz = 0.

00

В силу последнего, из (69) при достаточно больших п и т, следует оценка (68). Лемма 6 доказана. □

c

Согласно работе [18, с. 276, формула (4.3)] для достаточно больших п справедливо неравенство

1/оп — 2/п. (71)

Аналогично, для Уп е N при достаточно больших натуральных т справедливо неравенство

1/йт — 2/т. (72)

Теперь переходим к исследованию сходимости рядов. Из (45) почленным дифференцированием формально составим ряды:

2а ~ ^ 4х—2а [х2аХХп (х)]'2Ит (г) Г (у) , у > 0

u + ^u — у у L ^WJ ^nmv^ J шиш Ш ^ > и I (73)

ХХ x x n—1 m—1 [J1/2+a (О.) Л/2+Г («П (y) , y < 0 У V '

2ß

(Sgny) uyy + |yy uy — у у

4Xn (x) ZZnm (z)

= 1 m—1 [J1/2+a (on) J1/2+y I y

2ß 2ß

y2ß ««(у))' y2ß Km (у))'

, У > 0 , y < 0

u + 2Yu — ff 4XXn (x) z-2Y [z2^ m (z) Г <« (y) , У > 0

uzz z uz n—1 «¿1 [j1 /2+a (on) J1/2+y (Ы] H (y) , y < 0 / ,

(74)

(75)

В силу оценок (52), (54), (56), (58), (60), (68) и (72), ряд (45) при любом (х,у,г) е А и достаточно больших п, т мажорируется числовым рядом

II

n—1m—1

C9

3+£з «3+е4

n

а ряды (73)-(75) соответственно в силу оценок {(52), (55), (56),(58),(60), (68),(71), (72)}, {(52), (54), (56),(59),(61),(68),(71), (72)}, {(52), (54), (57), (58), (60), (68), (71), (72)} при любом (х,у,г) на каждом компакте К с А+ и А — мажорируются соответственно числовыми рядами

Ск

1 1 n1+£3 m3+£4' .. .. n—1m—1 n—1m—1

II C.1

1

1+£3 m3+£4

+

1

II

С12

n3+£3 m1+£4 / ' ^ n3+£3 m1+£4' n—1m—1

(76)

где Су, 7 = 9,12 — некоторые положительные постоянные.

Нетрудно убедиться, что числовые ряды (76) сходятся. Тогда, согласно признаку Вейерштрасса [19, с. 427], абсолютно и равномерно сходится ряд (45) в А, а ряды (73)-(75) на каждом компакте К с А+ и А—. Поэтому функция и (х,у,г), определенная рядом (45), удовлетворяет всем условиям задачи E.

Если для указанных в Лемме 2 значений а при некоторых п = £1, £2,..., £7 и т = ?1, ¿2,..., ¿¿, где 1 — £1 < £2 < ... < £7 < п0, 1 — < ¿2 < ... < ^ < т0, £7, ¿¿, 7 и г — заданные натуральные числа, Апт (а,Ь) = 0, то для разрешимости системы (42) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия ортогональности

1 1

11 fj (x, z) x2aXn (x) z2yZnm (z) dxdz — 0, j — 1, 2.

(77)

0 0

y

В этом случае решение задачи Е определяется в виде суммы ряда

и (х, у, г) =

S1-1 Л1-1 t2-1 ж \ S2-1 /ii-1 t2-1 ж

Е Е + Е +••• + Е + Е Ml + Е +••• + Е )+•••

n=1 \m=1 m=t1 + 1 m=ti+1) n=S1 + 1 \m=1 m=t1 + 1 m=ti+1

ж f t1 — 1 t2 — 1 ж

+ Е Е + Е +••• + Е

n=Sj+1 \m=1 m=t1 + 1 m=ti+1;

®nm (y) Xn (X) Znm (z) + ЕЕ ClkUlk & У'Z)• (78)

/ k

Здесь, в последней сумме I принимает значения £1, £2,..., £], а к принимает значения г2,..., и, С1к — произвольные постоянные, и1к (х,у,г) — определяется по формуле (44).

Таким образом, доказана

Теорема. Пусть функция (х,г), ] = 1,2 удовлетворяет условиям (61)-(65) и выполнена оценка (46). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если Апт (Ь) = 0 при всех п и т, то существует единственное решение задачи E, и это решение определяется рядом (45);

2) если Апт (Ь) = 0 при некоторых п = £1, £2,..., , т = 3, г2,..., и, то задача E разрешима только тогда, когда выполняются условия ортогональности (77) и решение в этом случае определяется рядом (78).

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Список литературы/References

[1] Келдыш М. В., "О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области", ДАН СССР, 77:2 (1951), 181-183. [Keldysh M.V., "O nekotorykh sluchayakh vyrozhdeniya uravneniy ellipticheskogo tipa na granitse oblasti", DAN SSSR, 77:2 (1951), 181-183].

[2] Пулькин С. П., "О единственности решения сингулярной задачи Геллерстеда", Изв. вузов. Сер.: Математика, 19:6 (1960), 214-225. [Pul'kin S. P., "O yedinstvennosti resheniya singulyarnoy zadachi Gellersteda", Izv. vuzov. Ser.: Matematika, 19:6 (1960), 214-225].

[3] Вострова Л. Е., Пулькин С. П., "Сингулярная задача с нормальной производной", Волжский математический сборник, 1966, №5, 49-57. [Vostrova L. Ye., Pul'kin S. P., "Sin-gulyarnaya zadacha s normal'noy proizvodnoy", Volzhskiy matematicheskiy sbornik, 1966, №5, 49-57].

[4] Сабитов К. Б., К теории уравнений смешанного типа, Физматлит, Москва, 2014, 304 с. [Sabitov K. B., K teorii uravneniy smeshannogo tipa, Fizmatlit, Moskva, 2014, 304 pp.]

[5] Safina R. M., "Keldysh problem for a mixed-type equation of the second kind with the Bessel operator", Differential Equations, 51:10 (2015), 1347-1359.

[6] Safina R. M., "Keldysh problem for mixed type equation with strong characteristic degeneration and singular coefficient", Russian Mathematics, 61:8 (2017), 46-54.

[7] Zaitseva N.V., "Keldysh type problem for B-hyperbolic equation with integral boundary value condition of the first kind", Lobachevskii Journal of Mathematics, 38:1 (2017), 162169.

[8] Karimov K. T., "Keldysh problem for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients in a semi-infinite parallelepiped", Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 30:1 (2020), 31-48.

[9] Urinov A. K., Karimov K.T., "The unique solvability of boundary value problems for a 3D elliptic equation with three singular coefficients", Russian Mathematics, 63:2 (2019), 62-73.

[10] Уринов А. К., Каримов К. Т., "Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами", Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки, 21:4 (2017), 665-683. [Urinov A. K., Karimov K. T., "Zadacha Dirikhle dlya trekhmernogo uravneniya smeshannogo tipa s tremya singulyarnymi koeffitsiyentami", Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnich-eskogo universiteta. Seriya fiz.-mat. nauki, 21:4 (2017), 665-683].

[11] Каримов К. Т., "Задача типа Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в полубесконечном параллелепипеде", Бюллетень Института математики, 2020, №2, 68-82. [Karimov K.T., "Zadacha tipa Dirikhle dlya trekhmernogo uravneniya smeshannogo tipa s tremya singulyarnymi koeffitsiyentami v polubeskonechnom parallelepipede", Byulleten' Instituta matematiki, 2020, №2, 68-82].

[12] Urinov A. K., Karimov K. T., "The Dirichlet Problem for an Elliptic Equation with Singular Coefficients in a Semi-Cylindrical Domain", Lobachevskii Journal of Mathematics, 41:9 (2020), 1898-1909.

[13] Уринов А. К., Каримов К. Т., "Задача Дирихле для эллиптического уравнения с тремя сингулярными коэффициентами", Итоги науки и техн. сер. соврем. мат. и ее прил. темат. обз, 156 (2018), 30-40. [Urinov A. K., Karimov K.T., "Zadacha Dirikhle dlya ellipticheskogo uravneniya s tremya singulyarnymi koeffitsiyentami", Itogi nauki i tekhn. ser. sovrem. mat. i yeye pril. temat. obz., 156 (2018), 30-40].

[14] Тихонов А.Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики. Т. 2-33, Наука, Москва, 1972, 810 с. [Tikhonov A. N., Samarskiy A. A., Uravneniya matematicheskoy fiziki. V. 2-33, Nauka, Moskva, 1972, 810 pp.]

[15] Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, Изд. ИЛ, Москва, 1949, 798 с. [Vatson G. N., Teoriya besselevykh funktsiy, Izd. IL, Moskva, 1949, 798 pp.]

[16] Олвер Ф., Введение в асимптотические методы и специальные функции, Мир, Москва, 1986, 381 с. [Olver F., Vvedeniye v asimptoticheskiye metody i spetsial'nyye funktsii, Mir, Moskva, 1986, 381 pp.]

[17] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, Физматлит, Москва, 1963, 358 с. [Lebedev N.N., Spetsial'nyye funktsii i ikh prilozheniya, Fizmatlit, Moskva, 1963, 358 pp.]

[18] Толстов Г. П., Ряды Фурье, Наука, Москва, 1980, 384 с. [Tolstov G.P., Ryady Fur'ye, Nauka, Moskva, 1980, 384 pp.]

[19] Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, Физматлит, Москва, 2001, 800 с. [Fikhtengol'ts G. M., Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniya. V. 2, Fizmatlit, Moskva, 2001, 800 pp.]

[20] Арнольд В. И., "Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике", УМН, 18:6 (1963), 91-192. [Arnol'd V. I., "Malyye znamenateli i problemy ustoychivosti dvizheniya v klassicheskoy i nebesnoy mekhanike", UMN, 18:6 (1963), 91-192].

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2021. vol. 34. no. 1. P. 29-46. TSSN 2079-6641

MSC 35M12 Research Article

The Keldysh problem for a mixed-type three-dimensional equation

with three singular coefficients

K. T. Karimov

Fergana State University, 150100, Fergana, Murabbiilar st., 19, Uzbekistan E-mail: karimovk80@mail.ru

Tn this article, we study the Keldysh problem for a three-dimensional mixed-type equation with three singular coefficients in a rectangular parallelepiped. Based on the completeness property of systems of eigenfunctions of two one-dimensional spectral problems, a uniqueness theorem is proved. The solution to the problem posed is constructed as the sum of a double Fourier-Bessel series.

Key words: Keldysh problem, mixed type equation, spectral method, singular coefficient, Bessel function.

DOT: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-29-46

Original article submitted: 20.01.2021 Revision submitted: 22.02.2021

For citation. Karimov K. T. The Keldysh problem for a mixed-type three-dimensional equation with three singular coefficients. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021,34: 1,29-46. DOT: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-29-46

Competing interests. The author declares that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. The author contributed to this article. The author is solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by the author.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Karimov K.T., 2021

Funding. The study was carried out without financial support from foundations.