Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21, № 4. С. 665-683

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d http://doi.org/10.14498/vsgtu1559

УДК 517.956.6

Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами

А. К. Уринов, К. Т. Каримов

Ферганский государственный университет,

Узбекистан, 712000, Фергана, ул. Мураббийлар, 19.

Аннотация

Рассматривается трехмерное уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами, для которого в параллелепипеде исследуется задача Дирихле. Исследование поставленной задачи проводится с помощью метода разделения переменных Фурье и спектрального анализа. Для поставленной задачи с помощью метода Фурье получены две одномерные спектральные задачи. На основании свойства полноты систем собственных функций этих задач доказана теорема единственности. Решение исследуемой задачи построено в виде суммы двойного ряда Фурье—Бесселя. В обосновании равномерной сходимости построенного ряда использовались асимптотические оценки функций Бесселя действительного и мнимого аргумента. На их основе получены оценки для каждого члена ряда, которые позволили доказать сходимость полученного ряда и его производных до второго порядка включительно, а также теорему существования в классе регулярных решений.

Ключевые слова: задача Дирихле, уравнения смешанного типа, спектральный метод, единственность решения, существование решения.

Получение: 19 июля 2017 г. / Исправление: 30 ноября 2017 г. / Принятие: 18 декабря 2017 г. / Публикация онлайн: 22 декабря 2017 г.

Научная статья

3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Уринов А. К., Каримов К. Т. Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 4. С. 665-683. doi: 10.14498/vsgtu1559. Сведения об авторах

Ахмаджон Кушакович Уринов А http://orcid.org/0000-0002-9586-1799 доктор физико-математических наук, профессор; профессор; каф. математического анализа и дифференциальных уравнений; e-mail: [email protected] Камолиддин Туйчибаевич Каримов © http://orcid.org/0000-0002-9098-4116 кандидат физико-математических наук; докторант; каф. математического анализа и дифференциальных уравнений; e-mail: [email protected]

Постановка задачи. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа [1, 2] является не всегда корректно поставленной в смысле Адамара.1 Поэтому поиск смешанных областей, в которых задача Дирихле была бы корректно поставленной, представляет интерес для многих исследователей. Многочисленные работы (см., например, библиографию к [3], а также работы [4-10], опубликованные в последнее время), посвященные данной проблеме, преимущественно затрагивают двумерные задачи. Трехмерные задачи рассматриваются в работах [11-14], при этом задача Дирихле для трехмерных уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами до сих пор остается малоизученной.

В настоящей работе рассматривается трехмерное уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами:

2а 2в 27

пхх + ^п у)Пуу + и^ +--чх + — Пу +--чг = 0, (1)

х |у| £

для которого задача Дирихле исследуется в параллелепипеде

0 = {(х,у,я) : 0 <х< 1, -а < у < Ь, 0 < я < 1}, а> 0, Ь> 0.

Здесь и = и(х, у, я) — неизвестная функция; параметры а, в, 7 £ ^\{0}, причем -те < а < 1/2, -1/2 < в < 1/2, -те < 7 < 1/2.

Уравнение (1) в области 0 принадлежит смешанному типу: уравнение в области 0+ = 0 П {у > 0} принадлежит эллиптическому типу, а в области 0- = 0 П {у < 0} — гиперболическому типу. Плоскости х = 0, у = 0 и я = 0 являются плоскостями сингулярности коэффициентов уравнения. Среди них у = 0 — плоскость изменения типа уравнения.

Рассмотрим следующую задачу и исследуем ее однозначную разрешимость.

Задача б. Найти функцию и(х,у, я) £ С(П) П С2(0+ и 0-), удовлетворяющую в области 0+ и 0- уравнению (1), краевым условиям

и(0,у,я)= и(1,у,я)=0, -а < у < Ь, 0 < я < 1; (2)

и(х,у, 0) = и(х,у, 1) = 0, -а ^ у ^ Ь, 0 ^ х ^ 1; (3)

и(х,Ь,я) = /(х,я), 0 < х < 1, 0 < я < 1; (4)

и(х, -а, я) = д(х, я), 0 ^ х ^ 1, 0 ^ я ^ 1, (5)

и условию склеивания

lim (—y)2ß uy (x,y, z) = lim y2ß uy (x,y, z), 0 <x< 1, 0 <z< 1, (6)

y^-0 y^+0

где f (x, z), g(x,z) —заданные непрерывные функции.

хВо многих работах отмечается, что интерес к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа возник после работы Ф. И. Франкля [1], где впервые обращено внимание на то, что задачи трансзвуковой газовой динамики сводятся к уравнениям этого типа, а А. В. Бицад-зе в работе [2] показал, что задача Дирихле для уравнения ихх + ^пу)иуу = 0 поставлена некорректно.

1. Построение собственных функций. Сначала найдем нетривиальные решения задачи (1), (2), (3), (6). С этой целью, разделив переменные по формуле «(ж, у, я) = Ш(ж, я)^(у), из уравнения (1) получим

^пу)3"(у) + ^'(у) - А^(у) = 0, -а < у < Ь; (7)

М

2а 27

Шхх + + — Шх + — Ш + АШ = 0, 0 < ж < 1, 0 <я< 1, (8) ж я

где А — константа разделения.

Учитывая однородные краевые условия (2) и (3), для уравнения (8) получим задачу на собственные значения в квадрате П = {(ж, я) : 0 ^ ж ^ 1, 0 ^ я ^ 1} со следующими краевыми условиями:

Ш(0,я) = Ш(1,я) = 0, 0 < я < 1; Ш(ж, 0) = Ш(ж, 1)=0, 0 < ж < 1.

Путем разделения переменных Ш(ж, я) = X(ж) Я(я) эта задача сводится к двум задачам на собственные значения:

2а

X ''(ж) + —X '(ж) + ^Х (ж) = 0, (9) ж

X (0) = 0, X (1) = 0; (10)

£''(*) + + (А - ^(я) = 0, (11)

Я (0) = 0, Я (1) = 0, (12)

где ^ — константа разделения.

Из уравнения (9), произведя замену

X (ж) = (¿/^)1/2-ар(*),

где £ = ^/Дж, получим уравнение Бесселя [15, § 3.1]:

*У'(*) + *р'(*) + (£2 - (1/2 - а)>(£) = 0. (13)

Принимая во внимание вид общего решения [15, § 3.1] уравнения (13) и введенные обозначения, получим общее решение уравнения (9) в виде

X (ж) = ^ж1/2-а71/2-«(^ж) + ¿2ж1/2-аУ1/2_«(^ж). (14)

Здесь и ^2 — произвольные постоянные, ^(ж) и У1 (ж) —функция Бесселя порядка I первого и второго рода [15, §§ 3.1, 3.5] соответственно. Из (14) следует, что решение уравнения (9), удовлетворяющее первому из условий (10), существует при а < 1/2 и оно определяется равенством

X (ж) = ¿1ж1/2_а71/2_«(^ж). (15)

Подставляя (15) во второе из условий (10), получим условия существования нетривиального решения задачи (9), (10):

^1/2-«Ш = 0. (16)

Известно, что при I > -1 функция Бесселя ^(я) имеет счетное число нулей, причем все они вещественны и с попарно противоположными знаками [15, § 15.23]. Так как 1/2 - а > 0, уравнение (16) имеет счетное число вещественных корней. Обозначая через оп — п-ный положительный корень уравнения (16), получим значения параметра при которых существуют нетривиальные решения задачи (9),(10), т. е. ее собственные значения:

^п = оП, п £ N.

Полагая в (15) ^ = п £ N и = 1, получим нетривиальные решения (собственные функции) задачи (9), (10):

Хп(х)= х1/2-а71/2-«(опх), п £ N. (17)

Теперь перейдем к исследованию задачи (11), (12). Методом, примененным при решении задачи (9), (10), найдем общее решение уравнения (11) в виде

^ (я) = ^.г1/2-7 Л/2-7 + ^.г1/2-7 У1/2-7 (УА-^г), (18)

где 4 и ^4 — произвольные постоянные. Подставляя (18) в краевые условия (12), имеем ^4 = 0 и

Л/2-7(УА - = 0. (19)

Учитывая, что 7 < 1/2 и обозначая через ¿т — т-ный положительный корень уравнения (19), получим значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи (11),(12):

Апт = оп + ¿т, п, т £ N.

Полагая в (18) А = Апт, п, т £ N = 1 и = 0, получим нетривиальные решения (собственные функции) задачи (11), (12) в виде

Ят(г) = ¿1/2-771/2-7(¿тя), т £ N. (20)

Полагая в уравнении (7) А = Апт, найдем общее решения этого уравнения при у > 0 и у < 0:

апту пт у)+

1/2 в К1/2-в пт

у), у> 0;

^пт(у)^ . гА--(21)

Спт(-у)1/2 в Л/2-0 [\/Апт(-у)] +

+^пт(-у)1/2-вУ1/2-в[^Апт(-у)], у < 0.

Здесь п, т £ N апт, Ьпт, спт и — произвольные постоянные, (я) и К (я) — модифицированные функции Бесселя порядка ш первого и третьего рода [15, § 3.7] соответственно.

Подставляя (17), (20), (21) в равенство «(ж, у,я) = X(ж)^(у)Я(я), получим нетривиальные в области О решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям (2) и (3):

' ж1/2-ау1/2-в¿1/2_^71/2_а (а„ж)Л/2_7(¿т*) X х (апт11/2_в

(А пт пт у)), у> 0;

«Пт ж1/2_а(-у)1/2_в я1/2_^ /2_а (^«.ж) /2_7 (¿т^)х

[лА

пт( у)] + ¿пт ^1/2_в [лА пт '(-у)]), у < 0.

Теперь подберем постоянные апт, Ьпт, спт и ^пт так, чтобы для функций «пт(ж, у, я) выполнялись условия склеивания (6) и условие

«(ж, -0,я)= «(ж, +0, я). (22)

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что равенство (22) выполняется, если ^пт = -(пЬпт)/2 при любых апт и с«т, а условия склеивания (6) выполняются, если

Спт = пЬ«т tg(п(1 + 2^)/4)/2 - а«т, ¿пт = -(пЬпт)/2.

Тогда на основании этих равенств система функций ипт(ж, у, я) запишется в следующем виде:

unm(ж, у =

( ж1/2_ау1/2_вя1/2_^71/2_«(а„ж)71/2_7(йт-г) X х (апт11/2_в

(А

пт пт у) , у > 0;

ж1/2_а(-у)1/2_вя1/2_^71/2_а(^пж)71/2__7(¿т*0 х [лА пт

(-у)]

[А пт (-у)] , у < 0, где

^1/2_вАпт( у)] = 2 С08(вП) (^1/2_вАпт(-у)] + ¿в_1/2[^Апт( 2. Единственность решения задачи Ю.

Теорема 1. Если существует 'решение «(ж, у, я) задачи Б, то оно единственно тогда и только тогда, когда

пт

а) +

+ К1/2_в АптЬ)^/2_ в (V Апта) = 0 (23)

при всех п, т € N.

Доказательство. Пусть «(ж, у,я) —решение задачи Б. Рассмотрим следующую функцию:

ипт(у) = / / и(ж, у, z)ж2аXn(ж)z27^(^¿ж^ =

.70 .70

= I\/о и(х, у, я)х1/2+а^1/2-«(Оп^х) ¿1/2+771/2-7(¿т(24) где т, п £ N.

Согласно [15, §15.25], система функций {^1/2-а(опх)}^=1 ортогональна с весом х на отрезке [0,1]. Поэтому в силу равенства

/ х1/2-а71/2-а(0тх)х1/2-а71/2-а(0пх)х2а^х =

= х^1/2-«(отх) 71/2-«(Опх)^х = 0

Jo

система собственных функций (17) ортогональна с весом х2а на [0,1].

Согласно [15, §18.1], система функций {^1/2-а(опх)}^=1 полна с весом х в пространстве ^[0,1] и имеет место соотношение

г 1 2 1 2

х^1/2-а(°пх)^х =2 ^3/2-а(°п).

Отсюда следует, что система собственных функций (17) полна в пространстве ¿2[0,1] с весом х2а и для функций этой системы имеет место соотношение

У х^^/^^опх^^х = I х72/2-а(опх)^х = 2¿¡/2-«(оп).

Проведя те же рассуждения, можно убедиться в том, что система собственных функций (20) полна в ^[0,1] с весом я27. На основании (24) введем функции

г1-£г /-1-£ 2

ипт2(у) = / и(х, у, я)х2аХп(х)я27п,т £ N, (25)

где £1 и ^2 — достаточно малые положительные числа. Очевидно,

Ит (у) = ипт(у). (26)

£1^0

Продифференцируем равенство (25) по у при у £ (-а, 0) и (0, Ь): /■1— £1 /'1-£2

[иЩтт2 (у)]' = / иу(х, у, я)х2аХп(х)я27п, т £ N

£1 £2 1-£1 1-£2

[иЩ^г2 (у)]'' = / иуу(х, у, я)х2аХп(х)я27п, т £ N.

£1 £2

Учитывая уравнение (1), из последних равенств имеем

г £1£2/ м// / \ [1-£1 [1-£2 ( 2а 27 2в Л

[иЩт2 (у)] = -(8§пум ( ихх +--их + и^ +--иг + "^у 1 X

£1 £2 х я |у| '

X х2аХп(х)я27=

= -^п у)

/•1_£2 / />1_£1

/ ( / UxxЖ2аXn(ж)dж+ ./£2 \./£1

г>1_£1 2а

[^^(ж^ж ) я27

+ I «жж Xn(ж)dж Iя Ят(

./е1 ж /

/•1_£1 / /* 1 £2 + [ «¿г я27

./£1 \./£2

Г 1_£2 + / —«

£2

^«гя27Zm(z)d^Ж2аXn(ж)dz + ^ Кт (у)]'

я

(27)

Рассмотрим следующие интегралы:

1_£1 1_£1 / UxxЖ2аXn(ж)dж = / ж20^^)^ = £1 £1

= Их ж^^ж)

х=1_£1

1_£1

= Мхж2" Xn(ж)

Х=1 — £1

- u[ж2аXn(ж)]'

Х=1 —£1

= UxЖ2аXn (ж)

Х = £1 Х=£1 ^ £1

Х=1_£1 Х=1_£1

2а л

п

■ux[ж2аXn(ж)]'dж =

1_£1

+ / u[ж2аXn(ж)]''dж =

£1

- u[ж2аXn(ж)]'

Х=£1 /• 1_£1 + / «ж £1

+

Х=£1

2а

xn'(ж) + 2^xn(ж) + (4а2 - 2а)ж_2X«(ж) ^ж;

1_£1 2а 1_£1

—■uxж2аXn(ж)dж = 2аж2а_1Xn(ж)d■u

£1 ж £1

= 2аж2а_1Xn(ж)u

£1

Х=1_£1

= 2аж _1X«(ж)■u

Х=1 —£1

Х = £1 1_£1

1_£1

- 2а / «[ж2а_1 Xn(ж)]'dж =

£1

■«ж

2а

х=£1 •'£1

На основании полученных выше равенств имеем

^^п(ж) + (4а2 - 2а)ж_2X«(ж)

¿ж.

1_£1 1_£1 2а

■uxxж2аXn(ж)dж + —ж2аXn(ж)dж =

£1 £1 ж

= [■UxX«(ж) - ^п(ж)]

2а

ж

Х=1_£1

1_£1

+ «ж

Х=£1 •'£1

Х=1 — £1

2а

= [■UxXn(ж) - ^п(ж)]

2а

2а

xn'(ж) + -^п (ж) 1_£1

^ж =

— ^

1_£1

/ uж2аXn(ж)dж. (28) £1

Аналогично находим

Г1 £2 Г1-£2 2Y

Uzz Z2Y Zm(z)dz + —Uz Z2y Zm(z)dz =

■Js2 j£2 z

Z=1-£2 с 1-£2

= [UzZm(z) - uZm(z)] Z2y

- ¿m / uz2YZm(z)dz. (29)

m

z=£2 -'e2

Подставляя (28) и (29) в равенство (27), получим

"1-£2 / Ж=1-£1

Km2 (y)i" = -(sgn y) ' '

[uxX„(x) - uXn(ж)] ж2

L^£2 V ж=£1

1-£1

- an I x„( ,

£1 /

Z=1-£2

гП I ux2aXn(x)dx Jz27Zm(z)dz+

+ ^ [UzZm(z) - uZm(z)]z2Y

- ¿m f £2 Uz2YZm(z)d^X2"Xn(x)dx + 2y| [иПт2 (y)]'

Предварительно заметим, что нижеследующие пределы конечны:

21/2+а a1/2-a 2 1/2+y ¿1/2-7

lim ж2«х' (ж) = 2_an_ lim z2YZ' (z) = 2_¿m_

Äж Xn(x)= Г[1/2 - а] , ziiI?0z Zm(z)= r[1/2 - y] .

Отсюда, требуя

lim Xn(x)ux = 0, lim Zm(z)uz = 0,

0 z^1-0

а затем переходя к пределу при £1 ^ 0, £2 ^ 0 и учитывая граничные условия (2), (3), (10), (12) и равенство (26), получим, что unm(y) удовлетворяет дифференциальному уравнению

(sgn y)<m(y) + |у| Unm(y) - AnmUnm(y) =0, -a < У < b,

т. е. уравнению (7). Следовательно, unm(y) = Qnm(y). Теперь из (24) находим unm(b) и unm(-a) :

(b) = f i u(x, b, z)x2aXn(x)z27Zm(z)dxdz = 00

= Г f1 f (x,y)x2aXn(x)z2Y Zm(z)dxdz = Fnm, (30) 00

(-a) = / u(x, -a, z)x2aXn(x)z2YZm(z)dxdz = 00

= / / g(x,y)x2aXn (x)z2Y Zm(z)dxdz = Gnm. (31) 00

Принимая во внимание равенства (30), (31) и равенства ^пт = -(пЬпт)/2, спт = ЬптП tg[п(1 + 2в)/4]/2 апт, из ( ) находим

{апт11/2_в (А пт Ь) + Ь пт птЬ) — -^птЬ ,

___ __(32)

- апт^1/2_ в Апта) + Ьпт—1/2_в Апта) = ^птав 1/2.

Определитель системы (32) Дпт(а, Ь) имеет вид (23). Так как Дпт(а, Ь) = 0, система (32) имеет единственное решение:

^птЬв 1/2/2_вАпта) - ^птав 1/2К1/2_вАптЬ)

апт =

Ьпт =

Дпт(а, Ь)

пта) + ^пта 1/211 /2_в (^АптЬ)

Дпт(а, Ь)

а функции «пт(у) примут следующий вид:

«пт(у) = <

Г [^пт(у/Ь)1/2_в Дпт(а,у) +

пт (у/а)1/2_в А пт (у,Ь)]/Д пт (а, Ь), у> 0;

[Епт(-у/Ь)1/2_вВпт(а, -у) +

+Спт(-у/а)1/2_вДпт(-у, Ь)]/Дпт(а, Ь), у < 0,

где

(33)

Апт (у, Ь) = ^1/2_в (V АптЬ)К1/2_в (V Апту)-

- К1/2_в (л/АптЬ)11/2_в (а/Апту),

Впт(а) -у) = ¿1/2_в( VАпта)—1/2_вАпт(-у))-

пт а) ¿1/2_в

(А пт (-у)).

Пусть /(ж, я) = 0 и д(ж, я) = 0. Тогда из равенств (30), (31) и (33) следует, что «пт(у) = 0, и на основании равенства (24) имеем

^ ^ ж2ая27«(ж, у, я)ж1/2_а71/2_а(стпж)^^ я1/2_771/2_7(¿т* = 0.

Отсюда в силу полноты системы функций {21/2_7^1/2_7(йт£)}^=1 с весом я27 в пространстве Ь2[0,1] следует, что

[ ж2ая27«(ж, у, я)ж1/2_а71/2_а(стпж)^ж = 0.

0В силу полноты системы функций {ж1/2_а71/2_а(стпж)}с весом ж2а в пространстве £2[0,1] из последнего равенства имеем, что «(ж, у, я) = 0 для

всех х £ [0,1] и при любом у £ [-а, Ь], я £ [0,1]. Отсюда следует утверждение теоремы. □

3. Существование решения задачи Ю. Решение задачи Дирихле в области 0 будем искать в виде

{те те

Е Е и+т(х,у,я), у > 0;

п^1 "те1 _ (34)

Е Е и-т(х,у,я^ у < 0,

п=1 т=1

где

и+т(х,у,я)= х1/2 ау1/2 вя1/2 7Л/2-а(Опх)71/2-7(¿т*0 X

х [апт11/2- в (ТА пт у) + ЬптК1/2-в (^А пт у) ,

и-т(х,у,я) = х1/2-а(-у)1/2-вя1/2-7Л/2-а(Опх)71/2-7(¿т^) X

X [-апт^1/2-в(УАпт(-у)) + Ьпт^П1/2-в(УАпт(-у))] .

Постоянные апт и Ьпт находим из требования, что решение (34) должно удовлетворять граничным условиям (4) и (5). Сначала, подставляя его в условия (4), получим

те

Е ^1/2-«(опх)^п(я) = ха-1/2Ьв-1/2я7-1/2/(х, я), (35)

п=1

где

^п(я) = Е ^1/2-7(¿ш^) [апт 11/2-в(VАптЬ) + Ьпт-К^-в(УАптЬ)] , (36)

т=1

Ряды (35) и (36)—ряды Фурье—Бесселя [15, §18.1], поэтому = т2 ^ /1 ¿1/2+аЬв-1/2я7-1/2/(¿, я)^1/2-

^Э/2-а (Оп^0

апт11/2-в ( \/ АптЬ) + ЬптК1/2-в (\/ АптЬ) = /пт1 (37)

где

4Ьв-1/2

пт [^Э/2-а(оп)^Э/2-7 (¿m)]2

X Г ¿1/2+а51/2+7 ^^ (0^)^/2-7(¿т«1/(*, в)^. 00

На основании формул дифференцирования бесселевых функций [15, § 3.2]

а

— [ж^ Л (ж)] = жу Л_1(ж) аж

коэффициенты /пт представим в виде

4Ьв_1/2 I' 1 I'1 2«-1 2 !

т 2а 2 —7 (йт)] ,7 0 ./0

4Ьв_1/2 /-1 /-1

М

а г.3/2_а Т , .м а

7 (йт)] ,7 0 .70

х £ [£3/2_а7з/2_а(^п£)] -О" [^3/2_77з/2_7(¿т«)] (38)

Интегрируя по частям интеграл в (38), получим

4Ьв_1/2

4Ьв_1/2 Г

/пт = ¡"7 7 Т7 7"ТТТ2 1 73/2_а(^п) 73/2_7 (йт)/(1, 1)-

СТпйт[73/2_а(^п)73/2_7(йт)]2 I

г 1 а

- ^аЫ^ 53/2_773/2_7(¿т«)^ [/(1, ф2^1]

г 1 а

- ^3/2_7(¿т) ^ ¿3/2_а73/2_а(^п£)^ [/(*, 1)£2а_1]а£+

+ /1 /1 ¿3/2_а53/2_773/2_а(ап£)73/2_7(¿т«) х .70 .70

х дд2«[£2а_1«2т_1/(М)]^}. (39)

В силу условий задачи Б справедливо равенство

/(1, я) = /(ж, 1)=0, 0 < я < 1, 0 < ж < 1. (40)

Тогда формула (39) примет вид

4Ьв_1/2

/пт =

Стпй т [73/ 2а (^п)73/2_7 (йт)]

1 Г1

X

/ / ¿3/2_а«3/2_773/2_а(^п£)73/2_7(¿т«) х 00

х ¿д«[£2а_1«2т_1/(м)]^.

Из последнего выражения после интегрирования по частям имеем

4Ьв_1/2

/пт ^п¿т[73/2_а(^п)73/2_7(£т)]2 х

д 2

Г д 2 г

х |4>/2_а(*п)75/2_7(¿т)[£2а_1«2^_1/(£,«)

4 = 1 8 = 1

х

2

( д

- J5/2-y^m) J t5/2-aj5/2-a(ant)д^^

д

-1

д2

- J5/2-a(an)yo S5/2-Y J5/2-7(¿mS) - [s-1 — [t2a-VY-1f (^ s)]

dtds -1 д2

[i2a-1s27-1 f (t,s)]

dt—

ds+

+ ^ С t5/2-as5/2-Y J5/2-a(ant)J5/2-7(¿mS) X 00

д 2 Г я2

X

дtдs

1 1 д2

дtдs

[t

2«-1s2y-1

f (t,s)]

dtds >.

Отсюда следует, что если функция /(х, я) удовлетворяет условиям

f(x,z) = (д2/джд^ [x2a-1z2Y-1f(ж, z)] е C([0,1] х [0,1]), lim f (ж, z) = lim f (ж, z) = 0,

то функции fnm определяются формулами

(41)

fnm =

4bß-1/2

an ¿m [j3/ 2— а (an)J3/2-Y (¿m)] 2 »1 r 1

f i t5/2-aS5/2-Y J5/2-«(ant)J5/2-7(¿mS) X 00

д2

X ötöS[(ts)-1f (t, s)]dtds.

Интегрируя по частям последнее выражение, получим

fnm =

4bß-1/2

аП ¿m [J3/2-«(an)J3/2-7 (¿m)] 2

д2

х ^ J7/2 -а (an) J7/2-7 (¿m |(ts) 1f (t,s)

дtдs

1д

- J7/2-y^m) ^ t7/2-aj7/2-a(ant)

/• 1 д

- J7/2-а(ап^ Д S7/2-7 J7/2-Y^ms)

1д

t=1

s = 1 2[

дtдs

[(ts)-1/(t,s)]

0

д2

5-1 ätäS [(ts)-1f"(t,s)]

dt-

ds+

11

+ / I t7/2-aS7/2-Y J7/2-a(ant)J7/2-7(¿mS) X 00

X

д 2 дtдs

(is)-1 ^[(is)-1 f (t-s)]

dtds

Если здесь потребовать выполнения условий

f0(x,z) = (s^tz)^)-1/^)] е C([0,1] х [0,1]), lim /0(ж, z) = lim f (ж, z) = 0,

ж—1 z—1

x

X

X

то |nm будет иметь вид

45^-1/2

fnm стП^т [J3/2-«(^n)J3/2-7 (¿m)]2 -1 г 1

/0 J0

i i ¿7/2-as7/2-7 J7/2-«(a„i)J7/2-7 (5mS)x 00

x [(ts)-if0(t,s)]dtds_if.

В силу этого равенства формула (37) принимает вид

(TÄ nm 5) + bnmK1/2-e (V Anm5) = ""3Ж' (43)

Аналогично, подставляя (34) в условия (5) и требуя выполнения следующих групп условий:

g(1,z) = g(x, 1) = 0, g(x,z) = (d2/dxdz)[x2a-1z2Y-1 g(x,z)] e C([0,1] x [0,1]), lim g(x,z) = lim g(x,z)=0;

x—^ 1 z—^ 1 (44)

go(x, z) = (d2/dxdz)[(xz)-1g(x, z)] e C([0,1] x [0,1]), lim g0(x, z) = lim g0(x, z) = 0,

x—1 z—1

получим соотношение

—anmJ1/2-e( VArama) + 5ramY1/2-,3( VArama) = ¿3 , (45)

где

gnm __4й>в /

^n ¿m

X / f t7/2-as7/2-Y J7/2-«(ant)J7/2-7 (¿mS)x 00

.. <d2 Г., _ 1 d2 L- 1.- 1 d2

{r 1 s- ' ataS [r Is" ' dies [t2°" 's2Y" ' »M К _

Далее, разрешая систему линейных алгебраических уравнений (43), (45) относительно апт и Ьпт, получим

(А

пта) - дптК1 /2_в (\/ АптЬ)

^п ¿т Дпт (а, Ь) /"пт 71/2_в (л/ Апта) + дпт11/2_в (л/ АптЬ)

5nm —

^га ¿m ^nm

(а, 5)

х

Подставляя найденные значения а^т и Ьпт в (34), получим формальное решение задачи Б.

Теперь докажем, что функция (34) является решением задачи Б. Для этого вначале докажем равномерную сходимость рядов в (34) в О.

Известно [16, форм. (32.31) и (32.33)], что для цилиндрических функций при £ ^ те имеют место следующие асимптотические формулы:

п£

^п п

2 4

Л(£) = а/^ С08(£-^-т) + о(£-1) , (46

(£) = -щ [1 + 0(£-1)], К(£) = ^е- [1 + о(£-1)]. (47)

В этих формулах запись 0(£-1) [17, § 2] означает такую величину, отношение которой к £-1 при беспредельном возрастании £ остается меньше некоторой постоянной, при этом справедливы следующие формулы при £ ^ те:

/ (£) = о(/(£)), (48)

о(о(/(£))) = о(/(£)), (49)

о(/(£))0(д(£)) = о(/(£)д(£)), (50)

о(/(£))+ 0(д(£))= о(|/(£)| + |д(£)|), (51)

С ■ о(/(£))= о(/(£)), (52)

о(/(£)д(£)) = / (£)0(д(£)), (53)

о(/2(£)) = о(/(£))2, (54)

0(£-2) = о(£-1), (55)

где / — произвольная функция.

Применяя последовательно формулы (48), (52), (50), (55), (51) и (53) к равенству (46), а формулы (48), (50), (55) и (52) к равенствам (47), получим асимптотические формулы

Л (£) = о(£-1/2), (56)

/V (£) = 0(£-1/2)е?, К (£) = о(£-1/2)е-. (57)

Известно [15, с.653], что если /(¿) е С[0,1], то при £ ^ те справедлива формула

[ /(£*)^ = 0(£-3/2). (58)

С помощью асимптотических формул (56)-(58) и формул (48)-(55) нетрудно показать, что при п ^ те и т ^ те имеют место следующие формулы:

/пт = 0((^¿т)-1/2) , дпт = 0{(^¿т)-1/2) ,

?1/2-в(-лта = о(л-,т/4), к^-в(-лпть) = о^т^е--^6, ^1/2-в(-лпта) = о(л-,т/4), /1/2-в(-л-т>) = о^т/4^-0, (59)

Апт(а, Ь) = О^-Пт^е-^6,

а — ОГ ^ е-—Апт6 ь — о Г ^

апт = о Кйт)7/2^е , Ьпт = ^ Кйт)7/2^ .

Из асимптотических формул (56), (57), (59) следует, что если 0 ^ х ^ 1, 0 ^ г ^ 1, -а ^ у ^ Ь, то при п ^ те, т ^ те имеют место формулы

и+т(х, У, г) = О(^nйm)_^ , и_т(х,у,г) = 0((CTnЙm)_4) .

Отсюда следует, что для членов рядов в (34) в П справедливы следующие оценки:

1 ипт (х,

у, г)| ^ С^ст^ т) , |и_т(х, У, г)| ^ C2(стnй т

где С1, С2 — некоторые положительные постоянные.

Тогда в силу признака Вейерштрасса [18, § 430] ряды в (34) сходятся абсолютно и равномерно в П и, следовательно, и(х, у,г) € С(П).

Теперь докажем, что ихх(х,у,г) € С(П+ и П_). Дважды почленно продифференцируем ряд (34) по аргументу х:

{те те

Е Е ( и+т(х, у, г))хх, у > 0;

пте1 "те1 (60)

Е Е ( и_т(х, у, г))хх, у < о,

п=1 т=1

где

(и+т(х,у,г^= [стпх_1/2_а7_1/2_а(стпх) + ^х1/2_а7_з/2_а(-«х)] X

X у1/2_вг1/2_771/2_7(¿тг) [апт/1/2_в(VАпту) + ЬптК1/2_в (VАпту)] ,

(и_т(х,у,г^= [стпх_1/2_а7_1/2_а(стпх) + стПх1/2_а7_з/2_а(-«х)] X х (-у)1/2_вг1/2_771/2_7(¿тг)х

х [-апт^1/2_в(л/Апт(-у)) + Ьпт^1/2_в( VАпт(-у)) .

Применяя асимптотические формулы (56), (57) и (59), при (х, у, г) € П+ и П_ и п ^ те, т ^ те получим

(и+т(х,у,г^ = 0( (^п ¿т)_1 ) (и_т(х,у,г^ = 0( (-п ¿т)_1).

Отсюда следует, что для членов рядов в (60) в П+ и П_ имеют место следующие оценки:

|(и+т(х,у,г)) хх| < С3 К ¿т) _1, |(и_т(х,у,г^ лл| < _1,

где Сз, С4 — некоторые положительные постоянные.

Из полученных оценок следует, что ряды из (60) мажорируются сходящимися числовыми рядами, откуда следует, что ряды из (60) абсолютно и равномерно сходятся в П+ и П . Следовательно, (х,у, г) € С(П+ и П ). Аналогично доказывается, что (х,у, г) € С(П+ и П_).

Далее покажем, что иуу(ж, у, г) е С(О+ и О ). Продифференцируем дважды (34) по аргументу у:

оо оо

Е Е ( игат(ж, у, уу, у > 0

иуу(ж,у,г) = { (61)

Е Е ( у < 0,

V п=1 т=1

где

(«+т(ж,у,г)) уу = ж1/2_аг1/2"7 Л/2-«(^ж) ^/2-7 (5тг)х

х { л/Агату-1/2-в [агат/_1/2_в (д/Агату) — ЬптК-1/2-в (л/ Агату)] +

+ Агату1/2-в [агат/-з/2-в(УАгату) + ЬптК-3/2-вАгату^ },

(и-т(ж,у,г^ уу = ж1/2 аг1/2 7 Л/2-а(^ж) Л/2-7 (¿т^)х

/Айт(-у)-1/2-в -агат7-1/2-в(УАпт(-у)) +

+ 2 сЬП^П^) [^-1/2-в(УАгат(-у)) - ^1/2+в(УАгат(-у))]

+

+ А„т(-у)1/2 в [-агат7-з/2-в(УА„т(-у))+

пт (-у

Применяя асимптотические формулы (56), (48), (57), (59) и (50), при (ж, у, г) е О+ и О- и п ^ то, т ^ то имеем

Кт(ж,у,г))уу = о(, Кт(ж,у,г))уу = о(.

Отсюда следует, что для членов рядов из (61) в О+ и О- имеют место следующие оценки:

А

(и+т(ж,у,г;))уу I = С5, 4 , (и-т(ж,у,г^уу I = С6

Ап

у^ ^ ки4' ' ""^^'^УУ' ~6 (а„^т)4'

где С5, Сб — некоторые положительные постоянные.

Из этих оценок следует, что ряды из (61) мажорируются сходящимися числовыми рядами, откуда следует, что ряды из (61) абсолютно и равномерно сходятся в О+ и О-. Следовательно, иуу(ж, у, г) е С(О+ и О-). Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (40), (41), (42) и (44). Тогда решение задачи Дирихле существует, единственно и определяется формулами (34).

В заключение отметим, что задача Б исследуется аналогично и в том случае, когда некоторые или все параметры а, в и 7 равны нулю.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия

рукописи была одобрена всеми авторами.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Библиографический список

1. Франкль Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений// Изв. АН СССР. Сер. матем., 1945. Т. 9, №2. С. 121-143.

2. Бицадзе А. В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР, 1953. Т. 122, №2. С. 167-170.

3. Хачев М. М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 1998. 168 с.

4. Солдатов А. П. К теории уравнений смешанного типа/ Соврем. мат. и ее прил., Т. 10, Труды международной конференции по динамическим системам и дифференциальным уравнениям (Суздаль, 1-6 июля 2002 г.) Часть 4. Тбилиси: Институт кибернетики Академии наук Грузии, 2003. С. 153-162.

5. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области// Докл. РАН, 2007. Т. 413, №1. С. 23-26.

6. Сабитов К. Б., Сулейманова А. Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области // Изв. вузов. Матем., 2007. №4. С. 45-53.

7. Сабитов К. Б., Вагапова Э. В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, №1. С. 68-78.

8. Хайруллин Р. С. К задаче Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода с сильным вырождением // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, №4. С. 528-534. doi: 10. 1134/S0374064113040122.

9. Сафина Р. М. Задача Дирихле для уравнения Пулькина в прямоугольной области // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2014. №10(121). С. 91-101.

10. Zhang K, Li Y. On Dirichlet problem of Tricomi-type equation in rectangular domains // J. Nanjing Norm. Univ., Nat. Sci. Ed., 2016. vol.39, no. 1. pp. 29-35. doi: 10.3969/j. issn.1001-4616.2016.01.005.

11. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференц. уравнения, 1970. Т. 6, №1. С. 190-191.

12. Сафина Р. М. Задача Дирихле с осевой симметрией для уравнения смешанного В-эллиптико-В-гиперболического типа с характеристическим вырождением // Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета, 2010. №4. С. 63-69.

13. Алдашев С. А. Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Изв. вузов. Матем., 2011. №4. С. 3-7.

14. Сафина Р. М. Критерий единственности решения задачи Дирихле с осевой симметрией для трехмерного уравнения смешанного типа с оператором Бесселя // Изв. вузов. Матем., 2014. №6. С. 78-83.

15. Watson G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge: Cambridge University Press, 1922.

16. Кузнецов Д. С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1962. 448 с.

17. Olver F. W. J. Introduction to Asymptotic Analysis / Introduction to Asymptotics and Special Functions. New York: Academic Press, Inc., 1974. pp. 1-30. doi: 10.1016/ b978-0-12-525856-2.50005-x.

18. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1969. 800 с.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 4, pp. 665-683 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d http://doi.org/10.14498/vsgtu1559

MSC: 35M10, 35M12

The Dirichlet problem for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients

A. K. Urinov, K. T.Karimov

Fergana State University,

19, Murabbiylar st., Fergana, 712000, Uzbekistan.

Abstract

We study the Dirichlet problem in a parallelepiped for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients. Separation of variables with Fourier series and spectral analysis are used to investigate this problem. Two one-dimensional spectral problems are obtained for the possed problem using the Fourier method. On the basis of the completeness property of the eigenfunction systems of these problems, the uniqueness theorem is proved. The solution of the problem is constructed as the sum of a double Fourier-Bessel series. In justification of the uniform convergence of the series constructed, asymptotic estimates of the Bessel functions of the real and imaginary argument are used. On their basis, estimates are obtained for each member of the series. The estimates obtained made it possible to prove the convergence of the series and its derivatives up to the second order inclusive, and also the existence theorem in the class of regular solutions.

Keywords: Dirichlet problem, mixed-type equations, spectral method, uniqueness of solution, existence of solution.

Received: 19th July, 2017 / Revised: 30th November, 2017 / Accepted: 18th December, 2017 / First online: 22nd December, 2017

Competing interests. We declare that we have no conflicts of interests with the authorship and publication of this article.

Authors' contributions and responsibilities. Each author has participated in the article concept development and in the manuscript writing. The authors are absolutely responsible for submitting the final manuscript in print. Each author has approved the final version of manuscript.

Research Article

3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Urinov A. K., Karimov K. T. The Dirichlet problem for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 4, pp. 665-683. doi: 10.14498/vsgtu1559 (In Russian). Authors' Details:

Akhmadjon K. Urinov http://orcid.org/0000-0002-9586-1799

Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations; e-mail: [email protected]

Kamoliddin T. Karimov © http://orcid.org/0000-0002-9098-4116

Cand. Phys. & Math. Sci.; Doctoral Candidate; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations; e-mail: [email protected]

Funding. The research has not had any funding.

References

1. Frankl F. To the theory of the Laval nozzle, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1945, vol. 9, no. 2, pp. 121-143 (In Russian).

2. Bitsadze A. V. The incorrectness of the Dirichlet problem for equations of mixed type, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1953, vol. 122, no. 2, pp. 167-170 (In Russian).

3. Khachev M. M. Pervaia kraevaia zadacha dlia lineinykh uravnenii smeshannogo tipa [The First Boundary Value Problem for Linear Equations of Mixed Type]. Nalchik, Elbrus, 1998, 168 pp. (In Russian)

4. Soldatov A. P. On the theory of mixed-type equations, J. Math. Sci., 2005, vol. 129, no. 1, pp. 3670-3679. doi: 10.1007/s10958-005-0306-9.

5. Sabitov K. B. The Dirichlet problem for equations of mixed type in a rectangular domain, Dokl. Math., 2007, vol.75, no. 2, pp. 193-196.

6. Sabitov K. B., Suleimanova A. Kh. The Dirichlet problem for a mixed-type equation of the second kind in a rectangular domain, Russian Math. (Iz. VUZ), 2007, vol.51, no. 4, pp. 42-50. doi: 10.3103/S1066369X07040068.

7. Sabitov K. B., Vagapova E. V. Dirichlet problem for an equation of mixed type with two degeneration lines in a rectangular domain, Differ. Equ., 2013, vol.49, no. 1, pp. 68-78. doi: 10.1134/S0012266113010072.

8. Khairullin R. S. On the Dirichlet problem for a mixed-type equation of the second kind with strong degeneration, Differ. Equ., 2013, vol.49, no. 4, pp. 510-516. doi: 10.1134/ S0012266113040113.

9. Safina R. M. Dirichlet problem for Pulkin's equation in a rectangular domain, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, no. 10(121), pp. 91-101 (In Russian).

10. Zhang K, Li Y. On Dirichlet problem of Tricomi-type equation in rectangular domains, J. Nanjing Norm. Univ., Nat. Sci. Ed., 2016, vol.39, no. 1, pp. 29-35. doi: 10.3969/j. issn.1001-4616.2016.01.005.

11. Nakhushev A. M. A uniqueness condition of the Dirichlet problem for an equation of mixed type in a cylindrical domain, Differ. Uravn., 1970, vol. 6, no. 1, pp. 190-191 (In Russian).

12. Safina R. M. The Dirichlet Problem with Axial Symmetry for a Mixed B-elliptic-B-hyperbolic Type with Characteristic Degeneration, Vestnik Tatarskogo Gumanitarno-Pedagogicheskogo Universiteta, 2010, no. 4(22), pp. 63-69 (In Russian).

13. Aldashev S. A. A criterion for the unique solvability of the dirichlet spectral problem in a cylindrical domain for a multidimensional Lavrent'ev-Bitsadze equation, Russian Math. (Iz. VUZ), 2011, vol.55, no. 4, pp. 1-4. doi: 10.3103/S1066369X11040013.

14. Safina R. M. A criterion of uniqueness of a solution to the Dirichlet problem with the axial symmetry for the three-dimensional mixed type equation with the Bessel operator, Russian Math. (Iz. VUZ), 2014, vol.58, no. 6, pp. 69-73. doi: 10.3103/S1066369X14060085.

15. Watson G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge, Cambridge University Press, 1922.

16. Kuznetsov D. S. Spetsial'nye funktsii [Special Functions]. Moscow, Vysshaia shkola, 1962, 448 pp. (In Russian)

17. Olver F. W. J. Introduction to Asymptotic Analysis, In: Introduction to Asymptotics and Special Functions. New York, Academic Press, Inc., 1974, pp. 1-30. doi: 10.1016/ b978-0-12-525856-2.50005-x.

18. Fikhtengol'ts G. M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniia [Course of Differential and Integral Calculus], vol.2. Moscow, Nauka, 1969, 800 pp. (In Russian)