CC BY
17"RAQOBATBARDOSH KADRLAR TAYYORLASHDA FAN - TA'LIM - ISHLAB
CHIQARIS H INTEGRATSIYAS INI TAKOMILLAS HTIRIS H ISTIQBOLLARI" MAVZUSIDAGI XALQARO ILMIY-AMALIY KONFERENSIYA 2023-yil 22-noyabr
YEVKLIDNING V-AKSIOMASI MUAMMOSI VA UNGA EKVIVALENT JUMLALARNI ISBOTLASH ORQALI O'QUVCHILARNING GEOMETRIYA FANIGA
QIZIQISHINI OSHIRISH 1Fayzullayev Sherzod Usar o'g'li, 2Uzoqova Buvzaynab Ravshan qizi
1JDPU Matematika o'qitish metodikasi kafedrasi o'qituvchisi
2JDPU talabasi https://doi.org/10.5281/zenodo.10159404
Annotatsiya. Ushbu maqola Yevklidgeometriyasining asosiy aksiomalari, Yevklidning V-aksiomasi va unga ekvivalent jumlalarni isbotlash orqali o'quvchilarda f ikrlash doirasini kengaytirishdan iborat.
Kalit so'zlar: aksioma, postulat, ekvivalent jumla, parallel to'g'ri chiziqlar, geometriyaning boshlangich tushunchalari.
Abstract. This article aims to expand students' frame of mind by proving the main axioms of Euclidean geometry, Euclid's V-axiom and its equivalent theories.
Keywords: axiom, postulate, equivalent theories, parallel straight lines, elementary concepts of geometry.
Аннотация. Целью этой статьи является расширение кругозора учащихся путем доказательства основных аксиом евклидовой геометрии, V-аксиомы Евклида и эквивалентных ей теорий.
Ключевые слова: аксиома, постулат, эквивалентные теории, параллельные прямые, элементарные понятия геометрии.
Kirish. Geometriya fani qadimiy fan bo'lib, uning ba'zi nazariy asoslari eramizdan oldingi VII asrdayoq ma'lum bo'lgan. Masalan Fales teoremasi. Ammo geometriyaning asosiy fan shaklida rivojlanishi eradan oldingi III asrlarga to'g'ri keladi. Shu davrda Yevklid aniq fanlarning asosi bo'lgan "Negizlar" asarini yozgan. Yevklid qatiy deduktiv asosda geometriya fanini yaratishga xarakat qilgan. Bunda u fanning ta'rifsiz qabul qilinadigan asosiy tushunchalarini va isboti talab qilinmay qabul qilinadigan postulatlar yordamida fanning asosiy o'rganadigan obektlarini bog'lashga urungan. Demak u postulat va aksioma atamalari deyarli bir xil o'rinda qo'llaniladi. Asosiy tushunchalar deb "nuqta", "to'g'ri chiziq" va "tekislik"larni atagan. Bu asosiy tushunchalar qanoatlantiruvchi postulatlarni keltirgan. Yevklidning "Negizlar" asari 10 tomdan iborat. Bu asarda geometriya fanining asosi berilgan. Bunda Yevklid asosiy tushunchalarni ta'riflashga urungan. Boshlangich tushunchalar qanoatlantirishi zarur bo'lgan postulatlarni (aksiomalarni) keltirgan.
Asosiy qism.
Yevklidning tekislikdagi geometriya uchun asosiy aksiomalar quyidagilardir.
1-aksioma. Ikki nuqtadan bitta va faqat bitta to'g'ri chiziq o'tadi (1 -rasm).
1-rasm
2-aksioma. To'g'ri chiziq tekislikni ikki yarim tekislikka ajratadi (2-rasm).
"RAQOBATBARDOS H KADRLAR TAYYORLASHDA FAN - TA'LIM - ISHLAB CHIQARIS H INTEGRATSIYAS INI TAKOMILLAS HTIRIS H ISTIQBOLLARI" MAVZUSIDAGI XALQARO ILMIY-AMALIY KONFERENSIYA 2023-yil 22-noyabr
2-rasm
3-aksioma. Nurda ixtiyoriy uzunlikdagi kesma ajratish mumkin (3-rasm).
a_.
V—---B
A
3-rasm
4-aksioma. To'g'ri burchaklar o'zaro tengdir (4-rasm).
4-rasm
Xozirgi vaqtda faqat shu to'rt aksiomaga asoslangan tekislikdagi geometriya "absalyut geometriya" deb ataladi.
"Absalyut geometriya"ga geometriya fanining parallellik bilan bog'liq bo'lmagan barcha tushunchalari kiradi, hamda u barcha geometriyalarning fondamental qismini tashkil qiladi. Parallellik tushunchalari bilan bog'liq nazariy qismni o'rganish uchun, yana bir, beshinchi aksioma qabul qilingan.
Yevklidning V- aksiomasi quyidagicha .
5-aksioma. Agar ikki ^ va l2 to'g'ri chiziqlarni uchunchi l to'g'ri chiziq kesib, ular bilan qaysi tomonda yig'indisi ikki to'g'ri burchakdan kichik burchak xosil qilsa, to'g'ri chiziqlar shu tomonda kesishadi (5-rasm).
5-rasm
Yevklidning bu aksiomasi o'sha davrning o'zidayoq shubxa ostiga olingan. Beshinchi aksiomani avvalgi to'rtta aksiomalardan foydalanib isbot qilishga urunishlar bo'lgan. Xatto Yevklidning o'zi ham V- aksiomani avvalgi to'rtta aksiomadan foydalanib isbot qilishga xarakat qilgan. Ammo bu muammoni xal qilishga urunishlar samarasiz tugagan yoki bu aksioma o'rniga boshqa ko'rinishdagi aksiomani qabul qilishga to'g'ri kelgan.
Odatda V- aksioma muammosi parallellik muammosi deb ataladi.
"RAQOBATBARDOSH KADRLAR TAYYORLASHDA FAN - TA'LIM - ISHLAB CHIQARISH INTEGRATSIYASINI TAKOMILLAS HTIRIS H ISTIQBOLLARI" MAVZUSIDAGI XALQARO ILMIY-AMALIY KONFERENSIYA 2G23-yil 22-noyabr
Bunga sabab, Yevkliddan deyarli ikki asr keyin Prokl tomonidan kiritilgan, V-
aksiomaga ekvivalent bo'lgan ushbu aksiomadir.
Berilgan to'g'ri chiziqqa, bu to'g'ri chiziqda yotmagan nuqtadan yagona parallel to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin (6-rasm).
_M_Г_
, I'//I
6-rasm
Xozirgi davrda parallellik aksiomasi deb shu aksiomaga aytiladi.
Yevklidning V- aksiomani isbotlashga urunish, har doim unga ekvivalent bo'lgan, boshqa jumlalarni qabul qilishni taqazo etgan. Shu sababdan V- aksiomaga teng kuchli bo'lgan ko'plab jumlalar paydo bo'lgan.
Avvalo "teng kuchli jumla" nima ekaniga e'tibor qarataylik.
Matematikada mazmunan bir xil va shaklan har xil bo'lgan jumlalar ekvivalent jumlalar deb ataladi.
Masalan. Yevklid geometriyasida quyidagi ikki jumla ekvivalent jumlalarga misol bo'ladi.
a) Uchburchakning ichki burchaklari yig'indisi 1800 ga teng.
b) Uchburchakning tashqi burchagi, uchburchakning bu tashqi burchakka qo'shni bo'lmagan ikki burchagi yig'indisiga teng bo'ladi (7-rasm).
(7-rasm)
Bu tasdiqlarni birini ikkinchisidan kelib chiqishini ko'rish mumkin.
Yevklidning beshinchi aksiomasini undan avvalgi aksiomalar yordamida isbot qilishga urunishlar jarayonida, qandaydir bir yangi tushunchani qabul qilishga to'g'ri kelgan. Aksariyat xollarda bu qabul qilingan tushuncha beshinchi aksiomaga ekvivalent bo'lib qolgan. Biz quyida shu beshinchi aksiomaga ekvivalent bo'lgan ba'zi jumlalarni keltirib o'tamiz. Endi parallellik aksiomasiga ekvivalent jumlalardan misol keltiramiz. 1-jumla. Uchburchak ichki burchaklari yig'indisi ikki to'g'ri burchak kattaligiga teng (8 -
rasm).
8-rasm a + ß + y = 2d
Buni parallellik aksiomasidan foydalangan xolda isbotlasak bo'ladi.
"RAQOBATBARDOSH KADRLAR TAYYORLASHDA FAN - TA'LIM - ISHLAB CHIQARISH INTEGRATSIYASINI TAKOMILLAS HTIRIS H ISTIQBOLLARI" MAVZUSIDAGI XALQARO ILMIY-AMALIY KONFERENSIYA 2G23-yil 22-noyabr
Biror tekislikda I to'g'ri chiziq va bu to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lmagan A nuqta berilgan bo'lsin. A nuqtadan I to'g'ri chiziqqa parallel to'g'ri chiziq o'tkazamiz va A nuqtadan 2 ta og'ma o'tkazsak, bu og'malar V-aksiomaga ko'ra I to'g'ri chiziqni biror В va С nuqtalarda kesib o'tadi (9-rasm).
A
С D
9-rasm.
Bu yerda y = x va ß = y ichki almashinuvchi burchaklar bo'lgani uchun bular teng bo'ladi. Demak , x + a + y= a + ß+ y = 2d ekanligi kelib chiqadi.
Bundan shuni aytish mumkinki paralellik aksiomasini qabul qilsak bu unga teng kuchli aksioma bo'lar ekan.
2-jumla. Agar to'rtburchakning uchta burchagi to'g'ri burchak bo'lsa, to'rtinchi burchagi ham to'g'ri burchak bo'ladi (10-rasm).
Fd-5Я
hi_Hd
10-rasm a = d
Buning isbotini keltirish uchun ikkita qarama qarshi to'g'ri burchaklari orqali dioganal o'tkazamiz. Natijada to'rtburchagimiz 2 ta uchburchakkaajraladi. Uchburchaklarning har birining ichki burchaklari yig'indisi 2d ga tengligidan to'rtburchakning ichki burchaklari yig'indisi 4d ga teng ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa 3 ta burchagi to'g'ri bo'lsa 4-burchagu ham to'g'ri burchak ekani kelib chiqadi (11-rasm).
11-rasm x + y = d, a + b = d x + a + d = 2d, y + b + с = 2d x+y + d + a + b + c = 4d с = d
"RAQOBATBARDOSH KADRLAR TAYYORLASHDA FAN - TA'LIM - ISHLAB
CHIQARIS H INTEGRATSIYAS INI TAKOMILLAS HTIRIS H ISTIQBOLLARI" MAVZUSIDAGI XALQARO ILMIY-AMALIY KONFERENSIYA 2023-yil 22-noyabr
Xulosa o'rnida shuni aytish mumkinki Yevklid geometriyasining asosiy aksiomalari va boshlangich tushunchalarni yaxshi bilish orqali o'quvchilarning geometriyaga bo'lgan qiziqishlarini va bu fanni mukammal o'rganish kerakligini tushuntiriladi. Ayniqsa Yevklidning V-aksiomasi va unga teng kuchli jumlalarni isbotlash orqali geometriya fanidan o'tilgan mavzularni takrorlashga sabab bo'ldi. Parallel to'g'ri chiziqlarni uchunchi to'g'ri chiziq kesib o'tkanda hosil bo'ladigan burchaklar haqida tanishiladi. Bundan tashqari o'quvchilarning uchburchaklar haqida bilimlari mustaxkamlanadi. Uchburchakning ichki burchaklari yig'indisi 1800 ga teng ekanligini hamma bilsa ham bu aksioma darajasidagi jumla ekani tushuntirildi. Geometriyaning boshlangich tushunchalarini qanday tasavvur qilish kerakligi keltirildi.
REFERENCES
1. A.Artiqboyev, I.Xatamov "Tekislikda to'qqiz geometriya" o'quv qo'llanma. Toshkent. Zukko kutibxon nashriyoti 2021-yil. А
2. N.Dadajonov, R. Yunusmetov, T. Abdullayev Geometriya II-qism. Toshkent. O'qituvchi nashriyoti. 1988 yil
3. N.G'aybullayev. Maktabda Noyevklid geomatriya elementlari. Toshkent. O'qituvchi nashriyoti. 1971 yil.
4. Н.В.Ефимов. Высшая геометрия. Москва. Физматлит. 2004
5. Б.Ф.Когон. Основания геометрии. I ва II том, ГИТТЛ, Москва. 1956.
6. I. M. Hatamov, SH. U. Fayzullaev. Lobachevskiy tekisligining gipervoloid ustidagi talqini. Fizika, matematika va informatika. Ilmiy - uslubiy jurnal. Toshkent - 2019 yil. 1-son.
7. Sh. U. Fayzullaev. Puankare talqinining fazoviy tasviri. "Zamonaviy matematikaning nazariy asoslari va amaliy masalalar" Respublika ilmiy-amaliy anjumani materiallari to'plami. Andijon. 28-mart 2022 yil. I-qism.
8. Н.Г.Подаева , Д.А. Жук. Лекции по основам геометрии. Елец: 2008г.
9. В. В. Прасолов Геометрия Лобачевского Независимый Московский Университет Математический колледж МЦНМО 2014.
