Явная формула многообразий решения одного класса регулярных квазилинейных уравнений в частных производных 3-го порядка гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.93

ЯВНАЯ ФОРМУЛА МНОГООБРАЗИИ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕГУЛЯРНЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ в частных производных 3-го ПОРЯДКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

© 2009 г. А.К. Ильясова1, Г.А. Айгунов2, С.Т. Фозилов3

1Астраханский государственный технический университет, 414025, г. Астрахань, ул. Татищева, 16, [email protected]

1Astrakhan State Technical University, 414025, Astrakhan, Tatishev St., 16, [email protected]

Дагестанский государственный университет, 367000, Дагестан, г. Махачкала, ул. Гаджиева, 43а, [email protected]

3Астраханский государственный университет, 414025, г. Астрахань, ул. Татищева, 20а, [email protected]

Dagestan State University, 367000, Dagestan, Makhachkala, Gadjiev St., 43a, [email protected]

3Astrakhan State University, 414025, Astrakhan, Tatishev St., 20a, [email protected]

Исследуется вопрос получения явной формулы многообразия решений для квазилинейного уравнения в частных производных 3-го порядка гиперболического типа через 3 произвольные функции двух переменных путем сведения его к одному линейному уравнению в частных производных 2-го порядка гиперболического типа общего вида.

Ключевые слова: многообразие решений, квазилинейное уравнение, нелинейное уравнение, гиперболический тип, интегральное представление

In the present work the question of reception of the obvious formula of variety of decisions for quazilinear equation in private derivatives of the third order of hyperbolic type, through any three functions of two variables is investigated, reducing this equation to one linear equation in private derivatives of the second order of hyperbolic type of a general view.

Keywords: variety of decisions, quasi- linear differential equation, the nonlinear equation, hyperbolic type, integrated representation.

Пусть О - прямоугольный параллелепипед П(а,Р,у), определяемый неравенствами: 0 < х < а, 0 < у < в, О <г< у. Его грани:

Ща, /3) = &,у,г):0<х< а,0 < у < /3,г = 0 , Ща,у) = ($с,у,г):0<х<а,у = 0,0<г<у , ПЦЗ,г)= (X, у, г): х = 0,0< у< Д0< г<у В области О рассмотрим уравнение

83ы „ д2ы „ д2ы „ ды

--1- а(х, у)--1- Ь(х, у)--1- с(х, у)--ъ

дхдудг дхду дудг дг

(1)

+ d (х, у) ехр(-

д2и

С>Ы CftA

+ а(х,у) — + Ъ(х,у) — + с(х,у)и = 0 , дхду ох ду

Т д2и Lu =

V = У(х;у,х0,у0), которая называется функцией Рима-на. Известно, что она существует, если ах ~

ох

Ь.

db(x,y)

ЗУ

с = с(х.у) - непрерывные функции. В [3-

где a(x, y), Ь(х, y), c(x, y), d(x, y) - заданные вещественные функции своих аргументов; и = и(х, у, z) -искомая функция.

Известно, что представление многообразия решений общего линейного гиперболического уравнения 2-го порядка с регулярными коэффициентами вида

Зи Зи

+ А(х, у) — + В(х, у) — + С(х, у)и = f(x, у)

дхду дх ду

при условии, что все коэффициенты младших членов и правая часть тождественно равны нулю, даётся при помощи формулы Даламбера и содержит 2 произвольные функции одной переменной.

А.В. Бицадзе [1, 2] для этого уравнения получил в явном виде искомое решение задачи Коши через начальные данные. Оно выражается через решение однородного сопряженного уравнения, т.е. функцией

5] при решении задачи Коши для упомянутого общего линейного гиперболического уравнения 2-го порядка применяется метод интегральных уравнений.

Вопросам построения явных представлений многообразия решений как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа посвящены исследования [1-8].

Целью этой работы является получение для уравнения (1) представления многообразия решений через 3 произвольные функции 2 переменных сведением его к одному линейному уравнению в частных производных 2-го порядка гиперболического типа общего вида и применением методики из [6].

Относительно уравнения (1) имеет место

Теорема 1. Пусть в уравнении (1) выполняются

условия: а(х,у)еС\(П($,рЬ(х,у),с(х,у),с1(х,у) е

е С(П & /Г; а(х, у) ■ Ь(х, у) + = с(х, у) .

дх

Тогда всякое решение уравнения (1) ы(х, у, г) из класса С3 (О и П{а, ¡5) и П(а, у) и Л(Д /)) предста-вимо в виде

и(х, у, г) = ехр(-й>2 (х, у)У^1 (х,г) +

+ J срх (г, z) ехр(со2 (х,т)~ со2 (х, у) - сох (х, т))dт +

Уо

+ J ехр (со2 (х, т) - а>2 (х, y))d т х

Уо х

х J 1п|т7(/, r) + d(t, r)(z - z0 )| exp(o! (t, r) -

x0

- Щ (X, T))dt = (Щ ,Cpx,T]),

(2)

+ J ехр(<г>2 (x, т) — со2 (x, y))drx

Уо

x -1 x J 1п|т7(?, r)| exp(®j (t, t) — co1 (x, r))dt;

x0

б) u(x,0, z) = ц/х (x, z) ;

в) и(0, у, z) = ехр(-®2 (0, у))ц/1 (0, z) +

У

+ \ф\ (т, z) ехр(ю2 (0, г) - со2 (0, y))dz .

Уо

Замечание 2. Интегральные представления видов (2), (3) обратимы. Если известны и(х, у, г) на

„. ди ди д2и

П(а,Р),П(а,у),ЩР,У) и — —, —- на П(а,р),

ох оу охоу

то ч/1(х,г),<р1(у,г),т](х,у) находится из равенств:

ди

(х, z) = и (х,0, z); (pl(y,z) = —

ду

- a(0,y)u(0,y,z)

X—xq—Q

где ц/х(х,у), (р^ (х. у). 1](х.у)- произвольные вещественные непрерывные функции на n(a,ß), П(а,у), 77(Д у), причем у/х (х, z) е С3 (П(а, у)), срх (у, z) е еC2(n(ß,r)),V(x,y)^Cl(n(a,ß)) , Ю} , j= 1,2 -

д:

интегральные операторы щ(х, у) = \b(t, y)dt,

х0

У

со2(х,у) = fa(x,T)dr.

У о

Если Q (х, у) Ф 0, имеет место Теорема 2. Пусть в уравнении (1) выполняются условия: а(х,у) е С1Х(П^с, ß j]; Ъ(х,у), с(х,у), d(x,y) е

еС (n<t,ßX

Тогда любое решение уравнения (1) и = u(x,y,z) из класса С3 (Q и 77) представимо в виде

u(x, y, z) — R(x, y, z)+ (3)

У х

+ \dr\K(x,y,z,t,T)-R(t,r,z)dt,

Уо х0

где R(x,y,z) = 0^(i//1,<pl,f]), y/A(x,z),cpA(y,z),r](x,y) -произвольные вещественные непрерывные функции, П = n(a,ß)^> П(а, n(ß, у) ; щ (х, z) <е C3 (П(а, у)), cpY(y,z) еC2(IJ(ß,у), i](x,y)^C\n(a,ß)).

В (3) K(x,y,z,t,r) - резольвента интегрального

уравнения Вольтерра 2-го рода:

у

u(x,y,z) - J ехр (со2 (х, т) -ст2 (х, y))drx

Уо

х

х JCj(7, t)u(t,r,z)exp(ß7j (г,r) - izrj (х,г))Л = R(x,y,z) ■

Замечание 1. Значение функции u(x,y,z) на II(a,ß), П(а, у), П(р. у) находится из следующих равенств:

а) и(х, у, 0) = ехр (~со2 (х, уУ)щ (х,0) +

у

+ j <Pi (z\0) ехр(а>2 (х, т) - со2 (х, у) - сог (х, t))dt +

Уо

1

t](x, у)

= exp

a(х, y)b(х, y) + b(х, у)

z=zo=0

дх ( ^ , У ду

Теорема 3. Пусть в уравнении (1) а(х,у),с(х,у), d (х, у) е С (О), Ь(х, у) е Су (О.); коэффициенты уравнения связаны между собой следующим образом:

Э6 (х, у)

С 2 (х, у) = а(х, у)Ь(х, у) + -

ду

-с(х,у) и С2(х,у) = 0.

Тогда любое решение уравнения (1) из класса С3 (О и П(а, Р) и П(а, у) ^ Я(Д у)) представимо в явном виде и выражается формулой

и(х, у, г) = ср2 (у, г) ехр (—(х, у)) +

+ 1W2 (f,z) ехр(юх (t, у) - озх (х, у) - ш2 (t, y))dt +

хо

у

+ т) + d(t, t)(z-z0)| exp(ß>2 (t, -

У О

- «2 (t,y))dr = ф^ (<p2 ,TJ),

(4)

где ц/1(х,г),ср1(у,г),г](х,у)- произвольные вещественные непрерывные функции, причем у/2 (х, г) е е С3(П(а, у)), ср2 (у, ¿) е С\П(Р, у)), г/(х, у) е С Ц(а, Если С2 (х, у) ф 0 , имеет место Теорема 4. Пусть в уравнении (1) а(х,у), с(х,у),Л(х,у)еС(П), Ь(х,у)еСу(£1); функции а(х,у), Ь(х,у),с(х, у) такие, что С2 (х, у) Ф 0 .

Тогда любое решение уравнения (1) из класса С3(О и П(а,Р) и П(а, у) и П(Р, у)) представимо в виде

х у

и(х,у, 1) = Л*(х,у,2)+ \dt\K*(х,у,г,т)-жг,т,г)^ , (5)

хо Уо

где В* (х,у,г) = 0^(^2,^2,7]), К* (х,у,г,1,т)~ резольвента интегрального уравнения

х

и(х, у, г) — | ехр(ю1 у) — со1 (х,

х0

У

X ! С2 Т) ехр(<У2 г) - а>2 (г, у)) х

Уо

х и(/, т,z)dт - R* (х,у, г) , К (х,У,г) = Ф^(ср2,у/2,т]) = <р2(у,г)ехр(-й^(х,у)) +

X

+ \ ¥2 (*>2) ехрС»! (/, у) - (х, у) - а>2 (?, у))Л +

х0 х

+ | ехр (щ (Г, у) - са1 (х, у))Л +

х0

+ г) + £/(/, т)(г-г0)\ 1 ехр(а>2(1,т) - а>2(1'У))^т ■

Уо

Полученные интегральные представления (2) - (5) обеспечивают постановки для уравнения (1) ряда граничных задач и дают аналитический аппарат для их решения.

Литература

1. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М., 1982. 336 с.

2. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., 1981. 160 с.

3. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963.

Поступила в редакцию

4. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М., 1966. 292 с.

5. Нахушев А.М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Диф. уравнения. 1969. № 1. С. 79-84.

6. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией и сингулярными поверхностями: в 4 ч. Душанбе, 1980-1985.

7. Фозилов С.Т. Формула представления многообразия решений и граничные задачи для одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными третьего порядка в случае трех независимых переменных. // Диф. уравнения и их приложения : тез. докл. респ. науч. конф. Куляб, 1991. С. 166-169.

8. Фозилов С.Т., Ильясова А.К. Интегральные представления многообразия решений и граничная задача для одного класса квазилинейных уравнений в частных производных 2-го порядка гиперболического типа с одной сингулярной линией // Материалы 3-й Междунар. науч. конф., 2007. Махачкала, 2007. С. 193-199.

9. Раджабов Н.Р., Фозилов С.Т. Явная формула решений одного линейного уравнения 3-го порядка // Диф. геометрия и ее приложения : тез. докл. Междунар. конф. Одесса, 2004. С. 69-70.

21 декабря 2007 г.