Об однозначной разрешимости начальной задачи для одного квазилинейного дифференциального уравнения высшего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Физико-математические науки

УДК 517. 956

DOI 10.24411/2409-3203-2018-11728

ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Юлдашев Турсун Камалдинович

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры высшей математики Сибирского государственного университета науки и технологии

Россия, Красноярск

Аннотация: Изучена однозначная разрешимость начальной задачи для одного квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с интегральным коэффициентом в гиперболическом операторе. Выражение дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка через суперпозицию дифференциальных операторов в частных производных первого порядка позволило применять методов решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Доказана теорема об однозначной разрешимости поставленной начальной задачи методом последовательных приближений. Получена оценка сходимости итерационного процесса Пикара.

Ключевые слова: Начальная задача, уравнения высшего порядка, суперпозиция дифференциальных операторов, интегральный коэффициент, однозначная разрешимость.

ON SINGLE VALUE SOLVABILITY OF INITIAL VALUE PROBLEM FOR A QUAZILINEAR DIFFERENTIAL EQUATION OF HIGHER ORDER

Yuldashev Tursun K.

PhD, Associate professor of the Higher Mathematics Department, Siberian State University of Sciences and Technology Russia, Krasnoyarsk

Abstract: In this paper it is studied the one-valued solvability of the initial value problem for a quazilinear partial differential equation of the arbitrary order with an integral coefficient in the hyperbolic operator. Expression of partial differential equations of higher order as a superposition of first-order partial differential operators is allowed us to apply methods for solving first-order partial differential equations. Partial differential equations of the first order can be locally solved by the methods of the theory of ordinary differential equations, reducing them to a characteristic system. Are proved the existence and uniqueness of the solution of this problem by the method of successive approximation. Is obtained the estimate of convergence of the iterative Picard process.

Key words: Initial value problem, equation of higher order, superposition of partial differential operators, integral coefficient, the existence and uniqueness of the solution.

1. Постановка задачи

Представляют большой интерес с точки зрения физических приложений дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Многие задачи газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводятся к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков [1-3]. Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков рассматривались в работах многих авторов, в частности в [4-10].

Если дифференциальных уравнений высокого порядка можно записать в виде суперпозиции дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, то их можно локально решать методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи сведения их к характеристической системе. Применение метода характеристик к решению дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка позволяет свести изучение эволюции волн к изучению распространения частиц [11]. В работах [12, 13] разработаны методики интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. Эти методики были применены в работах [14-17] при изучении других задач.

В области 0 = О т х Я рассматривается квазилинейное уравнение вида

Гд дЛт Г Я2

— + A (t, x, u (t, x)) — д t д x

д2 2 д -a 2

2

д t ■

д x '

u

(t, x) = F ( t, x, u (t, x) )

с начальными условиями

дi

u (t, x)|i=0 =ф j( x), —r u (t, xV=0 =ф г+1( x), x g R , i = 1,2 n + m -1, 1 д t1 1

(1)

(2)

где u ( t, x) g C

2n+m, 2n+m

T œ

(Q) - искомая функция, 0 <a = jj K (s, y) u (s, y) dyds -

0 -œ

неизвестное число, A (t, x, u) g С (Qx R) , F (t, x, u) g С (Qx R) , ф i (x) g C 2n+m (R),

T œ

I = 1,2п + т , | Л К,у)\dyds <го, ОТ = [0,Т ], 0 < Т <го , п,т - натуральные числа.

0 -го

2. Сведение начальной задачи к интегральному уравнению

Начальная задача (1), (2) сводится к решению следующего интегрального уравнения

1 п ^ п —

и (^, х) = 0 (^, х; и, г) = — ^-х

( T

ф 2 i-1

Л

x -1 j j K (s, y) u (s, y) dyds

V 0 -œ

2 itî(n -1)!

Tœ

+ Ф 2 i-1

Y

1 n +2 * j

f (t -Ç) n-1

f

ф 2 y

V

T œ

ss

0 -œ

x +1 j j K (s, y) u (s, y) dyds

V 0 -œ

Л

+

x - (t - 2 ç) j j K (s, y) u (s, y) dyds

y=10 (n -1)!

f T œ Л

+

+

ф 2 y

x + (t - 2 ç) j j K (s, y) u (s, y) dyds

0 -œ

Ç

n - у

(n - y)!

dÇ+

n

GO

X

в котором

т { )2п 1 _ т-к

+ £/ \9 , ф 2п+к (г (?,0, Х))-^—-

к=10 (2п - 1)! (т - к)!

? _ \ ш+2п-1

+1 ,,, р (я , г (г, я , х), и (я , г (г, я , х)) )ё я ,

0

(т + 2 п -1) !

г (г, я , х) = х - | А (0, г (г, 0, х), и (0, г (7,0, х)))ё 0, г (г, Г, х) = х,

(3)

(4)

х - играет роль параметра.

С этой целью левую часть уравнения (1) запишем в виде

(

д

д

\т ( я2

— + А (г, х, и (г, х))-

д г д х

д2 2 д -а 2

2

д г ■

дх2

и =

с д.....д^т(д

— + А (г, х, и (г, х)) — д г д х

д^п ( д

--а —

дг д х

д

--+ а

дг д х

д

и = Вт Б" БП [и],

оператор

дд

где В [и] = иг +а их, В [и]=иг -а их , В2 =--+ А (г, х, и (г, х)) —

^ д г д х

типа Уизема-Хопфа. Тогда уравнению (1) перепишем в виде

о'о^о^ [и] = р (г, х, и (г, х)). (5)

Из (5) видно, что уравнение (1) имеет характеристики: 1)

г

хА (я, х, и (я, х)) ёя = С1, 2) х + а г = С 2; 3) х-а г = С 3, где С1 - произвольные

о

постоянные, / = 1,3.

Методика интегрирования уравнения (1) основана на введение функции трех аргументов. Пусть и (г, х) е С 2п+т,2п+т (□) _ решение начальной задачи (1), (2).

( д д

Рассмотрим дифференциальный оператор В2 =--+ А (г, х, и (г, х)) —

д г д х

Примем

обозначение г (г, я, х) = х - | А (0, х, и (0, х)) ё 0, г (г, г, х)

\ = х.

Вводим функцию трех аргументов к (г,я, х) = и (я, г (г,я, х)), я < г, такую, что И (г, г, х) = и (г, г (г, г, х)) = и (г, х). С учетом того, что

кя (г,я,х) = ия (я,г (г,я,х)) + иг (я,г (г,я,х))• гя =

= и я (я, г (г, я, х)) + А(я, г (г,я, х),и (я, г (г,я, х))) иг (я, г (г,я, х)), из уравнения (5) придем к следующему уравнению

д т

д я1

[к (г, я, х)] = Р ( я, г (г, я, х), к (г, я, х) ) .

Интегрируя теперь уравнения (6) т раз, получаем

д

т-1

д я'

ТБп Бп [к (г, я, х)] = Ф1 (г (г ,0, х))+

п

\п

г

£

+ Л ^ (г,г(г,г,х), к (г,г,х) )dг, (7)

0

о т-2

—т-2ШП Б0П [к(г,*,х)] = Ф2 (г(г,0,х))+ Ф1 (г(г,0,х))„ +

о *

+ Л („-г) ^ (г,г (Г, г,х), к (г, г,х) )dг, (8)

0

т „т-г

Ш Б п [к (г, „, х)] = ^Ф г (г ($ ,0, х)У-- +

г=1 (т - г)!

„ („ -г) т-1

+ Лщ р (г, г С, г, х), к (г, г, х) У г, (9)

0 (т-1)!

где Ф г (г (г ,0, х)) (г = 1, т) - произвольные постоянные вдоль первой характеристики,

подлежащие определению.

Начальные условия (2) для (7)-(9) выглядят так

0 т-1

г Б? Б % [к (г,0, х)]] = ф 2 п+т (г «,0, х)) ,

о т-2

0 я'

БЩ [к (г ,0, х)]] = ф 2 п+т-1 (г (* ,0, х)) , ... , БЩ [к (г ,0, х)]] = ф 2 п+1 (г (/ ,0, х)).

0 „

В силу этих условий, из (7)-(9) получаем, что

т „т-г

шп Б 0 [к (г, „, х)] = Хф 2 п+г (г (г ,0, х)У-- +

г=1 (т - г)!

„ („ -г) т-1

+ Л V р (г, г (г, г, х), к (г, г, х)) d г, (10)

0 (т 1).

г

где г (г, С, х) = х - Л к (г, 9, х) d 9.

С

При г = „ из (10) получаем, что

т г т-г

БП Бп [и(г,х)] = Хф2п+г (г(г,0,х)У-- +

г=1 (т - г).

г (г - г) т-1

+ Л^ р (г, г (г, г, х), и (г, г (г, г, х)) )d г, (11)

0 (т-1)!

г

где г (г, г, х) = х - Л А (9, г (г, 9, х), и (9, г (г, 9, х))) d 9.

г

Рассмотрим дифференциальное выражение Б1 [и ]= иг -аих. Обозначим

р(г, „, х) = х + а(г - „) . Вводим функцию трех аргументов & (г, „, х) = и („, р(г,„, х), такую, что &(г, г, х) = и (г, р (г ,г, х)) = и (г, х). С учетом того, что

& „ (г, „, х) = и„ („, р (г, „, х))+и р („, р (г, „, х)) • р„ = = и„ („,р (г,„,х))-а-и („,р (г,„,х)), уравнение (11) перепишем в виде

д п т „т-1

-В 0 [3 (г, я, х)] = Хф 2 п+, (г (я ,0, Р (г, я, х)))

д яп 0ь"4' ' " X * 2 п+- — ' "'(т - /')!

я (с -Я) т-1

+ 1Ч щ Р (я , г (я, Я, Р (я, Я, х)), 3 (Я, я, х) )ё я . (12)

0 (т-1)!

Интегрируя уравнения (12) п раз, получаем

д п 1 т я Я т-г

—В0п [3(г,я,х)] = Фт +1 (Р(г,0,х)) + Х|ф2п^ (г(Я,0,Р(я,Я,х)))-^— ёЯ +

д я г=10 (т ') !

я (с. - Я) т

+ 1^ Р (я , г (я, Я, Р (я, Я, х)), 3 (Я, я, х) )ё Я, (13)

т! 0 т!

д п-2

д яп-2

В п [3 (г, я, х)] = Ф т+2 (Р (г ,0, х)) + Ф т+1 (р (г ,0, х)) я +

т я т-г

+ Х1(я-Я) ф2п +' (г(Я,0,Р(я,Я,х))) Я ёЯ +

'=10 (т -г)! я (V -Я) т+1

+ 1 v Яп. Р (я , г (я, Я, Р (я, Я, х)), 3 (Я, я, х) ) ё Я, (14)

0 (т +1)!

эп-1

Вп [3(г, я,х)] = ^Фт+г (Р (г,0,х))^-у +

г=1

т я („ -Я) п-1 Я т-]

+ X 1\ ф2п+] (г(Я,0,Р(я,Я,х)))-^-ёЯ + ]=10 (п-1)! ] (т-])! я Я) т + п-1

+ 1 , Я , Р (я, г (я, Я, Р (я, Я, х)), 3 (Я, я, х) )ёЯ, (15)

^ (т + п -1) !

где Фт+г (Р(г,0,х)) (г' = 1,п)-произвольные постоянные вдоль второй характеристики,

подлежащие определению.

Начальные условия (2) для (13)-(15) выглядят так

д п-1 д п -2

- В0п [3 (г,0,х)] = ф2п (р(г,0,х)), —— В0 [3(г,0,х)] = ф2п-2 (Р(г,0,х)),... ,

д я д я

В п [3(г ,0, х)]=ф 2 (р (г ,0, х)). В силу этих условий, из (13)-(15) получаем, что

яп-г

В п [3 (г, я, х)] = Хф 2 г (Р (г ,0, х))^^ +

г =1

т я (я Я) п 1 Я т ]

+ X 1(, Я)п, ф2п+] (г(Я,0,Р(я,Я,х)))-^-ёЯ + ]=10 (п-1)! ] (т-])! я (V -Я) т+ п-1

+ 1 , 1Л , Р (я,г (я, Я,Р(я, Я, х)), 3 (Я,я, х) )ёЯ, (16)

^ (т + п -1) ! При г = я из (16) получаем, что

п г п-'

В п [и (г, х)] = Хф 2 г (Р (г ,0, х))-—- +

г=1 (п-г)!

п

п

т г (г - г) п-1 г т-}

+ Х Л (, г)п, ф2п+} (г(г,0,р(г,г,х)))-^ гтdг + }=10 (п -1)! } (т-})! г _ ч т+п-1

+ Л( г , р (г, г (г, г,р (г, г, х)), и (г,г (г, г, р(г, г, х))) )dг. (17)

О (т + п -1) !

Теперь рассмотрим дифференциальное выражение Б 0 [ и ]= и{ +а их. Обозначим q (г, „, х) = х-а (г-„). Вводим функцию трех аргументов w (г,„,х) = и(„, q(г,„,х), такую, что ^(г,г,х) = и (г,х). С учетом того, что ws (г, „, х) = и „ („, q (г, „, х)) + uq („, q (г, „, х)) • qs =

= и„ („,q (г,„,х)) + а-uq („,q (г,„,х)) ,

уравнения (17) перепишем в виде

0п п „п-г

[w(г, „, х)] = Хф 2г (р („,0, q)h—- +

о „п ¡=1 (п-г).

т „ („ -г) п-1 г т-}

+ Х Л (, ,,, ф2п+} (г(г,0,р(„,г,q)))-Г-г:dг +

}=10 (п-1). } (т-})! „ („ -г) т+ п-1

+Л, , р (г,г(„,г,р(„,г,q)), w (г,„,х))dг. (18)

О (т + п -1) . Интегрируя уравнения (18) п раз, получаем

^п-1 п п-г

^(г,„,х)] = Фт+п+1 (q(г,0,х)) + Х|ф2г (р(г,0,dг +

0 „ г=10 (п г).

т „ („ - г) п г т-}

+ Х Л ф2п+} (г(г,0,р(„,г,q)))-Г-^dг +

}=10 п. } (т-})! „ („ -г) т+п

+ Л („ г\ Р (г,г(„,г,р(„,г,q)), w (г,„,х) )dг, (19)

0 (т + п) .

0 п -2

[w (г, „, х)] = Ф т+п+2 (q (г, 0, х)) + Ф т+п+1 ^ (г, 0, х)) „ +

0 „п-2

п „ г п '

+ Х|(„-г)ф2г (р(г,0,dг +

г=1 0

т „ („ _г\п+1 гт-}

+ Х Л (* ф2п+} (г(г,0,р(„,г,q)))7^г.dг+

}=10 (п +1)! } (т-})!

„ („ -г) т + п +1

+Л( 1Л , Р (г,г(„,г,р(„,г,q)), w (г,„,х))dг, (20)

О (т + п +1) !

п „п-г п „ („ г)п-1 г п-}

w(г,„,х) = ХФт+п+г (q(г,0,х))-—- + Х /(, г)п, ф2} (р(г,0,dг +

г=1 (п-г). }=10 (п-1). } (п-})!

т „ („-г)2п-1 гт-к

+ Х Л „ , ф2п+к (г(г,0,р(„,г,q)))7^т¡dг+ к=10 (2п-1)! (т-к).

я (V -Я) т+ 2п-1

+ 1 ^-^Г Р (я , г (я, Я, Р (я, Я, я)), V (Я, я, х) ) ё Я, (21)

О (т + 2 п -1) !

где Фт+п+г (я(г,0,х)) (г = 1,п)-произвольные постоянные вдоль третьей характеристики,

подлежащие определению.

Начальные условия (2) для (19)-(21) выглядят так

д п-1 д п -2

ТЫ (г,0,х) = ф 2п-1 (я(г,0,х)) , п-2 ™(г,0,х) = ф 2п-3 (я(г,0,х)) , . .. ,

^-СЫ (г,0,х) = ф 2п-1 (я(г,0,х)), Ы(

ы(г ,0, х) = ф1 (я (г ,0, х)). В силу этих условий, из (19)-(21) получаем, что

п „ п-1 п я („ -Я)п-1 Я п-]

V (г, я, х) = Хф 2 г -1 (я (г ,0, х))-—- +Х1Я)1Ч, ф 2 ] (Р (я ,0, я))-^гт ё я +

г=1 (п-г)! ]=10 (п-1)! ] (п-])!

ш я ✓ \ 2п-1 ш-к

+ X 1 , ф 2 п+к (г (Я ,0, Р (я, Я, я)))~ 777 ё Я +

к=10 (2п-1)! (т-к)! я Я) т+ 2п-1

+ 1 (т-5)-^Г Р (я , г (я, Я, Р (я, Я, я)), V (Я, я, х) )ё Я, (22)

О (т + 2п-1) !

С учетом того, что

я (г ,0, х) = х-а г, р (г, я, я) = х, Р (я ,0, я (г, Я, х)) = х-а (г-2 я), при г = я из (22) получаем, что

п гп-г п г (г - я) п-1 Я п-]

и (г, х) = Хф 2 г-1 (х-а г)--- +Х1 \ 1Л, ф 2 ] (х-а (г-2 я))-5—- ё я +

г=1 (п-г)! ]=10 (п-1)! ] (п-])!

т I г, ч 2п-1 т-к

т (г Я) Я

Х1 (' Я\ , ф 2п+к (г (Я,0, х))-^-ёЯ + к=10 (2п -1)! (т-к)! ^^г^ш + 2 п-1

+ 1-7ТТ Р (я , г (г, Я, х), и (Я, г (г, Я, х)) )ё Я. (23)

*> / гм _1_ П г-1 _ I \

0 (т + 2 п-1) !

Теперь уравнение (1) в отличие от (11) запишем в виде

ш ¿Ш-1

'0

ш + '

Вп вп [и(г,х)] = Хф2п+г (г(г,0,х))--- +

г=1 (т-/)!

г (г- Я) ш-1

+ 1 V ^ Р (я , г (г, я , х), и (Я, г (г, Я, х)) )ё я . 0 (т-1)!

Повторяя процедуры (12)-(22), аналогично (23) получим

п г п-' п г (г - я) п-1 Я п-]

и (г, х) = Хф 2 г-1 (х + а г)--- +Х1 (, 1Л, ф 2 ] (х + а (г-2 я))-5—- ё я +

г=1 (п-г)! ]=10 (п-1)! ] (п-])!

т г (г - Я) 2п-1 Я т-к

+ Х I „ ~ ■ ф 2 п+к

(г (я ,0, х)}-^— ё Я + к=10 (2п -1)! (ш-к)!

г /, _ ч ш+2 п-1

+ 1Т—^-7тт Р (я , г (г, Я, х), и (Я, г (г, Я, х)) )ё Я. (24)

^(т + 2 п -1) !

Т ю

Из (23) и (24) с учетом а = 1 1К (я, у)и (я, у)ёуёя придем к (3) с (4).

0 -ю

3. Основные утверждения

Таким образом, вместо задачи (1), (2) будем изучать интегральное уравнение (3). В пространстве непрерывных функций с (о) изучаем однозначную разрешимость

интегрального уравнения (3).

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

i=1 xeR

J^n—i n (n —i)! put, x)'eQ

n—1 n—j

t n 1

L 0 <p sup ф 2i—1 (x) J-- + P sup ф 2 j (x) I j ? ?

m t (t — c)2n—1 _ m—k

+ P sup ф 2 n+k(x) j \ , , ... d q<A 0 <ю;

k=1(t, x)eQ '0 (2 n — 1)! (m — k)!

0 (n — 1)! (n —j)! 2n 1 m k

^ " ^ Л 0

—d q +

2. фi (x 1) — фi (x2) <Xi x1 —x2 , 0<xi = const, i = 1, m + 2n;

3. sup f (t, x, u) |< M (t), 0 < M (t) e С (Q T);

xeR

4. A (t,x,u 1) — Л(t,x,u2) < B(t)

u — u

1 —u 2

, 0<B (t) eС(QT);

5.

f (t, xb u 1) — f (t, x 2, u 2) < 0 (t)

x^ — x

1 x 2

+ N (t)

u1 u 2

0 <Q(t) eС(QT), 0<N(t) eС(QT);

г /, _ ч 2 п+т-1

6. 0 < тах Л(-)-М („)d я < А1.

ге0Т ^ (2п + т-1).

Тогда интегральное уравнение (3) имеет единственное решение в области О. Это решение можно найти методом последовательных приближений:

где

u 0(t, x) = 0, u T+1 (t, x) = ©( t, x; u x, rT), x = 0,1,2,..., Г0 (s, t, x) = x, rx (s, t, x) = x — j A (0, r% (0, t, x), u T (0, r% (0, t, x)))d 0.

(25)

Доказательство. В силу условий теоремы, для первой разности приближения (25) справедлива следующая оценка

п т п-г п t

u

(t, x) —u 0(t, x) <p sup ф 2i—1(x) --— +P suP jU 2 j (x)

■ - " (n —i)! j=1 (t,x)eQ 01

i=1 xeR

(t — q) n—1 q n—j

(n — 1)! (n — j)!

— d q +

t

+ P sup j ф 2 n + k (x)

k=1 (t,x)eQ 0

t

+ max i teQTJQ (2n + m — 1)!

2n 1 m k (t — q) q

d q +

(t —s)

(2n — 1)! (m —k)!

2 n+m —1

M (s) ds < A 0 +A1.

(26)

С учетом (26) и условий теоремы получаем, что для второй разности приближения (25) справедлива следующая оценка

u

T1

2(t,x) — u 1(t,x) <px2i—1 ,j jk(s,y)|-|u 1(s,y) — u0(s,y) dyds +

i=1

n t

+ P X 2 j j

0

(t — q)n—1 qn—j

0 —ю

T ю

j=1

(n — 1)! (n —j)!

— d qj j K (s, y) u 1 (s, y) — u 0 (s, y) dyds +

0 —ю

s

1

m

n

m t (t- с)2 n -1 с m-k t + ZX 2 n+k J , 7е-777 J B (0) U i(0, X)-U о (0, x) d 0 d C +

k =1

t \2 n +m-1

+J(,-s)

0

(2 n + m-1)!

(2n-1)! (m-k)!

t

Q(s) J B(0) u 1(0,x)-uо(0,x) d0 + N(s) u 1 (s,x)-u0(s,x)

<J H (t, s) u 1 (s,x) -u0 (s,x) \ds < (A0 + A 1)J H (t, s) ds,

ds <

(27)

где

H (t, s) = PXx 2-1 i=1

T

1 (t-s) n-1 sn-j

-+py X2 / J

(n-i)! Л2j 0 (n-1)! (n-j)!

d s +

(t-s)2n sm-k (t-s)

2 n + m-1

m

+ k5 X2n+k (2n-1) ! (m-k)! (2n + m-1)!

Q (s) J B (0) d 0 + N (s)

T ю

Р=1 11К (я, у) | ёуёя <ю.

0 -ю

С учетом (27) для третьей разности приближения (25) получим следующую оценку

u

3 (t 5x) -u 2 (t, x) <J H (t, s) u 2 (s, x) - u1 (s, x)

0

ds <

< (A0 + A 1)J H(t,s) J H(s,0)d0ds = (A0 +A1)

0 0

Продолжая этот процесс, по индукции получаем, что

J H(t,s)ds

2!

t

u t+1(t,x) -u T (t,< J H (t,s) |u T (s,x) - u T-1(s,x)

0

ds <

< (A 0 + A1)

J H(t,s)ds

x!

(28)

Из

оценки (28) следует, что последовательность функций jux (t,x) ,

определенная формулой (25), сходится абсолютно и равномерно в области Q. Пусть интегральное уравнение (3) имеет два решения: u (t, x) и 3(t, x) в области Q. Тогда для

разности этих решений по модулю справедлива оценка

t

Iu(t,x)-3(t,x) I < J H(t,s) Iu(s,x)-3(s,x)|ds.

0

Применяя неравенство Гронуолла-Беллмана к последнему неравенству, получаем, что |u (t, x) -3(t, x)| = 0 в области Q. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда для итерационного процесса (25) справедлива следующая оценка скорости сходимости

ux(t,x)-u(t,x) <(A0 +A1) — • exp{p},

x!

s

0

0

n-i

n

n

s

t

2

t

s

0

x

0

р = max J H (t, s) d

s < да.

Доказательство. Действительно, в силу условий теоремы с учетом (28) имеем

оценку

u т (t, х) - u (t, х) < u T+i(t, х) - u т (t, х) + u T+j(t, x) - u (t, x)

<

< (A 0 +A j) — + J H (t, s) u t (s, x) - u (s, x) t! i

t t

ds.

Применение неравенства Гронуолла-Беллмана к последнему неравенству дает оценку (29). Теорема доказана.

о

Список литературы

1. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Флаттер пластин и оболочек. - М.: Наука, 2006. -

248 с.

2. Замышляева А. А. Математические модели соболевского типа высокого порядка // Вестник Южно-УралГУ. Серия: Мат. моделирование и програм. - 2014. - Т. 7. - № 2. - С. 5-28. DOI: https://doi.org/10.14529/mmp140201

3. Benney D. J., Luke J. C. Interactions of permanent waves of finite amplitude // Journ. Math. Phys. - 1964. - Vol. 43. - P. 309-313.

4. Каримов Ш. Т. Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя // Известия вузов. Математика. - 2017. - № 8. - С. 27-41. Doi.org/10.3103/S1066369X17080035

5. Кошанов Б. Д., Солдатов А. П. Краевая задача с нормальными производными для эллиптического уравнения высокого порядка на плоскости // Дифференц. уравнения.

- 2016. - Т. 52. - № 12. - С. 1666-1681. DOI: 10.1134/S0374064116120074

6. Похожаев С. И. О разрешимости квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка // Математический сборник. - 1982. - Т. 117. - № 2. - С. 251265. http://mi.mathnet.ru/msb2202

7. Скрыпник И. В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. -Киев: Наукова думка, 1973. - 219 c.

8. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 52. - № 1. - С. 112-123.

http://mi.mathnet.ru/zvmmf9641

9. Юлдашева А. В. Об одной задаче для квазилинейного уравнения четного порядка // Дифференциальные уравнения. Математическая физика. Итоги науки и техники Серия: Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. Т. 140. М.: ВИНИТИ РАН, 2017. - С. 43-49.

http://mi.mathnet.ru/into233

10. Galaktionov V. A., Mitidieri E., Pohozaev S. I. Global Sign-changing Solutions of a Higher Order Semilinear Heat Equation in the Subcritical Fujita Range // Advanced Nonlinear Studies. - 2012. - Vol. 12. - No. 3. P. 569-596. DOI: https://doi.org/10.1515/ans-2012-0308

11. Горицкий А. Ю., Кружков С. Н., Чечкин Г. А. Уравнения с частными производными первого порядка. - М.: Мехмат МГУ, 1999. - 95 с.

12. Иманалиев М. И., Ведь Ю. А. О дифференциальном уравнении в частных производных первого порядка с интегральным коэффициентом // Дифференц. уравнения.

- 1989. - Т. 23. - № 3. - С. 465-477. http://mi.mathnet.ru/de6793

13. Иманалиев М. И., Алексеенко С. Н. К теории систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа Уизема // Докл. РАН. - 1992.

- Т. 325. - № 6. - С. 1111-1114.

14. Донцова М. В. Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями специального вида // Уфимск. матем. журн. - 2014. - Т. 6. - № 4. - С. 71-82.

Doi.org/10.13108/2014-6-4-68

15. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник ТомГУ. Математика и Механика. - 2012. - № 2. - С. 56-62. http://mi.mathnet.ru/vtgu253

16. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка // Вестник Южно-УралГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2012. - Вып. 6. № 11 (270). - С. 35-41. http://mi.mathnet.ru/vyurm104

17. Юлдашев Т. К. Начальная задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с вырожденным ядром // Изв. ИМИ УдГУ. - 2018. - Т. 52. - С. 116-130.

DOI: https://doi.org/10.20537/2226-3594-2018-52-09

УДК 517. 956

DOI 10.24411/2409-3203-2018-11729

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА СО СПЕКТРАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Юлдашев Турсун Камалдинович

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры высшей математики Сибирский государственный университет науки и технологии Красноярск, Россия

Абстракт: Рассмотрены вопросы разрешимости и построения решения нелокальной обратной краевой задачи для гиперболического интегро-дифференциального уравнения второго порядка с вырожденным ядром и спектральными параметрами. Вычислены значения спектральных параметров, получены необходимые и достаточные условия существования решения прямой и обратной задач. Разложены в ряд Фурье решения задач, соответствующие разным множествам значений спектральных параметров. Доказана абсолютная и равномерная сходимость рядов, возможность их почленного дифференцирования по всем переменным и абсолютная и равномерная сходимость дифференцированных рядов. Кроме того, показано, что решение заданного интегро-дифференциального уравнения устойчиво по функции переопределения и по заданной функции граничного значения.

Ключевые слова: Обратная задача, коэффициент переопределения, интегральные условия, спектральные параметры, разрешимость и построение решений.

DETERMINATION OF THE COEFFICIENT IN A NON-LOCAL INVERSE PROBLEM FOR AN INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF HYPERBOLIC TYPE WITH

SPECTRAL PARAMETERS