Моделирование колебательных процессов с использованием дифференциальных уравнений типа Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.24143/2072-9502-2018-3-117-123 УДК 517.955:517.968.43/.74

А. К. Ильясова, Ю. В. Булычева

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ТИПА ЛИУВИЛЛЯ

Задачи математического моделирования приводят к необходимости создания вычислительных алгоритмов, напрямую связанных с нахождением решений дифференциальных уравнений в частных производных в явном виде. В данном исследовании явные решения являются своеобразными тестами для приближенных методов и отображают суть общего решения. Каждое явное решение дифференциального уравнения имеет огромное значение: как точное представление исследуемого физического явления в рамках данной модели, как анализ проверки численных методов, как теоретическая основа для дальнейшего моделирования изучаемого процесса. Рассмотрены аспекты применения математического моделирования к изучению колебательных процессов. Предложены методы сведения решения дифференциальных уравнений к явному виду. Решение представлено через функции действительных аргументов. Областью применения может быть изучение волновых процессов. Рассматривается вопрос построения многообразия явных решений нелинейного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка с двумя граничными сингулярными плоскостями в пространстве и уравнения второго порядка общего вида со сверхсингулярными линиями на плоскости. На основе разработанного метода доказана единственность полученных интегральных представлений, поставлена и решена граничная задача типа Коши. Результаты сформулированы в виде теорем.

Ключевые слова: многообразие решений, нелинейное уравнение, гиперболический тип, интегральное представление, волновые процессы.

Введение

Математическое моделирование подразумевает выполнение трех основных последовательных шагов: 1) построение математической модели (в нашем случае это дифференциальное уравнение); 2) создание алгоритма; 3) написание программы, т. е. компьютерная реализация алгоритма. Аналитическое решение прикладных задач приводит нас к ограниченному кругу классов дифференциальных уравнений, т. е. многообразие физических и технических процессов описывается схожими математическими моделями. Как известно, нестационарные процессы диффузии, теплопроводности описываются дифференциальными уравнениями параболического типа; стационарные процессы диффузии, течения несжимаемой жидкости описываются уравнениями эллиптического типа; волновые процессы, колебания струны, стержня, электромагнитные колебания - уравнениями гиперболического типа. Все вышеупомянутые уравнения, а также их смешанные типы и лежат в основе математического моделирования. Проблемой является отсутствие явно выраженных формул, т. к. разработка вычислительных алгоритмов напрямую связана с построением решений дифференциальных уравнений. Каждое явное решение дифференциального уравнения имеет огромное значение: как точное представление исследуемого физического явления в рамках данной модели, как анализ проверки численных методов, как теоретическая основа для дальнейшего моделирования изучаемого процесса.

Таким образом, разработка аналитических методов решения дифференциальных уравнений является актуальной проблемой.

Одним из важных аспектов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных является изучение сингулярных и вырождающихся гиперболических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Интерес к ним определяется не только теоретическими выводами, но и практической значимостью полученных результатов в различных областях науки. В прикладных вопросах теории дифференциальных уравнений большое значение имеют работы по построению явных аналитических решений, что позволяет исследовать граничные задачи типа Дарбу и Коши. Этим и обусловлен один из факторов повышенного интереса к исследованию дифференциальных уравнений гиперболического типа выше первого порядка в плане получения для них явных формул многообразия решений через произвольные функции независимых переменных, число которых на единицу меньше порядка уравнения.

Монография Адамара [1] является одним из первых классических трудов, посвященных теории линейных уравнений в частных производных гиперболического типа с регулярными коэффициентами двухмерного пространства. В данной монографии впервые построено фундаментальное решение уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа с функциональными коэффициентами и изучены их приложения к принципу Гюйгенса. Установлено, что задача Гурса, как и задача Коши, сводится к доказательству существования непрерывного решения системы интегральных уравнений. В обоих случаях существование и единственность решений полученных систем доказывается методом последовательных приближений [2]. Кроме того, задача Коши исследуется с помощью соответствующего сопряженного уравнения, решение которого получено с помощью функции Римана [3].

Вопросам построения точных решений посвящены исследования В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянского, А. И. Жукова, С. Т. Фозилова [4] и других математиков России и зарубежья. Изучение вырождающихся гиперболических уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами тесным образом связано с теорией интегральных уравнений Вольтерра второго рода. При решении задачи Коши для уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа общего вида применяется метод интегральных уравнений. Решение задачи Гурса для этого уравнения сводится к решению системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Установлена связь между решениями некоторых модельных уравнений гиперболического типа со многими сингулярными поверхностями и гиперболическими уравнениями с регулярными коэффициентами. На этой основе был решен ряд граничных задач типа Коши и Дарбу [5]. Задача о нахождении непрерывных решений линейных гиперболических уравнений второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями приводят к исследованию двухмерных интегральных уравнений с фиксированными граничными особыми и сильно-особыми ядрами [6]. В общем случае линейные дифференциальные уравнения в частных производных третьего порядка исследованы в работе [7]. Вопросам изучения нелинейного уравнения третьего порядка посвящена работа [8].

Постановка и решение задачи

1. Исследуется нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка с двумя граничными сингулярными плоскостями в пространстве. Для рассматриваемого уравнения получена формула решения в явном виде, содержащая три произвольные вещественные функции двух независимых переменных.

Через П обозначим прямоугольный параллелепипед:

П(а, р, у) = {(x, y, z)|0 < x < а, 0 < у <р, 0 < z <у}.

Для двух сингулярных плоскостей введем обозначения:

П(а,у) = {(x,у,z)|0<x<а,у = 0, 0<z <у};

П(Р, у) = {(x, у, z)| x = 0, 0 < у <р, 0 < z <у}.

В области П рассмотрим уравнение

x.V

d3u

dx^dz

д 2u

+ xa( x, у)—— + уЬ( x, у) dxdz

д 2u

du

----+ c( x, у)—

дyдz dz

A

+

d 2u du du

+xyd (x, у) —— + xm( x, у ) — + уп( x, у) — + k (x, у )u = f (x, у), dxду dx ду

(1)

где u = u (x, у, z) - искомая функция трех независимых переменных.

В линейных случаях, когда ^ = 0 и ^ = 1, уравнение (1) исследовано в работах [6], [9] соответственно.

Настоящая статья посвящена исследованию уравнения (1) при любых значениях S, , за исключением S = 0 и S = 1.

Доказана справедливость следующего утверждения.

Теорема 1. Пусть в уравнении (1) выполнены условия:

1. a(х, y) е С\ (П) и удовлетворяет условию Гельдера

|a(x,y) - a(х,0) < Hr\y|а1,H = const, 0 < а < 1;

2. b(х,у) е C(П) и удовлетворяет условию Гельдера

|b( х, у) - b(0, у)| < H 2

х|“2, H2 = const, 0 < а 2 < 1;

3.

4.

0 < а( х, 0) < 1,0 < b(0, у) < 1; c(x, у) = а(х, y)b(x, у) + да(ху);

дх

m(х, у) = п(х, у) = k(х, у)

а(x, у) b(х у) с(х у)

Тогда любое решение уравнения (1) из класса С 3(П) представимо в явном виде

ф(х, z) + jх| b(0,T) exp(A(х, т))у(т, z)dx

0

u( х, у) = |уГ"°} exp(- A(х, у))

у х b(0 )

+||т|а(х,0) exp(A(x,т) - B(x,x))dxj|tx_1 ’ exp(B(t,x)(tx)-1V(t, x,z)dt)

0 0

где A(x, у), B( x, у), V (x, у, z) - интегральные операторы:

A( x, у) =j a( x’T) - a( x'0)d t;

0 T

x

B( x, у) = j

4 -|U

s .

+

■b(t, у) - b(0, у) dt

V (x, у, z) = d (x, у)

f z >

f (х, у) + П( х, у) d (х, у)

1 ^

; ц =

S-1

0; 1.

(2)

Поведение решения (2) в окрестности П(а, у) и Пф, у) определяются из следующих равенств:

(х, у) = 0(|у| a(х,0))при у ^ 0;

и

и(х, у) = 0(|у| m) 0 < m1 < 1 при х ^ 0.

В случае, когда функция b(х, у) е Сху (П), получена формула явного решения уравнения

(1). Изучены поведения решений в окрестностях сингулярных точек.

С помощью интегрального представления (2) ставятся и решаются граничные задачи различного типа. В частности, рассмотрим одну задачу типа Коши.

Задача. Требуется найти решение уравнения (1), которое удовлетворяет условиям:

и(0, у) = g1 (у); и( х, 0) = g2( х),

где gj( у); g2( х) - заданные непрерывные вещественные функции одной независимой переменной соответствующих классов.

Замечание 1. Полученное представление многообразия решений (2) имеет место и в случае, когда коэффициент уравнения (1) имеет слабую особенность.

Замечание 2. При условии, когда коэффициенты такие, что

m( х, y) n( x, y) k (x, y)

a( x, y) b( x, y) c( x, y)

задача о нахождении многообразия решений уравнения (1) сводится к решению нелинейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

Замечание 3. Способ, разработанный в данной работе, может быть применен к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с тремя и более сингулярными плоскостями трехмерного пространства.

2. Как известно, уравнение Лиувилля

д 2 u dxdy

р- exp[u( x, y)],

где p - константа, допускает явное решение через две произвольные вещественные функции одной переменной [3].

Очевидно, что при p = 0 решение данного уравнения выражается формулой Даламбера. Рассмотрим уравнение общего вида со сверхсингулярными линиями на плоскости.

Пусть Д представляет собой прямоугольник

П(а,b) = {(x,y)| |x| < a, 0 < y < b}.

Для двух сингулярных линий введем обозначения:

ГДа) = {(x, y)| |x| < a, y = 0};

Г2(Ь) = {(x,y)| x = 0,0 < y <b}.

В области Д рассмотрим уравнение

ym ддУг+y ap( y) it=y*f(y) exp (Ls[u]),

dxdy dx

(3)

где m = a + P, a и P - действительные числа, причем a > 1 и P > 1; p(y) и fy) - заданные вещественные функции для всех r2(b).

В линейном случае уравнение (3) в общем виде с двумя сингулярными линиями исследовано в работе [4].

Для уравнения (3) найдена явная формула интегральных представлений многообразия решений, содержащая две произвольные функции одного независимого аргумента, и исследован ряд граничных задач. Изучено поведение решения в окрестности точек сингулярной линии.

Таким образом, для уравнения (3) справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (3) такие, что:

1) f (y) е C[r2(b)]; f(y) Ф 0; y е ^(b);

2) p(y) е C[r2(b)], р(0) > 0; в окрестности Гх (а) удовлетворяет условию

|р(y) -р(0)| <Hy"k; H = const; H > 0; у >Р -1 при y ^ 0.

Тогда при условии, что a > 1 и Р > 1, решение u (x, y) уравнения (3) из класса С^у (Д) представимо в явном виде и дается с помощью формулы

i( x, y) = exp (р(0)юД y)-®2( y))

y

ф( x) + | exp (-р(0)ю1(х) +ю2(х)) ln

0

- f (T)( x + v(x))

-d т

(4)

а

т

где ф(х),ф(у) - произвольные вещественные функции, причем ф(х) е C1 [Гх(а)]; ф(у) е C[Г2(й)];

®iCv) = в—Л; Му) = [Ц(Т) ВЦ(0) dт; f (у)(x + y(y)) <0 для всех (x,у) е Д.

Р-1 0 тр

Решение вида (4) в окрестности Г1 (a) неограниченно и имеет следующий порядок: u(х,у) = 0(exp[|a(0)<D1(у)]) при у ^ 0.

С помощью полученного интегрального представления (4) ставятся и решаются граничные задачи различного типа.

Заключение

Таким образом, для дифференциальных уравнений второго порядка со сверхсингулярными линиями на плоскости и нелинейного уравнения третьего порядка с двумя граничными плоскостями в пространстве получены решения, выраженные в явном виде. Данные формулы дают возможность постановки и решения граничных задач.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. M.: Наука, 1978. 352 с.

2. СмирновМ. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк., 1985. 304 с.

3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных произвольных. М.: Наука, 1981. 448 с.

4. Фозилов С. Т., Раджабов Н. Р. Явная формула решений одного класса нелинейных уравнений третьего порядка // Естественные науки: журн. фундам. и приклад. иссл. 2004. № 3 (9). С. 101-104.

5. Раджабова Л. Н. Введение в теорию многомерных интегральных уравнений типа Вольтерра с фиксированными сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. Leipzig, Germany: LAB LAMBERT Academic Publishing, 2012. 502 p.

6. Ильясова А. К., Фозилов С. Т. Формула явного решения и граничная задача для одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с одной внутренней сингулярной точкой // Естественные и технические науки. 2007. № 3 (29). С. 16-19.

7. Фам К. Х., Квятковская И. Ю. Решение задач многокритериальной оптимизации для оценки качества объектов с неоднородными признаками // Вестн. Сарат. гос. техн. ун-та. 2014. Т. 2. № 1 (75). С. 185-192.

8. Ильясова А. К., Фозилов С. Т. Об одном методе нахождения решений линейного гиперболического уравнения с частными производными третьего порядка // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: сб. науч. тр. II Междунар. науч.-техн. конф. (Пенза, 4-5 октября 2007 г.). Пенза: Изд-во ПГУ, 2007. С. 6-11.

9. Шуршев В. Ф., Умеров А. Н. Моделирование процесса принятия решений при идентификации режимов смесей холодильных агентов // Вестн. Кузбас. гос. техн. ун-та. 2005. № 5 (50). С. 27-29.

Статья поступила в редакцию 21.03.2018

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Ильясова Альбина Куандыковна — Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; канд. физ.-мат. наук; доцент кафедры высшей и прикладной математики; [email protected].

Булычева Юлия Владимировна — Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; канд. пед. наук; доцент кафедры высшей и прикладной математики; [email protected].

A. K. Ilyasova, Yu. V. Bulycheva

SIMULATION OF OSCILLATORY PROCESSES USING DIFFERENTIAL EQUATIONS OF LIOUVILLE TYPE

Abstract. The problems of mathematical modeling lead to the necessity to create computational algorithms directly related to finding solutions of differential equations with partial derivatives in explicit form. In this study, explicit solutions are original tests for approximate methods that reflect the essence of the general solution. Each explicit solution of the differential equation has great importance as an accurate representation of the physical phenomenon under study within the framework of this model, as an analysis of the verification of numerical methods, as a theoretical basis for further modeling of the researched process. There have been considered aspects of the application of mathematical modeling to the study of oscillatory processes. Methods of reducing the solution of differential equations to an explicit form are proposed. Solution is given through functions of real arguments. The possible field of application is the study of wave processes. There is being considered the problem of building a variety of explicit solutions of the nonlinear third-order differential equation with partial derivatives with two boundary singular planes in space and second-order equation of general form with hyper-singular lines in the plane. On the basis of the developed method there has been proved the uniqueness of the obtained integral representations, and the boundary value problem of Cauchy type is posed and solved. The results are formulated in the form of theorems.

Key words: variety of decisions, nonlinear equation, hyperbolic type, integrated representation, wave processes.

REFERENCES

1. Adamar Zh. Zadacha Koshi dlia lineinykh uravnenii s chastnymi proizvodnymi giperbolicheskogo tipa [Cauchy problem for linear equations with partial derivatives of hyperbolic type]. Moscow, Nauka Publ., 1978. 352 p.

2. Smirnov M. M. Uravneniia smeshannogo tipa [Equations of hybrid type]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 1985. 304 p.

3. Bitsadze A. V. Nekotorye klassy uravnenii v chastnykh proizvol'nykh [Certain classes of equations in partial derivatives]. Moscow, Nauka Publ., 1981. 448 p.

4. Fozilov S. T., Radzhabov N. R. Iavnaia formula reshenii odnogo klassa nelineinykh uravnenii tret'ego poriadka [Explicit formula of solutions of one class of nonlinear equations of 3d order]. Estestvennye nauki: zhur-nalfundamental’nykh i prikladnykh issledovanii, 2004, no. 3 (9), pp. 101-104.

5. Radzhabova L. N. Vvedenie v teoriiu mnogomernykh integral'nykh uravnenii tipa Vol'terra s fiksiro-vannymi singuliarnymi i sverkhsinguliarnymi iadrami i ikh prilozheniia [Introduction into theory of multivariate integral equations of Volterra type with fixed singular and super-singular nuclei and their applications]. Leipzig, Germany, LAB LAMBERT Academic Publishing, 2012. 502 p.

6. Il'iasova A. K., Fozilov S. T. Formula iavnogo resheniia i granichnaia zadacha dlia odnogo klassa kvazi-lineinykh differentsial'nykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh vtorogo poriadka giperbolicheskogo tipa s odnoi vnutrennei singuliarnoi tochkoi [Formula of explicit solution and boundary problem for one class of quasilinear differential equations in partial derivatives of second order hyperbolic type with one inner singular point]. Estestvennye i tekhnicheskie nauki, 2007, no. 3 (29), pp. 16-19.

7. Fam K. Kh., Kviatkovskaia I. Iu. Reshenie zadach mnogokriterial'noi optimizatsii dlia otsenki kachestva ob"ektov s neodnorodnymi priznakami [Solving problems of multicriterial optimization for assessment of quality of objects with nonhomogeneous features]. Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2014, vol. 2, no. 1 (75), pp. 185-192.

8. Il'iasova A. K., Fozilov S. T. Ob odnom metode nakhozhdeniia reshenii lineinogo giperbolicheskogo uravneniia s chastnymi proizvodnymi tret'ego poriadka [On one method of finding solutions of linear hyperbolic equation with partial derivatives of 3d order]. Analiticheskie i chislennye metody modelirovaniia estestvennon-auchnykh i sotsial'nykh problem: sbornik nauchnykh trudov II Mezhdunarodnoi nauchno-tekhnicheskoi konfer-entsii (Penza, 4-5 oktiabria 2007g.). Penza, Izd-vo PGU, 2007. Pp. 6-11.

9. Shurshev V. F., Umerov A. N. Modelirovanie protsessa priniatiia reshenii pri identifikatsii rezhimov smesei kholodil'nykh agentov [Modelling decision-making process under identification of modes of refrigerant mixture]. VestnikKuzbasskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2005, no. 5 (50), pp. 27-29.

The article submitted to the editors 21.03.2018

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Ilyasova Albina Kuandykovna — Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Candidate of Physico-Mathematical Sciences; Assistant Professor of the Department of Higher and Applied Mathematics; [email protected].

Bulycheva Yuliia Vladimirovna — Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Candidate of Pedagogical Sciences; Assistant Professor of the Department of Higher and Applied Mathematics; [email protected].