CC BY
8
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2016. № 1-2 7
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
С.А. Алдашев1
КОРРЕКТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
В статье рассмотрена корректность краевых задач на плоскости для эллиптических уравнений методом теории аналитических функций комплексного переменного.
Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка в областях с ребрами подробно ранее изучены.
В работах автора найдены явные виды классических решений задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрических областях для одного класса многомерных эллиптических уравнений. В данной статье показана однозначная разрешимость локальной краевой задачи, которая является обобщением задач Дирихле и Пуанкаре. Получен также критерий единственности регулярного решения.
Ключевые слова: многомерное эллиптическое уравнение, локальная краевая задача, цилиндрическая область, критерий единственности, функция Бесселя.
Корректность краевых задач на плоскости для эллиптических уравнений методом теории аналитических функций комплексного переменного хорошо изучена в [1; 2].
При исследовании аналогичных вопросов, когда число независимых переменных больше двух, возникают трудности принципиального характера. Весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных уравнений теряет свою силу из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений [3].
Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка в областях с ребрами подробно изучены в [4-6].
В работах [7; 8], используя предложенный в [9; 10] метод, найдены явные виды классических решений задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрических областях для одного класса многомерных эллиптических уравнений.
В данной работе показана однозначная разрешимость локальной краевой задачи, которая является обобщением задач Дирихле и Пуанкаре. Получен также критерий единственности регулярного решения.
Алдашев С.А., 2016
Алдашев Серик Аймурзаевич ([email protected]), кафедра фундаментальной и прикладной математики, Казахский национальный педагогический университет им. Абая, 050010, Республика Казахстан, г. Алматы, пр. Достык, 13.
1. Постановка задачи и результат
Пусть — цилиндрическая область евклидова пространства Ет+\ точек (х\, ...,хт,Ь), ограниченная цилиндром Г = {(х,Ь) : \х\ = = 1}, плоскостями £ = = а> 0 и £ = 0, где \х\- длина вектора х = (х\, ...,хт). Части этих поверхностей, образующих границу дВа области Ба обозначим через Га, $а, Яо соответственно.
В области Ба рассмотрим взаимно сопряженные многомерные эллиптические уравнения
Lu = Axu + utt + a,i(x, t)uXi + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0, (1)
i=i
m
L*v = AxV + vtt - a,iVxi — but + du = 0, (1*)
i=i
m
где A.x— оператор Лапласа по переменным xi,...,xm, m ^ 2, а d(x,t) = c— aiXi —
i=i
— bt.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат xi,...,xm,t к сферическим г,в1,..., вт-1,t, r ^ 0, 0 ^ в1 < 2п, 0 ^ в^ ^ п, i = 2, 3, ...,m — 1. Рассмотрим следующую локальную краевую задачу
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Da из класса C 1(1?а)П ПО2(Da), удовлетворяющее краевым условиям
Ф1(г,в), u = ф(Ь,в), (0u + Yut) = Mr, в), (2)
So
Га
где в, 7 = const, в2 + y2 = 0, которая является обобщением задач Дирихле (7 = 0) и Пуанкаре (в = 0), исследованные в [7, 8].
Пусть {Ykm(9)} —система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 < к < кП, (m — 2)! n! kn = (n + m — 3)!(2n + m — 2), в = (в1, ..., вт-1), Wl2(S0), l = 0,1,...— пространства Соболева. Имеет место [11]
Лемма 1. Пусть f (г,в) € W2(S0). Если l > m — 1 , то ряд
w k
fk
n
n=0 k=i
f (r,e) = ^fl fk (гКт(в), (3)
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р ^ I — т + 1, сходятся абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того чтобы /(г, в) € Ш!,(Я0), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (3) удовлетворяли неравенствам
kn
\fi(r)\ < ci (r)\2 < C2, ci, C2 = const.
n=i k = i
kk ak k
Через акп(г,г), акп(г,г), Ькп(т,г), сП(т,г), ¿П(т,г), рП, фы(г), <Р2П(г), ФП(£) обозначим коэффициенты ряда (3) соответственно функций а^(т,в,1)р(в), а^р, Ь(т,в,Ь)р, с(т,в,Ь)р, ¿(т,в,Ь)р, р(в), г = 1,...,т, ф\(т,в), ф2(т,в), ф(Ь,в), причем р(в) € СЖ(Н),
Н — единичная сфера в Ет.
Пусть а,(т,в,г), Ь(т,в,г), с(т,в,г) € Ш!(Ба) с сфа), г = 1, ..,т, I > т + 1, с(т,в,г) < о, У(т,в,г) € ва.
u
Тогда справедлива.
Теорема 1. Если ф1(г,в) € Ш'2(Ба), ф(г,в) € Ш'2(Га), фгМ) € Ш'2(Бо), I > 3т
и
в th = в = 1, 2..., (4)
то задача 1 разрешима, где (ле,п — положительные нули функций Бесселя первого рода (т-2) (г).
Теорема 2. Если Ь(г,в, 0) =0, У(т,в) € Б0, то решение задачи 1 единственно тогда и только, тогда, когда выполняется условие (4).
Заметим, что если в = 0 или 7 = 0, то соотношение (4) выполняется всегда, поэтому в дальнейшем будем считать, что в = 0 и 7 = 0.
Доказательство теоремы 1. В сферических координатах уравнения (1) имеют вид
^ _ 1 ^ ^
Ьи = итт +--ит--2 + и« + / 0,г(т, в, Ь)и+ Ь(т, в, Ь)иI + с(т, в, Ь)и = 0, (5)
i=1
т-1 1 д ( ■ д \
5 = — ^¡Г -:--- — 8тт-3-1в1 — = 1, д„ = (втвь.^тв,-1 )2, ] > 1.
д^ вгпт-!-1в^ дв^ \ 3 дв■) 3 3
Известно [11], что спектр оператора 5 состоит из собственных чисел \п = п(п+ + т— —2), п = 0,1,..., каждому из которых соответствует кп ортонормированных собственных функций Укт(в).
Искомое решение задачи 1 будем искать в виде
к
1к
п=0к=1
(т,в,г) = ^^иП(т,г)УПк1т(в), (6)
где иП(т,Ь)— функции, подлежащие определению.
Подставляя (6) в (5), умножив затем полученное выражение на р(в) =0 и проинтегрировав по единичной сфере Н, для иП получим [9; 10]
( т \
Рои0тт + Роиш + т- Ро + Е 4) и0т + Ьоим + С(зи0+
со кп
| рП иПтт + рП ипгг +
+ Е Е {РпиПтт + РпиП» + т-1 рП + Е акп иПт + ъкпикп+ (7)
Рп игМ + I т рп + ат I ипт + Ьп ипЬ
п=1к=1 I _ \ г=1
к т
+ Скп — К^Г +Т.(акгп-1 — пакп i=1
ип = 0.
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
1 — 1 1 — 1 ^^ 1 1 — 1 / \
Ро и Отт + Ро и0« +--Ро и 0 т = 0 (8)
т
к-к . к-к , т — 1 к-к к-к 1 I 1-1 . Г1-1 . ~1-1
- - 1 " 1 -Р1111Г---Р1И1 = 14 " "■ 1 с 1 "
г г2 к1
к к к к - к к 1 к к 1 1 1 1 1 1 р1 и1гг + р1 Щи +--1— Р1 Щт--- Р1 и1 = / ^ами0т +о0им + с0и0 | , п = 1, к = 1, к1,
+
/ т
\1=1
кп-1 ( т
ЕЕ
к=1 и=1
^-1 +52ап-2 — (п — 1)акЫ-1) 1
(9)
к — к к — к т 1 к — к ^п к — к 1 \ ^ I у л к —к Тк —к
рпиптт + рпипП + т Рпипт — ~2 Рпип = — / ^ ип-1т +Ьп-1 ип-1г +
т т кп
и^Л , к = 1,кп, п = 2, 3.... (10)
и
Суммируя уравнение (9) от 1 до к\, а уравнение (10) от 1 до кп, а затем сложив полученные выражения вместе с (8), приходим к уравнению (7).
Отсюда следует, что если {иЩ, к = 1,кп, п = 0,1,.... — решение системы (8)-(10), то оно является решением уравнения (7).
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (8)-(10) можно представить в виде
ипгг + ипг пип + ипи = -к (т,Ь), (11)
где /п (т,Ь) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом
¡¿(т,г) = = о.
Далее, из краевого условия (2) в силу (6) с учетом леммы 1 будем иметь
1,-
(12)
ип(г, а) = Ф>1П(т), пкп(1,г) = фПвиП(г, 0)+ чиПь(г, 0) = фкп(г),к = 1,кп, п = 0,1,....
В (11), (12) произведя замену г^(т,Ь) = ип(т,Ь) — Фк(Ь), получим
-Пгг + ^ -Пг — ^ < + = !к(т,Ь), (13)
ик(т,а) = фкп(т), ик(1,Ь)=0,вик(т, 0)+ ^(т, 0) = фкп(т), (14)
!п(г,г) = &(т,Ь)- фПи + ФП, Ф1п(г) = фкп(г) - фП (а), Ф^п(т) = ф^п(т) -вфП (0) -7фПг(0),
к = 1, к , п = 0, 1, ... . Произведя замену иУк(т,Ь) = т( 2 ' (т,Ь), задачу (13), (14) приведем к следу-
ющей задаче:
ьик = икгг++ -п ик = с (т, ь), (15)
ик (т, а) = Фкп (т), ик (1,Ь)=0, вик(т, 0)+ 1икп, (т, 0) = ^(т), (16)
- [(т — 1)(3 — т) — 4\п ] 7к, ( т - 1) -к . ( т - 1) к
К = --Л А '-1, / (т,Ь) = т 2 /к (т,Ь), фскп (т)= т 2 фкп (т),
ф'кп (т)= т ^ ф'кп (т). Решение задачи (15), (16) ищем в виде
ик (т,Ь)= икп (т,Ь)+ икп (т,Ь), (17) где икп (т,Ь) — решение задачи
Ьи кп = /к (т,Ь), (18)
икп(т,а)=0, икп(1,Ь)=0, в-кп(т, 0) + к1ы(т, 0) = 0, (19) а и^кп (т,Ь) — решение задачи
Ьикп = 0, (20)
<(т, а) = Фкп(т), икп(1,Ь) = 0, в-кп(т, 0) + 1-кпг(.т, 0) = ^(т). (21)
Решение вышеуказанных задач рассмотрим в виде
икп (тт,Ь) = <Т Яа(т)Та (Ь), (22)
= 1
при этом пусть
fk(r,t) = £ak,n(t)Rs(t), tfjr) = Еbk,nRs(r), rfjr) = £ek,nRs(r). (23)
s = 1 s = 1 s = 1
Подставляя (22) в (18), (19), с учетом (23) получим
Хт + ^К + К =0, 0 <т< 1, (24)
Яя(1)=0, |Яя(0)| < те, (25)
Тм — №(г) = акп(Ь), 0 <г< а, (26)
Т» = 0, вТ8(0) + 7Т8г(0) = 0. (27) Ограниченным решением задачи (24), (25) является [12]
К (т) = (д^т), (28)
. (т-2) 2
где V = п +к 2 ', м = М2,п.
Общее решение уравнения (26) представимо в виде [12]
г
Тв,п(Ъ) = си ch + С2э sh +--а1;^)^ —
о
г
sh ^ [ акп(29)
№s,n J 0
где cis, c2s — произвольные постоянные, удовлетворив условию (27), получим систему алгебраических уравнений
а а
cis ch Hs,na + C2s sh ^s,na = s ^s,ra f ak n(£)ch Hs,n£d£ - c а f ak n(£) sh Ms,n£d£,
,r о ,r 0
ßcis + YMs, nC2s = 0,
которое имеет единственное решение, если выполняется условие (4). Подставляя (28) в (23), получим
1 __^О 1 ж
r-2 nr.t) = Е n(t)Jv (Ms ,nr), r-2 ^fn(r) = E bs, nJv (Ms , nr), s=1 s=1
l ж
r-2Ф2п(г) = E es,nJv(ms,nr), 0 <r < 1. s=1
Ряды (31) — разложения в ряды Фурье — Бесселя [13], если
1
2 i+\ _ оГ Т Л. М-2
(30)
(31)
as,n
(t) = 2[Jv+1(Ms,n)]-2 J vf(S,t)Jv(Hs,n№, (32)
1
= 2[7^+1(^в,„)] ека>п =2[^+1(^,п)] 2 У \/1фкп(£)Ъ
0 0
(33)
М«,п, в = 1, 2,...— положительные нули функций Бесселя Jv(г), расположенные в порядке возрастания их величины.
1
Из (28), (29) получим решение задачи (18), (19) в виде
ик„(М) = (^,пг), (34)
8=1
где а2и(г), с1а, с2а определяются из (30), (32).
Далее, подставляя (28) в (20), (21), с учетом (23) будем иметь задачу
ум - ^иК = 0, (35)
Уа(а) = Ь^и, вК(0) + тМО) = еки (36) Общее решение уравнения (35) имеет вид
Уа,и(г) = с'ь ^аи1 + с2а ^ (37)
где с1а, с2а — произвольные постоянные, удовлетворив условию (36), получим
с'и сЬ Ца,и°- + с2а ^ Ца,и°- = (38)
вс1а + 1^а,ис2а = ¿¡и' ( '
Из (28), (37) будем иметь
то
ЦиМ) = 53 ^Уа,и(№ (Ра,иГ), (39)
а=1
где Ь^и, ¿¡и, с[а, с2а находятся из (33),(38).
Следовательно, сначала решив задачу (8), (12) (п = 0), а затем (9), (12) (п = 1), найдем последовательно все иЧ(г, г) из (17), где ики(т,Ь), и!2и(г,г) определяются из (34), (39), к =1, ки, п = 0,1,.... Итак, в области Ба имеет место
J р(в)ЬиЗН = 0. (40)
н
Пусть ](г, в,г) = К(г)р(в)Т(г), причем Д(г) е У0, V) плотна в Ь2((0,1)), р(в) е е Сто(Н) плотна в Ь2(И), а Т(г) е У1, У1 плотна в Ь2((0,а)). Тогда ](г,в,г) е е У, У = Уо ® И ® У1- плотна в ¿2(£а) [14]. Отсюда и из (40) следует, что
У /(г,в,г)1иЯВа = 0
Ьи = 0, У (г, в,г) е Ба. Таким образом, решением задачи 1 является ряд
то ¡п
и(г, в,г) = ]Т Е {фЧ (г) + г ^ [<(г, г) + ик2и(г, г)]} Уп\т(в), (41)
и
п=0 2 = 1
где и\п(г,г), и2п(г,г) находятся из (34), (39).
Используя формулы (13), (15) 2JV(г) = .1„-1(г) — (г) и
1 / г \ V
^(г)к у , (42)
решение (41) можно оценить как степенной ряд.
{
и
Далее, учитывая условия на заданные функции ф1(т, в), ф(Ь, в),ф2(т,в) и леммы, оценки [11]
\kn\ < cin>
i-2
dq и —Yk (в)
dQ q ±n,mVJ )
< c2n 2
2-1+q j —
, j — l,m — l, q — 0, l,
по интегральному признаку Коши показано, что ряд (41) и продифференцированные ряды сходятся равномерно и абсолютно.
Это означает, что искомое решение в виде (41) принадлежит классу С 1(Ва) п С2(Ба), если 1> .
Следовательно, разрешимость задачи 1 установлена.
2. Доказательство теоремы 2
Сначала покажем единственность решения задачи 1. Для этого построим решение краевой задачи для уравнения (1*) с данными
— 0, (l3v+1vt)\So — Ф2(г,в) — Y, Yrfkn (rKm(Q), k — l,kn, n — 0, l,...,
со кп п=0к=1
(43)
где ф2п(г) € С, С— множество функций ф(т) из класса С ([0,1]) П С1 ((0,1)). Множество С плотно всюду в Ь2((0,1)) [14].
Решение задачи (1*), (43) будем искать в виде (6), где функции иП(т,Ь) будут определены ниже. Тогда аналогично п. 2 функции иП(т,Ь) удовлетворяют системы уравнений (8)-(10), где акп, акп, ЪП заменены соответственно на —<акп, —акп, —ЪП,
-h
а en на
¿П, i — —l,...,m, k — l,kn, n — 0, l,....
n ^ n 7 ^ iif,
Далее из краевого условия (43) в силу (6) получим иП(г,а)= иП(1,г)=0, виП(г, 0)+ 1икп1(т, 0) = фкп(т), к = 1кП, п = 0,1,.... (44)
Как ранее замечено, что каждое уравнение системы (8)-(10) представимо в виде. В п. 2 показано, что задача (11),(44) имеет единственное решение, если выполнено соотношение (4).
Таким образом, решение задачи (1*), (43) в виде ряда (41) построено, она в силу (42) принадлежит классу С 1(Ва) П С2(Ва).
Из определения сопряженных операторов Ь, Ь* [16]
vLu — uL*v — —vP (u) + uP (v) — uvQ,
где
P(u) — uxi cos (N^,Xi) + ut cos N±,t) , Q — ^ a, cos (N±,xi) — bcos (N±,t)
i=i i=i
а Nвнутренняя нормаль к границе dDa, по формуле Грина имеем
/о / du dv \ (vLu — uL*v)dDa — iv— — ud^jM + uvQ
dDa
где
ds, (45)
Я m Я Я m
— — £coe (N\xi) — + cos (N\t) M2 — $>s2 N\xXi) + cos2 N\t) .
Из (45), принимая во внимание однородные граничные условия (2) и условия (43), получим
У ф2(т,в)п(т,в, 0)ds = 0. (46)
So
Поскольку {Ф2п(г)} плотна в L2((0,1)) по предположению, а плот-
на в L2(H) ([11]), то линейная оболочка система функций {фк2П(г)^Пк1т(^)} будет плотна в L2(S0) ([11]), поэтому из (46) заключаем, что п(т,в, 0) =0, У(т,в) G S0.
Следовательно, в силу единственности решения задачи Дирихле [1-3] : Lu = = 0, п \ _ , _ =0, будем иметь u = 0 в Da.
Пусть теперь условие (4) нарушено, хотя бы для одного s = l.
Тогда, если решение однородной задачи, соответствующей задаче 1, будем искать в виде ряда (6), то приходим к краевой задаче
Lvkn = fk(r,t),
иП (т, а) = иП (1,t) = 0, /ЗиП (т, 0) + Yukt(r, 0) = 0, к = Т^кП, n = 0, 1, ....
В силу (29), (30), (37), (38) ее решением является функция
t
M,nvn (r,t) = Vr[pt, п(в sh rn,nt - YHi,n ch Hint) + (ch Hi,n t) J afn(£)sh Hi,n£d£-
0
t
-(sh Hi ,nt)J af n(£) ch Hi , n£d£]Jn+m-2) (hi , nT).
о ' 2
Следовательно, нетривиальные решения однородной задачи 1 записываются в виде ряда
то kn
t(r,e,t) = EE n-pr ^ uk (r, t)Yjkm(0).
n=1k=1
Из (42) следует, что u e Cl(Da) П C2(Da), если p> 3p. Теорема 2 доказана.
Литература
[1] Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 164 с.
[2] Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.:Наука, 1966. 203 с.
[3] Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
[4] Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О задаче косой производной в области с кусочно-гладкой границей // Функциональный анализ. 1971. № 5(3). C. 102-103.
[5] Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами на границе // Труды семинара С.Л. Соболева. 1978. № 2. С. 69-102.
[6] Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи мат. наук. 1983. Т. 38. Вып. 2(30). С. 3-76.
[7] Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных эллиптических уравнений // Вестник НГУ. Сер.: Математика, механика, инрформатика. 2012. Т. 12. Вып. 1. С. 7-13.
[8] Алдашев С.А. Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для одного класса многомерных эллиптических уравнений// Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2014. № 10(121). С. 17-25.
[9] Алдашев С.А. О задачах Дарбу для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 1. С. 64-68.
[10] Алдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы: Гылым, 1994. 170 с.
[11] Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.
[12] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 703 с.
[13] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. Т. 2. 295 с.
[14] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 543 с.
[15] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.
[16] Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1981. Т. 4. Ч. 2. 550 с.
References
[1] Bitsadze A.V. Uravneniia smeshannogo tipa [Equations of a mixed type]. М.: Izd. AN SSSR, 1959, 164 p. [in Russian].
[2] Bitsadze A.V. Kraevye zadachi dlia ellipticheskikh uravnenii vtorogo poriadka [Boundary value problems for elliptic equations of the second order]. М.: Nauka, 1966, 203 p. [in Russian].
[3] Bitsadze A.V. Nekotorye klassy uravnenii v chastnykh proizvodnykh [Some classes of partial differential equations]. М.: Nauka, 1981, 448 p. [in Russian].
[4] Mazya V.G., Plamenevsky B.A. O zadache kosoi proizvodnoi v oblasti s kusochno-gladkoi granitsei [On the task of directional derivative in the area with piecewise-smooth boundary]. Funktsional'nyi analiz [Functional analysis], 1971, 5:3, pp. 102-103 [in Russian].
[5] Mazya V.G., Plamenevsky B.A. Shauderovskie otsenki reshenii ellipticheskikh kraevykh zadach v oblastiakh s rebrami na granitse [Shauder decision assessment of elliptic boundary conditions in the areas key-staged on the boundaries] in Trudy seminara S.L.Soboleva [Proceedings of the seminar devoted to S.L. Sobolev], 1978, no. 2, pp. 69-102 [in Russian].
[6] Kondratiev V.A., Oleynik O.A. Kraevye zadachi dlia uravnenii chastnymi proizvodnymi v negladkikh oblastiakh [Boundary value problems for equations with partial derivatives in non-smooth areas]. Uspekh mat. nauk [Russian Mathematical Surveys], 1983, Vol. 38, Issue 2(30), pp. 3-76 [in Russian].
[7] Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Dirikhle v tsilindricheskoi oblasti dlia odnogo klassa mnogomernykh ellipticheskikh uravnenii [Correctness of Dirichlet problem in the cylindrical domain for one class of multidimensional elliptical equations]. Vestnik NGU. Seriia: Matematika, mekhanika, informatika [Siberian Journal of Pure and Applied Mathematics]. Novosibirsk, 2012, Vol. 12, Issue 1, pp. 7-13 [in Russian].
[8] Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Puankare v tsilindricheskoi oblasti dlia odnogo klassa mnogomernykh ellipticheskikh uravnenii [Correctness of Puankare problem for one
class of multidimensional elliptical equations]. Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaia seriia [Vestnik SamGU. Natural Science Series]. Samara, 2014, Vol. 10(121), pp. 17-25 [in Russian].
[9] Aldashev S.A. O zadachakh Darbu dlia odnogo klassa mnogomernykh giperbolicheskikh uravnenii [On Darboux problems for one class of multidimensional hyperbolic equations]. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 1998, Vol. 34, no. 1, pp. 64-68 [in Russian].
[10] Aldashev S.A. Kraevye zadachi dlia mnogomernykh giperbolicheskikh i smeshannykh uravnenii [Boundary value problems for multidimensional hyperbolic and mixed equations]. Almaty: Gylym, 1994, 170 p. [in Russian].
[11] Mikhlin S.G. Mnogomernye singuliarnye integraly i integral'nye uravneniia [Multidimensional singular integrals and integral equations]. M.: Fizmatgiz, 1962, 254 p. [in Russian].
[12] Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniiam [Reference book on ordinary differential equations]. M.: Nauka, 1965, 703 p. [in Russian].
[13] Beitmen G., Erdeyn A. Vysshie transtsendentnye funktsii [Higher transcendental functions]. Vol.2. M.: Nauka, 1974, 295 p. [in Russian].
[14] Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsii i funktsional'nogo analiza [Elements of the theory of functions and functional analysis]. M.: Nauka, 1976, 543 p. [in Russian].
[15] Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. M.: Nauka, 1966, 724 p. [in Russian].
[16] Smirnov V.I. Kurs vysshei matematiki [Course of higher mathematics]. Vol. 4, r. 2. M.: Nauka, 1981, 550 p. [in Russian].
S.A. Aldashev2
CORRECTNESS OF THE LOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM IN A CYLINDRICAL DOMAIN FOR ONE CLASS OF MULTIDIMENSIONAL ELLIPTIC EQUATIONS
Correctness of boundary value problems in a plane for elliptical equations has been studied properly using the method of the theory of analytic functions. At investigation of analogous problems, when the number of independent variables is more than two, there arise principle difficulties. Quite good and convenient method of singular integral equations has to be abandoned because there is no complete theory of multidimensional singular integral equations. Boundary value problems for second-order elliptical equations in domains with edges have been studied properly earlier. Explicit classical solutions to Dirichlet and Poincare problems in cylindrical domains for one class of multidimensional elliptical equations can be found in the author's works. In this article,the author proved that the local boundary value problem, which is the generalization of Dirichet and Poincare problem, has only solution. Besides, the criterion of uniqueness of regular solution is obtained.
Key words: multidimensional elliptical equation, local boundary value problem, cylindrical domain, criterion of uniqueness, Bessel function.
Статья поступила в редакцию 29///2016. The article received 29///2016.
2Aldashev Serik Aimurzaevich ([email protected]), Department of Fundamental and Applied Mathematics, Abai Kazakh National Pedagogical University, 13, Dostyk Ave., Almaty, 050010, Republic of Kazakhstan.
