Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для одного класса многомерных эллиптических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

С.А. Алдашев1

КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

Краевые задачи в обобщенных пространствах для эллиптических уравнений второго порядка в областях с ребрами хорошо изучены.

Корректные постановки краевых задач на плоскости для эллиптических уравнений методом теории аналитических функций комплексного переменного достаточно хорошо исследованы.

При исследовании аналогичных вопросов, когда число независимых переменных больше двух, возникают трудности принципиального характера. Весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных уравнений теряет свою силу из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений.

В данной статье методом, предложенным автором, показана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения задачи Пуанкаре в цилиндрической области для одного класса многомерных эллиптических уравнений.

Ключевые слова: корректность, многомерные эллиптические уравнения, функция, уравнение, цилиндрическая область, плотность, операторы, системы функций.

1. Постановка задачи и результаты

Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка в областях с ребрями изучены в [1—3].

В данной статье, используя предложенный в [4-6] метод, получено в явном виде классическое решение задачи Пуанкаре в цилиндрической области для одного класса многомерных эллиптических уравнений.

Пусть В- цилиндрическая область евклидова пространства Ет+\ точек (х1, ...,хт,Ь), ограниченная цилиндром Г = {(х,Ь) : \х\ = 1}, плоскостями £ = а> 0 и £ = 0, где \х\ — длина вектора х = (х\, ...,хт).

Части этих поверхностей, образующих границу дВ области В, обозначим через Га, Ба, Б0 соответственно.

х© Алдашев С.А., 2014

Алдашев Серик Аймурзаевич (aldash51@mail.ru), кафедра математического анализа, алгебры и геометрии, Казахский национальный педагогический университет им. Абая, 050012, Республика Казахстан, г. Алматы, ул. Толе би, 86.

В области D многомерные эллиптические уравнения

m

Lu = Axu + utt + ai(x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0, (1)

ai

i=i

L*v = AxV + vtt - aiVxi — but + du = 0, (1*)

i=i

m

где A.x— оператор Лапласа по переменным xi, ...,xm,m ^ 2, d(x,t) = c— aixi-bt.

i=i

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат xi,...,xm,t к сферическим r, в1,вт-1, t, r ^ 0, 0 ^ в1 < 2п, 0 ^ 6i ^ п, i = 2, 3, ...,m — 1. В качестве задачи Пуанкаре рассмотрим задачу

Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области D из класса C 1(D)nC2(D), удовлетворяющее краевым условиям

ut

S

= v(r,0), u = ф(Ь,в), u = ф,д), (2)

Го

при этом ф(а,в) = ф(1,в).

Пусть {Укт(в)} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 < к <'кп, (т — 2)\п\кп = (п + т — 3)!(2п + т — 2), в = (вг, ...,вт-1), ), I = 0,1,...— пространства Соболева.

Имеют место [7] утверждения, сформулированные в виде двух лемм. Лемма 1. Пусть /(г, в) £ (Б0). Если I ^ т — 1, то ряд

то кп

/ (Т,в) = ^ 1кк (г)Гпк,т(в), (3)

1 п \

n=0k=1

а также ряды, полученные из него дифференцированием до порядка р ^ I — т +1, сходятся абсолютно и равномерно.

Лемма 2. Для того чтобы /(г, в) £ (Яо), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (3) удовлетворяли неравенствам

^о кп

\fi(r)\ < ci(r)\2 < C2, ci, C2 = const.

n=1 k = 1

Через ~akn(r,t), akn(r,t), in(r,t), сП(r,t), d^(r,t), pt ФП(t), <фП(г) о^значим

коэффициенты разложения ряда (3) соответственно функций ai (r,9,t) p (в), aixip, b (r,e,t) p, c (r,e,t) p, d (r,e,t) p, р(в), i = 1,...,m, v (r,0), ф(Ь,в), ф(т-,в), причем р(в) € C^(H), H — единичная сфера в Em.

Пусть ai(r,e,t), b(r,e,t), c(r,e,t) € Wl2(D) С C(D), l > m + 1, i = = 1,..., m, c(r, e,t) < < 0, У(г, в, t) € D. Тогда справедлива

Теорема 1. Если v(r,e) € Wl2(S0), ф(^в) € W2(Га), ф(т,в) € Wl2(Sa), l > , то задача 1 разрешима.

Теорема 2. Если b(r,e, 0) = 0, Ч(т-,в) € S0, то решение задачи 1 единственно.

2. Доказательство теоремы 1

В сферических координатах уравнение (1) имеет вид m_1 S^z

Lu = urr +--ur--^ + utt + 2_s ai (r, в, t),uxi + b(r, в, t)ut + c(r, в, t)u = 0, (4)

i=1

где

m — 1

gjsinm—j—1Oj ddj

^sinm j 10jdjj , gi = 1, gj = (sin6i...sin6j—i)2, j > 1.

Известно [7], что спектр оператора 6 состоит из собственных чисел \п = п(п + + т— —2), п = 0,1,..., каждому из которых соответствует кп ортонормированных собственных функций УПкт(6)-

Решение задачи будем искать в виде

(5)

n=0 k=1

где йП(т,Ь) — функции, подлежащие определению.

Подставляя (5) в (4), умножив затем полученное выражение на р(9) =0 и проинтегрировав по единичной сфере Н для иП, получим [4-6]

Ро u0rr + р0м0И +

Р0 + У] ai0 ) u0r + b0u0 + c0u0 +

+

I m - 1 1 m 1 \

( -r-Р0 + = ai0 )

~ Kn ( (m 1 m \

V^ V^ ) k-k , k-k , m — 1 k , V^ k \ ¿^ \ Pnunrr + Pnuntt + I —-Pn +2-^ uin

n=1 k=1 I V i=1 /

_ k I v k I — k I j k — k I

Pn + > Uin unr + bnunt +

+

k m \ pn > \ ^f-k _ k \

— Xn Z2 + Z^(ain—1 — nain)

-n "n r2

)

с =0.

Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений

11

11

p0ll'0rr + f0u^tt +

(m — 1)

P°u0r = 0

(6)

(7)

k-k , k-k , (rm 1) k-k k -k -*- I \ '1-1 , с1 -1 , ~1 -1 1 i 7 i 7

Pi -1rr +P1 -1tt +--r-P1 U1r - Г2 P1U1 = I / ,ai0u0r +O0u0t + c0u0 | , n =1, k = 1, k1,

1 k1

/ m \i=1

(8)

k -k .k-k . (m — 1) k -k _ k-k =__1 sr^ I k -k +Ck-k i

pnUnrr + pnUntt + pn Unr 2 Pn-n — k / v I / v ain-1 'Un — 1r + Cn — 1 -n —1t +

r kn k=1 li=1

kn-

1 (

+

— 1 + ^2(alin — 1 - (n - 1)ain — 1)

k

cn — 1

-к

Un — 1

k = 1, kn, n = 2, 3..

(9)

Суммируя уравнение (8) от 1 до к\, а уравнение (9) — от 1 до кп, а затем сложив полученные выражения вместо с (7), приходим к уравнению (6).

Отсюда следует, что если {йЩ, к = 1,кп, п = 0,1,.... — решение системы (7)-(9), то оно является решением уравнения (6).

Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (7)-(9) можно представить в виде

111 — 1 \

(10)

Uk . m — 1 Uk _ Uk I Uk = f k( ,)

Unrr + r Unr r2 Un + Untt Jn (r, t),

где j!k (r,t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом Jo(r,t) = 0. Далее, из краевого условия (2) в силу (5) будем иметь

-nt(r, 0) = i>k(r), un( 1,t) = ^n(t), -n(r, a) = t-n(r),k = 1,kn, n = 0,1,.... (11)

д

1

k

В (10), (11), произведя замену иП (т,г) = иП(т,г) — фП (г), получим

-к . и-п тт +

т—1_к Хп _к . -к _ -кг Т и-пг — Т2 и-п + 'ипИ = Уп (т,

и-Пг(т, 0) = ¡П(т), и-П (1,г) = 0,и-П(т, а) = фП (т), к =1,кп, п = 0,1,..., УП(т,г) = уП(т,г) — фПи + ХХпфп, Vп(т) = ¡-П(т) — фПг(0), фП(т) = фП(т) — фП (а). Произведя замену и-П (т,г) = т ~ -^уП (т,г), задачу (12), (13) приведем к следующей

к

(12) (13)

задаче:

т к _ к . Хп к . к _ -к / , \

Ьип = ипгг + т2Уп + УпЬЬ = уп (т> 1)>

-иПь (т, 0) = ¡п (т), иП (1,г) = 0, иП (т, а) = фП (т),

Х- п =

[(т — 1)(3 — т) — 4Хп]

(т-1) _,

УП (т,ь) = туп (т,ь) фП(т) = т ( - ) фП(т).

VП(т) = т( - ) ¡П(т),

Решение задачи (14), (15) ищем в виде

Уп (т, г) = и 1п (т, г) + у2п (т, г),

где икп (т, г) — решение задачи

Ьи пП = Уп(т,ь),

икп (т, 0) = 0, иi (1,г) = 0, Vкп (т, а) = 0,

и-кп. (т, г) — решение задачи

ьу1

и2пг(т, 0) = Vк(т), икп(1,г) = 0, у^(т, а) = фП(т). Решение вышеуказанных задач рассмотрим в виде

то

у, (т,г) = £ я°(т)тв(г),

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

при этом пусть vк

Уп(т,г) =^2 аПа(г)Яв(т), ¡п(т) = ^2 еП зЯв(т), фП (т) = ^ ьП.,Кв(т).

(22)

Подставляя (21) в (17), (18), с учетом (22) получим

Евгт + Хл Ев + Е =0, 0 <т< 1,

Яв(1)=0, (0)| < то,

Тш — у,Тв(г) = аП в(г), 0 <г< а, Т3ь(0) = 0, Тв(а)=0. Ограниченным решением задачи (23), (24) является [8]

(23)

(24)

(25)

(26)

Ев(т) = (у,а,п т),

где V = п + , — нули функций Бесселя первого рода (г), ц = ц2в п Общее решение уравнения (25) представимо в виде [8]

Твп (г) = с 1 в еЬ Нэп г + С2в эЬ Цвп г + П [ аП —

а

0

Shßs'nt ' a^stächßs,nd,

ßs,n J 0

где eis, C2s — произвольные постоянные. Удовлетворив условию (26), будем иметь

(thßs,na) аП.в(£,) ch- a^^sh

Ch ßs,nt +

+(ch ßs,nt) J a^ns (£,) sh ßs,n - (sh ßs,nt) J a^^ch ßs,n£d£. (28)

00 Подставляя (27) в (22), получим

r-2 (r,t) = akns(t)Jv (ßs,nr), r-2 pn (r) = eknsJv (ßs,nr),

r 2 f>kn(r) = J2 bknsJv (ßs.nr), 0 <r < 1. (29)

s = 1

Ряды (29) — разложения в ряды Фурье — Бесселя [9], если

i

aknS(t) = 2[Jv+i(ßs,n)]-2 j Vlf!k(i,t)Jv(ßs,nS)d£, (30)

1 1

0 0

(31)

в = 1,2,... — положительные нули функций Бесселя jv (г), расположенные в порядке возрастания их величины.

Из (27), (28) получим решение задачи (17), (18) в виде

vkm(r,t) = £ VTTs(t)Jv(ßs,nr), (32)

s=i

где a'ns(t) определяются из (30).

Далее, подставляя (27) в (19), (20), с учетом (22) будем иметь

Tstt - /4,nTs =0, 0 < t < а, (33)

Tst(0)= ekns,Ts(a)= bkns. (34)

Общее решение уравнения (33) имеет вид

Ts,n(t) = eis chßs,nt + C2s sh[i.,,nt. (35)

Подчинив его условию (34), получим

ek bk ek

ns ns ns

C2s = -, eis = ^---thßs,na. (36)

^s,n ch ^s,n а ^s,n

а

а

Из (27), (35), (36) найдем решение задачи (19), (20)

то

У2П(г,Ь) = ^ (^,пт), (37)

где ЬПВ находятся из (31).

Следовательно, сначала решив задачу (7), (11) (п = 0), а затем (8), (11) (п = 1), найдем последовательно все иЛ(т,Ь) из (16), где и!п(т,Ь), и2„(т,Ь) определяются из (32), (37), к = 1,к„, п = 0,1,....

Итак, в области Б имеет место

У р(в)Ьи(Н = 0. (38)

Пусть /(т,в,Ь) = П(т)р(в)Т(Ь), причем Я(т) £ Уо, Уо плотна в Ь2((0,1)), р(в) £

£ Сто (Н) плотна в Ь2(В), а Т (Ь) £ Уь У1 плотна в Ь2((0,а)). Тогда / (т,в,Ь) £ У, У = У0 ® Н ® У1 плотна в Ь2(Б) [10]. Отсюда и из (38) следует, что

У/ (т,в,Ь)Ьи4Б = 0

Ьи = 0, У(т,в,Ь) £ Б. Таким образом, решением задачи Пуанкаре является сумма ряда

то N

и(т, в,Ь) = ^£ № (Ь)+ т^ [< (т, Ь) + ик2п (т, I VIт (в), (39)

п=02=1 ^ '

где и12п(т,Ь), икп(т,Ь) находятся из (32), (37).

Учитывая формулу [9] 2J'V (г) = — Ли+1(г), оценки [7; 11]

\к„ \ < С1П

т-2

дч 2 двЧ Уп,т (в)

< е2пт 1+4,3 = 1,т — 1, д = 0,1,..., (40)

ограничения на коэффициенты уравнения (1) и на заданные функции и(т,в), ф(Ь,в), ф(т,в), как в [4-6], можно показать, что полученное решение (39) принадлежит классу С1 (Б) П С2(Б).

Следовательно, разрешимость задачи Пуанкаре установлена.

и

3. Доказательство теоремы 2

Для этого сначала построим решение задачи Пуанкаре для уравнения (1*) с данными

и\ =0, иь\ = и(т,в) = рк(т)УП1!т(в), к = 17к~, п = 0,1,..., (41)

где (т) £ О, О — множество функций V(т) из класса С ([0,1]) ПС1 ((0,1)). Множество У плотно всюду в Ь2 ((0,1)) [10]. Решение задачи (1*), (41) будем искать в виде (5), где функции иЛ(т,Ь) будут определены ниже. Тогда, аналогично п. 2, функции иЛ(т,Ь) удовлетворяют системе уравнений (7)-(9), где акп, акп, ¿Л заменены соответственно на —ак„, —ак„, —¿Л, а сЛ на ¿Л, г = = 1, ...,т, к = 1,кп, п = 0,1,....

Далее, из краевого условия (41) в силу (5) получим

иП (г,а)= икп(1,1) = 0, укг(г, 0)= иП (г), к = М" п = 0,1,.... (42)

Как ранее замечено, каждое уравнение системы (7)-(9) представимо в виде (10). В п. 2 показано, что задача (10), (42) имеет единственное решение.

Таким образом, решение задачи (1*) (41) в виде ряда (39) построено, которая в силу оценок (40) принадлежит классу С1 (Б) П С2(О).

Из определения сопряженных операторов Ь, Ь* [12] вытекает равенство

иЬи — иЬ*и = —иР (и) + иР (и) — uvQ,

где

m m

P(u) = Uxi cos (NX + Ut cos ± , Q = ai cos ^N± ,x^ — b cos ^N±, t^ ,

i=1 i=1

а Nx — внутренняя нормаль к границе dD. По формуле Грина имеем

J(vLu — uL*v)dD = J [(иdN — u§N) M + uuQ] ds, (43)

D dD

где

' m r-v r-v ...

d = ^>os (n±,x^ +cos M2 ^cos2 (n±,x^ + cos2

dN

Из (43), принимая во внимание однородные граничные условия (2) и условия (41), получим

У v(r,0)u(r,0, 0)ds = 0. (44)

So

Поскольку линейная оболочка системы функций [иП(r)Yk:m(9)} плотна в L2(So) [10], то из (44) заключаем, что u(r,0, 0) = 0, У(г,0) £ S0.

Следовательно, в силу единственности решения задачи Дирихле [13,14] : Lu = = 0,ul =0, будем иметь u = 0 в D.

\SoUTaUSa

Таким образом, единственность решения задачи Пуанкаре доказана.

Литература

[1] Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О задаче с косой производной в области с кусочно-гладкой границей // Функц. анализ. 1971. № 5(3). С. 102-103.

[2] Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами на границе // Труды семинара С.Л. Соболева. 1978. № 2. C. 69-102.

[3] Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений частными производными в негладких областях // УМН. T. 38. Вып. 2(230). C. 3-76.

[4] Алдашев С.А. О задачах Дарбу для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. C. 64-68.

[5] Алдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы: Гылым, 1994. 170 с.

[6] Алдашев С.А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения. Орал: ЗКАТУ, 2007. 139 с.

[7] Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.

[8] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 703 с.

[9] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. T. 2. 295 с.

[10] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 543 с.

[11] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1966. 724 с.

[12] Смирнов В.И. Курс высшей математики: в 5 т. М.: Наука, 1981. Т. 4. 550 с.

References

[1] Maz'ya V.G., Plamenevesky B.A. On the problem with directional derivative in a domain with piecewise smooth boundaries. Funkts. analiz [Functional analysis], 1971, 5:3, pp. 102-103. [in Russian].

[2] Maz'ya D., Plamenevsky B.A. Shauderov estimates of solutions for elliptic boundary value problems in domains with edges on the boundary. Trudy seminara S.L. Soboleva [Proceedings of S.L. Sobolev's seminar], 1978, Vol.2, pp. 69-102 [in Russian].

[3] Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Boundary value problems for partial differential equations in non-smooth domains. UMN [UMN], Vol. 38, Issue 2(230), pp. 3-76 [in Russian].

[4] Aldashev S.A. On the Darboux problem for a class of multidimensional hyperbolic equations. Differentsial'nye uravneniia [Differential Equations], 1998, Vol. 34, pp. 64-68 [in Russian].

[5] Aldashev S.A. Boundary value problems for multidimensional hyperbolic and mixed type equations. Almaty, Gylym, 1994, 170 p. [in Russian].

[6] Aldashev S.A. Degenerate multidimensional hyperbolic equations. Oral, ZKATU, 2007, 139 p. [in Russian].

[7] Michlin S.G. Multidimensional singular integrals and integral equations. M., Fizmatgiz, 1962, 254 p. [in Russian].

[8] Kamke E. Handbook on ordinary differential equations. M., Nauka, 1965, 703 p. [in Russian].

[9] Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions. M., Nauka, 1974, 295 p. [in Russian].

[10] Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elements of the theory of functions and functional analysis. M., Nauka, 1976, 543 p. [in Russian].

[11] Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of mathematical physics. M., Nauka, 1966, 724 p. [in Russian].

[12] Smirnov V.I. The course of higher mathematics: in 5 vol. M., Nauka, 1981, Vol. 4. 550 p. [in Russian].

S.A. Aldashev2

WELL-POSEDNESS OF POINCARE PROBLEM IN THE CYLINDRICAL DOMAIN FOR A CLASS OF MULTI-DIMENSIONAL ELLIPTIC EQUATIONS

The boundary value problems for second order elliptic equations in domains with edges are well studied. For elliptic equations, boundary-value problems on the plane were shown to be well posed by using methods from the theory of analytic functions of complex variable. When the number of independent variables is greater than two, difficulties of fundamental nature arise. Highly attractive and convenient method of singular integral equations can hardly be applied, because the theory of multidimensional singular integral equations is still incomplete. In this paper with the help of the method suggested by the author, the unique solvability is shown and explicit form of classical solution of Poincare problem in a cylindrical domain for a one class of multidimensional elliptic equations is received.

Key words: well-posedness, multi-dimensional elliptic equations, function, equation, cylindrical domain, density, operators, systems of functions.

Статья поступила в редакцию 22/IX/2014. The article received 22/IX/2014.

2 Aldashev Serik Aimurzaevich (aldash51@mail.ru), Department of Mathematical analysis, Algebra and Geometry, Kazakh National Pedagogical University named after Abai, Almaty, 050012, Republic of Kazakhstan.