Начальная задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с вырожденным ядром Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ

2018. Том 52

УДК 517.956.35 © Т. К. Юлдашев

НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ

Изучена однозначная разрешимость начальной задачи для одного квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с вырожденным ядром. Выражение дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка через суперпозицию дифференциальных операторов в частных производных первого порядка позволило применять методов решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Доказана теорема об однозначной разрешимости поставленной начальной задачи методом последовательных приближений. Получена оценка сходимости итерационного процесса Пикара. Показана устойчивость решения начальной задачи по второму аргументу.

Ключевые слова: начальная задача, характеристики, производная по направлению, суперпозиция дифференциальных операторов, вырожденное ядро, однозначная разрешимость.

Б01: 10.20537/2226-3594-2018-52-09

§ 1. Постановка задачи

Представляют большой интерес с точки зрения физических приложений дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Многие задачи газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводятся к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков [1—3]. Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения в частных производных высокого порядка рассматривались в работах многих авторов, в частности в [4-10].

Если дифференциальных уравнений высокого порядка можно записать в виде суперпозиции дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, то их можно локально решать методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи сведения их к характеристической системе. Применение метода характеристик к решению дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка позволяет свести изучение эволюции волн к изучению распространения частиц [11]. В работах [12,13] разработаны методики интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. Эти методики были применены в работах [14-16] при изучении других задач. Интегро-дифференциальные уравнения в частных производных с вырожденным ядром раньше рассматривались в [17-19].

Задача. В области О = От х R требуется найти функцию € С2п+т>2п+т(О), удо-

влетворяющую уравнению

д д \т ( д2 д2 \п

Т г оо

Г1 rx

а/ / K (t,s,£) ) d^ds + F (t, x, u(t, x)) (1) J 0 J-x

и начальным условиям

д

u(t, x)\t=0 = ipi(x), -T—u(t,x)\t=0 = Lpi+i(x), x € R, i = l,2n + m-l, (2)

ш

где 0 < a = const, K(t, s, £) = f (£) ^ av(t) bv(s), av(t), bv(s) € C(QT), A — действитель-

V=1

ный ненулевой спектральный параметр, 0 < / I f (£) I d£ < то, F (t, x, u) € C(Q x R),

<Рг(х) € С2п+т(К), г = 1, 2п + т - 1, ПТ = [0; Т], 0 < Т < оо, К = (-оо; оо), п, пг, и -натуральные числа. Здесь предполагается, что функции а и(Ь) и Ь у (§) являются линейно независимыми.

Отметим, что при п = 1 и т = 0 из уравнения (1) получаем дифференциальное уравнение гиперболического типа. Для решения такого уравнения с начальными условиями используется формула Даламбера, играющая большую роль при изучении распространения волн [20, е. 52]. Формула Даламбера применяется и в работах современных математиков (см., например, [21, 22]). В нашей работе получаем формулу в качестве решения поставленной задачи (1), (2), из которой при п = 1 и т = 0 получаем аналог формулы Даламбера.

§2. Сведение задачи (1), (2) к интегральному уравнению

Сначала начальную задачу (1), (2) сведем к решению следующего интегрального уравнения:

1 п г т ±п—г

u(t> х) = 2 \^P2i-i(x - at) +<p2i-i(x + Cit)

i=l

t

TTÏ +

(n _ i)!

1 П ft (t _ С ) n-1 г 1 с n—j

+ 2 Еу0 (п- l)! + + - dç +

m rt (t _ с) 2 n—1 с m—k

+ E l (2n-l)l

çt Çj. _ ç-j 2n+m— 1

ш

X a v(с) cv + F (с, r (t, С, x), u(c, r (t, С, x)))

v=1

<k, (3)

где

0 (2n + m _ 1)!

r (t, с, x) = x _ J u(d, r (t,e,x)) <в, (4)

гТ Гте

с у = / / (£) Ь у (5) и(в, £) йв, и х играет роль параметра.

v

/0 J—те

С этой целью левую часть уравнения (1) запишем в следующем виде:

д д \т ( д2 д2 \п

dt ' dx J \dt2 dx2 д д \m i д д \n i д д

где D2 = + u(t, — оператор Уизема, D\[u] =ut — aux, Dq[u] =ut + aux.

Ш

Тогда уравнение (1) с учетом вырожденности ядра К(Ь, в, £) = /(£) ^ ау (Ь) Ьу(в) перепи-

и=1

шем в виде

¡■T ¡-те ш

m D'n Dn0 [u] = X/ / f(0Yla v(t) bv(s) u(s,0 dÇds + F (t, x, u(t, x)). (5)

J 0 J—те ___i

/0 J—(x v=1

Примем обозначение

fT рте

c v = / f (0 b v (s) u(s,0 dÇds. (6)

J 0 J-те

Тогда уравнение (5) примет вид

ш

D1? Dn1 Dn0 [u] = Xj^a v (t) c v + F (t, x, u(t, x)). (7)

a v ( t) c v

v=1

Из (7) видно, что уравнение (1) имеет следующие характеристики: 1) х — и(з, х) йз = С1,

_/о

2) х + аЬ = С2, 3) х — аЬ = Сз, где — произвольные постоянные, г = 1, 3.

Известно, что дифференциальные выражения Б2[и], Б 1[и], Бс[и] представляют собой (с точностью до множителя) производные функции и по направлениям I 12, I з

вдоль характеристик. Это позволяет представить уравнение (1) как обыкновенное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее изменение и вдоль характеристик.

Методика интегрирования уравнения (1) основана на введении функции трех аргументов. Пусть решение начальной задачи (1), (2) — и(Ь,х) из класса С2п+т'2п+т(0). Рассмотрим дифференциальный оператор Б 2 = -щ + х)-^. Вводим достаточно гладкую по функцию

трех аргументов Н(Ь, з, х) = и(з, г(Ь, з, х)), где г (Ь, з, х) = х — и(9, г (Ь, 9, х)) йв, г(Ь, Ь, х) = х.

■) а

Ясно, что з ^ Ь, Н(Ь, Ь, х) = и(Ь, г(Ь, Ь, х)) = и(Ь, х). С учетом того, что

Н а (Ь, з, х) = и а(з, г(Ь, з, х)) + и г (з, г(Ь, з, х)) ■ г а (Ь, з, х) = = иа(з, г(Ь, з, х)) + и(з, г(Ь, з, х)) ■ иг(з, г(Ь, з, х)),

из уравнения (7) приходим к более общему уравнению: дт "

дз

т Бпг Бп0 [ЧЬ, з, х)} = А ^ а„(в) си + Р{з, г(Ь, з, х), х)).

V=1

(8)

Интегрируя теперь уравнения (8) т раз, получаем

д

т— 1

дз

-г Б\ Бпс [Н(Ь, з, х)] = Ф1 (г(Ь, 0, х)) +

т— 1

+

А а V(я) с V + ^ (я, г(Ь, я, х), Н(Ь, я, х))

V=1

йя,

д

т-2

д з т-2

га

Б\ Бпс [Н(Ь, з, х)] = Ф 2 (г(Ь, 0, х)) + Ф 1 (г(Ь, 0, х)) з +

+ Г (з — я)

■)с

А ^ а V(я) с V + ^ (я, г(Ь, я, х), Н(Ь,я,х))

V=1

йя,

(9)

(10)

Бп0 Ш з,х)]=^г (/•(*, О, х)) —+

г=1

+

(з — я)

т-1

'с (т — 1)!

А^^а V (я) с V + ^ (я, г(Ь, я, х), Н(Ь, я, х))

V=1

йя,

(11)

где Фг (г(Ь, 0, х)) — произвольные постоянные вдоль первой характеристики, подлежащие определению, 1 = 1, т.

Начальные условия (2) для (9)—(11) выглядят так:

д

т-1

дз

3т Бп1 Бпс [Н(Ь, 0, х)] = <р 2п+т (г(Ь, 0, х)),

т-1

д

т-2

Бп1 Бпс [Н(Ь, 0, х)] = <р 2 п+т—1 (г(Ь, 0,х)), ..., Бп1 Б' [Н(Ь, 0,х)] = <р 2 п+1 (г(Ь, 0,х)).

т-2

дз

В силу этих условий из (9)—(11) получаем, что

ип0 3, X)} = 2п+г (г(*, 0, X)) -—-у +

г=1

а

с

т

т—г

а

т

т— г

+

(s - Я)

m— 1

I о (m - 1)!

Л av(я) cv + F (я, r(t, я, x), h(t, я, x))

v=1

ds,

где г (Ь, я, х) = х — ! Ь(Ь, в, х) йв. При Ь = в из (12) получаем, что

(12)

"" t m—г

D'l Dn0 [U(t, X)} =^2^2п+г (T(t, О, X)) -—-у

г=1

+

+

(t - я)

m— 1

'о (m - 1)!

Л ^2 а v(я) cv + F (я, r(t, я, x), u(s, r (t, я, x)))

v=1

dя,

где r (t, я, x) = x - J и(в, r (t, в, x)) dd.

(13)

Рассмотрим дифференциальное выражение Б1 [и] = иь — аих. Вводим функцию трех аргументов $(Ь,в,х) = и(в,р (Ь,в,х)), где р (Ь, в, х) = х — а (Ь — в), р (Ь,Ь,х) = х. Ясно, что Ь, х) = и(Ь,р (Ь, Ь, х)) = и(Ь, х). С учетом того, что

$ 3(Ь,в,х) = и3(в,р (Ь,в,х)) + ир (в,р (Ь, в,х)) ■ р8 (Ь,в,х) =

= и 3 (в,р (Ь,в,х)) — а ■ ир (в,р (Ь, в,х)), уравнение (13) перепишем в более общем виде:

я n m s m—i

— Dl [i)(t, s, x)] = (r (t, О, X)) —гу

+

+

(s - Я)

m— 1

'о (m - 1)!

Л^2 а v (я) c v + F (я, r (t^,p (t^,x)), $(t^,x))

v=1

dя■

Интегрируя теперь уравнения (14) n раз, получаем

д n—1

— Dn0 s, ж)] = Ф m+1 (p(t, 0,x)) +

ds

(14)

no— г

+ > .J ^ 2 п+г (Г (Я, 0, (Р (t, Я, X)))) _ <1Я +

г=1

+

(s-яУ m!

Л^2 а v (я) c v + F (я, r (t^,p (t^,x)), $(t^,x))

v=1

dя,

д n—2

Dn0 [i)(t, s, x)] = Ф m+2 (p (t, 0, x)) + Ф m+l (p (t, 0, x)) s +

д s

m rs я m—i

+ У, / (s-s)<P2n+i(r(t,0,(p(t,<;,x))))7-

г=1

+

(s - Я)

m+1

I о (m + 1)!

(m - i)!

Л ^ аv(я) cv + F (я, r (t^,p (t^,x)), $(t^,x))

v=1

dя,

s n— г

Dn0 [Щ S, x)] = У2 Ф т+г (p (t, 0, x)) --- +

г=1 (n - i)!

(15)

(16)

s

t

s

s

о

s

+Е

(з — я)

п— 1

V 2 п+3 (г (Ь, 0, (Р (Ь,я,х) )) )

-т—з

-гЛя +

+

3 = 1

Г8 (в-я) т+п~1 '0 (ш + п — 1)!

с (п — 1)! г (т — ¿)!

ш

А ^ а V (я) с V + ^ (я, г (Ь,я,р (Ь, я, х)), §(Ь,я,х))

V=1

йя,

(17)

где Ф т+г (р (Ь, 0,х)) — произвольные постоянные вдоль второй характеристики, подлежащие определению, г = 1, п.

Начальные условия (2) для (15)—(17) выглядят так:

д

п— 1

^^ бп0 О, X)] = V 2П (р (*, О, х)),

д

п— 2

—2 ПпсШ, 0,х)]= V 2 п—2 (р (Ь, 0,х)), ..., Бпс [§(1, 0,х)]= V 2 (р (Ь, 0,х)).

д з п—2

В силу этих условий из (15)—(17) получаем, что

п з п— г

Бп0 *)] = 2 г (р (*, О, X))

г=1

+

+

+Е

3=1

(з — я)

(з — я)

п— 1

(п — 1)!

V 2 п+3 (г (Ь, ° (р (Ь,я,х))))

т— 3

(т — ])!

ттг йя +

т+ п— 1

'с (т + п — 1)!

А ^ аV(я) сV + ^ (я, г (Ь,я,р (Ь,я,х)), §(Ь,я,х))

V=1

йя.

(18)

При Ь = з из (18) имеем

Бпс [и(Ь,х)]=^ V2 г (р (Ь, 0,х))

г

г=1

(п — {)!

ТГГ +

т гг

+

(Ь — я)

+ Е

3=1

т+п—1

(Ь — я)

п— 1

(п — 1)!

V2п+3 (г (Я, ° (р (Ь,я,х))))

т— 3

(т — ])!

тггйя +

'с (т + п — 1)!

А ^ аV(я) сV + ^ (я, г (Ь,я,р (Ь,я,х)), и(я,г (Ь,я,р (Ь,я,х))))

V=1

йя. (19)

Теперь рассмотрим дифференциальное выражение Бс[и] = и г+аих. Обозначим д (Ь, з, х) = = х — а (Ь — з), д (Ь, Ь, х) = х. Вводим функцию трех аргументов з, х) = и(з, д (Ь, з, х)) такую, что w(t,t,x) = и(Ь,х). С учетом того, что

w а(Ь, з, х) = иа(з, д (Ь, з, х)) + ич (з, д (Ь, з, х)) ■ да (Ь, з, х) =

= иа(з, д (Ь, з, х)) + а ■ ич (з,д (Ь, з, х)), уравнение (19) перепишем в виде

д

«)((, в, I) = (р («, 0, <г)) -г—ту

г=1

Г (з — я)п—1

+

т—з

V2п+з(г (Ь, ° (р (Ь,я,д))))

-ттйя +

+

з=1

Г8 (8~я)т+П~1

'о (т + п — 1)!

с (п — 1)! г (т — ¿)!

ш

А ^ а V(я) сV + ^ (я, г (Ь,я,р (Ь,я,д)), w(t,я,x))

V= 1

йя.

(20)

а

а

с

Й

с

г

п

п

п— г

Интегрируя уравнения (20) п раз, получаем

дп-1 \П \ яп_г

д8п-1 ЦМ.ж) = Фш+п+1 (д 0, ж)) У2г(р(^,0,д)) ^ +

^^ /*в / \ П ^^_3

+ Е I ~ (г (¿, 0, (р (¿, я, <?)))) & +

_ п! (т —

Г3 (з-я)т+п

Уо (т + п)!

ш

^^аV(я) сV + Г (я, г (Ь,я,р (Ь,я,д)), 1ш(Ь,я,х))

V =1

йя, (21)

д п_2

^ И]^, в, ж) = Ф т+п+2 (д (¿, 0, х)) + Ф т+п+1 (<? 0, ж)) 8 +

дв п_2

п

гв я п_г

г=1-'0

(п — {)!

тт /»в / \ ^

Г« (в — я) п+1 я т_3

га (в — я) т+п+1

+ Уо (т + п + 1)!

з=

ш

а V (я ) с V

V=1

А ^ аV(я) сV + Г (я, г (Ь,я,р (Ь,я,д)), 1ш(Ь,я,х))

йя, (22)

+

8,х) Ф т+п+г (д 0, х)) 8 _ +

г=1

п в / \ п_1 п_3

т г в („ _ я) 2 п_1 я т_к

+ Е11га"с с. С с. «»» {ЙГПЩ * +

г« (в — я) т+2 п— 1

10 (т + 2 п — 1)!

йя, (23)

а V (я) с V + Г (я, г (Ь,я,р (Ь,я,д)), 1ш(Ь,я,х))

V =1

где Ф т+п+г (д (Ь, 0, х)) — произвольные постоянные вдоль третьей характеристики, подлежащие определению, г = 1, п.

Начальные условия (2) для (21)—(23) выглядят так:

д п_ 1

— Ь](1, 0, ж) = ^р 2п—1 (<? о, ж)),

дв

дп_2

^и)(1,0,х) = 1р2п-з(д^,0,х)), ..., И]^, О, ж) = (<?(£, О, ж)).

д в п_2

В силу этих условий из (21)—(23) получаем, что

в п_ г

И]^, в, ж) = V" <Р2г-1 (д 0, ж)) ---Т +

г=1 (п — 1)1

п в / \ п_1 п_з

+Е1+

з=1'

т г в („ _ я) 2 п_1 я т_к

+ ЕI г™ С с. 0. <* С. «»» * +

к

п

+

(з — я)

т+2 п— 1

1с (т + 2 п — 1)!

А ^ а V(я) с V + ^ (я, г (Ь,я,р (Ь,я,д)), w(t,я,x))

V= 1

йя.

(24)

С учетом того, что д (Ь, 0,х) = х — аЬ, р (Ь, з, д) = х, р (я, 0, д (Ь, я, х)) = х — а (Ь — 2 я), при Ь = з из (24) получаем, что

п Ь п— г х) = У^ У?2г-1 (х - аЬ)

г=1

(п — г)!

+

п— 1

п—з

з=

^ Г (* - о

2 п— 1

я

т—к

+ 2^1 '(2та — 1)! ^п+к(г(,,0,х)) {т_к)]

йя +

йя +

+

(Ь — я)

т+2 п— 1

1с (т + 2п — 1)!

А ^ а V(я) сV + ^ (я, г (Ь,я,х), и(я,г (Ь,я,х))))

V=1

йя.

Теперь уравнение (1), в отличие от (13), запишем в виде

(25)

т Ь т— г БтН^х)] = £ 2п+г (г(*,0,.х)) уу

+

+

(Ь — я)

т— 1

1с (т — 1)!

А а V(я) сV + ^ (я, г(Ь, я, х), и(я, г (Ь, я, х)))

V=1

йя.

Повторяя процедуры (14)—(24), аналогично (25) получим

и(Ь,х) = ^2 V 2 г—1 (х + аЬ)

г=1 п— 1

(п — г)!

+

п—з

йя +

з=

у^ [' И - О

2 п— 1

я

т— к

+ '(2та — 1)! ^п+к(гЦ,0,х)) {т_к)]

йя +

+

(Ь — я)

т+2 п— 1

1с (т + 2п — 1)!

А ^ а V(я) сV + ^ (я, г (Ь,я,х), и(я,г (Ь,я,х)))

V=1

йя.

(26)

Из (25) и (26) придем к уравнению (3) (с учетом обозначения (4)).

Теперь преобразуем интегральное уравнения (3). Подставляя интегральное уравнение (3) в формулу (6), получаем систему алгебраических уравнений (САУ)

Си ~ А^А^с^ = В „(и, г), и = 1,ш, м=1

(27)

где

(■Т г<х га ( з _ я) 2 п+т— 1

А,л, = I I /ШЫ«) / 77^-ТТГ

1V ^

/С J—<х ГТ г <х т

В V(и, г) =

С J—<х

1 /*Т п /*

+ 2/ / /(ом*) Е/

2 3с з^

I(С) Ь V (з)^2

г=1

/с (2 п + т — 1)! V 2 г—1 (С — аз) + V 2 г—1 (С + аз)

(п — г)!

—т ¿(¿в +

(з — я)

п— 1

с (п — 1)!

V 2з (С — а (з — 2 я)) +

а

г

г

п— г

Ь

г

ш

п— г

1

з

2

а

+ v2 j (i + a (s - 2 Я))

(n - j)!

dя di ds +

i'T rx m rs (s _ Я) 2 n—1 Я m—k

+1 LmK(s) gI {))*«da+

10 J—x rT r x

г в (в — я) 2 п+т_1

+ 1 I / -—Р(я,г^я,0,и(я,г(1,я,0))с1яс1£,с18. (28)

■)о ■)_те -)о (2 п + т — 1)!

САУ (27) однозначно разрешима при любых В(и, г), если выполняется следующее условие:

А(Л) =

1 - Л A11 Л A 21

ЛА12 1 - Л А 22

ЛА

ш1

ЛА

ш2

ЛА 1 ш ЛА 2 ш

1 - ЛАш

= 0.

(29)

Определитель Д(А) в (29) есть многочлен относительно А степени не выше ш. Алгебраическое уравнение Д(А) = 0 имеет не более ш различных корней. Через Л обозначим множество корней этого алгебраического уравнения. При других значениях параметра, то есть при А € Д\Л, условие (29) выполняется. Для таких регулярных значений А система (27) имеет единственное решение при любой правой части.

Для регулярных значений А € Я\Л решения САУ (27) записываются в виде

где

A v(Л, u, r) =

1 - ЛА

11

ЛА

21

ЛА

ш1

Д„(А, и, г) -—

= А(Л) ' 1/ = 1'Ш'

Л А 1(v—1) B 1(u,r) Л А 1(v+1) ЛА 2(v—1) B 2(u,r) ЛА 2(v+1)

ЛА w(v—1) B ш (u r) ЛА w(v+1)

(30)

ЛА 1 ш ЛА 2 ш

1 - ЛАш

(31)

Из (31) видно, что определители Д V(А, и, г) зависят и от самой неизвестной функции и(Ь, х). Подстановка (31) в уравнение (3) дает следующее нелинейное интегральное уравнение:

u(t, х) = - ^ \<P2i-i(x -at) +<p2i-i(x + at)

г=1

(n - i)

+

nt

+ £

(t - Я)

n— 1

2 ¿¿Jo (n - 1)

+

V 2 j (x - a (t - 2 Я)) + V 2 j (x + a (t - 2 я)) ™ * (t - Я) 2 n—1

n— j

(n - j)!

T77 dя +

=Jo (2n - 1)!

V 2n+k (r (я, 0, x))

Я

m— k

(m - k)!

dя +

+

(t - Я)

2 n+ m— 1

l0 (2n + m - 1)!

A MO r) +F(s,r (t, S, x), u(s, r (t, S, x)))

v=1

А(Л)

d1я■

§ 3. Исследования интегрального уравнения (32)

Для функции д (t, x) £ C (Q) вводим норму || д (t, x) || = sup(t,x)en | g (t, x) |.

Лемма1. Пусть выполняются следующие условия:

n t n—г n rt (t - s) n—1 s n—j

1) 0 < sup £ | (fi2i-l (x) I --— + sup Y, \ V2j (x) I / —-—p --— ds +

х&пг=! 1 (n - i)! (t,x)en j=1 Jo (n - 1)! (n - J)!

m i , , | (t - s)2 n—1 sm—k

+ sup Y \ V2n+k{x)\ / -7--7^7-7TT

(t,x)en k=i Jo (2n - 1)! (m - k)!

ds ^ A 0 < oo;

(32)

n

n— г

t

t

2) | (fii(xi) - <Pi(X2) I ^ Xi | X1 - x2 0 < Xi = const < oo7 г = 1, 2n;

3) sup | f (t, x, u) | < M (t), 0 < M(t) £ C(tt T);

xeR

4) | f (t, x 1, ui) - f (t, x2, u2) I ^ Q(t)\x 1 - x2 I + N(t)| u 1 - u2 |, где 0 < Q(t) £ C(ttt), 0 < N(t) £ C(tt t)■

Тогда при регулярных значениях параметра X £ R\A, для которых выполняется условие (29), интегральное уравнение (32) имеет единственное решение в области tt. Это решение можно найти методом последовательных приближений:

т ,t

(t, x) = 0, uT+i (t, x) = Q(t, x) + y2

1 J0

u 0 (

+

, 2 n-i

^ ^ <P2n+k (ГТ (q, 0, x)) ^

m-k

^h (2n - 1)!

(m - k)!

dq +

(t - q)

2n+m-1

XJ2a v (q)

v=i

АДА, uT, vt) A(A)

+ F (q, rt (t, q, x), ut(q, rt (t, q, x)))

l0 (2n + m - 1)! t = 0, 1, 2, ... ,

где t

r 0 (s, t, x) = x; rT (s, t, x) = x - uT(в, r T (в, t, x)) ds,

■J s

dq,

(33)

1

2

i=i

+ 1 £ /'((-O"-1

x) = - \tp2i-i(x-at) +(p2i-i(x + at)

t

(n - i)!

ТГ7 +

2 j^Jo (n - 1)!

p 2 j (x - a (t - 2 q)) + p 2 j (x + a (t - 2 q))

(n - j)!

— dq.

Доказательство. В силу условий леммы, для первой разности приближения (33) справедлива следующая оценка:

u i(t, x) - u0(t, x) II ^

n t n-i n f

< V sup | <p2i-l (x) | --Т-.+У] sup | (P2j (x) | /

i=l xeR (n - i)! j= (t,x)en J0

t (t - s)n-i sn-j

/0 (n - 1)! (n - j)!

ds +

m p

+ V sup \ p 2 n+k (x) \ / ,, -, (t,x)en J0

(t - s)

2n-i s m-k

— (t,x)en ' Jo (2n — 1)! (m-k)!

ds +

ft (t - s) 2n+m-i

+ SUP / 7-\T

(t,x)en J0 (2n + m - 1)!

X av(s)

v=i

АДА, 0, x) A(A)

+ M (s)

ds < A0 + A1 + A2, (34)

где

t (t - s) 2n+m- i A1 = max j /___—— M (s) ds < 00,

tent J0 (2n + m - 1)!

A 2 = sup

(t - s)

2n+m-1

I / \ I

(t,x)en J0 (2n + m - 1)!

X av(s)

v=i

АДА, 0, x) A(A)

ds < ж.

С учетом (34) и условий леммы для второй разности приближения (33) справедлива следующая оценка:

II и2(Ь, х) — и 1(Ь, х) || ^

<

2 n+k max

(t - s)

2 n- i s m- k

k=i

tent J0 (2 n - 1)! (m - k)

+

(t - s)

2 n+ m- i

l0 (2n + m - 1)!

7 / || ui(e, x) - u0(в, x) || deds + !0

Q (s) || u i(e, x) - u0(в, x) || de + N (s) || u i(s, x) - u0(s, x)\

s

ds +

t

n

t

t

+

/0 (2п + ш — 1)!

^^а V (в)

V =1

АДА, ць Г1) - АДА, ц0, г0) А(А)

йв.

С учетом (28) из (31) имеем оценку

(35)

|ДДА, и\, Г\) — АДА, По, го)|| ^ I АДА) I / II и\(9, х) — ио(0, х) II йв,

(36)

где

ДV(А) =

1 — А А

11

АА

21

А А1(г,_1) В1 А А Л А 2(г/—1) В 2 А А

1(v+1)

2(v+1)

АА1ш АА2ш

ААШ1 ... ААш(гУ_1) Вш А ... 1 —АЛС

г/ = 1, ш,

В V =

Тте

0 _те ГТ Г те

2 п_ 1 в т_ к

йв й{ йв +

в (в — в) 2п+т_ 1

+ Х У.«,«0'-"' I (2»+п,-1)! [<?№(.-») + *(»)]<»<*.

Тогда с учетом (36) оценку (35) перепишем в следующем виде:

|| и2(Ь, х) — и 1(Ь, х) | ^

Н (Ь, в) || и 1(в, х) — и0(в, х) || йв ^ (Д 0 + Д1 + Д2) [ Н (Ь, в) йв, 00

где

2 п в т_к

н = У2х2п+к 77;—"..ч, ,

^^ (2п — 1)! (т — к)!

+

+

(Ь — в)

2п+т_ 1

(2п + т — 1)!

к=1

ш

А Е в а v(в)

v= 1

АДА) А(А)

+ < (в) (Ь — в) + N (в)

С учетом (38) для третьей разности приближения (33) получим следующую оценку:

(37)

(38)

|| и3(Ь, х) — и2(Ь, х) || ^ / Н (Ь, в) || и2(в, х) — и 1(в, х) || йв ^

0

< (ао + А! + а2) ^ я (¿, з) I Н(з, в)йвйз = (ао + А! + а2) ^ ! я (¿,

0

00

Продолжая этот процесс, по индукции получаем, что

иТ+1(Ь, х) — ит(Ь, х) || ^ / Н (Ь, в) || ит(в, х) — ит_1(в, х) || йв ^

0

< Д0 + Д1 + Д-.

1

Т !

Н (Ь, в) йв

(39)

Из оценки (39) следует, что последовательность функций |и т(Ь, х) | , определенная формулой (33), сходится абсолютно и равномерно в области О.

Пусть интегральное уравнение (32) имеет два решения: и(Ь, х) и §(Ь, х) в области О. Тогда для разности этих решений справедлива оценка

|| и(Ь, х) — х) || ^ / Н (Ь, в) || и(в, х) — $(в, х) || йв.

0

Применяя неравенство Гронуолла-Беллмана к последнему неравенству, получаем, что и(Ь, х) — х) || = 0 в области О. Лемма доказана. □

в

0

т

в

г

2

г

т

I

0

I

Л е м м а 2. Пусть выполняются условия леммы 1. Тогда для итерационного процесса (33) справедлива оценка скорости сходимости

Р Т

\\иТ(г, ж) -и{г, ж) || < (Ао + А1+А2)^уехр{р}, (40)

г

где р = max I H (t, s) ds < ж ten t J0

Доказательство. Действительно, в силу условий леммы с учетом (39) имеем оценку || uT(t, x) - u(t, x) || ^ || uT+i(t, x) - uT(t, x) || + || uT+i(t, x) - u(t, x) || ^

< (Ao + Ai + A2) + [ H(t, s) \\uT(s, x) -u(s, x) \\ds. t ! J0

Применение неравенства Гронуолла-Беллмана к последнему неравенству дает оценку (40). Лемма доказана. □

Л е м м а 3. Пусть выполняются условия леммы 1■ Тогда для любых xi, x2 £ R справедлива оценка

|| u(t, x i) - u(t, x2) || ^ ^(t) I x i - x2 |, (41)

где

Ф (Ь) = ^ ■ ехр | J Н (Ь, з) йз | < то,

X 2 г—1 Тп—г1 А (Ь — з) п зп—з

т (Ь — з) 2п з т—к (Ь — з) 2п+т

+ Е х^^уу ^ + (2п+т _ 1}, я оо а - 8) |

Доказательство. Действительно, в силу условий леммы имеем оценку

|| «(i, х\) —u(t, х2) || ^ | ж 1 -х2 | ^ч,--Ь

i=i

\ \ A />t (t - s)n sn-j 1

+ ж 1 - ж2 } ,X2j max / --— --— ds +

1 1 j= tent J0 (n - 1)! (n - j)!

m rt (t - s) 2n-i s m-k rt /

+ E

X2 n+k J^ (2n-l)\ (m-k)\ J (^1 ~ ж2 I + IIж i) ~Ж2) II ) +

n- i

+

(t - s)

2 n+ m- i

l0 (2n + m - 1)!

Ш

A^a^(s)

АДА) A(A)

v=i

t

|| u(e, x i) - u(e, x 2) || de ds +

t (t - s) 2n+m- i t

+ 1 (2n + m-l)! J ( 1Ж1 I + ^i) || ) +

t (t - s) 2n+m- i

+ J0 (2n + m - 1)! N {S) 11 M ^l} ~ U {S'X2) 11

rt

x

где

^ ц ■ \ x i - x 2 \ + H (t, s) || u(s, x i) - u(s, x 2) || ds, 0

uf л m (t - s)2n sm-k

H (t, 8) = ^X2n+fc ^^yy +

n

t

(t-s)2n+m~1 + (2n + m — 1)!

Л У] s a v(s)

АДА) A(A)

+ Q (s) (t - s) + N (s)

V=1

1 I" x 2 i-i Tn-i A (t - s)n sn-j

/ J V^ X 2i-1 T . v^ - s) s i

m (t — s) 2n s m-k (t — s) 2n+m

Применяя неравенство Гронуолла—Беллмана к последней оценке, получаем, что || u(t, ж 1) — u(t, ж 2) || ^ ^ | ж 1 — ж 2 | ■ exp | J H (t, s) ds

Отсюда следует справедливость оценки (41). Лемма доказана. □

§ 4. Основной результат

Из выше доказанных лемм следует, что справедлива следующая

Теорема. Пусть выполняются все условия леммы 1. Тогда при регулярных значениях параметра А € В\Л, для которых выполняется условие (30), начальная задача (1), (2) имеет единственное 'решение в области Q. Это 'решение находится из итерационного процесса Пикара (33). Для решения начальной задачи (1), (2) справедливы оценки (40) и (41).

Список литературы

1. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 248 с.

2. Замышляева А.А. Математические модели соболевского типа высокого порядка // Вестник ЮжноУральского государственного университета. Серия «Математическое моделирование и программирование». 2014. Т. 7. № 2. С. 5-28. http://mi.mathnet.ru/vyuru126

3. Benney D.J., Luke J.C. On the interactions of permanent waves of finite amplitude // Journal of Mathematics and Physics. 1964. Vol. 43. P. 309-313. DOI: 10.1002/sapm1964431309

4. Galaktionov V.A., Mitidieri E., Pohozaev S.I. Global sign-changing solutions of a higher order semilinear heat equation in the subcritical Fujita range // Advanced Nonlinear Studies. 2012. Vol. 12. No. 3. P. 569-596. DOI: 10.1515/ans-2012-0308

5. Каримов Ш.Т. Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя // Известия вузов. Математика. 2017. № 8. С. 27-41.

http://mi.mathnet.ru/ivm9266

6. Кошанов Б.Д., Солдатов А.П. Краевая задача с нормальными производными для эллиптического уравнения высокого порядка на плоскости // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1666-1681. DOI: 10.1134/S0374064116120074

7. Похожаев С.И. О разрешимости квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка // Математический сборник. 1982. Т. 117 (159). № 2. С. 251-265. http://mi.mathnet.ru/msb2202

8. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Киев: Наукова думка, 1973. 219 c.

9. Юлдашев Т.К. Смешанная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 1. С. 112-123. http://mi.mathnet.ru/zvmmf9641

10. Юлдашева А.В. Об одной задаче для квазилинейного уравнения четного порядка // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». Т. 140. М.: ВИНИТИ РАН, 2017. С. 43-49. http://mi.mathnet.ru/into233

11. Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка. М.: Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 1999. 96 с.

12. Иманалиев М.И., Ведь Ю.А. О дифференциальном уравнении в частных производных первого порядка с интегральным коэффициентом // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 3. С. 465-477. http://mi.mathnet.ru/de6793

13. Иманалиев М.И., Алексеенко С.Н. К теории систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа Уизема // Доклады РАН. 1992. Т. 325. № 6. С. 1111-1115. http: / / mi.mathnet.ru/dan5418

14. Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями специального вида // Уфимский математический журнал. 2014. Т. 6. № 4. С. 71-82.

15. Юлдашев Т.К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 2 (18). С. 56-62. http://mi.mathnet.ru/vtgu253

16. Юлдашев Т.К. Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Физика». 2012. Вып. 6. С. 35-41. http://mi.mathnet.ru/vyurm104

17. Юлдашев Т.К. Обобщенная разрешимость смешанной задачи для нелинейного интегро-дифферен-циального уравнения высокого порядка с вырожденным ядром // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2017. Т. 50. С. 121-132.

DOI: 10.20537/2226-3594-2017-50-10

18. Юлдашев Т.К. Смешанная задача для псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения с вырожденным ядром // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53. № 1. С. 101-110. DOI: 10.1134/S0374064117010095

19. Yuldashev T.K. Determination of the coefficient and boundary regime in boundary value problem for integro-differential equation with degenerate kernel // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2017. Vol. 38. No. 3. P. 547-553. DOI: 10.1134/S199508021703026X

20. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

21. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Минимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени T интеграла от модуля производной производимого смещением граничного управления, возведенного в произвольную степень p ^ 1 // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 11. С. 1558-1570. http://mi.mathnet.ru/de11597

22. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 12. С. 1699-1711. http://mi.mathnet.ru/de11610

Поступила в редакцию 23.04.2018

Юлдашев Турсун Камалдинович, к. ф.-м.н., доцент, Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева, 660014, Россия, г. Красноярск, пр. им. газеты «Красноярский рабочий», 31. E-mail: tursun.k.yuldashev@gmail.com

T.K. Yuldashev

The initial value problem for the quasi-linear partial integro-differential equation of higher order with a degenerate kernel

Citation: Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2018, vol. 52, pp. 116-130 (in Russian).

Keywords: initial value problem, characteristic, derivative along the direction, degenerate kernel, superposition of partial differential operators, existence and uniqueness of the solution.

MSC2010: 35A30, 35C15, 35G55, 35L30, 35M10, 35S05 DOI: 10.20537/2226-3594-2018-52-09

High-order partial differential equations are of great interest when it comes to physical applications. Many problems of gas dynamics, elasticity theory and the theory of plates and shells are reduced to the consideration of high-order partial differential equations. This paper studies the one-valued solvability of the initial value problem for a nonlinear partial integro-differential equation of an arbitrary order with a degenerate kernel. The expression of higher-order partial differential equations as a superposition of first-order partial differential operators has allowed us to apply methods for solving first-order partial differential equations. First-order partial differential equations can be locally solved by the methods of the theory of ordinary differential equations, reducing them to a characteristic system. The existence and uniqueness of the solution to this problem is proved by the method of successive approximation. An estimate of convergence of the iterative Picard process is obtained. The stability of the solution from the second argument of the initial value problem is shown.

REFERENCES

1. Algazin S.D., Kiiko I.A. Flatter plastin i obolochek (Flutter of plates and shells), Moscow: Nauka, 2006, 248 p.

2. Zamyshlyaeva A.A. The higher-order Sobolev-type models, Vestnik Yuzhno-Ural'skogo Gosudarstvennogo Universiteta. Ser. Matematicheskoe Modelirovanie i Programmirovanie, 2014, vol. 7, no. 2, pp. 5-28 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/vyuru126

3. Benney D.J., Luke J.C. On the interactions of permanent waves of finite amplitude, Journal of Mathematics and Physics, 1964, vol. 43, pp. 309-313. DOI: 10.1002/sapm1964431309

4. Galaktionov V.A., Mitidieri E., Pohozaev S.I. Global sign-changing solutions of a higher order semilinear heat equation in the subcritical Fujita range, Advanced Nonlinear Studies, 2012, vol. 12, no. 3, pp. 569-596. DOI: 10.1515/ans-2012-0308

5. Karimov Sh.T. Method of solving the Cauchy problem for one-dimensional polywave equation with singular Bessel operator, Russian Mathematics, 2017, vol. 61, no. 8, pp. 22-35.

DOI: 10.3103/S1066369X17080035

6. Koshanov B.D., Soldatov A.P. Boundary value problem with normal derivatives for a higher-order elliptic equation on the plane, Differential Equations, 2016, vol. 52, no. 12, pp. 1594-1609.

DOI: 10.1134/S0012266116120077

7. Pokhozhaev S.I. On the solvability of quasilinear elliptic equations of arbitrary order, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1983, vol. 45, no. 2, pp. 257-271. DOI: 10.1070/SM1983v045n02ABEH002598

8. Skrypnik I.V. Nelineinye ellipticheskie uravneniya vysshego poryadka (Nonlinear elliptic equations of higher order), Kiev: Naukova dumka, 1973, 219 p.

9. Yuldashev T.K. Mixed value problem for nonlinear integro-differential equation with parabolic operator of higher power, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2012, vol. 52, no. 1, pp. 105-116. DOI: 10.1134/S0965542512010150

10. Yuldasheva A.V. On a problem for a quasi-linear equation of even order, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovremennaya Matematika i Ee Prilozheniya. Tematicheskie Obzory, vol. 140, Moscow: VINITI RAN, 2017, pp. 43-49 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/into233

11. Goritskii A.Yu., Kruzhkov S.N., Chechkin G.A. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi pervogo poryadka (Partial differential equations of the first order), Moscow: Lomonosov Moscow State University, 1999, 96 p.

12. Imanaliev M.I., Ved' Yu.A. First-order partial differential equation with an integral as a coefficient, Differential Equations, 1989, vol. 25, no. 3, pp. 325-335. https://zbmath.org/?q=an:0689.45019

13. Imanaliev M.I., Alekseenko S.N. On the theory of systems of nonlinear integropartial differential equations of Whitham type, Doklady Mathematics, 1993, vol. 46, no. 1, pp. 169-173.

14. Dontsova M.V. Nonlocal solvability conditions for Cauchy problem for a system of first order partial differential equations with special right-hand sides, Ufa Mathematical Journal, 2014, vol. 6, no. 4, pp. 68-80. DOI: 10.13108/2014-6-4-68

15. Yuldashev T.K. On the inverse problem for a quasilinear partial differential equation of the first order, Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Matematika. Mekhanika, 2012, no. 2 (18), pp. 56-62 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/vtgu253

16. Yuldashev T.K. On an inverse problem for a system of quazilinear equations in partial derivatives of the first order, Vestnik Yuzhno-Ural'skogo Gosudarstvennogo Universiteta. Ser. Matematika. Mekhanika. Fizika, 2012, issue 6, pp. 35-41 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/vyurm104

17. Yuldashev T.K. Generalized solvability of the mixed value problem for a nonlinear integro-differential equation of higher order with a degenerate kernel, Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta, 2017, vol. 50, pp. 121-132.

DOI: 10.20537/2226-3594-2017-50-10

18. Yuldashev T.K. Mixed problem for pseudoparabolic integro-differential equation with degenerate kernel, Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 1, pp. 99-108. DOI: 10.1134/S0012266117010098

19. Yuldashev T.K. Determination of the coefficient and boundary regime in boundary value problem for integro-differential equation with degenerate kernel, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2017, vol. 38, no. 3, pp. 547-553. DOI: 10.1134/S199508021703026X

20. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniya matematicheskoi fiziki (Equations of the mathematical physics), Moscow: Nauka, 1977, 736 p.

21. Il'in V.A., Moiseev E.I. Minimization of the Lp-norm with arbitrary p ^ 1 of the derivative of a boundary displacement control on an arbitrary sufficiently large time interval T, Differential Equations, 2006, vol. 42, no. 11, pp. 1633-1644. DOI: 10.1134/S0012266106110139

22. Il'in V.A., Moiseev E.I. Optimization of the boundary control of string vibrations by an elastic force on an arbitrary sufficiently large time interval, Differential Equations, 2006, vol. 42, no. 12, pp. 1775-1786. DOI: 10.1134/S0012266106120123

Received 23.04.2018

Yuldashev Tursun Kamaldinovich, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Reshetnev Siberian State University of Science and Technology, Krasnoyarsky Rabochy Av., 31, Krasnoyarsk, 660014, Russia.

E-mail: tursun.k.yuldashev@gmail.com