Об обратной задаче для одного квазилинейного дифференциального уравнения высшего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

новых способов диагностики и лечения разных заболеваний, поддержанию здоровья и долголетия человека, способствуя его творческому развитию и, таким образом общественному прогрессу.

Список литературы:

1. Балакин Ю.А. Теоретические основы внешних воздействий на процесс кристаллизации металлов. - М.: Изд-во «Буки Веди», 2014. - 168 с.

2. Балакин Ю.А., Юнусов Х.Б., Будник А.А., Соколов И.В., Хаулин А.Н. Влияние внешнего воздействия на межфазное взаимодействие при кристаллизации металлов // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Естественные науки. 2016, № 2, С. 78-86.

3. Балакин Ю.А., Завалишин И.В., Будник А.А. Разработка теоретических основ инновационной технологии рафинирования расплавов металлов // Качество. Инновации. Образование. 2015. № 6 (121). С. 30-36.

4. Волькенштейн М.В. Энтропия и информация. - М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит.,1986. - 192 с.

5. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов /Пер. с англ. В.В.Михайлова - Изд-во: Иностранной литературы, М.,1960. 127 с.

6. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур / Пер. с англ. Ю.А. Данилова и В.В. Белого - М.: Мир, 2002.-461 с.

УДК 517. 956

Б01 10.24411/2409-3203-2018-11836

ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Юлдашев Турсун Камалдинович

к. ф.-м. н., доцент

стажёр кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Иркутский государственный университет Иркутск, Россия

Аннотация: Изучена однозначная разрешимость обратной задачи для одного квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с интегральным коэффициентом от функции переопределения в гиперболическом операторе. Выражение дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка через суперпозицию дифференциальных операторов в частных производных первого порядка позволило применять методов решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Доказана теорема об однозначной разрешимости поставленной обратной начальной задачи методом последовательных приближений. Получена оценка сходимости итерационного процесса Пикара.

Ключевые слова: Обратная задача, уравнения высшего порядка, суперпозиция дифференциальных операторов, интегральный коэффициент, однозначная разрешимость.

ON THE INVERSE PROBLEM FOR A QUAZILINEAR DIFFERENTIAL EQUATION

OF HIGHER ORDER

Yuldashev Tursun K.

PhD, Associate professor, Department of Math. Analyses and Diff. Equations,

Irkutsk State University Irkutsk, Russia

Abstract: In this paper it is studied the one-valued solvability of the initial value problem for a quazilinear partial differential equation of the arbitrary order with an integral coefficient of restore function in the hyperbolic operator. Expression of partial differential equations of higher order as a superposition of first-order partial differential operators is allowed us to apply methods for solving first-order partial differential equations. Partial differential equations of the first order can be locally solved by the methods of the theory of ordinary differential equations, reducing them to a characteristic system. Are proved the existence and uniqueness of the solution of this inverse problem by the method of successive approximation. Is obtained the estimate of convergence of the iterative Picard process.

Key words: Inverse problem, equation of higher order, superposition of partial differential operators, integral coefficient, the existence and uniqueness of the solution.

Представляют большой интерес с точки зрения физических приложений дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Многие задачи газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводятся к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков [1-3]. Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков рассматривались в работах многих авторов, в частности в [4-10].

Если дифференциальных уравнений высокого порядка можно записать в виде суперпозиции дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, то их можно локально решать методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи сведения их к характеристической системе. Применение метода характеристик к решению дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка позволяет свести изучение эволюции волн к изучению распространения частиц [11]. В работах [12, 13] разработаны методики интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. Эти методики были применены в работах [14-17] при изучении других задач. Обратные задачи рассматривались в работах [15, 16, 18-20]. В настоящей работе, в отличие от [15, 16, 18-20] коэффициент переопределения находится и в левой части и в правой части уравнения. К тому в левой части уравнения коэффициент переопределения имеет вид нелинейности.

В области 0 = 0 т х Я рассматривается квазилинейное уравнение вида

1. Постановка задачи

a (t) Р (x) + F (t, .X, u (t, x))

(1)

с начальными условиями

5г

0,х)|I=о = ф 1(и(г,х)|I=о = фi+1(хеК ,г

е К , i = 1,2 и + т -1,

(2)

где и (г, х) е С

2п+т, 2п+т

(О) - искомая функция, 0 < а = | К (я) а (я) - неизвестное

число, А (г, х, и) е С (Ох К) , а (?) - неизвестная коэффициентная функция (коэффициент

переопределения), р (х ) е Ст (К), F (?, х, и) е С (Ох К), фг (х) е С 1п+т (К), i = 1,2п + т ,

т

|| К (я)^ я , О т = [ 0,Т ], 0 < Т , п, т - натуральные числа.

о

Требуется определить неизвестную коэффициентную функцию а (г) в задаче (1), (2) с помощью следующего условия

и (г, х о) = У (t), (3)

где х 0 е К, у (г) е С 2 п+т (О т ), у (0) = 0.

2. Сведение начальной задачи к интегральному уравнению

Как и в [21], начальная обратная задача (1), (2) сначала сводится к решению следующего интегрального уравнения

1 п ? п-г

и (г, х) = 0 (г, х; и, г) = — ^-х

( Т

ф 2 г-1

Л

х - г | К (я) а (я) ds

V

2 г=1(п - г)!

( т

х + г | К (я) а (я) d я

1 п г +2 ^ ^

п Г (г-д)п-1

у=10 (п-1)! г

+

ф 2 у

V

ф 2 у

Т

I

0

+ ф 2 г-1

J V 0

( т

х - (г - 2 д) IК (я)а (я)ds

V 0

+

+

V

х + (г - 2д) IК (я)а (я)ds

д

п - у

г (г -д)2п-1

г

(г -д)

+к?, ф 2 п

т+2 п-1

ф2п+к (г(д,0,х))

(п - у)!

т-к

— d д +

д

^ д +

+ г

(т + 2 п -1) !

(т - к)!

[а (д) р (г (г, д, х)) + F (д, г (г, д, х), и (д, г (г, д, х)) д,

в котором

г (г, д, х) = х - | А (0, г (г, 0, х), и (0, г (г, 0, х))^ 0, г (г, г, х) = х,

д

.X - играет роль параметра.

С этой целью левую часть уравнения (1) запишем в виде

12 ^ п

Гд ду Г я2

— + А (г, х, и (г, х)) — д г д х I I д г

д 2 2 д - а

2

дх

2

и =

(4)

(5)

и

т

0

х

0

т

^ а.....а^т Га а^п Г а а^п

у а t а х у

^ + А ^, х, и ^, х)) — - а — ^ + а^— и = От ОП ОП [и],

а $ а х у

у а t а х у

оператор

Га а ^

где О0 [и] = иг + аи х, О [и]=иг - аи х , О2 =--+ А ^, х, и ^, х)) —

у а t а х у

типа Уизема-Хопфа. Тогда уравнению (1) перепишем в виде

О^О^О^ [и] = а(0р(х) + ¥ ($,х, и ^,х)). (6)

Из (6) видно, что уравнение (1) имеет характеристики: 1)

t

хА ^, х, и ^, х)) ds = С 1, 2) х + = С 2; 3) х - = С 3, где Сг - произвольные

о

постоянные, г = 1,3.

Методика интегрирования уравнения (1) основана на введение функции трех аргументов. Пусть и ^, х) е С 2п+т,2п+т (О)- решение начальной задачи (1), (2).

Га а ^

Рассмотрим дифференциальный оператор О2 =--ъ А ^, х, и ^, х))— . Примем

у а t а х у

t

, 5, х) = х - | А (и, х, и (и, х))d И, г ц, t, х) = х.

Вводим функцию трех аргументов к (^, 5, х) = и (5, г (^,5, х)), 5 < $, такую, что к^,t,х) = и^,г ,t,х)) = и^,х). С учетом того, что

к5 ^,5,х) = и5 (5,г ^,5,х)) + иг (5,г ^,5,х))• Г5 =

= и 5 (5, г ^, 5, х)) + А(?, г ^,5, х),и (5, г ^,5, х)))-иг (5, г ^,5, х)) , из уравнения (6) придем к следующему уравнению

а т

обозначение г ^, 5, х) = х - | А (И, х, и (И, х)) d И, г ^, t, х)

а

Бп Бп [к(г,5,х)] = а(5)р(г^,5,х)) + ¥ (5,г^,5,х), к ^,5,х) ) . (7)

Интегрируя теперь уравнения (7) т раз, получаем

ят-1

-Бп Бп [ка,5,х)] = Ф1 (Га,0,х))+

а

+ | [а(?)Р(г^,?,х)) + ¥ (?,г^,?,х),к ^,?,х)?, (8)

а'

5

) а (

о

5 т-2

БП О0 [к^,5,х)] = Ф2 (г^,0,х))+ Ф1 (г^,0,х))5 +

а 5

5

+ |(5-?)[а(с,)р(г^,?,х)) + ¥ ,г^,?,х),к ^,?,х)?, (9)

о

т „т-г

О1 оп [к ^, 5,х)] = ^фг (г (^,0, х)У-- +

г=1 (т - г)!

5 (5 -С) т-1

+ 1Ч СП1 [а (с)р(г(^,с,х)) + ¥ (с,г(^,с,х),к ^,с,х) с, (10)

п (т-1)!

где Ф г (г (г ,0, х)) (г = 1, т) - произвольные постоянные вдоль первой характеристики,

(г(г,0,х)) (г = 1,т

подлежащие определению.

Начальные условия (2) для (8)-(10) выглядят так

5 т-1

1 п т~\ п |

д

г впх вп[к (г,0,х)]] = ф2п+т (г(г,0,х)),

д т-2

д я'

в^ [к (г ,0, х)]] = ф 2 п+т-1 (г (г ,0, х)), ... , В^ [к (г ,0, х)]] = ф 2 п+1 (г (г ,0, х)).

д я

В силу этих условий, из (8)-(10) получаем, что

т „т-г

впх в 0п [к (г, я, х)] = йф 2 п+г (г (г ,0, х)У-- +

г=1 (т - г)!

я (с -д) т-1

+ 1Ч дп. [а (д) р (г (г, д, х)) + F (д, г (г, д, х), к (г, д, х) д, (11)

0 (т-1)!

г

где г (г, С, х) = х - | к (г, 0, х) d 0.

С

При г = я из (11) получаем, что

т гт-г

вп в п [и (г, х)] = йф 2 п+г (г (г ,0, х)У-- +

г=1 (т - г)!

г (г -д) т-1

+ 1 V ы [а (д) р (г (г, д, х)) + F (д, г (г, д, х), и (д, г (г, д, х)) д, (12)

0 (т-1)! г

где г (г,д,х) = х- |А(0,г (г,0,х),и (0,г (г,0,х)))d0.

д

Рассмотрим дифференциальное выражение В [и ]= иг -аих. Обозначим

р (г, я, х) = х + а (г - я). Вводим функцию трех аргументов 3 (г, я, х) = и (я, р (г, я, х), такую, что 3(г, г, х) = и (г, р (г ,г, х)) = и (г, х). С учетом того, что

& я (г, я, х) = ия (я, р (г, я, х))+и р (я, р (г, я, х)) • ря =

= ия (я, р (г, я, х)) - а • и (я, р (г, я, х)), уравнение (12) перепишем в виде

а п т ст-г

д ^пт^. чт ^ / ^ чч\ ь

в п [3 (г, я, х)] = йф 2 п+г (г (я ,0, р (г, я, х)))--+

д яп ° —' ' - йТ2 п+- — ' -(т - г)! я (с. -д) т-1

+ 1Ч дп. F (д, г (я, д, р (я, д, х)), 3 (д, я, х) У д. (13)

0 (т-1)!

Интегрируя уравнения (13) п раз, получаем

д п 1 т я д т-г

—Вп [3(г,я,х)] = Фт +1 (р(г,0,х)) + й|ф2п +г (г(д,0,р(я,д,х)))-^—-dд +

д яп-1 ....... ...... ^ п ....... .......(т - г)!

я (V - д) т

+ |[а (д) р (г (я, д, р (я, д, х))) + F (д, г (я, д, р (я, д, х)), 3 (д, я, х) д, (14)

т ! 0 т !

а п-2

—п-г О 0 [3 ^, 5, х)] = Ф т+2 (P ^ ,0, х)) + Ф m+l(p ^ ,0, х)) 5 +

а 5

т 5 с т-г

+ Е1 (5-с) Ф 2 п +г (г (с ,0, р (5, с, х)))с d с +

г =10 (т г) !

5 (5 -с) т+1

+ 1 V [а (с) р (г (5, с, Р (5, с, х))) + ¥ (с, г (5, с, р (5, с, х)), 3 (с, 5, х) с, (15) 0 (т +1)!

п 5П-г

Оп [3^, 5,х)] = £Фт+г (р (t ,0,х))--- +

г=1 (п - г)!

т 5 (?_г\п-1 , гт-1

(5 -с) п-1 с т

Е 1 \ ^ Ф 2 п+1 (г (с ,0, р (5, с, х))) 1=10 (п-1)! 1 (т-1)!

5 (5 -с) т +п-1

+ 1, п , [а(с)Р(г(5,с,Р(5,с,х))) + ¥ (с,г(5,с,р(5,с,х)), 3 (с,5,х) с, (16)

Ф (т + п -1) !

где Фт+г (р^,0,х)) (г = 1,п)- произвольные постоянные вдоль второй характеристики,

подлежащие определению.

Начальные условия (2) для (14)-(16) выглядят так

а и-1 а и-2

т О 0 [3 ^ ,0, х)] = Ф 2 п (р ^ ,0, х)), —О 0 [3($ ,0, х)] = Ф 2 и-2 (р ^ ,0, х)) , . . . ,

а 5 а 5

о п [3($ ,0, х)]=ф 2 (р (t ,0, х)). В силу этих условий, из (14)-(16) получаем, что

п „ п-г

Оп [3(t,5,х)] = ^Ф 2г (р (t ,0,х)Ь-- +

г=1 (п - г)!

т 5 (5 -с) п-1 с т-1

Е 1 \ с)п, Ф 2 п+1 (г (с ,0, р (5, с, х))) 1=10 (п-1)! 1 (т-1)!

5 (5 -с) т + п-1

+ 1, п , [а(с)Р(г(5,с,р(5,с,х))) + ¥ (с,г(5,с,р(5,с,х)), 3 (с,5,х) с. (17) Ф (т + п -1) !

При t = 5 из (17) получаем, что

п * п-г

0 п [и ^, х)] = ЕФ 2 г (р (t ,0, х)У-- +

г=1 (п - г)!

т 1 и _г\п~1 гт-}

+ Е 1 , с)П| Ф2п+1 (г(с,0,р^,с,х))Ь^-dс + 1=10 (п -1)! 1 (т -1)!

1 (* _г\ т+ п-1

+ 1( п, [а (с) Р (г (5, с, р (5, с, х))) +

^(т + п -1) !

+ ¥ (с,г(5,с,р(5,с,х)), и (с,г^,с,р^,с,х)))с. (18)

Теперь рассмотрим дифференциальное выражение О0 [и ] =ut + аи х. Обозначим

q^, 5, х) = х - а^ - 5). Вводим функцию трех аргументов w 5,х) = и(5, 5,х), такую, что w(t, t, х) = и ^, х). С учетом того, что

(г, я, х) = и я (я, q (г, я, х)) + ид (я, q (г, я, х)) • = = ия (я, q (г, я, х)) + а • и q (я, q (г, я, х)), уравнения (18) перепишем в виде

дп Г , „ п .....яп-г

[н(г,я,х)] = йф2г (р(я,0,q))--- +

д^ Й2' (п-г)!

т я -д) п-1 д т-у

й I (, д)п, ф2п+у (г(д,0,р(я,д,q)))-^—<

у=10 (п-1)! у (т-у)!

я (г -д) т+п-1

+ 1> , [а (д) р (г (я, д, р (я, д, q))) + F (д, г (я, д, р (я, д, q)), н (д, я, х) д. (19)

^ (т + п -1) !

Интегрируя уравнения (19) п раз, получаем

д п-1 п я д п-г

[н(г,я,х)] = Фт+п+1 (q(г,0,х)) + й|ф2г (р(д,0,q))7^тjdд +

д я г=10 (п г)!

т я - д) п д т-у

+ й I ф2п+у (г(д,0,р(я,д,dд +

у=10 п! у (т-у)!

я д) т +п

+ ! \ д\ , [а (д) р (г (я, д, р (я, д, q))) + F (д, г (я, д, р (я, д, q)), н (д, я, х) д, (20) Р (т + п) !

дп -2

[н (г, я, х)] = Ф т+п+2 (q (г, 0, х)) + Ф т+п+1 (^ (г, 0, х))я +

дя п 2

п я п-г

+ й|(я-д)ф2г (р(д,0,q))--д — dд +

г=10 (п-г)!

т я -д) п+1 дт-у

+ й I \ ф 2 п+у (г (д ,0, р (я, д, q)))7^-. d д + у=10 (п +1)! у (т-у)!

я -д) т+ п+1

+ I , 1Л , [а (д) р (г (я, д, р (я, д, q))) + F (д, г (я, д, р (я, д, q)), н (д, я, х) д, (21)

Ф (ш + п +1) !

п „п-i п я („ д) п-1 д п-у

н (г, я, х) = йФ т+п + (q (г ,0, х))-—- + й I (, д> ф 2 у (р (д ,0, d д +

г=1 (п-г)! у=10 (п-1)! у (п-у)!

т я , ч2п-1 т-к

+ й I я д) п, ф2п+к (г(д,0,р(я,д,q)))7^т:dд + к=10 (2п-1)! (ш-к)!

я (с. -д) т+ 2п-1

+ ! -ГТТ [а (д) р (г (я, д, р (я, д, q))) + F (д, г (я, д, р (я, д, q)), н (д, я, х) д, (22)

^ (ш + 2 п -1) !

где Фт+п+г (q(г,0,х)) (г = 1,п)-произвольные постоянные вдоль третьей характеристики,

подлежащие определению.

Начальные условия (2) для (20)-(22) выглядят так

ап-1 , _ / , „ .ч ап-2

т w (,0,х) = Ф 2п-1 (q(t,0,х)) , и-2 w(,0,х) = Ф2п-3 (Я(t,0,х)) , . .. ,

а 5п-1 а 5'

w(t ,0, х) = Ф1 (q (t ,0, х)). В силу этих условий, из (20)-(22) получаем, что

п „и-г п 5 (5 -с)п-1 с и-j

W (t, 5, х) = ЕФ 2 г -1^ ^ ,0, х)Ь-- +Е1 \ ,,, Ф 2 ; (р (с ,0, d с +

г=1 (п-г)! у=10 (п-1)! 1 (п-./)!

т 5 (5-с)2п-1 ст-к

+ Е1 5 с) п, Ф2п+к (г(с,0,р(5,с,q)))7^т¡dс+ к=10 (2п-1)! (т-к)!

5 (5 -с) т+ 2п-1

+ 1 -ГТТ[а(с)Р(г(5,с,р(5,с,q))) + ¥ (с,г(5,с,р(5,с,q)), w (с,5,х) с, (23)

^(т + 2 п -1) !

С учетом того, что

q ,0, х) = х — at, р (^ ,5, q) = х, р (с,0, q (t, с, х)) = х-а ^-2с), при t = 5 из (23) получаем, что

п t п-г п t (t — с) п-1 с п-}

и ^, х) = Еф 2 г-1 (х-at)--- +Е1 (, 1Л, Ф 2 у (х-а (t- 2 с))-^—- d с +

г=1 (п-г)! 1=10 (п-1)! 1 (и-})!

? _\2п-1 _т-к

(t- с) Л./„ л с

+ Е1 Ф2п+к (г(с,0,х))-^-dс + к=10 (2п -1)! (т-к)!

t /, _ ч т + 2п-1

+ 1 (— О-^Г[а(с)Р(г(t,с,х)) + ¥ (с,г^,с,х),и (с, г^,с,х)))]dс. (24)

Ф (т + 2 п -1) !

Теперь уравнение (1) в отличие от (12) запишем в виде

т tm-i

О п оп [и ^, х)] = Еф 2 п+г (г ^ ,0, х))--- +

г=1 (т-г)!

1 (t- с) т-1

+ 1 V щ [а(с)Р(г(t,с,х)) + ¥ (с,Г^,с,х),и (с, г^,с,х)))]dс. 0 (т-1)!

Повторяя процедуры (13)-(23), аналогично (24) получим

п ^-г' п { ^ - с) п-1 с п-]

^Ф 2 г -1 (х + ^У,-ТГ + Е 1 V 1Ч, Ф 21 (х + а (t-2 с)) Т^

г=1 (п-г)! 1 =10 (п-1)! 1 (и-])!

т ( (t __ с) 2п-1 с т-к

+ Е 1 („ , Ф2п+к (г(с,0,х))-^-dс + к=10 (2 п -1)! (т-к)!

^ _ г\т + 2 п-1

+ 1 I [а(с)Р(г(t,с,х)) + ¥ (с,г^,с,х),и (с, г^,с,х)))]dс. (25)

0

т

^(5) а (5) d 5

0

3. Разрешимость начальной задачи (1), (2)

Таким образом, вместо задачи (1), (2) будем изучать интегральное уравнение (4) при фиксированных значениях функции переопределения а ^) . В пространстве непрерывных функций С (о) изучаем однозначную разрешимость интегрального уравнения (4).

(т + 2 п-1) !

Из (24) и (25) с учетом а = 1К (5) а (5) d 5 придем к (4) с (5).

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

1. |ф i (xj)-фi (x2) <хi xi — x2 , 0<Хi = const, i = 1, m + 2n;

2. sup f (t,x,u) |<M(t), 0 <M(t) e С(QT);

xeR

3. A (t, x, U1)-A (t, x, U 2) < 5 (t)

Ml —U

1 — U 2

, 0<5 (t) eС(QT);

4.

f (t, xj, и j) — f (t, x 2, и 2) < Q (t)

x1 x 2

+ N (t)

и 1 — и 2

0 < б (г) е С (О т), 0 < N (г) е С (О т).

Тогда интегральное уравнение (4) имеет единственное решение в области О. Это решение можно найти методом последовательных приближений:

где

иo(t,x) = 0, иT+i (t,x) = ©(t,x; иT,rT), x = 0,1,2,..., r0 (s, t, x) = x, rx (s, t, x) = x — j A (б, rx (0, t, x), и T (0, rx (0, t, x)))d 0.

(26)

Доказательство. В силу условий теоремы, для первой разности приближения (26) справедлива следующая оценка

п т п-г п г

и

(t, x) — и 0(t, x) sup ф 2 i—1 (x) --— +Ё suP Пф 2 j (x)

i=1 xeR (n —i)! j=1 (t,x)eQ 0

(t — q) n—1 q n—j

(n — 1)! (n —j)!

— d q +

m t

+ Z suP Пф2n+k(x)

k=1 (t,x)eQ 0

? (t —s)2 n + m—1 + sup j (-)-11 a

(t, x)eQ 0 (2 n + m — 1)!

2n 1 m k (t — q) q

(2n — 1)! (m —k)!

d q +

[|a(s) p(x)j + M(s)]ds< A0 +Д1,

(27)

n T n—i n t (t — q)

гда Д 0 =X suP ф 2 i—1(x) 7-r: + Z suP ф 2 j (x) j

i=1 xeR (n —i)! j=1 (t, x)eQ

m i

+ Z suP ф 2 n+k (x) j

n 1 n j q

k=1 (t, x)eQ

i _\2n —1 _m—k

Г (t — q) q

0 (n — 1)! (n —j)!

m—k

d q < да,

—d q +

0

.2n+m—1

(2n — 1)! (m — k)!

А1 = вир I ^ я)2'"т. 1 [|а(я) р(х)| + М(s)]ds.

(г,х)еО 0 (2п + ш -1)! 1

С учетом (27) и условий теоремы получаем, что для второй разности приближения (26) справедлива следующая оценка

и2 (г,х) -и 1 (г,х) <

t s. _ \2n —1 m—k t

<Z х 2 n+k j T^j j 5 (0) и 1(0, x) — и 0(0, x)| d0 d q

-2 n+ k=1 0

(2n — 1)! (m — k)!

+

t \2n+m—1

+ j (t —S)

Q (s) j 5 (0) и 1(0, x) — и 0(0, x) 0 (2 n + m — 1)! J

+ N(s) и 1 (s,x) — и0(s,x)| ]ds <

d 0 +

s

1

s

t

где

< J H (t, s) uj (s,x) — u0 (s,x) \ds < (A0 + A j)J H(t s)ds,

00

(28)

H (t, s)= £ X 2 „+,, itzs)!: +(t—s)

2 n+m —1

k=1

(2 n — 1)!(m —k)! (2 n + m — 1)!

Q (s) J B (0) d 0 + N (s)

С учетом (28) для третьей разности приближения (26) получим следующую оценку

i

u 3 (t, x) — u 2 (t, x) | < J H (t, s) u 2 (s, x) — U1 (s, x)

ds <

< (A0 + A 1)J H(t,s) J H(s,0)d0ds = (A0 +A1)

0 0

Продолжая этот процесс, по индукции получаем, что

J H(t,s)ds

2!

uT+1(t,x) — uT(t,x)\ < J H(t,s)\uT (s,x) — uT—1(s,x)

0

ds <

< (A 0 + A1)

J H(t,s)ds

x!

(29)

Из

оценки (29) следует, что последовательность функций jux (t,x) ,

определенная формулой (26), сходится абсолютно и равномерно в области Q. Пусть интегральное уравнение (4) имеет два решения: u (t, x) и 3(t, x) в области Q. Тогда для

разности этих решений по модулю справедлива оценка

t

I u(t,x) — 3(t,x) I < J H(t,s) I u(s,x) — 3(s,x) |ds.

0

Применяя неравенство Гронуолла-Беллмана к последнему неравенству, получаем, что |u (t, x) — 3(t, x)| = 0 в области Q. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда для итерационного процесса (26) справедлива следующая оценка скорости сходимости

ux(t,x) — u(t,x) <(A0 +A1) — • exp{p},

x!

(30)

где

p = max J H (t, s) d

ieQ - J

s < да.

T 0

Доказательство. Действительно, в силу условий теоремы с учетом (29) имеем

оценку

u x (t, x) — u (t, x) < u x+1(t, x) — u x (t, x) + u x+1(t, x) — u (t, x)

<

< (A 0 +A1) — + J H (t, s) u x (s, x) — u (s, x) x! J

x t

t

t

s

0

2

t

s

0

x

0

Применение неравенства Гронуолла-Беллмана к последнему неравенству дает оценку (30). Теорема доказана.

4. Определение неизвестного коэффициента

С помощью дополнительного условия (3) из интегрального уравнения (4) получаем

г 1 п tn-i

1 ° Ц, 5) а (5) ds = % (0--Е-х

2 г=1(п-г)!

(

Ф 2 г-1

х 0 -t 1К (5) а (5) ds

Л

(

+ Ф 2 г-1

т

V

х 0 +11К (5) а (5) ds

1 п t

1 ЕЕ 1

с)п

1=10 (п-1)!

г

Ф 21

+

у 0 т

хп -(t-

2 с) 1К (5) а (5) d„

+

Ф 21

т

10

+

х 0 + 2 с) 1К (5) а (5) ds

с

(n-j)!

— d с,

(31)

где

(t-„\ т+2п-1 / \ о(t,5) = - -р(г(t, 5,х0)),

(т + 2 п-1)!

т t (t — с) 2п-1 . . с т-к

%(t) = У(t)- Е 1 „Ф2п+к (г(с,0,х0)^7^7dс-

к=10 (2 п-1)!

. т+ 2п-1

(т-к )!

? (t- с) т+2 п-1 / \

1 с)-ГТГ¥ (с,г^,с,х0), и (с, г^,с,х0)) ^с.

+ Р

(т + 2 п-1) !

В силу постановки задачи и условий теоремы 1, специальное интегральное уравнение Вольтерра-Фредгольма (31) имеет единственное решение на отрезке О т. Это решение может быть найдено методом последовательных приближений:

а

г 1 А t п-г

l(t) = 0, 1 О^, 5)а к+1(5)d5 = % (0--Е-ТГх

0 2 г=1(п-г)!

Ф 2 г-1

х 0 -t 1К (5) а к (5) ds

Л

+ Ф 2 г-1

т

х0

+ 11К (5) а к (5) d 5

1 ,пГг (t-с)

п-1

Е1

2 1=1 0 (п-1)!

Ф 21

+

у 0 т

хп -и-

(t-2 с) 1К (5) а к (5) d„ 0

+

+

Ф 21

х0 + (t-2с) 1К(5)а к (5)ds

с

(п -1)!

— dс, к = 1,2, ...

Таким образом, справедлива и следующая

Теорема 3. Пусть выполняются все условия теоремы 1 и

Р (х1) - Р (х 2)

<ш

, 0 <ю = const.

х1 -х 2

Тогда обратная задача (1)-(3) имеет единственную пару решений {и ^, х), а ^) } в области О.

0

х

х

т

0

Список литературы:

1. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Флаттер пластин и оболочек. - М.: Наука, 2006. -

248 с.

2. Замышляева А. А. Математические модели соболевского типа высокого порядка // Вестник Южно-УралГУ. Серия: Мат. моделирование и програм. - 2014. - Т. 7. - № 2.

- С. 5-28. DOI: https://doi.org/10.14529/mmp140201

3. Benney D. J., Luke J. C. Interactions of permanent waves of finite amplitude // Journ. Math. Phys. - 1964. - Vol. 43. - P. 309-313.

4. Каримов Ш. Т. Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя // Известия вузов. Математика. - 2017. - № 8. - С. 27-41. Doi.org/10.3103/S1066369X17080035

5. Кошанов Б. Д., Солдатов А. П. Краевая задача с нормальными производными для эллиптического уравнения высокого порядка на плоскости // Дифференц. уравнения. -2016. - Т. 52. - № 12. - С. 1666-1681. DOI: 10.1134/S0374064116120074

6. Похожаев С. И. О разрешимости квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка // Математический сборник. - 1982. - Т. 117. - № 2. - С. 251265. http://mi.mathnet.ru/msb2202

7. Скрыпник И. В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. -Киев: Наукова думка, 1973. - 219 с.

8. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 52. - № 1. - С. 112-123.

http://mi.mathnet.ru/zvmmf9641

9. Юлдашева А. В. Об одной задаче для квазилинейного уравнения четного порядка // Дифференциальные уравнения. Математическая физика. Итоги науки и техники Серия: Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. Т. 140. М.: ВИНИТИ РАН, 2017. - С. 43-49.

http://mi.mathnet.ru/into233

10. Galaktionov V. A., Mitidieri E., Pohozaev S. I. Global Sign-changing Solutions of a Higher Order Semilinear Heat Equation in the Subcritical Fujita Range // Advanced Nonlinear Studies. - 2012. - Vol. 12. - No. 3. P. 569-596. DOI: https://doi.org/10.1515/ans-2012-0308

11. Горицкий А. Ю., Кружков С. Н., Чечкин Г. А. Уравнения с частными производными первого порядка. - М.: Мехмат МГУ, 1999. - 95 с.

12. Иманалиев М. И., Ведь Ю. А. О дифференциальном уравнении в частных производных первого порядка с интегральным коэффициентом // Дифференц. уравнения.

- 1989. - Т. 23. - № 3. - С. 465-477. http://mi.mathnet.ru/de6793

13. Иманалиев М. И., Алексеенко С. Н. К теории систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа Уизема // Докл. РАН. - 1992.

- Т. 325. - № 6. - С. 1111-1114.

14. Донцова М. В. Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями специального вида // Уфимск. матем. журн. - 2014. - Т. 6. - № 4. - С. 71-82.

Doi.org/10.13108/2014-6-4-68

15. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник ТомГУ. Математика и Механика. - 2012. - № 2. - С. 56-62. http://mi.mathnet.ru/vtgu253

16. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка // Вестник Южно-УралГУ. Серия: Математика.

Механика. Физика. - 2012. - Вып. 6. № 11 (270). - С. 35-41. http://mi.mathnet.ru/vyurm104

17. Юлдашев Т. К. Начальная задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с вырожденным ядром // Изв. ИМИ УдГУ. - 2018. - Т. 52. - С. 116-130.

DOI: https://doi.org/10.20537/2226-3594-2018-52-09

18. Костин А. Б. Восстановление коэффициента перед ut в уравнении теплопроводности по условию нелокального наблюдения по времени // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2015. - Т. 55. - № 1. - С. 89-104.

19. Романов В. Г. Об определении коэффициентов в уравнениях вязкоупругости // Сиб. мат. журн. - 2014. - Т. 55. - № 3. - С. 617-626.

20. Yuldashev T. K. Determination of the coefficient and boundary regime in boundary value problem for integro-differential equation with degenerate kernel // Lobachevskii journal of mathematics. - 2017. - Vol. 38. - No. 3. - P. 547-553.

21. Юлдашев Т. К. Об однозначной разрешимости начальной задачи для одного квазилинейного дифференциального уравнения высшего порядка // Эпоха науки. - 2019. - Т. 17. - С. 124-134.

УДК 517.927.25

DOI 10.24411/2409-3203-2018-11837

ОБ ОДНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Юлдашев Турсун Камалдинович

к. ф.-м. н., доцент

стажёр кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Иркутский государственный университет Иркутск, Россия

Аннотация: Рассмотрены вопросы построения решений одной краевой спектральной задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма второго порядка с вырожденным ядром, интегральными условиями и спектральными параметрами. Вычислены значения спектральных параметров и построены соответствующие этим значениям решения. Изучены особенности, возникающие при интегрировании рассматриваемого уравнения.

Ключевые слова: Интегро-дифференциальное уравнение, спектральная задача, вырожденное ядро, интегральные условия, спектральные параметры.

ON A SPECTRAL PROBLEM FOR A FREDHOLM INTEGRAL-DIFFERENTIAL EQUATION WITH INTEGRAL CONDITIONS

Yuldashev Tursun K.

PhD, Associate professor, Department of Math. Analyses and Diff. Equations,