Интегральные представления многообразий решения для одного класса уравнений в частных производных третьего порядка гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.93

А. К. Ильясова Астраханский государственный технический университет

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МНОГООБРАЗИЙ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫ1Х ПРОИЗВОДНЫ1Х ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Введение

Известно, что представление многообразия решений общего линейного гиперболического уравнения второго порядка с регулярными коэффициентами вида

— 2 — —

Ьи = + А( х, у) + В( х, у) + С (х, у )и = / (х, у)

ахау ах -у

при условии, когда все коэффициенты младших членов и правая часть тождественно равны нулю, даётся при помощи формулы Даламбера и содержит две произвольные функции одной переменной.

А. В. Бицадзе [1, 2] для этого уравнения получил формулу, которая выражает в явном виде искомое решение задачи Коши через начальные данные. Это решение выражается через решение однородного сопряженного уравнения, т. е. функцией V = V(х, у, х0,у0), которая называется функцией Римана. Известно, что функция Римана существует, если

-а(х, у) -Ь(х, у)

ах =-------, Ьу =-------, с = с(х, у) являются непрерывными функциями. В работах

-х -у

Л. Г. Михайлова [3], М. М. Смирнова [4], А. М. Нахушева [5] при решении задачи Коши для упомянутого общего линейного гиперболического уравнения второго порядка применяется метод интегральных уравнений.

В исследованиях по вопросам связи систем дифференциальных уравнений в частных производных особо следует отметить ряд работ Л. Г. Михайлова, в которых даны более простые и эффективные методы исследования некоторых классов систем дифференциальных уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. В частности, на примере нелинейной системы уравнений вида

\у'х+ а(х,у) • V = М(х, у, и, и'х, иу),

\у'у + Ь(х,у) • V = N(х, у, и, и'х, иу),

где а(х, у), Ь(х, у), М(х, у, и, и'х, иу), N(х, у, и, и'х, иу) - заданные функции, Л. Г. Михайлов показывал, что исследование системы может быть расщеплено на две составные части: приведение к уравнению второго порядка для одной из искомых функций и нахождение по ней другой функции. Уравнением второго порядка оказывается уравнение Лапласа, а нахождение второй функции сводится к интегрированию дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.

В исследовании Н. Раджабова [6] была установлена связь между решением некоторых модельных уравнений гиперболического типа со многими сингулярными поверхностями и гиперболическими уравнениями с регулярными коэффициентами. На этой основе был решен ряд граничных задач типа задач Коши и Дарбу.

В 1985 г. Н. Раджабов [6] разработал новый способ, на основе которого написал формулу

общего решения линейного дифференциального уравнения в частных производных второго по-

рядка гиперболического типа. Полученная формула выражается при помощи двух произвольных функций одной независимой переменной и является обобщающей формулы Даламбера. В последующих исследованиях Н. Раджабовым [7, 8] были разработаны способы получения многообразия решений гиперболических уравнений второго и высших порядков с регулярными и сингулярными коэффициентами, которые применялись для исследования краевых задач типа задач Коши, Гурса и Дарбу.

Пусть

Вопросам построения явных решений уравнений гиперболического типа с сингулярными плоскостями посвящены работы С. Т. Фозилова, например [9].

Необходимо отметить, что эти исследования непосредственно относятся к вопросу о связи дифференциальных уравнений в частных производных с системой дифференциальных уравнений.

Сведение уравнений с частными производными третьего порядка к системе линейных уравнений первого порядка

В настоящей работе, на основе метода, разработанного Н. Раджабовым, показывается, что процесс исследования одного класса дифференциальных уравнений с частными производными третьего порядка может быть расщеплен на две составные части: приведение данного уравнения к системе трех линейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка и нахождение по ней искомого решения.

Пусть О - прямоугольный параллелепипед П (а, р, у)) с вершинами в точках

А1 (а, 0,0), B1 (0,0,0), C1 (0, р, 0), D1 (а, р, 0),

A2 (а, 0, у) B2 (0,0, у), C2 (0, р, у), D2 (а, р, у),

П(а, Р, у) = {(х, у, z):0 < х < а,0 < у < Р,0 < z < у}.

П1 (а) = {0 < х < а, у = z = 0},

П2 (Р) ={0 < у <р, х = z = 0},

Пз(у) = {0 < z < у, х = у = 0}

множество точек, замкнутых промежутков на вещественной, мнимой оси и оси аппликат соответственно.

В области О рассмотрим уравнение следующего вида:

- 3и , . - 2и , , . - 2и

--------+ a(х, у, z)--+ Ь(х, у, z)----+

ЭхЭуЭг ^ ЭхЭг ^ ЭуЭг

г/ ч -2и ,Эи. Эи

+ d (х, у, z)-+ m( х, у, z)--+ п( х, у, z)-+

-х-у -х -у

-и

+ ^ х, у, z)-+ т( х, у, z)u = Ф( х, у, z), (1)

Эz

где a, Ь, d, ш, п, c, т - заданные функции; Ф(х, у, z) - правая часть.

Предположим, что функция а(х, у, z) по переменной у непрерывна и по переменной х и z имеет непрерывные, смешанные производные второго порядка. Допустим, что функции Ь(х, у, z) и с(х, у, z) по переменной z имеют непрерывные производные первого порядка, а по остальным переменным непрерывны.

При таких предположениях уравнение (1) всегда можно преобразовать к следующему виду:

^ (Аг) [«]) + d(х, у, z)Л(г) [и] = В(г) [и] + Ф(х, у, z), (2)

где А(г) и В (г) являются регулярными линейными дифференциальными операторами, которые задаются следующими формулами:

э 2 э э

А(г) = + а( х, У, z)^r + Ь( х, у, z) — + с( х, у, z),

ЭхЭу Эх Эу

ээ

— + Я( х, у, z) —

эх эу

В(г) ° Р(х, у, z) — + Я(х, у, z) — + д(х,у, z).

Здесь:

ч / ч ,/ ч Эa(x, y, z) . .

Pi x, y, z) = ai x, y, z )d і x, y, z) +------------mi x, y, z),

Эz

ч ЭЬ(x, y, z) ,. . . .

Rix, y, z) =-+ bix, y, z)dіx, y, z) - п(x, y, z),

Эz

Q(x, y, z) = c(x, y, z)d(x, y, z) + dc(x_, y z) - m(x, y, z).

Эz

Если результат действия оператора А(Г) на функцию u(x, y, z) обозначить через новую неизвестную функцию f=f(x, y, z), то при условиях

m( x, y, z) = Э^x, y, z) + a( x, y, z )d (x, y, z), (M)

Эz

n(x, y, z) = b(x, y, z)d(x, y, z) + ЭЬ(^ y, z), (n)

Эz

mi x, y, z) = dc(^ y, z) + c( x, y, z)d (x, y, z), (S)

Эz

будем иметь дело с системой следующего вида:

f A(r) [u] = f (x, y, z), iTir)[f ]=Ф( x, y, z)

(3)

где Т(г) является регулярным линейным дифференциальным оператором, который задается следующей формулой:

_Э_

Эz

T(r) ° —+ d(x,y, z).

Согласно [7], дифференциальный оператор А(г) представим в следующем виде:

А = 1 • 1

А(г) 1( х) 1 (у),

где 1(х/(у) - дифференциальные операторы следующих видов:

-х

-у

I(x) ° — + b(x, y, z),

I(y) ° — + a(x,y, z).

Тогда

I(x)I(y) [u]+ fix, У, z), (4)

где Iis) = a(x, y, z) b(x, y, z) + Эaix, y, z) - c(x, y, z), следовательно, система (3) примет следую-

Эx

щий вид:

f I(x)Iiy) [u] = I(s) [u] + f (^ У, z), (5)

lT(r) f ]= Ф(x, У, z).

Если результат действия оператора I(y) на функцию u(x, y, z) обозначить через новую неизвестную функцию V = V(x, y, z), то при условии

с(х, у, г) = а(х, у, г)Ь(х, у, г) + Эа(Х’У’г), (Е)

Эх

получим систему следующего вида:

1 (у) Iй ] = V (х, У, г), * 1 (х) [V ] = /(x, У, г), т(г)/] = Ф( х, у, г).

(6)

Таким образом, установлено, что если в уравнении (1) функция

(М), (Ы), (5) и (Е), то задача о нахождении общего решения дифференциального уравнения с частными производными третьего порядка вида (1) будет равносильна задаче о нахождении общего решения линейной системы трех дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка вида (6).

Интегральное представление уравнения с частными производными третьего порядка гиперболического типа

Целью нижеизложенного является получение формулы явного решения через произвольные функции. Для этого достаточно решить систему вида (6). Решая в отдельности каждое уравнение системы (6), соответственно получим следующие представления:

где интегральные операторы ю, ] = 1,2,3..., Е, М, N задаются следующими формулами:

В этих выражениях функции ф(х, z), у(у, 2) и ^(х, у) являются произвольными функциями от двух независимых переменных.

а(х, у, 2) е С2у (о), Ь(х, у, 2), с(х, у, 2) е С] (о) и коэффициенты связаны между собой условиями

и(х, у, г) = ехр(-ю1 (х, у, г))(ф(х, г) + Е(х, у, г), V(x, у, г) = ехр-^ (х, у, г))(у(х, г) +М(х, у, г)),

/(х, у, г) = ехр(-Юз(х, у, г))(^(х, г) + N(х, у, г)),

(7)

(8)

(9)

у

у

х

В равенстве (8), подставляя вместо / = (х, у, 2) ее значения из равенства (9), затем в равенство (7) вместо V (х, у, 2) подставляя ее значения из полученного равенства, будем иметь представление следующего вида:

у

и(х, у, 2) = ехр[- ю1 (х, у, 2)]ф(х, у) + |ехр[ю1 (х, Т, 2) - ю1 (х, у, 2)] • {ехр[- ю2 (х, Т, 2)] • у(Т, 2) +

уо

х

+ | ехр[ю2 (, Т, 2) - Ю2 (, Т, 2)] • (ехр[- Ю3 (^, Т, 2)] • ц((, Т) +

х0

2

+ |ехр[ю3(^,Т,X)-ю3(^,т,2)]• Ф(^,Т,Х)ё%)& }ёТ . (10)

20

Таким образом, доказана справедливость следующего утверждения:

Теорема. Пусть в уравнении (1) а(х, у, 2) е С2у (о), Ь(х, у, 2), с(х, у, 2) е С\ (о) и выполнены условия (М), (Ы), (5) и (Е). Тогда любое решение, которое содержит три произвольные функции от двух независимых переменных, представимо в виде (10).

Замечание 1. Если выполнены условия (М), (Ы), (5) и С1(х,у, 2) = а(х,у,2)Ь(х,у,2) +

Эа( х, у, 2) . . п .1Ч

+-----------------с(х, у, 2) Ф 0, то уравнение (1) сведется к интегральному уравнению Вольтера вто-

Эх

рого рода. Если не выполняется хотя бы одно из условий (М), (Ы), (5), то уравнение (1) сведется к интегродифференциальному уравнению.

Замечание 2. При х0 = 0, у0 = 0, 20 = 0 значение искомой функции на П^а), П2(Ь), П3(у) соответственно находится из следующих равенств:

и(х, 0, 0) = ф(х, 0),

у

и(0, у, 0) = ехр[-ю1(0, у, 0)]ф(0, у) + |ехр[ю1(0, т, 0) -юДО, у, 0)] у(Т, 0)ёТ,

уо

и(0, 0, 2) = ф(0, 2).

Замечание 3. Когда и = и(х1, х2, х3, ..., х„) и главная часть линейного дифференциального

ЭШ

и 1 Т -3

уравнения в частных производных ш-го порядка имеет вид —----------------, ш = 1, 2, 3, ..., п, инте-

рн ёх

}=1

гральное представление находится аналогично решению уравнению (1).

Представление многообразия решений (10) применяется для выяснения постановок новых краевых задач и их исследования. В частности, с помощью интегрального представления вида (10) для уравнения (1) возможна подстановка и решение задачи типа задачи Коши.

Приведем формулировку этой задачи.

Задача. Найти решение и(х, у, 2) уравнения (1) из класса С3(Ц), которое удовлетворяет условиям следующих видов:

1) и(х, у, 2)|х = х0 = Лу, 2);

2) и(х, у, 2)у = уо = §(х, 2);

3) и(х, у, 2)|г = го = Н(х, у),

где Л, g и к - заданные функции соответствующих классов.

Заключение

Таким образом, для дифференциального уравнения с частными производными третьего порядка получена формула явного решения многообразий интегральных представлений через три произвольные функции двух независимых переменных. Результаты получены на основе ме-

тода представления в виде композиции трех линейных операторов первого порядка главной части дифференциального оператора в частных производных третьего порядка гиперболического типа. Полученная формула решений интегральных представлений применяется для постановки и решения различных граничных задач типа задач Коши, Дарбу и Гурса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бицадзе А. В. Уравнение математической физики. - М.: Наука, 1982. - 336 с.

2. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1981. - 448 с.

3. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. - Душанбе: Изд-во АН Тадж. ССР, 1963. - 234 с.

4. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М.: Наука, 1966. - 292 с.

5. Нахушев А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. - 1969. - № 1. - С. 79-84.

6. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией и сингулярными поверхностями. - Душанбе. - Ч. 1, 1980. - 126 с.; Ч. 2, 1981. - 170 с.; Ч. 3, 1982. - 170 с.

7. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией и сингулярными поверхностями. Ч. 4 / ТГУ им. В. Л. Ленина. - Душанбе, 1985. - 148 с.

8. Раджабов Н., Ганиев С. С. Об одном методе представления многообразия решений общего линейного уравнения 4-го порядком гиперболического типа с регулярными коэффициентами / ТГУ им. В. Л. Ленина. - Душанбе, 1988. - 15 с. - Деп. в ТаджикНИИНТИ 05.04.99. № 11(589).

9. Фозилов С. Т. Явные решения и граничные задачи для одного класса нелинейных уравнений третьего порядка с двумя сингулярными плоскостями // Актуальные проблемы науки в России: Материалы Всерос. науч.-практ. конф. - Кузнецк, 2005. - Вып. 3, т. 3. - С. 86-89.

Статья поступила в редакцию 11.12.2006

INTEGRATED REPRESENTATIONS OF VARIETIES OF THE DECISION FOR ONE CLASS OF THE EQUATIONS IN PRIVATE DERIVATIVES OF THE THIRD ORDER OF HYPERBOLIC TYPE

A. K. Ilyasova

In the present work for the differential equation with private derivatives of the third order the formula of the obvious decision of varieties of integrated representations through three any functions of two independent variables is received. Results of work are received on the basis of a method developed by N. Radzhabov. It is shown, that process of research of one class of the differential equations with private derivatives of the third order can be split on two components: 1) reduction of the given equation system of three linear differential equations with private derivatives of the first order; 2) a finding after it of the required decision. The received formula of decisions of integrated representations is applied to statement and the decision of various boundary problems of Koshy, Darbu and Gurs type.