CC BY
39
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №9_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
Академик АН Республики Таджикистан Н.Раджабов, Дуния Абдулхамид Хасан
ЗАДАЧА ТИПА КОШИ С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ С ОДНОЙ
СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ
Таджикский национальный университет
В работе для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с одной сингулярной линией ставится и исследуется задача типа Коши с высшими производными. Используя интегральное представление решения уравнения Эйлера-Пауссона-Дарбу, решение поставленной задачи находится в явном виде.
Ключевые слова: уравнение с одной сингулярной линией - уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу - гиперболическое уравнение - новые граничные задачи.
Через D обозначим прямоугольник D0 = {(л, y):0 < л < a, — b < y < b)} . Соответственно обозначим Г = {y = 0, 0 < х < a}. Далее обозначим D = D0 / . В области D рассмотрим уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу с одной сингулярной линией следующего вида
d2u d2u j du _ Q дх2 dy2 y dy
где j = cons tan t.
В дальнейшем через C2 (D) обозначим класс функций u(х, y), который внутри D имеет непрерывные производные первого и второго порядка и непрерывные в D ^ Г, то есть u(х, y) е C(D ) . Через (D) обозначим класс функций u(х, y) е C2 (D) и на Г удовлетво-
ди
ряющий условию lim yj — = 0 . В дальнейшем будем пользоваться следующим утверждением [2] и
dy
литературой, указанной там.
Любое решение уравнения (1) из класса C2(D) при j> 1 из класса(D) при 0< j< 1 представимо в виде
1_f <р[ х + y(1 — 2t
2 , 2
где ф(X) - произвольная дважды дифференцируемая функция переменного X .
1 х + y(1 — 2t)l
u(х,у) = ,„ ,,л Г[ y J)]dt = П» , (2)
ß\jJ 0 [t(1—оГ2
Адрес для корреспонденции: Раджабов Нусрат, Дуния Абдулхамид Хасан. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected] / falah_shaker2004@yahoo. com
Заметим, что если произвольная функция ф(X) - дифференцируема конечное число раз, по переменным X, тогда, как следует из интегрального представления (2), решение дифференциального уравнения (1) также будет дифференцируемо конечное число раз.
Проблеме исследования граничных задач для уравнения (1) посвящены работы [1-6]. Проблеме исследования граничных задач с высшими производными для эллиптических уравнений посвящена монография академика И.Н.Векуа [1]. Целью настоящей работы является выяснение постановки краевых задач с высшими производными и их исследование для уравнения (1).
В дальнейшем через Е+ обозначим полуплоскость Е+ = х, у) : 0 < х < го, — го < у < го |. Соответственно обозначим = |0 < х < го, у = 0|. Интегральное представление (2) остаётся в силе и в области Е+ .
Задача Я]. Требуется найти решение уравнения (1) из класса С(п) (Е+ ) по граничным условиям
[(°у )Ч* + «1 [(В Г1 + «2 [фГ2 и]^ +......+ ап—! [ БуП ]у__о + апи( х, 0) = / (х)
(3)
1 д
где В =---, а (1 ^ ] ^ п) - заданные постоянные, /(х) - заданная функция.
у ду
В дальнейшем воспользуемся следующим свойством интегрального оператора П (ф)
(Ви) у=0 ф ,Ф» у=0 = ф(4)( х)
фи) у=0 =
р + Гх у 'у=0 (р + 1)(р + 3)' ф(б)( х)
(р +1)(р + 3)(р + 5), ........
Ф» у=0 =
_ф2М_
(р + 1)(р + 3)(р + 5)...(р + 2п — 1)
(4)
>
если (р( х )е с2 (Ц ) .
Используя интегральное представление (2), его свойства (4) и граничное условие (3), для определения неизвестной функции ф( х) получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение (2п) -го порядка
ф(2п)(х) + Лфф2п-2)(х) + Афф2п-4\х) +... + А— _ф"(х) + Аф(х) = Е(х) , (5)
где
Л = а (р + 2п — 1), Л = а2 (р + 2п — 1)(р + 2п — 3),
Лп—1 = ап_,(р + 3)(р + 5),...(р + 2п — 1), Лп = ап (р + 1)(р + 3)...(р + 2п — 1),
Е (х) = / (х)(р + 1)(р + 3)...(р + 2п — 1).
Таким образом, задача сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения 2п-го порядка специального вида (то есть коэффициенты при чётных производных равны нулю) с постоянными коэффициентами,
Как в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [7], сначала находим общее решение однородного уравнения
ф(2пЧх) + Лф2п-2(х) + Афф2п—4(х) +... + Лп—ф(х) = 0 . (6)
Решение уравнения (6) будем искать в виде
ф( х) = еЛх .
Отсюда, вычисляя все производные и подставляя в уравнение (6), для нахождения Л получим следующее алгебраическое уравнение
л2п + лл2п—2 +...+Л-Л2 + Л = 0, (7)
которое имеет 2п-корней.
Случай 1. Пусть корни уравнения (7) являются вещественными и разными. Тогда уравнение (6) имеет 2п-корней и его общее решение, согласно общей теории [7], даётся формулой
ф( х) = сеЛ х + с2еЛ х +... + с^е^, (9)
где с,С, .. ,Сги - произвольные постоянные.
Решение неоднородного уравнения (5), согласно методу вариации произвольных постоянных, будем искать в виде
ф( х) = с (х)еЛ х + с (х)еЛх +... + с2и (х)еЛ^пх, (10)
где с (х), С (х),.....Си (х) - новые неизвестные функции.
Используя обычную схему для определения неизвестных функций с'. (х) (1 < 1 < 2п), получим линейную алгебраическую систему, решая которую по известной схеме после интегрирования находим
(—1)п+1 Д° х 1
С.(х) = с°+ —-1\ЕаУЛ1йг (1 < 1 < 2п)
0
где с° (1 < 1 < 2п) - произвольные постоянные
Л =
1 1 .. .... 1 ....... .1
Л1 Л2 .. .... Л ........ . Л
Л12 Л22 . ..... Л2 ...... ... Л22«
.Л«
Л««
л;=
1 1.
ЛЛ2 .
Л2Л2
1 1 .........1
-1 ] .......К«
.. Л]-1 ]........Л2«
л «-2 л «-2 л «-2 л «-2 л п
Л1 Л2 ........Л-1 ] ........Л2.
«-2 п
Подставляя значение с, (х) (1 < ] < 2«) в формулу (10), находим решение задачи Я^ в этом
случае
2« 2«-1 2« Л° Х
ф( х) = £[ с/Л] ] + П V (-1)" +]. / I ] V" (0Л,
7=1 т=1 ]=1 Ло о
где с. (1 <] < 2«) - произвольные постоянные.
Продолжим /(х) для значений х < 0, полагая ^ (х) = /(х) , когда х > 0, и ^ (х) = 0, когда
х < 0.
Подставляя найденные значения ф(х) в интегральное представление (2), находим решение задачи Rl.
Таким образом, доказана следующая теорема
Теорема 1. Пусть в условии (3) постоянные а. (1 < ] < «) такие, что корни характеристического уравнения (7) вещественные и различные /(х) е с2«(Е+). Тогда однородная задача R1 имеет 2n-линейно-независимых решений. Неоднородная задача R1 всегда разрешима и её общее решение содержит (2п)- произвольных постоянных и даётся при помощи формулы
и( х, у) =
2« 1 [ С/Л]
В
1
V ^1
Л] [ х+у (1-2? )]'
2 2
П (М + (-1)
[? (1 - ?)]'
4? +
2 «-1
2«+ ]
Л] 1 [ х + у (1 - 2?)] 1
]=1
V V
Л31 у 10
1[ х+у (1 -2)] 4? | /
Л] [ х+у (1-2? )](!-* )
[?(1 - ?)]
/ [(х + у(1 - 2?)>] ds
Замечание 1. Результаты, подобные теореме 1, получены и в других случаях. Замечание 2. Разработанная схема даёт возможность для уравнения (1) ставить и исследовать и другие задачи с высшими производными.
Поступило 02.07.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. - М.-Л., 1948.
2. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями (Введение в теорию немодельных гиперболических уравнений второго порядка с сингулярной линией), ч. 1. - Душан-бе,1980, 127 с.; ч. 2 - Душанбе, 1981, 170 с.; ч.3 -Душанбе,1982, 170 с.
3. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М.: Наука, 1977.
4. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. - Минск: Выщэйщая школа, 1977.
5. Смирнов М.М. Модельное уравнение смешанного типа четвертого порядка. - М.:Изд-во ЛГУ, 1972.
6. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. - М.: Изд-во АН СССР,1959.
7. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1963,502с
Н.Рачабов, Д.АДасан
МАСЪАЛАИ НАМУДДИ КОШИ БО ^ОСИЛА^ОИ ТАРТИБИИ ОЛЙ БАРОИ МУОДИЛАИ ГИПЕРБОЛИТИКИИ ЭЙЛЕР-ПУАССОН-ДАРБУ БО
ЯК ХАТТИ СИНГУЛЯРЙ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола барои муодилаи гиперболикии Эйлер-Пуассон-Дарбу масъалаи намуди Кошй бо х,осилах,ои тартиби олй гузошта шуда тадкик карда шудааст. Тасвири маълуми инте-гралиро истифода бурда, хдлли масъалаи гузошта шуда ба намуди ошкор ёфт шудааст.
Калима^ои калиди: муодила бо як хати сингуляри - муодилаи Эйлер-Пуассон-Дарбу - муодилауои гиперболики - масъалауои канори.
N.Rajabov, Dunya Abdulhameed Hassan COUSHY TYPE BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH HIGHER DERIVATIVE FOR HYPERBOLIC EULER-PUASSON-DARBOUX EQUATION WITH ONE
SINGULAR LINES
Tajik National University
In this work for the hyperbolic equation Euler-Poisson -Darboux with one singular lines in depend from parameters, standing and investigation Coushy boundary value problems with higher derivative, using integral representation for the Euler-Poisson -Darboux solution ,we were found solution for this problem in explicit form.
Key words: equation with one singular line - equation Euler-Poisson-Darboux - hyperbolic equation - new boundary problems.
