Решение задачи Коши для системы уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ

Е. А. Максимова

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: katyuha_mak@mail. ru

Рассмотрена система уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу. Получено решение задачи Коши для случая, когда характеристические числа матрицы-коэффициен-та комплексно-сопряжённые с действительной частью из интервала (—1/2, 0).

Ключевые слова: метод Римана, задача Коши, система уравнений Эйлера-Пуассона—Дарбу.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных

d2U d2U 2 GdU_ дх2 ду2 у ду ’

где U = (u\(x,y),U2(x,y))T—неизвестная вектор-функция, G — действительная 2 х 2-матрица.

В работе [1] построена матрица Римана и с её помощью получено решение задачи Коши для системы (1) в случае, когда спектр матрицы G принадлежит интервалу ( — 1/2,1/2). В [2] получено решение задачи Коши для случая, когда собственные значения матрицы G — комплексно-сопряжённые числа с действительной частью из интервала (0,1/2).

Цель данной работы — найти решение задачи Коши для случая, когда матрица G имеет комплексно-сопряжённые собственные значения Ai, А2 с действительной частью из интервала ( — 1/2, 0): + щ2, Х2 = l-Ч — Щ2, Mi G (—1/2,0), jj,2 ^ 0.

Задача Коши. Найти вектор-функцию U(х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

1) U(х,у) е C(D) П C2(D), где D = {(ж,у) : 0 < —у < х < у + 1};

2) U(x,y) удовлетворяет системе (1);

3) выполняются начальные условия

U(x,0) = т(х) = (т1(х),т2(х))Т, [0,1]; (2)

dU

lim К (у)— = v(x) = (z/i(x),z/2(x))T, же (0,1), (3)

у—0 оу

где

К{у) = (-y)2G = (-y)2Ml (-Bcos(2/x2ln(-y)) - ——sin(2/x2ln(-y))Y

V jj, 2 /

В характеристических координатах

С = х + у, г] = х - у (4)

Екатерина Алексеевна Максимова, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.

область £> переходит в область Н = {(С,??) : 0 < £ < 'г/ < 1}, а система (1) редуцируется к системе уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу специального вида:

d2U dU G dU G

О,

д£дг] д£ г] - £ дг) г] - £ при этом начальные условия принимают следующий вид:

и(£,0 = т(0, ее [o,i],

Ли*(т2)*()' ее(0’1)-

(5)

(6) (7)

Из свойств функции от матрицы [3] следует, что функция-матрица Римана Д(£> г/] £о, щ) есть вещественная матрица даже в том случае, когда характеристические числа матрицы С комплексно-сопряжённые. Запишем её аналитический вид:

Д = VМ1 (——Ль г) сов(р2 1п V) + у>(Льг) вт(/х21пУ)) +

' М2

Здесь

V

E(ip(\\,r) cos(ц2 In V) + V>(Ai, г) sin(yU,2 In У)) J.

(v-O2 (£-£o)(??-?7o)

(гп~Ь)(т -О’ (£-??о)(£о -??)’

^(Льг) = 11е(2л( М1 +*М2^М1 +*М2 ;г^

^(Аьг) =1ш(2^1( М1 +*М2^М1 +*М2 ;г^_

Если £/(£,??) является решением системы уравнений (5), а Д(£, о, ??о)~ матрица Римана этой системы уравнений, то, используя свойства матрицы Римана и векторный аналог тождества Грина [4], получаем

1,

? = 40 ■ -e +g(

77 = 770

1 рГ)о—Е

+ 0 / R

2 . J £o

1 p o-e /

~~ 2 4 I

? = ?0 V = ?0 + £

at/ эи

дц di

»)=?+£

de-

ад c)R 4ДС \ dry i-ц)

J)=£+E

dZ = J2Mc)- (8)

fc=i

В равенстве (8) непосредственно переходить к пределу при е —> 0 нельзя, так как все внеинтегральные члены стремятся к бесконечности, а интеграл J±(e) не существует. Интегрируя по частям Ja(e), применяя формулу автотрансформации и переходя к пределу при е —> 0, получим решение задачи Коши (6), (7) для системы уравнений (5) в области Н, которое имеет вид

и(€,г]) = -22mi_1 (ifiV>(Ai,l) + Etp{\i,l)) J cr~Ml(t)cos v{t)dt-

- 22fJ'1~1 - Еф(Х1,1)) J cr_Ml (t) sin ^2 Inz/(t)dt+

^(Еф(-Хи1)-КМ-М,1))х

+ (*7-0“2#,1_1 х J CTM1 (t) sin (^л2 In ~^~^j (v + £ - 2t)r'(t)dt-

- ^ (E(p(-M,l) + ifiV’(-Abl)) J crMl (t) cos In ^ (V + £ ~ 2t)r'(t)dt+

+ (K2ip(-\i,l) + К3ф(-Х1,1)) J crMl (t) cos In ) r(t)dt+

+ (К2ф(-Х1,1) - K3ip(-X1,l)) J crMl (t) sin In ^ r(t)dt

(9)

где

K1=° MlE, K2=2G + E,

M 2

K3 = ( 1 + 2ц1)К1 - 2/j,2E, a(t) = (t - £)(ry - t),

on 1 i V / / л i\ v-V’n(Abl)

¥>(Abl) = 1 + у ———-, V’(Abl) - 4

^ (1 )„n! ’ rv 1J ' ^ (1 )„n! ’

n=1 4 ' n=1 4 '

y>n+i(Abl) = ((mi + n)2 - M2)^n(Ai,l) - 2/л2(a*i + п)фп(Abl),

VVi+i(Ai,l) = ((mi + n)2 — At2)V’n(Ai,l) + 2fj,2(fj,\ + n)y>n(Abl),

¥>i(Abl) = - М2, V’i(Abl) = 2/X1/X2-

Используя (4), можно записать решение U{x,y) в области D. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема. Если т(х) G С^3[0,1] и v(x) G С2(0,1), то задача Коши (2), (3) для уравнения (1) корректна по Адамару.

Замечание. Положив в (9) мi = 0, получим решение задачи Коши для случая мнимых собственных значений матрицы G.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Андреев А. А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа / В сб.: Дифференциальные уравнения в частных производных: Сб. тр. мат. кафедр пединститутов РСФСР. Вып. 16. Рязань: Рязан. гос. пед. инст., 1980. С. 9-14. [.Andreev A. A. On a class of systems of differential equations of hyperbolic type / In: Partial differential equations. Ryazan: Ryazan. Cos. Ped. Inst., 1980. Pp. 9-14].

2. Андреев А. А., Максимова E. А. Решение задачи Коши для одной системы гиперболического типа с сингулярными характеристиками / В сб.: Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: СамГТУ, 2011. С. 11-17. [Andreev A. A, Maksimova Е. A. The solution of the Cauchy problem for one hyperbolic system with singular characteristics / In: Proceedings of the Eighth All-Russian Scientific Conference with international participation. Part 3 / Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2011. Pp. 11-17].

3. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 549 с. [Gantmakher F. R. Theory of matrices. Moscow: Nauka. 549 pp.]

4. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1966. 164 с.; англ. пер.: Bitsadze А. V. Equations of the Mixed Type. New York: Pergamon Press, 1964. 160 pp.

Поступила в редакцию 21 /III/2011; в окончательном варианте — 23/VIII/2011.

MSC: 35L52

SOLUTION OF THE CAUCHY PROBLEM FOR SYSTEM OF EULER-POISSON-DARBOUX EQUATIONS

E. A. Maksimova

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.

E-mail: [email protected]

The system of Euler-Poisson-Darboux equations is considered,, the Cauchy problem is solved for the case, when characteristic numbers of matrix-coefficient are complex conjugate and having real part in the interval (—1/2, 0).

Key words: Riemann method, the Cauchy problem, partial differential equations, Euler-Poisson-Darboux equation.

Original article submitted 21 /III/2011; revision submitted 23/VIII/2011.

Ekaterina A. Maksimova, Postgraduate Student, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science.