О задаче Коши для системы уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу с нильпотентным матричным коэффициентом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 3 (28). С. 184—187

УДК 517.956.3

О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ С НИЛЬПОТЕНТНЫМ МАТРИЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Е. А. Максимова

Самарский государственный технический университет,

443100, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: [email protected]

Методом Римана получено решение задачи Коши для системы уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу с нильпотентным матричным коэффициентом степени т. Сформулирована теорема корректности решения задачи Коши по Адамару.

Ключевые слова: метод Римана, задача Коши, система уравнений Эйлера-Пуассона—Дарбу, нильпотентная матрица.

Рассматривается система дифференциальных уравнений:

d2U d2U 2 GdU_ дх2 ду2 у ду :

(1)

где U = (ui, U2,..., un)T, G — действительная (n x п)-нильпотентная матрица [1] степени m, 2 ^ m ^ n.

Задача Коши. Найти вектор-функцию U(x, y), удовлетворяющую следующим условиям:

1) U(x, y) € C(D) П C2(D), где D = {(x, у) : 0 < —y < x < у +1};

2) U(x, у) удовлетворяет системе (1);

3) выполняются начальные условия

U(x, 0) = т(x), x € [0,1];

lim K(у)

ум-0

dU

ду

v(x), x € (0, 1),

(2)

где т(x) = (74(x),T2(x), .. ., Tn(x))T, v(x) = (vi(x), V2(x),. .., Vn(x))T, K(y) =

= (—y)2G-

В характеристических координатах £ = x + y, p = x — y область D переходит в область H = {(£, n) : 0 < £ < p < 1}, матричное уравнение (1) редуцируется к системе уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу специального вида:

d2U G (dU dU \

+ —-A— - —) =0,

d£dp n — О- d£ dp)

а начальные условия (2) принимают вид

(3)

(/({,«) = гЮ, «С [0,1]; „to=*(«. ^(0,1). (4)

Екатерина Алексеевна Максимова, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.

184

О задаче Коши для системы уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу ...

Известно [1], что для любой нильпотентной матрицы G существует матрица перехода Q к жорданову базису такая, что

Q-1GQ = J,

где J — жорданова форма матрицы G. Матрица J состоит из r клеток размером Hik (li + I2 + • • • + 1r = n):

( Hh 0 0

J= 0 Hl2 0

0 0 0

О О 0 1 0 ... 0 0 \

0 0 1 ... 0 0

, Hik = 0 0 0 ... 0 1

Hir J

0 0 0 ... 0 0 /

После преобразования Q 1GQ = J система уравнений (3) примет вид

B2W J /BW BW\

+

= 0,

n - O- Bn )

где W = Q-1U. Условия Коши (4) для системы (5) преобразуются к виду

w(е,е) = q-1t(е), е е [о, 1],

^ ^(0,1),

где if = (-y)2J.

В работе [2] для системы (5) построена матрица Римана

(5)

R(e,n; eo,no)= f (J ) = VJ 2 fJ J1 ; a),

где a = -(е - io)(n - no)(e - no) 1(е0 - n) \ V = (n - е)2(П - eo) 1(no - e) 1-

Если W(е, n) является решением системы уравнением (5), то, используя свойства её матрицы Римана Д(е, n; eo, По) и векторный аналог тождества Грина [4], получаем, что

П

W (eo ,no) = ^2I (J,wfc )ek, (6)

k=1

где efc = (efc1,efc2,... ,efc„)T, efci =0, i = k, efcfc = 1; wfc — компоненты вектора W;

i(J, wfc) = lim Q/(J)wfc z = m-e +\f(J)wk

\ n = no

-dwk dwk

n = no

1 rV0-£

e = So + n = So + £

+ >k /<J)

dn de J n=«+e

de-

1 r°-e(Bf{J) Bf(J) 4/(J)J

+ —----- Wfc

2 Л0 V dn

de

е - n

П = «+Е

de . (7)

Известно [1], что если J — жорданова форма матрицы с одним собственным значением А, то функция I(J,wk) может быть записана в виде блочно-диагональной матрицы:

I (J,wk) = diag {I (Hi! ,wfc), ...,I (Hij, wfc), ...,I (Hir ,wfc )} •

185

Максимова Е.А.

Здесь

( I(\wk) 1кАгй

I(Hij ,Wk)

0 I (A,wfc)

к3 1)(A.«’fc) \

fe-l)!

-f^3 2\^,Wk)

ih-n

(8)

V 0 0 ... I (A, Wk) /

а функция I (A, Wk) записывается в виде (7) после формальной замены J на A. После подстановки (8) в (6) имеем

n 1 j k

ЩСо, щ) = EI(X, W) + ]Г —if'(A, W). (9)

k=l k*

Выполняя в выражении (9) замену W = Q-1U, получим1

и(£о, по) = Е1(Х, £/) + ]Г QJ\fef 'df (*, t7)

k=1 *

Д/(А,7/) + ]Г1(С fc^)fc/f(A,77). (10)

k=1

После подстановки A = 0 в (10) получим

n 1 Gk

/7(Со, туе) = Em U) + ]T —if}(0, G).

k=1 *

Воспользовавшись выражениями для I (A, U), полученными в [3] для случая A £ (-1/2, 0], найдём

1 / пПо i /*По \ i гпо

d(0, С7) = -------т- ( т(£)<3£~- т'(£)(г]о + Со ~ 2£)d£ ) - - КСМС,

По - Со VУ^о 2 * Ло ) 2 ко

j=о

ГПо

I (k)(0,U ) = £ . K(j)(1)(no - Со)-1 / т (С) ln

Чо

^(С) Ak j

(По - Со)2

dC-

Ц^ЧЧХпо-Со)-1 £°т'( С) (in (J^o)2)fc J(no + Co-2e)dC-

где K(j)(1) = 2уФ^_ 1(0) — Ф^-(0), (0) = Ф^-(0). Здесь Ф^-(A) определяются рекур-

рентно:

'(i)(

Чо

(По - Со)2

Фl(A) = 0(1 - 2A) - 0(1 - A), Фn(A) = Фп -1 (A)Фl(A) + ФП _ 1(A),

где "0(A) — дигамма-функция [5].

хЭтот же результат может быть получен с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа—Сильвестера [1].

186

О задаче Коши для системы уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу ...

Используя выражения для U(£о,по)? можно записать решение U(x,y) задачи Коши (1), (2) в области D.

Теорема. Если функции т(x) G C3[0,1] и v(x) £ C2(0,1), то задача Коши (1), (2) в области D корректна по Адамару.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Lankaster P. Theory of Matrices. New York, London: Academic Press, 1969. 316 pp.; русск. пер.: Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 280 с.

2. Андреев А.А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа/ В сб.: Дифференц. уравнения. Вып. 16: Сб. науч. тр. пед. ин-тов РСФСР. Рязан. гос. пед. ин-т, 1980. С. 9-14. [Andreev A. A. On a class of systems of differential equations of hyperbolic type / In: Partial differential equations. Issue 16. Ryazan: Ryazan. Gos. Ped. Inst., 1980. Pp. 9-14].

3. Максимова Е. А. О задаче Коши для n-мерной системы уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу на плоскости// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. №1(26). С. 21-30. [Maksimova E. A. On Cauchy Problem for system of n Euler-Poisson-Darboux equations in the plane // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2012. no. 1(26). Pp. 21-30].

4. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1966. 203 с.; англ.

пер.: Bitsadze A. V. Equations of the Mixed Type. New York: Pergamon Press, 1964. 160 pp.

5. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / eds. M. Abramowitz, I. A. Stegun. New York: Dover, 1972. 824 pp.; русск. пер.: Справочник по специальным функциям / ред. М. Абрамовиц, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

Поступила в редакцию 13/VI/2012; в окончательном варианте — 13/VIII/2012.

MSC: 35L45

ON CAUCHY PROBLEM FOR EULER-POISSON-DARBOUX SYSTEM WITH NILPOTENT MATRIX COEFFICIENT

Maksimova E. A.

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia.

E-mail: [email protected]

The solution of Cauchy problem for the system of Euler-Poisson-Darboux equations with nilpotent matrix coefficient of power m is obtained by the Riemann method. The Hadamard well-posedness theorem for the Cauchy problem solution is formulated,.

Key words: Riemann method, Cauchy problem, Euler-Poisson-Darboux system, nilpo-tent matrix.

Original article submitted 13/VI/2012; revision submitted 13/VIII/2012.

Ekaterina A. Maksimova, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.

187