О задаче Коши для n-мерной системы уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.3

О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ n-МЕРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ НА ПЛОСКОСТИ

Е. А. Максимова

Самарский государственный технический университет,

443100, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: katyuha_mak@mail. ru

Рассмотрена система уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Получено решение задачи Коши для. случая, когда матрица-коэффициент — действительная (те х те)-матрица и имеет одно собственное значение кратности те или пару комплексносопряжённых собственных значений кратности те/2 и действительная часть собственных значений принадлежит интервалу (—1/2,1/2).

Ключевые слова: метод Римана, задача Коши, дифференциальные уравнения в частных производных, система уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Постановка задачи. Рассмотрим следующую систему п дифференциальных уравнений в частных производных:

d2U d2U 2 GdU дх2 ду2 у ду ’

где U = (ui,u2, ■ ■ ■ ,ип)Т, G € Жпхп.

В работе [1] построена матрица Римана и с её помощью получено решение задачи Коши для системы (1) в случае, когда п = 2 и спектр матрицы G принадлежит интервалу (—1/2,1/2). В [2,3] получены решения задачи Коши для случаев, когда собственные значения матрицы G € М2х2 — комлексно-сопряжённые с действительной частью из интервала (—1/2,1/2).

Необходимо найти решение задачи Коши для системы (1) для случая, когда матрица G имеет одно собственное значение Л € К кратности п и Л € (—1/2,1/2) или пару комплексно-сопряжённых собственных значений Ai, А2 кратности п/2:

Ai = A = a + if3, А2 = A = a — if3, о; € (—1/2,1/2).

Задача Коши. Найти вектор-функцию U(x,y), удовлетворяющую следующим условиям:

1) U(x,y) € C{D) nC2(D), где D = {(х,у) : 0 < -у < х < у + 1};

2) U(x,y) удовлетворяет системе (1);

3) выполняются начальные условия

U(x, 0) = т(х), [0,1]; (2)

dU

lim К (у)— = и(х), х € (0,1), (3)

y-t-O оу

Екатерина Алексеевна Максимова, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.

где т(ж) = (п(х),т2(х),... ,тп(х))т, и(х) = (г/1 (х),и2(х),... ,ип(х))т, К (у) =

= (~у)2С ■

В характеристических координатах ^ = х + у, г) = х — у область И переходит в область Н = {(£, ?у) : 0 < { < г] < 1}, матричное уравнение (1)

редуцируется к системе уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу специального вида:

д2Ц С дУ С дУ

д(д г] + г]- £ д( г]-( дг]

а начальные условия (2), (3) примут следующий вид:

и&0=т(0, Се [0,1]; (5)

^«*.4- <6>

Случай 1. Известно [4], если Л € (—1/2,1/2) и

гапк(С - \Е)п~1 - 2 гапк(С - АЕ)п + гапк(С - АЕ)п+1 = 1,

где Е — единичная матрица, то существует матрица перехода С} к жорданову базису такая, что

Я~1ОЯ = ,]{А).

Здесь <1{\) — жорданова клетка порядка п, соответствующая действительному собственному значению А.

Тогда система уравнений (4) редуцируется к

д2\¥ J(А) гШ 7(А) гШ _

д(дг] + г]- £ д( г]-( дг]

где = С^~1и.

Условия Коши (5), (6) для системы (7) преобразуются к виду

Ж^Л)=Я~1т{0, Се [0,1]; (8)

Ли'(Ч*)(£-Зг)-™>- ^(0'1)- (9)

В работе [1] построена матрица Римана для системы (7):

где

(С -Со)(,Г]-Г]о) ^ (г]-02

(у = —тт------------------------гтт-г, V =

(£-lnoШo-ln), (п ~(о)(г]0 -О'

Если \¥(£,г]) является решением (7), а Д(£, г?; {о, ?7о) — матрица Римана этой системы, то, используя свойства матрицы Римана и векторный аналог тождества Грина [5], получаем

I т-

ы

£^0^2 д(тг-§)

V ОТ] /

77 = 770

+

V = ?о +Є

і т-

/дК дК 4Ш \дг] д( + £ - г]

и

Очевидно, что W(£>o,r)o) можно записать в виде

гг

ИЧЄо,г?0) = '%2і(ї'шк)ек,

(10)

к=1

где

/(7,^) = Иш(^(/(7)^)| ? = Ч0_£ + ^(/(7)^)| ? = ?0 +

£ \ г? = г?о ?? = £о + в

V = г/о

+ і Г°~є /^)ґди,к ди,к^

V = ?о + є

ЙЄ-

1 Я70-

2Ло

<9г? <9{ /

УЭ/(7) 3/(7) 4/(7)7

V <9г?

£-»7

Єй = (екі,ек2, ■■■, Єкп)Т, е-кі = о если і ф к, екк = 1; ^ — компоненты вектора ИЛ

Известно [6], если .] — жорданова клетка, то функция /(7, «;&) может быть записана в виде

/

1^,гик) =

1\(Ки>к)

1!

1(\,и)к)

I

(га-1)

(А ,и)к)

\

(п — 1)!

Ап— 2)

(\™к)

(те — 2)!

(П)

где

/(А,^) = 1іт^(/(А)^) і = Г]0-е

' Г/ = Г/ О

? = ?0 V = ?0 + Є

*/\\1дП,к дП,к\

ЙЄ-

1 Я70-

2Ло

дг]

УЭ/(Л) 9/(Л) 4/(Л)Л

V <9г?

£-»7

Подставляя (11) в (10), получаем

/ дл,Ш1) + Е^)(а''"‘+1) ^

к= 1

№(£о,г)о) =

М

/(л,Ю2)+"е24‘^.^)

к= 1

Л!

\ ДА, IV,г

где Н — (п х п)-матрица вида

/

Я

га—1 „д.

Я/(Л,^) + ^— /?} (Л, Ж), (12) к=0

О 1 о

О 0 1

о

о

(13)

0 0 0:1

\ О 0 0 : 0 /

Выполняя в выражении (12) замену = С,}~1и, получим и (Со, г?о) = Е1( А, 17) + £ дЯ^ ^ (А, II) =

"-1 (с _ ХЕ)к т{к)

к=О

к=0

Е1{\,и)+£

Л!

Вид /(Л, С7) будет различным для Л € (0,1/2) и Л € (—1/2, 0].

Случай 1.1. Пусть Л € (0,1/2). В этом случае, исходя из результатов [1], получим

г'ПО

ДА, II) = К1(\)(г]о — {о)1-2Л / г(0[^(0]Л"Ч-

?0

Г'По

-к2{\)22Л-1 / КСМОГЧ,

?0

где К, (А) = Г(2Л)/Г2(Л), К2(Л) = Г(1 - 2Л)/Г2(1 - Л), <^(£) = (т?0 -£)(£ -&)• Производные ДА, С7) по переменной Л будут иметь такой вид:

г[‘:)(ки) = £ (*) («'“’№(’» -&)‘-2Лх

(% - Со)2

-^')(Л)22Л-1 Г 1у(0Ы0Гх(1п^)к 3

/?0 '

Здесь производные К^\А) выражаются через полигамма-фунцию

¥к\г) [7,8].

Случай 1.2. Пусть А € (—1/2,0]. Исходя из результатов [1] получим

Г "ПО

/(А, II) =#1(1 + А)(г?0 - Со)-1-2" / г(0Ы0]Х^~

-Чо

1 Г'По

^2(-А)(г?о - Со)“1_2Л / 'Г/(0Ь(С)]Л(??0 + Со - 2£М£-

2 ^0

р70

-К2(А)22Л-1 / КСМОГЧ,

?о

^=о

-1-2Л,

(% - Со)2

йе-

К^(-Х)(г,0-Со)

-1-2Л

Г^?о

'£о

^(0^(0] 1п

(% - Со)2

к-з

(ло + с о~Ю<%~

, л ["ПО / А

-к%\а)22Л-! / ке)ИеГл(1п

(% - Со)

k—j 2 I ^

Случай 2. Рассмотрим случай, когда матрица С имеет комплексно-сопряжённые собственные значения:

А1 = А = а + г/3, Аг = А = си — г/3, о; € (—1/2,1/2).

Из свойств функции от матрицы [9] следует, что вектор-функция и (С, г]) есть вещественная функция даже в том случае, когда характеристические числа матрицы О комплексно-сопряжённые. Выполнение условия

гапк(С - АЕ)п/2~1 - 2 гапк(С - АЕ)п/2 + гапк(С - А£)га/2+1 = 1 означает, что существует матрица перехода С} к жорданову базису такая, что

д-1сд = з = рп(а,р),

при этом блочная матрица Рп(а, /3) — вещественный аналог жордановой клетки порядка п [4], соответствующий паре комплексно-сопряжённых собственных значений А, А:

I тс : г\ г\ \

Рп(а,Р) =

Р (ск, /3) Е : 0 0

0 Р (а, 13) : 0 0

0 0 : Р (ск, /3) Е

0 0 : 0 Р (а,

где

р<«.д = (4 £)>

1 0 0 1

о

о о о о

В этом случае система (4) преобразуется к виду (7) и начальные условия будут иметь вид (8), (9).

Можно показать, что функция от матрицы Рп(а, /3) представима в виде блочной матрицы:

/

п/2-1 "га/2-2

\

V о о

/

где

Яе(/(Х)) 1ш(/(Л)) — 1т(/(Л)) 11е(/(А))

( Не(/^(А)) 1т(/^(А)) \

к\

к\

1т(/«(А)) Ке(/С*:)(А))

Л!

Л!

Рассуждая аналогично случаю 1, получим

ИД£0, ??о) = Я11е(/(А, ИО) + 5! 1т(/(А, Ж))+ "/2-1 /

+ £ (§гЦ^)(А',у>) + %11т(/™(АЛУ)))- (14)

к=1 ' ’ '

Здесь Н — (п х п)-матрица вида (13), ^—блочные (п х п)-матрицы

/ (Л М (Л Г\ '■ Г\ \

(

Вг =

N О О N

О

О

\

V о о

В2 =

Вп/2 —

N

О О

О N О О : О

О О N О і О

О О О О і N

V О О О О : О /

О N О О

\

V О

N

О 1

-1 о

0 0/

Выполняя в (14) замену IV = (^ 1 Г/, получим и (Со, г]о) = ЕЯе(1(Х, и)) + ЯВгС]-11т(/(А, 17))+

+ Е (ЯН"к? 1ке(^(А,СО) + 01у ‘1т(4В(А,!7))У

к=1 ' ' '

Вид 1(\,и) и её производных будет различным для 11е(А) € (0,1/2) и Ке(Л) € (-1/2,0].

Случай 2.1 Пусть 11е(А) € (0,1/2). Используя результаты, опубликованные в работе [2], получим

11е(/(А, и)) = (Ке(М1(А)) сое(2/31п(г?0-Со))+1т(М1(А)) зт(2/31п(г?0-Со))) х

("По

X (г?0 - Со)1-2" / т(С)^"-1(С)со8(/31п<ДС)Ж+

+ (11е(М1(А)) вт(2/31п(г?о - Со)) - 1т(М1(А)) со8(2/31п(г?0 - Со))) х

('По

X (г?0 - Со)1-2" / т(С)^"-1(С)8т(/31п<ДС)Ж-

— 22"-1 (11е(М2(А)) ««(/З1п 4) — 1т(М2(А)) вт(/31п 4)) х

('По

X / КС)^-"(С)со8(/31п<ДС)Ж-

— 22"-1 (Ке(М2(А)) в1п(/31п 4) + 1т(М2(А)) ««(/З1п 4)) х

('По

х / КС)^-"(С)8т(/31п^(см,

•'?0

1т(/(А, С/)) = (1т(М1(А)) со8(2/31п(?уо-Со))-Ке(М1(А)) вт(2/31п(г?0-Со))) х

("По

х (г?0-С0)1-2" / г(С)^"_1(С)с08(/31п^(С))сгС+ •'?0

+ (Ие(М1(А)) сое(2/31п(г?о - Со)) + 1т(М1(А)) вт(2/31п(г?0 - Со))) х

("По

X (г?0 - Со)1-2" / т(С)^"-1(С)8т(/31п<ДС)Ж-

-Чо

— 22"-1 (Ке(М2(А)) вт(/31п 4) + 1т(М2(А)) сов(/31п 4)) х

("По

х / КС)^-"(С)со8(/31п<ДС))сгс-

-Чо

— 22"-1 (Ке(М2(А)) со8(/31п 4) — 1т(М2(А)) вт(/31п 4)) х

("По

X / КС)^-"(С)8т(/31п^(СМ,

-Чо

где

Ие(М1(А)) = (2а - 1) 11е(М2(1 - А)) - 2/31т(М2(1 - А)), 1т(М1(А)) = (2а - 1) 1т(М2(1 - А)) + 2/311е(М2(1 - А)),

= (Г2а /р -^)Л-

7Г 7о ^ {^-Ч '

_ со^а^т /'(«-.(!_ I)-* Цр ,п |Л,

1т(М2(Л)) = 81п(7Га)сМ,Г/3) /"«—*(1 -*)-»*Л>С^I» *_'кЛ_

тг 7о V (1-£)2^

со8(тга) 8Ь(тг/3) [\а_1/л +л-2а^(а^ *

7Г

1

Случай 2.2 Пусть 11е(А) € (—1/2,0]. Используя результаты, полученные в работе [3], получим

Яе(1(Х, и)) = (11е(М1(А + 1)) со$(2/31п(г?0 - Со)) + 1т(М1(А + 1))х

["По

X 8т(2/3 1п(г?0 - Со))) {По - Со)_1“2" / Т(С)^“(С) С08(/3 1п <ДС)Ж+

?о

+ (Ие(М1(А + 1)) зт(2/31п(?уо - Со)) - 1т(М1(А + 1)) ««(2(31п(г?0 - Со))) х

гт

х (г?о - Со)-1-2" / г(С)^“(С) зт(/3 1п (^(О)йС-

Ло

- ^ (11е(М2(—А)) со8(2/? 1п(г?0 - Со)) + 1т(М2(-А)) вт(2/3 1п(г?0 - Со))) х

[По

X (г?0-СоГ1-2" / т'(С)<р“(С)(^ЧЧо-2С)со8(/31п<р(С))с2С-

?о

- ^ (11е(М2(—А)) вт(2/? 1п(г?0 - Со)) - 1т(М2(-А)) сов(2(31п(г?0 - Со))) х

[По

X (г?0-СоГ1-2" / т'(С)<р“(С)(^ЧЧо-2С)8т(/31п<р(С))с2С-

•' ?0

— 22"-1 (11е(М3(А)) сов(/31п 4) — 1т(М3(А)) вт(/? 1п 4)) х

[По

х / 1/(С)¥Г“(С)шз(/31п<р(С))сгС-

•' ?о

— 22"-1 (11е(М3(А)) в1п(/31п 4) + 1т(М3(А)) сое(/? 1п 4)) х

[По

х / и(,0(Р~а(0 вт(/31п <^(С))^С,

?0

1т(/(А, С/)) = (1т(М1(А + 1)) со$(2/31п(г?0 - Со)) - ИДМДА + 1))х

[По

х вт(2/3 1п(г?0 - Со))) (% - Со)-1-2" / т(С)<р“(С) со8(/3 1п <ДС)Ж+

?о

+ (Ие(М1(А + 1)) сое(2/? 1п(г?0 - Со)) + 1т(М1(А + 1)) вт(2/3 1п(г?0 - Со))) х

[’По

X (г?о - Со)-1-2" / т(С)¥>“(0 зт(/3 1п у?(С))^С—

•*£о

- ^ (lm(M2(—A)) cos(2/? ln(r?0 - Со)) - Re(M2(-A)) sin(2/5 ln(r?0 - Со))) x

Г Vo

X (г?О-Co)-1-2" / т'(0^(0 +Со-In ip(C))dC-

- ^ (Re(M2(—A)) cos(2/? ln(r?o - Co)) + Im(M2(-A)) sin(2/3 ln(r?0 - Co))) x

Г Vo

X (r?o-Co)-1-2" / T'(C)<p“(C)(^44o-2C)sin(/31n<p(C))dC-

•'?0

- 22"-1 (Re(M3(A)) sin(/3 In 4) + Im(M3(A)) cos(/3 In 4)) x

г Vo

x / i/(C)¥T“(C)cos(/31n<p(C))dC+

-'So

+ 22"-1 (Re(M3(A)) cos(/3 In 4) — Im(M3(A)) sin(/3 In 4)) x

rvo

x / i/(C)^_“(C)sin(^ln^(C))dC,

-'So

где

Re(M3(A)) = Re(Af2(A + 1»(-5Г^а2 + 4) " 1т(М^Л))^р-Im(M3(A)) =Im(M2(A+ l))(a22“^.2 +4) + Be(Mi(A))^j.

Используя выражения для U(Co, Vo), можно записать решение U(x,y) в области D. Таким образом, если т(х) € С3[0,1] и и(х) € С2(0,1), то задача Коши (2), (3) для уравнения (1) корректна по Адамару. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Андреев А. А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа / В сб.: Дифференциальные уравнения в частных производных: Сб. тр. мат. кафедр пединститутов РСФСР. Вып. 16. Рязань: Рязан. гос. пед. инст., 1980. С. 9-14. [.Andreev A. A. On a class of systems of differential equations of hyperbolic type / In: Partial differential equations. Ryazan: Ryazan. Cos. Ped. Inst., 1980. Pp. 9-14].

2. Андреев А. А., Максимова E. А. Решение задачи Коши для одной системы гиперболического типа с сингулярными характеристиками/ В сб.: Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: СамГТУ, 2011. С. 11-17. [Andreev A. A, Maksimova Е. A. The solution of the Cauchy problem for one hyperbolic system with singular characteristics / In: Proceedings of the Eighth All-Russian Scientific Conference with international participation. Part 3 / Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2011. Pp. 11-17].

3. Максимова E. А. Решение задачи Коши для системы уравнений Эйлера—Пуассона— Дарбу // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №3(24). С. 167-170. [Maksimova Е. A. Solution of the Cauchy problem for system of the Euler-Poisson-Darboux equations// Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 3(24). Pp. 167-170].

4. Тыртышников E. E. Матричный анализ и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2007. 480 с. [Tyrtyshnikov Е.Е.. Moscow: Fizmatlit, 2007. 480 pp.]

5. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1966. 164 с.; англ.

пер.: Bitsadze А. V. Equations of the Mixed Type. New York: Pergamon Press, 1964. 160 pp.

6. Lancaster P. Theory of Matrices. New York: Academic Press, 1969. 316 pp.; русск. пер.: Ланкастер 77. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 272 с.

7. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / eds. M. Abramowitz, I. A. Stegun. New York: Dover, 1972. 824 pp.; русск. пер.: Справочник по специальным функциям / ред. М. Абрамовиц, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

8. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. Vol. I / ed. H. Bateman. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1953. 302 pp.; русск. пер.: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. Т. 1: Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.

9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 549 с. [Gantmakher F. R. Theory of matrices. Moscow: Nauka. 549 pp.]

Поступила в редакцию 22/1/2011; в окончательном варианте — 24/11/2012.

MSC: 35L45

ON CAUCHY PROBLEM FOR SYSTEM OF n EULER-POISSON-DARBOUX EQUATIONS IN THE PLANE

E. A. Maksimova

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.

E-mail: katyuha_mak@mail. ru

The system of Euler-Poisson-Darboux equations is considered, the Cauchy problem is solved for the case of real n x n matrix-coefficient with one real eigenvalue or two complex conjugate eigenvalues with real part in the interval (—1/2,1/2).

Key words: Riemann method, Cauchy problem, partial differential equation, system of Euler-Poisson-Darboux equations.

Original article submitted 22/1/2011; revision submitted 24/11/2012.

Ekaterina A. Maksimova, Postgraduate Student, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science.