ЯДРО ПУАССОНА И ОЦЕНКА ПРОИЗВОДНЫХ ЯДЕР ПУАССОНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 517.53

ЯДРО ПУАССОНА И ОЦЕНКА ПРОИЗВОДНЫХ ЯДЕР ПУАССОНА

В.А. Беднаж, В.В. Борцов

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»

В статье получены некоторые оценки на ядро Пуассона с использованием оператора дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля.

Ключевые слова: ядро Пуассона, интеграл Пуассона, оператор Римана-Лиувилля.

1. Ядро Пуассона

Ядро Пуассона — ядро, используемое для решения двумерного уравнения Лапласа с учетом граничных условий Дирихле в единичном круге. Ядро можно представить как производную функции Грина для уравнения Лапласа. Ядро Пуассона играет важную роль в комплексном анализе, поскольку интеграл от ядра Пуассона — интеграл Пуассона — расширяет функцию, определённую на единичной окружности, до гармонической функции, определённой на единичном круге. Также ядра Пуассона обычно находят применение в теории управления и в электростатике.

Рассмотрим интеграл Пуассона функции f заданной на Rn. Этот интеграл дает решение задачи Дирихле для : найти гармоническую функцию u(x,y) на , граничным значением которой на Rn в подходящем смысле являетсяfx).

Пусть функция f е lL(Rn) - классу интегрируемых с квадратом на Rn функций - и

пусть f - её преобразование Фурье. Рассмотрим

u(x, y) = J f(tу2ли-"e^dt, y > 0.

teRn

Этот интеграл сходится абсолютно, так как f е lL(Rn) и e 2ж^у быстро убывает с ростом |t| при y > 0. По той же причине можно дифференцировать по x и y любое число раз, выполняя дифференцирование под знаком интеграла. Отсюда следует, что

д 2u ^ д2и „

Аи = —-+> —- = 0,

ду2 > дх2 ,

так как множитель e~2mt'xe 2ж^у удовлетворяет этому равенству при каждом фиксированном t. С другой стороны, по теореме Планшереля u(x, у) ^ f(x) по норме l}(Rn) при у ^ 0.

Решение данной задачи может быть выписано и без явного использования преобразования Фурье. Для этого определим пуассоновское ядро

P (х) = J e-2ла-xe~2^ydt, у > 0.

Rn

Тогда полученную ранее функцию u(x,y) можно записать в виде свертки:

u(x, у) = J Py (t)f (x - t)dt .

Rn

Назовем функцию u(x,y) интегралом Пуассона от функции f (см. [1]). Теорема 1.1 (см. [2]). Пуассоновское ядро может быть записано в явной форме

Pv (x) = ■

СпУ

Г

п +1

( X2 + У2)

п+1 ' п 2

С„ =■

п +1 2

-, где Г

г п + 14

I 2 ,

4ж(1п)!

22п • п!

2. Оценка производных ядер Пуассона

Для функции f (x,y), измеримой и комплекснозначной в , введем в рассмотрение оператор дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля (см. [3]):

л

D af (x, y) = J ta- f (x, y+1)dt, Г (а) 0

дГ

Df = f, Df(x,y) = (-1)m D (m a)fmf(x,У) где а>0,m = [а] +1.

dym

Установлено следующее утверждение:

Лемма. Если а> 0, Ле , [п / (п+а)\ < p <ад, то для каждого j, 0 < j < n, справедливы оценки

\DaP,(x,y)|<C(а,п) Ла+п xеЯГ,y>0,

П,(x,у) <«Л,

Где дЛР, (x, y) =

Доказательство. 1) Так как

дл1 дЛ' дЛ+1

дxЛ . .. dxЛn дуЛп+1

с \

x

K j

"А |2

V

(| x\ + У2))

x е Яп, У > 0.

Р (x, У) = Kn

x.

Г

'п +1

V 2 У

x

(x2+у2)"

п+1

ж

п+1

(x2+У2)"

п+1

то

Dap (x, y)| =

(—1)mD

m j~\-(m-a)

дm

дУ

р, (x, y)

m

D

-(m-а)

дn

1

Г (m -а)

tm—аР, (x, y +1 )dt

dy

1 CO

^ \ -а-1

1 — г/Л J

dy

д■

,0 <j< п,

P, (x, У)

m

Г (m -а)

dym

-Pj (x, y +1 )dt

ч ад

^f t 1 — rv\ j

m—а—1

Г (m—а)

dn

fr (п+1'

дУ"

Л

x.

п+1

ж

(| x|2 + y2)

п+1

(x, У +1)

dt.

1

Учитывая, что |x| + y2 > — (|x| + y)2,2(|x| + y2) > (|x| + y)2 и так как

x

= ^Jxl + x^ +...+xl,то |x,| < |x|, j = 1,п, имеем:

дп

x.

дуп

(Ix2+у2)

n+1 2~

= x..

ди

x

дуп

(Ix2+у 2)

и+1

< x..

dm x,

ду'п (|x| + У)^

<

< (п + 1)(п + 2)...(п + т) •

N + У)

п+т+1

< (п + 1)(п + 2)...(п + т)

X + У)

п+т+1

<

<

(п + 1)(п + 2)...(п + т)

N+у)п+т

Следовательно, продолжая рассуждения, будем иметь:

'г Г ^1 '

1 Г^ т-а-1

Г(т-а)1

д"

дут

N.

п+1

п+1

п

N2+У2)2

(X, У + У)

(п + 1)(п + 2)...(п + т) Г

п +1

Л <-

п+1

Г(т -а)п 2

^т-а-1

С/

Х1г' , , 1 (IN+у+/ )п

да

= С^а, п)|

Л

Рассмотрим

да ж/

И+у

Уа+1-т ( N + у + у)

1 Уа

0 /а+1-т (N+У+у) а

п+т 1 ^а+1-т О

И +у

<1

Ж/

■ +

N+у+/) а

1_

п+т ^ ^а+1-т

N+у1

N+у

сИ

А+у+/ )п

<

/а+1-т (N+у+у)п+т ^У< N+у

а+1-т+п+т

N + у)

1_ да

дп+т 1 ¡а+1-т 1

С/

^а+1-т 1 ^а+1+п

0 1 N1+у1

1

-1

(|N + у)п+т (а-ту 1

+ ■

-1

(а + п)/а

1

-1

- Нт

- + -

1

N1+у (N + У)п+т I(а-т)(|N + У)а

(N+у)т-а 1

у^да (а + п)Уа+п (а + п)(|N + у)а 1 1

■ + ■

■ + ■

(а-т)Ц + у)т+п (а + п)^ + У)а+'

1 а+п+т-а 1

(т -а)(|N + У)а+п (а + пЩ + У)а+п (N1 + У)а+п (т-а)(а + п) + У) п + т

= С (а, п)—.—:—1-, так как а < т, а-т < 0 и (0) = Ут а(0) = 0.

21 ' 7(| N + у)а+п ' ' уа-т

(т - а)(а + п) Таким образом, получаем

\ОаР] (x, у) < С2 (а, п) ^ а+п, а < т, то есть при а й Z+

Пусть а е ^, а = т, тогда

|^Р] (X, У)|:

д"

дуа ]

2) Докажем следующую оценку

Р, (x, У)

да N

дуа п+1 (|N2+У2)"

<

С (а, п)

N+у)"'

И (x, у) < ы п)(йГ1У)и+п.

Так как

дяР, (x, у) =

дА дЛ д^1

N дx^n дуЛп+1

N ,

К ]

N + у2)

1

0

\dAPj (х, y)|

Так как

дЛ

дЛ

дЛ дЛ'+1

1

дх" "' Эх"1 дуЛ дЛ 1

K.

х

(| х\ + у 2),

дх" (| X + У)'+Лп+1 < Q(n|)- 1

<

T(n + Лп +1)

< K.

х1

дЛ

( С0(п,Лп+1) Л +1

(|X+у)

n+l +1

х

эх? дхл ^(x + у)'

<^__(n + | +1)

дх"-

(|х + у)

n+l+i

<

при х < х .

(|х+у)+1

Аналогично получаем производные по остальным переменным. Следовательно,

1 _ „ . 1

дЛР] (х, у) < С0(п,Лт+1)С1(п,Л1)...Сп (п,Л') |Л| = | +... + Л+1.

(|х+у )

n+Лп+1+Л+-+Л

= С(п,Лп)

(|х+у)

\Л+п

где

Список литературы

1. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. - М.: Просвещение, 1979. - 128 с.

2. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. - М.: Наука, 1975. - 448 с.

3. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

Сведения об авторах

Беднаж Вера Аркадьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].

Борцов Владислав Владимирович - магистрант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»: e-mail: [email protected]

POISSON NUCLEUS AND ESTIMATION OF DERIVATIVES OF POISSON NUCLEI

V.A. Bednazh, V.V. Bortsov

Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky

In the article some estimates for the derivatives of Poisson kernels are obtained.

Keywords: Poisson kernel, Poisson integral, Riemann-Liouville fractional integro differentiation

operator.

References

1. Weinberg M.M. Functional analysis. - M.: Prosveschenie, 1979. - 128 p.

2. Besov O.V., Ilyin V.P., Nikolsky S.M. Integral representations of functions and embedding theorems. - M.: Nauka, 1975. - 448 p.

3. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. - Minsk: Science and Technology, 1987. - 688 p.

About authors

Bednazh V.A. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].

Bortsov V.V. - graduate student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky, e-mail: vladislav. [email protected].